当前位置:首页 >> 数学 >>

2015高考平面向量及考试题型汇总


高考数学平面向量部分知识点梳理
一、向量的概念: (1)向量的基本要素:大小和方向. (2)向量的表示:几何表示法 AB ;字母表示:a; 坐标表示法 a=xi+yj=(x,y). (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|. (4)特殊的向量:零向量 a=O ? |a|=O. 单位向量 aO 为单位向量 ? |aO|=1. (5) (6) 相反向量:a=-b ? b=-a ? a+b=0 (7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称为 共线向量. (8)向量的运算: 运算类型 向量的 加法 几何方法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 坐标方法 运算性质
? x ? x2 ? ? 1 ? y1 ? y 2 (x1,y1)=(x2,y2)

a?b ? b?a a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) AB ? BC ? AC
a ? b ? a ? (?b)

向量的 减法

三角形法则 1. ? a 是一个向量,满足:

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )AB ? ? BA ,
OB ? OA ? AB

数 乘 向 量

| ? a |?| ? || a |
2. ? >0 时, 向;

? a与a 同

? a ? (? x, ? y)

?(? a) ? (??)a (? ? ? )a ? ? a ? ? a ?(a ? b) ? ? a ? ?b
a // b ? a ? ?b

? <0 时, ? a与a 异向; ? =0 时, ? a ? 0 .
a ? b 是一个数
1. a ? 0或b ? 0 时,

向 量 的 数 量 积

a ?b ? 0 .
2.

a ?b ? b? a (? a) ? b ? a ? (?b) ? ?(a ? b)

a ? b ? x1x2 ? y1 y2

(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c
a ?| a |2 即|a|= x 2 ? y 2
2

a ? 0且b ? 0时, a b ?| a || b | cos(a, b)

| a ? b |?| a || b |

二、重要的公式、定理: (1)平面向量基本定理:e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任

一向量,有且仅有一对实数λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. (2)两个向量平行的充要条件:a∥b ? a=λb(b≠0) ? x1y2-x2y1=O. (3)两个向量垂直的充要条件:a⊥b ? a·b=O ? x1x2+y1y2=O.
1P 2 所成的比为λ,即 P 1 P =λ PP 2 (4)线段的定比分点公式:设点 P 分有向线段 P

1 1 OP = 1 ? ? OP 1 + 1 ? ? OP 2 (线段的定比分点的向量公式)

? x? ? ? ? ?y ? ? ?

x1 ? ?x 2 , 1? ? y1 ? ?y 2 . 1? ? (线段定比分点的坐标公式)

当λ=1

x ? x2 ? x? 1 , ? ? 2 ? 1 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 OP = 2 ( OP 1 + OP 2 )或 ?
(5)平移公式: 设点 P(x,y)按向量 a=(h,k)平移后得到点 P′(x′,y′) ,

? x? ? x ? h, ? y ? ? y ? k. ? O P OP 则 = +a 或 ?
曲线 y=f(x)按向量 a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为: y-k=f(x-h) (6)

a b c ? ? ? 2 R. 正弦定理: sin A sin B sin C
余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC. (7)三角形面积计算公式: 设△ABC 的三边为 a,b,c,其高分别为 ha,hb,hc,半周长为 P,外接圆、内切圆的半 径为 R,r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ②S△=Pr ⑤S△= ③S△=abc/4R [海伦公式]
P?P ? a??P ? b??P ? c?

⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb (8)三角形的五个“心” :?重心:三角形三条中线交点.?外心:三角形三边垂直平分线相交 于一点.③内心:三角形三内角的平分线相交于一点.④垂心:三角形三边上的高相交于一点. ⑤旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. 三、常用的判定:

a?b?c 2 (1) 已知⊙O 是△ABC 的内切圆, 若 BC=a, AC=b, AB=c [注: s 为△ABC 的半周长,即 ]

则:①AE= s ? a =1/2(b+c-a)②BN= s ? b =1/2(a+c-b) ③FC= s ? c =1/2(a+b-c) 综合上述:由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减去对边.
a?b?c ab ? 2 a?b?c . 特例:已知在 Rt△ABC,c 为斜边,则内切圆半径 r=

(2)在△ABC 中,有下列等式成立 tan A ? tan B ? tanC ? tan A tan B tanC (3)在△ABC 中,D 是 BC 上任意一点,则
AD 2 ? AC 2 BD ? AB 2 BC ? BD ? DC BC
a ? b 2 ? a ? b 2 ? 2( a 2 ? b 2 )

(4)平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和. 四、空间向量: (1)概念:具有大小和方向的量叫做向量
王新敞
奎屯 新疆

? ? ? ? ? OP ? ?a (? ? R) OB ? OA ? AB ? a ? b BA ? OA ? OB ? a ?b ; (2)运算: ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ;数 a ? b ? b ? a (3)运算律:加法交换律: ;加法结合律: ? ? ? ? 乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b
(4)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共

