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数学思想与数学文化——第一讲 数学是什么


《数学思想与数学文化》

1 . 本课程的目的:
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1)揭示数学的真实面目;(是什么) 2)挖掘数学学与做的机制;(为什么) 3)探讨生产生活和科技领域的广泛应用 和在人文素养方面所产生的重要影响。 (做什么)

2 . 考试形式:
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1)平时成绩占30%(包括5次测试10分,出勤
20分,出勤不足1/3则以缺考论);

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2)期中成绩占20%(期中小论文);
3)期末成绩占50%(闭卷笔试或论文报告); 4)加分部分占10%(课堂演讲)。

《数学思想与数学文化》第一讲---

数学是什么

内容
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一.前言
二.数学是什么
1. 数学是一种语言,是一切科学的共同语言

2. 数学是一把钥匙,一把打开科学大门的钥匙 3. 数学是一种工具,一种思维的工具 4. 数学是一门艺术,一门创造性艺术

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三.数学的诸多定义 附:中国现象

一. 前言
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人们对“数学是什么”的问题经历了一个漫长 而艰苦的认识过程。 数学与人类文明共存,有人类文明,就必须有 数学。显然,对数学的认识随人类文明的进步 而不断深化。

前言
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恩格斯曾说:“数学是现实世界中的空间形式与数 量关系”。这说明数学的研究对象是“形”与 “数”。 近二三十年来,由于科学技术,特别是信息技术的 迅猛发展,产生了“混沌(Chaos)”、“分形几 何(Fractal Geometry)”等新的数学分支,而这 些内容已经超出一般意义下“形”与“数”的范畴。

二. 数学是什么 1. 数学是一种语言,是一切科学的共同语言
享有“近代科学之父”尊称的大物理学家伽利略(Galileo) 说过:“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的 大书,如不掌握数学符号语言,就像在黑暗的迷宫里游荡, 什么也认识不清。”由于在量子电动力学方面做出突出贡 献于1965年获得了Nobel奖的物理学家理查德· 费格曼 (Richard Fegnman)曾说过:“若是没有数学语言,宇宙 似乎是不可描述的。” ? 例子 1)牛顿(Issac Newton):微积分学---万有引力定律。 2)爱因斯坦(Albert Einstein): Riemann几何---广义相对论。 3) 伽罗瓦(Galois):群论---统一能量守恒定律、动量守恒 定律、电荷守恒定律等。
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2.数学是一把钥匙,一把打开科学大门的钥匙
在17世纪工业革命时代,弗· 培根(F .Bacon)曾提出“知 识就是力量”的响亮口号,同时还说“数学是打开科学大 门的钥匙”。 ? 例子: 1)马克斯威尔(Maxwell)方程--电磁波理论---现代的通讯 技术; 2)纳维-斯托克司(Navier-stokes)方程---流体力学的理论 基础---航空学; 3)数理逻辑和量子力学---现代的电子计算机; 4)Newton万有引力定律(含行星运动三大定律)---天文学、 物理学和其他自然科学; 5)微积分学---力学和现代的科学技术。
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物理学家伦琴发现X射线而成为1901年开始的Nobel物理 学奖的第一位获奖者,当有人问他需要什么时,他的回 答是:“第一是数学,第二是数学,第三是数学。”
对计算机做出了划时代贡献的冯· 诺伊曼(Von Neumann) 认为:“数学处于人类智能的中心领域...,数学方 法渗透支配着一切自然科学的理论分支,它已愈来愈成 为衡量成就的主要标志。” 马克思也说:“一门科学只有当它达到能够成功地运用 数学时,才算真正发展了。”

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3.数学是一种工具,一种思维的工具
从哲学的观点来看,任何事物都是量和质的统一体,都 有自身量的方面的规律,不掌握量的规律,就不可能对 各种事物的质获得明确的、清晰的认识,而数学正是一 门研究量的科学,它不断地在总结和积累量的规律性, 因而必然成为人们认识世界的有力工具。 ? 例子 1) 晶体结构(1985年Nobel化学奖) 2)人体器官的三维图像(CT扫描,核磁共振成像, 1979年Nobel 生理学和医学奖) 3) 数据压缩技术(Yale大学的研究成果,通讯技术的 重大突破) 4) 一般均衡理论(1972年Nobel 经济学奖)
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4.数学是一门艺术,一门创造性艺术
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美国近代数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)说:“数学是 创造性艺术,因为数学家创造了美好的新概念;数学是创 造性艺术,因为数学家像艺术家一样地生活,一样的思索; 数学是创造性艺术,因为数学家这样对待它。” 1979年美国出版一本轰动世界获得普利策大奖的书《GEB--一条永恒的金带》(这本书指出有一条永恒的金带把数理逻辑、绘画、音乐
等不同领域间的共同规律连在一起, 构成了人工智能和生命遗传机制的基础 )。

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数学家和文学家、艺术家在思维方法上是共同的,都需要 抽象,也都需要想象和幻想。“美”是艺术家所追求的一 种境界。其实,“美”也是数学中公认的一种评价标准。 当数学家创造了一种简化的证明,找到一种新的应用时, 就会在内心深处获得一种美的享受,数学中的“美”是体 现在简洁性、对称性、和谐性、奇异性上的。

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著名数学家庞加莱曾说:“科学家研究自然是因为他爱自然, 他之所以爱自然,是因为自然是美好的。如果自然不美,就 不值得理解,如果自然不值得理解,生活就毫无意义。当然 这里所说的美,不是那种激发感官的美,也不是质地美和表 现美......我说的是各部分之间有和谐秩序的深刻美, 是人的纯洁心智所能掌握的美。” 数学能陶冶人的美感,增进理性的审美能力。一个人数学造 诣越深,越是拥有一种直觉力,这种直觉力实际上就是理性 的洞察力,也是由美感所驱动的选择力,这种能力有助于使 数学成为人们探索宇宙奥秘和揭示规律的重要力量。正如德 国数学家皮索特和萨马斯基在合著的《普通数学》中所说: “数学是艺术又是科学,它也是一种智力游戏,然而它又是 描绘现实世界的一种方式和创造现实世界的一种力量。”

三.数学的诸多定义
1)哲学说 2)符号说 3)科学说 4)工具说 5)逻辑说 6)创新说 7)直觉说 8)集合说 9)结构说(关系说) 10)模型说 11)活动说 12)精神说 13)审美说 14)艺术说
15)万物皆数说

15个“定义” 来自: ---方延明 《数学文化导论》 南京大学出版社 1999

哲学说
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亚里士多德:“新的思想家把数学和 哲学看作是相同的。” 来自古希腊,亚里士多德、欧几里得 等人。 《几何原本》:点是没有部分的那种东西; 线是没有宽度的长度。
牛顿在《自然哲学之数学原理》的序言中说,他是把这本书 “作为哲学的数学原理的著作”,“在哲学范围内尽量把数 学问题呈现出来”。

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---哲学是研究最广泛的事物,数学也是研究最广泛 的事物,这是它们的共同点。但是,数学与哲学的 研究对象不同,研究方法也不同.两者