? ? ? ? a b a 线向量或平行向量. 平行于 记作 // b . ? ? ? ? ? ? ? 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) , a // b 的充要条件是存在实数λ,使 a ? b =λ . ? 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O,点 P ? ? 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式 OP ? OA ? t a . 其中向量 a 叫做直线 l 的
方向向量. 向量与平面平行:已知平面 ? 和向量 a ,作 OA ? a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内, 那么我们说向量 a 平行于平面 ? ,记作: a // ? .通常我们把平行于同一平面的向量,叫 做共面向量 (说明:空间任意的两向量都是共面的 )
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(6)共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在实 数 x , y 使 p ? xa ? yb
王新敞
奎屯 新疆

推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x , y ,使

MP ? xMA ? yMB 或对空间任一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB 叫做平面 MAB 的
向量表达式
王新敞
奎屯 新疆

(7)空间向量基本定理:如果三个向量 a, b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一 个唯一的有序实数组 x, y , z ,使 p ? xa ? yb ? zc
王新敞
奎屯 新疆

推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个有序实数

x, y , z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC

王新敞
奎屯

新疆

(8)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 a, b ,在空间任取一点 O ,作

OA ? a, OB ? b ,则 ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 ? a, b ? ;且规定 ? ? a , b ?? 0 ?? a, b ?? ? ,显然有 ? a, b ??? b , a ? ;若 2 ,则称 a 与 b 互相垂直,记
作: a ? b . 向量的模:设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | . (9)向量的数量积: a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a, b ? . 已知向量 AB ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A? ,作 点 B 在 l 上的射影 B? ,则 A?B? 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影.

? ? 可以证明 A?B? 的长度 | A B |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | .
(10)空间向量数量积的性质:

a ? e ?| a | cos ? a, e ? ; a ? b ? a ? b ? 0 ; | a |2 ? a ? a .
(11)空间向量数量积运算律: (?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) ; a ? b ? b ? a (交换律) ;

a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) .
五、空间向量的坐标运算: (1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标) ,y 轴是纵轴(对应 为纵轴) ,z 轴是竖轴(对应为竖坐标). ①令 a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则
a ? b ? (a1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 ) ? a ? (?a1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R) a ? b ?a1 b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3
b ?a1 ? ?b1 ,a 2 ? ?b 2 ,a 3 ? ?b 3 (? ? R)
? a1 a 2 a 3 ? ? b1 b 2 b 3

a∥

a ? b ?a1 b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 ? 0

a ? a ? a ? a 1 2 ?a 2 2 ?a 3

2

? ? a1b1 ? a 2 b2 ? a3 b3 ? ? a ?b cos ? a, b ?? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 | a |?|b | a1 ? a 2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3

(用到常用的向量模与向量之间的转化:

a 2 ? a?a ? a ? a?a

)

②空间两点的距离公式:

d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2

.

(2) 法向量: 若向量 a 所在直线垂直于平面 ? , 则称这个向量垂直于平面 ? , 记作 a ? ? , 如果 a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. (3)用向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条
| AB ? n |

射线,其中 A ?? ,则点 B 到平面 ? 的距离为

|n|

.

②利用法向量求二面角的平面角定理:设 n1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向量,

则 n1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小( n1 , n 2 方向相同,则为补角,
n 1 , n 2 反方,则为其夹角).

③证直线和平面平行定理: 已知直线 a ?? 平面 ? ,A ? B ? a, C ? D ? ? , 且 CDE 三点不共线, 则 a∥ ? 的充要条件是存在有序实数对 ? ? ? 使 AB ? ?CD ? ?CE .(常设 AB ? ?CD ? ?CE 求 解 ? , ? 若 ? , ? 存在即证毕,若 ? , ? 不存在,则直线 AB 与平面相交).
A n


B

B

?
C A



n1

C

D E

? n2

?

?

平面向量的应用
【高考考点】 1. 考察向量平行、垂直、数量积、长度(模) 、夹角、线性表示、参量等题型 2. 考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 3. 考查利用向量方法解决三角函数、函数等综合题型 【复习指导】 复习中重点把握好向量平行、 垂直的条件及其数量积的运算, 重视平面向量体现出的数形结 合的思想方法, 体验向量在解题过程中的工具性特点. 向量兼具代数的抽象与严谨和几何的 直观与形象,向量本身是一个数形结合的产物,在利用向量解决问题时,要注意数与形的结 合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.要注意变换思维方式,能从不同角度 看问题,要善于应用向量的有关性质解题.实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何 之间的转化的主要手段是向量的坐标运算. 【知识梳理】 (1)平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的 任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 ,其中不共线的向量 e1 , e2 叫做 表示这一平面内所有向量的一组基底 (主要应用于线性表示)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

? ?

?

?

?

?

? ?

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

(2)非零向量 a ? ( x, y ) 的单位向量为 ?

a 1 或 ? ( x, y) 。 a x2 ? y 2

(3)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理: a∥ b ? a=λb(b≠0) ? x1y2-x2y1=0. (4) 证明垂直问题,常用数量积的运算性质

a⊥ b

?

a· b=0

?

x1x2+y1y2=0.

(5)向量数量积: a ? b ? a ? b ? cos? = x1 x2 ? y1 y2 (6)求夹角问题,利用夹角公式 x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2 (θ 为 a 与 b 的夹角). |a||b| x1+y1 x2 2+y2 【基础题型】 一、求参量 1. [2011·北京卷] 已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3).若 a-2b 与 c 共 线,则 k=________. 2. [2011·广东卷] 已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ 为实数,(a+λ b)∥c, 则λ =_______ 3. [2011·辽宁卷] 已知向量 a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则 k=________ 4. [2011·课标全国卷] 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向 量 ka-b 垂直,则 k=________. 2π 5. [2011· 江苏卷] 已知 e1, e2 是夹角为 的两个单位向量, a=e1-2e2, b=ke1+e2, 若 a· b 3 =0,则实数 k 的值为________. 6. 【2012 高考辽宁文 1】已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x =________ 二、求长度(模) 1 7. [2011·全国卷] 设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a·b=- ,则|a+2b|=___________ 2 8. [2011·重庆卷] 已知单位向量 e1,e2 的夹角为 60°,则|2e1-e2|=________. 9. [2011· 淄博二模] 设平面向量 a=(1,2), b=(-2, y), 若 a∥b, 则|3a+b|等于_________ 10. 【2012 高考重庆文 6】设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |? ______ 11. 【 2012 高考新课标文 15 】已知向量 a, b 夹角为 45? ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则

b ? _____

b ? (m ? 1,1) , c ? (2, m) , 12. 【2012 高考安徽文 11】 设向量 a ? (1,2m) , 若 (a ? c) ? b ,
则 | a |? ______ 13. 【2012 高考江西文 12】设单位向量 m=(x,y) ,b=(2,-1) 。若 =_______ 三、求坐标,夹角及数量积: 14. [2011·湖南卷] 设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为________. 15. [2011·安徽卷] 已知向量 a,b 满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a |=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角为________. ,则

16. [2011·福建卷] 若向量 a=(1,1),b=(-1,2),则 a·b 等于________. 17. [2011·广东卷] 若向量 a,b,c 满足 a∥b 且 a⊥c,则 c·(a+2b)=__________. 18. [2011· 湖北卷] 若向量 a=(1,2), b=(1, -1), 则 2a+b 与 a-b 的夹角等于__________ 19. [2011· 江西卷] 已知|a|=|b|=2, (a+2b)· (a-b)=-2, 则 a 与 b 的夹角为________. π 20. [2011·江西卷] 已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+ 3 4e2,则 b1·b2=________. 21. [2011·重庆卷] 已知向量 a=(1,k),b=(2,2),且 a+b 与 a 共线,那么 a·b 的值 为_____ π 22. [2011·合肥一模] 若 e1,e2 是夹角为 的单位向量,且 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2, 3 则 a·b=___________ 23. (江西理 11)已知

a ? b ? 2 (a ? 2b) (a ? b) , · =-2,则 a 与 b 的夹角为__________

24. 【2012 高考浙江文 15】 在△ABC 中, M 是 BC 的中点, AM=3, BC=10, 则 AB ? AC =________. 25. 【2012 高考江苏 9】如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上,若 AB AF ? 2 ,则 AE BF 的值是 ▲ . 26.【2102 高考北.京文 13】 已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点, 则 DE ? CB 的值为________, DE ? DC 的最大值为______。 四、其他题型: → → → → → 27. 平面上有四个互异点 A、B、C、D,已知(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,则△ABC 的形状 是______. → ? → → ? → AB AC ? → AB AC 1 → → ? + 28. 在△ABC 中,已知向量AB与AC满足 ·BC=0 且 · = ,则△ABC 为 → ? ?|→ → → 2 |AB| |AC| ? AB| |AC|? 29. 已知△ABC,则“ AB ? AC ? 0 ”是“△ABC 为钝角三角形”的________(条件) 【综合题型】 五、平面向量在三角函数中的应用 30. 【2012 高考江苏 15】在 ?ABC 中,已知 AB AC ? 3BA BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

31. 已知 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈? ,

?π 3π? ?. ?2 2 ?

→ |=|BC → |,求角 α 的值; (1)若|AC →· → =-1,求2sin α+sin 2α的值. (2)若AC BC 1+tan α 32.(江西 18) .已知向量 x x ? x ? x ? a ? (2 cos , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b . 2 2 4 2 4 2 4
是否存在实数 x ? [0, ? ],使f ( x) ? f ?( x) ? 0(其中f ?( x)是f ( x)的导函数 则 ) ? 若存在, 求出 x 的值;若不存在,则证明之.
2

33. 已知向量 a ? {2 cos x,1}, b ? {cos x, 3 sin 2x}, x ? R .设 f ( x) ? a ? b .
(1)若 f ( x) ? 1 ? 3 且 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 x 的值; 3 3

(2)若函数 y ? 2 sin 2 x 的图像按向量 c ? {m, n}(| m |? 像,求实数 m, n 的值.

?
2

) 平移后得到函数 y ? f ( x) 的图

34. 已知向量 a=(sin θ,cos θ-2sin θ),b=(1,2).

(1)若 a∥b,求 tan θ 的值; (2)若|a|=|b|,0<θ<π,求 θ 的值.
35. 已知向量 m ? (cos? ,sin? ) 和 n ?

?

2 ? sin ? ,cos? ,? ? ?? , 2? ? ,且 m ? n ?

?

8 2 , 5

求 cos ?

?? ? ? ? ? 的值. ?2 8?

36. (2009 上海卷文) (本题满分 14 分) 已知Δ ABC 的角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 设向量 m ? (a, b) , n ? (sin B,sin A) ,

p ? (b ? 2, a ? 2) .
(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C =

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

37.在 ?ABC 中 ,已知内角 A. B. C 所对的边分别为 a、b 、 c,向量 m ? 2 sin B ,? 3 ,

?

?

B ? ? n ? ? cos 2 B, 2cos 2 ? 1? ,且 m / / n ? 2 ? ?
(I)求锐角 B 的大小; (II)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值? 38. 已知 ?ABC 的内角 A. B.C 所对边分别为 a、b、c,设向量

m ? (1 ? cos( A ? B), cos

5 A? B 9 A? B ) ,且 m ? n ? . ) , n ? ( , cos 8 8 2 2 (Ⅰ )求 tan A ? tan B 的值; ab sin C (Ⅱ )求 2 的最大值. a ? b2 ? c2
(tanA-tanB)

39. 在锐角 ?ABC 中,已知内角 A. B.C 所对的边分别为 a、b、c,且 =1+tanA· tan B. 2 (1)若 a -ab=c2-b2,求 A. B.C 的大小;

(2)已知向量 m =(sinA,cosA), n =(cosB,sinB),求|3 m -2 n |的取值范围. 40.(10 江苏高考 15) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值 41. (09 江苏高考 15) 设向量 a ? (4cos ?,sin ?), b ? (sin ?,4cos ?), c ?(cos ?, ? 4sin ?) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 六、平面向量在函数中的应用: 42. (湖北理 17) .已知向量 a ? ( x 2 , x ? 1),b ? (1 ? x, t ),若函数f ( x) ? a ? b 在区间 (-1,1)上是增函数,求 t 的取值范围.
w.w.w. k.s.5.u .c.o.m w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

?

?

?

?

43. 已知平面向量 a=( 3 ,-1),b=(
2

1 3 , ). 2 2

(1) 若存在实数 k 和 t,便得 x=a+(t -3)b, y=-ka+tb,且 x⊥y,试求函数的关系式 k=f(t); (2) 根据(1)的结论,确定 k=f(t)的单调区间。 44. 已知平面向量 a =( 3 ,-1), b =(

?

?

1 3 , ),若存在不为零的实数 k 和角α ,使 2 2

向量 c = a +(sinα -3) b , d =-k a +(sinα ) b ,且 c ⊥ d , 试求实数 k 的取值范围。 七、平面向量在解析几何中的应用: 45.(2009 浙江理)过双曲线

?

?

?

?

?

?

?

?

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线, a 2 b2
1 BC ,则双曲线的离心率是 2

该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? _____

46. 已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1 ? MF 2 ? 0, 则点 M 2

到 x 轴的距离为_____________ 47. 已 知 两 点 M ( - 2 , 0 ) 、N(2,0) ,点 P 为坐标平面内的动点,满足

MN ? MP ? MN ? NP ? 0 ,则动点 P(x,y)的轨迹方程为__________
48. 已知点 A(-2,0),B(3,0),动点 P(x,y)满足 PA? PB ? x ,则点 P 的轨迹是__________
2

49. (2009 全国卷Ⅰ理)已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l , 2

线段 AF 交 C 于点 B ,若 FA ? 3FB ,则 | AF | =______________ 51. (2009 年上海卷理)已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)的两个焦点, a2 b2

P 为椭圆 C 上一点,且 PF 1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 1 ? PF 2 .若 ?PF
52. 已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量, 设 a = ( x ? 3)i ? yj , b = ( x ? 3)i ? yj ,

? ?

?

?

?

?

?

?

? ? 且满足| a |+| b |=4.
(1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程. ? (2)如果过点 Q(0, m)且方向向量为 c =(1,1) 的直线 L 与点 P 的轨迹交于 A, B 两点,当 ? AOB 的面积取到最大值时,求 m 的值。

53. 已知点 A( ? 2 2 ,0),B( ? 2 ,0)动点 P 满足 AP ? AB ? (1)若动点 P 的轨迹记作曲线 C1,求曲线 C1 的方程. (2)已知曲线 C1 交 y 轴正半轴于点 Q,过点 D(0, ?

2 | AB | ? | BP |

2 )作斜率为 k 的直线交曲线 3

C1 于 M、N 点,求证:无论 k 如何变化,以 MN 为直径的圆过点 Q. 54.

a ? ( x, y ? 2), b ? ( x, y ? 2), a ? b ? 8,
(Ⅰ)求 M( x , y )的轨迹 C; (Ⅱ)过点(0,3)作直线 l 与曲线交于 A,B 两点, OP ? OA ? OB ,是否存在直线 l 使

OAPB 为矩形.

55. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知点 M (1, ?3) , N (5,1) ,若点 C 满足

OC ? tOM ? (1 ? t) ON( t? R ),点 C 的轨迹与抛物线 y 2 ? 4x 交于 A、B 两点;
(1)求点 C 的轨迹方程; (2)求证: OA ? OB ; (3)在 x 轴正半轴上是否存在一定点 P(m,0) ,使得过点 P 的任意一条抛物线的弦的 长度是原点到该弦中点距离的 2 倍,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

56. (重庆卷) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3,0) 。

(1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且

OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。
y
P M

F1
1

o

F2

x

参考答案 1). 3 2).

1 2

3). 12 4). 1 5).

5 4

6). 1 7).

3

8).

3

9). 5 5

10). 16). 1

10

11). 3 2

12).

2

13).

3 5 5

14). (-4,-2) 15). 600 21). 4 22). ?

0 17). 0 18). 45

0 19). 60

20). -4

7 2

0 23). 60

24). 34 25).

2

26). 1,1 27). 等腰三角形 28). 等边三角形 29). 充分不必要条件

30. (2012 年江苏省 14 分)在 ?ABC 中,已知 AB AC ? 3BA BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

【 答 案 】 解 :( 1 ) ∵ AB AC ? 3 BA BC , ∴ AB AC cos A=3BA BC cos B , 即

AC cos A=3BC cos B 。

AC BC = ,∴ sin B cos A=3sin A cos B 。 sin B sin A sin B sin A =3 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 。∴ 即 tan B ? 3tan A 。 cos B cos A
由正弦定理,得

? 5? 2 5 5 = (2)∵ cos C ? 。∴ tan C ? 2 。 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? ? ? ? 5 5 ? 5 ?

2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A tan B 4 tan A 1 ? ?2 ,解得 tan A=1, tan A= ? 。 由 (1) ,得 2 1 ? 3tan A 3
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A= 31. 解

? 。 4

→ =(cos α-3,sin α),BC → =(cos α,sin α-3), (1)∵AC

→ ∴AC2=(cos a-3)2+sin2α=10-6cos α, → 2=cos2α+(sin α-3)2=10-6sin α, BC → |=|BC → |,可得AC → 2=BC → 2,即 10-6cos α=10-6sin α,得 sin α=cos α. 由|AC 5π ?π 3π? 又∵α∈?2, 2 ?,∴α= 4 . ? ? →· → =-1, (2)由AC BC 得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1,
2 ∴sin α+cos α= .① 3 2sin2α+sin 2α 2sin2α+2sin αcos α 又 = =2sin αcos α. sin α 1+tan α 1+ cos α 4 由①式两边分别平方,得 1+2sin αcos α= , 9
2 5 2sin α+sin 2α 5 ∴2sin αcos α=- .∴ =- . 9 9 1+tan α

32. 解: f ( x) ? a ? b ? 2 2 cos

x x ? x ? x ? sin( ? ) ? tan( ? ) tan( ? ) 2 2 4 2 4 2 4

x x tan ? 1 x 2 x 2 x x x x 2? 2 ? 2 2 cos ( sin ? cos ) ? ? 2 sin cos ? 2 cos2 ? 1 x x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ? tan 1 ? tan 2 2 ? sin x ? cos x. 1 ? tan

令f ( x) ? f ?( x) ? 0,即 : f ( x) ? f ?( x) ? sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? 2 cos x ? 0
可得 x ?

?
2

, 所以存在实数 x ?

?
2

? [0, ? ], 使f ( x) ? f ?( x) ? 0.

33. [解析] (1)依题设,f(x)=(2cosx,1) ·(cosx, 3 sin2x)

=2cos2x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+ 由 1+2sin(2x+ ∵-

? ) 6

? ? 3 )=1- 3 ,得 sin(2x+ )=- . 6 6 2

? ? ? ? 5? ≤x≤ , ∴- ≤2x+ ≤ , 6 3 3 2 6 ? ? ? ∴2x+ =- , 即 x=- . 6 3 4

(2)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m , n)平移后得到函数 y=2sin2(x -m)+n 的图象,即函数 y=f(x)的图象. ? ? ? 由(1)得 f (x)= 2 sin 2( x ? ) ? 1 ∵ m < , ∴m=- ,n=1. 12 2 12 34. 解 (1)因为 a∥b,所以 2sin θ=cos θ-2sin θ, 1 于是 4sin θ=cos θ,故 tan θ=4. (2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cos θ-2sin θ)2=5, 所以 1-2sin 2θ+4sin2θ=5. 从而-2sin 2θ+2(1-cos 2θ)=4, π? 2 ? 即 sin 2θ+cos 2θ=-1,于是 sin?2θ+4?=- 2 . ? ? π π 9π 又由 0<θ<π 知,4<2θ+4< 4 , π 5π π 7π π 3π 所以 2θ+4= 4 或 2θ+4= 4 .因此 θ=2或 θ= 4 .
35. 解: m ? n ? cos? ? sin ? ? 2,cos? ? sin ?

?

?

m?n ?

? cos? ? sin ? ? 2 ?

2

? (cos ? ? sin ? ) 2 =

?? ?? ? ? 4 ? 2 2(cos? ? sin ? ) = 4 ? 4cos ?? ? ? = 2 1 ? cos ? ? ? ? 4? 4? ? ?
由已知 m ? n ?

8 2 ?? 7 ?? ? ? ? ? , ,得 cos ? ? ? ? ? 又 cos ? ? ? ? ? 2cos2 ( ? ) ? 1 5 4 ? 25 4? 2 8 ? ?

? ? 16 cos 2 ( ? ) ? 2 8 25
?? ? ? ? cos ? ? ? ? 0 ?2 8?

? ? ? ?? ,2? ?

?

5? ? ? 9? ? ? ? 8 2 8 8

4 ?? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 5 ?2 8?

36. 证明: (1) Q m // n,? a sin A ? b sin B,

u v v

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R ? ?ABC 为等腰三角形 u v u v 解(2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0
即a?

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab
2 2 2

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0

? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
?S ?

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

B 37. 【解析】:(1) m / / n ? 2sinB(2cos2 -1)=- 3cos2B 2 ?2sinBcosB=- 3cos2B ? tan2B=- 3 2π π ∵ 0<2B<π,∴ 2B= ,∴ 锐角 B= 3 3 π 5π (2)由 tan2B=- 3 ? B= 或 3 6 π ① 当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 3 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) ∵ △ ABC 的面积 S△ ABC= 1 3 acsinB= ac≤ 3 2 4

∴ △ ABC 的面积最大值为 3 5π ② 当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 6 4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立) ∴ ac≤4(2- 3) ∵ △ ABC 的面积 S△ ABC= 1 1 acsinB= ac≤ 2- 3 2 4

∴ △ ABC 的面积最大值为 2- 3 38. 【解析】 (Ⅰ )由 m ? n ?

9 5 9 2 A? B ? ,得 [1 ? cos( A ? B)] ? cos 8 8 2 8 5 1 ? cos( A ? B) 9 ? 即 [1 ? cos( A ? B)] ? 8 2 8
也即 4 cos(A ? B) ? 5 cos(A ? B) ∴4 cos A cos B ? 4 sin A sin B ? 5 cos A cos B ? 5 sin A sin B

∴9 sin A sin B ? cos A cos B

1 9 ab sin C ab sin C 1 1 ? ? ? tan C ? tan[ ? ? ( A ? B)] (2) 2 2 2 a ?b ?c 2ab cos C 2 2 1 1 tan A ? tan B ? ? ? tan( A ? B) ? ? ? 2 2 1 ? tan A ? tan B
∴tan A tan B ?

? tan A ? tan B ? 2 tan A ? tan B
1 2? 1 tan A ? tan B 1 2 tan A ? tan B 1 3 ??3 ?? ? ?? ? ?? ? 2 1 ? tan A ? tan B 2 1 ? tan A ? tan B 2 1? 1 8 9

39.

40

41.

42. 解法 1:依定义 f ( x) ? x 2 (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t ,

则f ?( x) ? ?3x 2 ? 2x ? t.

若f ( x)在(?1,1)上是增函数 , 则在(?1,1)上可设f ?( x) ? 0.
? f ?( x) ? 0 ? t ? 3x 2 ? 2 x, 在区间(?1,1)上恒成立, 考虑函数g ( x) ? 3x 2 ? 2 x, 1 由于g ( x)的图象是对称轴为 x? , 3
开 口 向 上 的 抛 物 线 , 故 要 使 t ? 3x 2 ? 2 x 在 区 间 ( - 1 , 1 ) 上 恒 成 立 ?

t ? g (?1),即t ? 5.

而当t ? 5时, f ?( x)在(?1,1)上满足f ?( x) ? 0,即f ( x)在(?1,1)上是增函数 .
故t的取值范围是 t ? 5.
解法 2:依定义 f ( x) ? x 2 (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t ,

f ?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? t. 若f ( x)在(?1,1)上是增函数 , 则在(?1,1)上可设f ?( x) ? 0.
? f ?( x) 的图象是开口向下的抛物线,

?当且仅当f ?(1) ? t ? 1 ? 0, 且f ?(?1) ? t ? 5 ? 0时
f ?( x)在(?1,1)上满足f ?( x) ? 0,即f ( x)在(?1,1)上是增函数 . 故t的取值范围是 t ? 5.
43. [解析](1)法一:由题意知 x=(

t2 ? 2 3 ?3 3t 2 ? 2 3 ? 2 , ), 2 2

y=(

1 3 t- 3 k, t+k),又 x⊥y 2 2 1 t2 ? 2 3 ?3 3t 2 ? 2 3 ? 2 3 ×( t- 3 k)+ ×( t+k)=0。 2 2 2 2 1 3 3 t - t. 4 4

故 x · y=
3

整理得:t -3t-4k=0,即 k=

法二:∵a=( 3 ,-1),b=(

1 3 , ), ∴. a =2, b =1 且 a⊥b 2 2

∵x⊥y,∴x · y=0,即-k a +t(t -3) b =0,∴t -3t-4k=0,即 k= t (2) 由(1)知:k=f(t) =

2

2

2

3

1 3 3 t- 4 4

1 3 3 3 3 3 t - t ∴kˊ=fˊ(t) = t - , 4 4 4 4

令 kˊ<0 得-1<t<1;令 kˊ>0 得 t<-1 或 t>1. 44. [解析] 仿例 3(1)解法(二)可得

k=

1 3 9 ( sinα - )2- ,而-1≤sinα ≤1, 4 2 16

∴当 sinα =-1 时,k 取最大值 1; 又∵k≠0
45.

sinα =1 时,k 取最小值-
(0,1] .
49.

1 . 2

1 ∴k 的取值范围为 [? , 0) 2
47. y 2 ? ?8x

5

46.

2 3 3
?

48. .抛物线

2
?

51. 3

52. 解:(1)? a = ( x ? 3)i ? yj , | b |= ( x ? 3)i ? yj ,且| a |+| b |=4.

?

?

?

?

?

?

? 点 P(x,y)到点( 3 ,0),(- 3 ,0)的距离这和为 4,故点 P 的轨迹方

程为 x ? y 2 ? 1 4 (2)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )依题意直线 AB 的方程为 y=x+m.代入椭圆方程,得
4 5x 2 ? 8m x ? 4m 2 ? 4 ? 0 ,则 x1 + x2 =- 8 m, x1 ? x2 = 5 (m2 ? 1) 5

2

因此, S ?AOB ?

1 2

AB d ?

2 5

(5 ? m 2 )m 2
10 2

当 5 ? m 2 ? m 2 时,即 m= ?

时, S max ? 1

53. 解: (1)设 P(x,y),则有 AP ? ( x ? 2 2, y) ∵ AP ? AB ?
2 2

AB ? ( 2,0)

BP ? ( x ? 2, y)

2? | AB | ? | BP | ∴ 2 x ? 4 ? 2 ? 2 ? ( x ? 2 ) 2 ? y 2

得: x ? 2 y ? 4

(2)由

x2 y2 ? ?1 4 2

得 Q (0, 2 ) 设直线 C 的方程为 y=kx-

2 3

代入 x2+2y2=4 得 (1+2k2) x2 ?

4 2 32 kx ? ?0 3 9

设 M(x1,y1) N(x2,y2)

QM ? ( x1 , y1 ? 2 ),QN ? ( x2 , y2 ? 2 )

∵ x1 ? x2 ?

4 2k 3(1?)k 2

x1 ? x2 ? ?

32 9(1 ? 2k 2 )

又∵ QM ? QN ? x1 x2 ? (kx1 ?

4 2 4 2 ) (kx2 ? ) 3 3

32 (1 ? k 2 ) 4 2 32 4 2 4 2k 32 2 k ( x1 ? x 2 ) ? ?? 9 ? k? ? ?0 = x1 x 2 (1 ? k ) ? 2 2 3 9 3 1 ? 2k 3(1 ? 2k ) 9
∴ QM ? QN ∴点 Q 在以 MN 为直径的圆上.

54. 解: (Ⅰ) a ? b ? 8 ? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 设 F1 (0, ?2), F2 (0, 2) ,则 MF1 ? MF2 ? 8 因此,点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点,长轴长为 8 的椭圆,其方程为 (Ⅱ)假设存在这样的直线,使得 OAPB 为矩形,并设 l : y ? kx ? 3 与椭圆方程联立得: (3k 2 ? 4) x2 ? 18kx ? 21 ? 0 (*) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1、x2 是(*)的两根, 且 x1 ? x2 ? ?
18k 21 , x1 x2 ? ? 2 2 3k ? 4 3k ? 4
A
l

x2 y 2 ? ?1 12 16

P

y

B

因为 OAPB 为矩形,故 OA ? OB 则 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , x1 x2 ? ?kx1 ? 3??kx2 ? 3? ? 0

O

x

?k

2

? 1 x1 x2 ? 3k ?x1 ? x2 ? ? 9 ? 0
21 k 2 ? 1 3 ? 18k 2 ? 2 ?9 ? 0 3k 2 ? 4 3k ? 4
?k ? ? 5 4 5 时,可使 OAPB 为矩形. 4

?

由此可得: ? 解得: k 2 ?
5 16

?

?

因此,当直线的斜率为 ?

55. 解: (1)设 C ( x, y ) ,由 OC ? tOM ? (1 ? t )ON 知,点 C 的轨迹为 y ? x ? 4 . (2)由 ?

?y ? x ? 4 2 消 y 得: x ? 12 x ? 16 ? 0 2 ? y ? 4x

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 x2 ? 16 , x1 ? x2 ? 12 , 所以 y1 y2 ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ?16 ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,于是 OA ? OB (3)假设存在过点 P 的弦 EF 符合题意,则此弦的斜率不为零,设此弦所在直线的方

程为 x ? ky ? m ,由 ?

? x ? ky ? m 消 x 得: y 2 ? 4ky ? 4m ? 0 ,设 E ( x3 , y3 ) , F ( x4 , y4 ) , 2 ? y ? 4x

则 y3 ? y4 ? 4k , y3 y4 ? ?4m . 因为过点 P 作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的 2 倍,所以 OE ? OF 即

y32 y4 2 ? y3 y4 ? 0 得 m ? 4 ,所以存在 m ? 4 . x3 x4 ? y3 y4 ? 0 ,所以 16
56. 解: (Ⅰ)设双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a ? 0, b ? 0).

由已知得 a ? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1.

故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. (Ⅱ)将 y ? kx ? 2代入 3
2 ? ?1 ? 3k ? 0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

2 即k ?

1 且k 2 ? 1. 3

① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则

xA ? xB ?

6 2k ?9 , xA xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2, 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ?1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? 2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1


于是

3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2, 即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1
1 ? k 2 ? 1. 3

由①、②得

故 k 的取值范围为 (?1, ?

3 3 ) ? ( ,1). 3 3


相关文章:
2015年全国高考真题专题五 平面向量
2015年全国高考真题专题五 平面向量_数学_高中教育_教育专区。前程教育 课题 ...3 3 3 3 【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数...
2015-1016年全国高考平面向量真题汇总
2015-1016年全国高考平面向量真题汇总_高考_高中教育_教育专区。2015-2016年平面...3 3 3 3 【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数...
2015年 数学高考真题汇编平面向量
2015年 数学高考真题汇编平面向量_高考_高中教育_教育专区。平面向量模块一 平面...【名师点睛】 本题主要考查向量的坐标运算, 向量的几何意义以及点到圆上点的...
2015高考向量综合题
3 . 3 平面向量高考题 一、选择题(x,1 ),b= 1. 已知平面向量 a= , ...2015国家公务员考试备战攻略 2015国考行测模拟试题及历年真题 2015国考申论押密试卷...
2015年高考数学理真题分类汇编:平面向量
2015高考数学理真题分类汇编:平面向量_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题...= ? AB ? AC ,故 3 3 3 3 【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面...
平面向量部分常见的考试题型
平面向量部分常见的考试题型_数学_高中教育_教育专区。高中平面向量常考重点题型。...驾考新题抢先版122份文档 2015小升初备考攻略 小学语文知识总结 2015小升初英语...
2015年高考数学试题分类汇编5专题五 平面向量
2015高考数学试题分类汇编5专题五 平面向量_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015高考数学试题分类汇编 5 专题五 平面向量 1. (15 北京理科) 在△ ABC ...
2015年高考数学理真题分类汇编:专题05 平面向量 Word版...
2015高考数学理真题分类汇编:专题05 平面向量 Word版含解析_高考_高中教育_...= ? AB ? AC ,故 3 3 3 3 【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面...
2015年高考数学理真题分类汇编:专题五 平面向量 Word版...
2015高考数学理真题分类汇编:专题五 平面向量 Word版含解析_高三数学_数学_...= ? AB ? AC ,故 3 3 3 3 【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面...
2015年高考数学真题分类汇编 专题05 平面向量 理
2015高考数学真题分类汇编 专题05 平面向量 理_高考_高中教育_教育专区。专题...3 3 3 3 【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数...
更多相关标签: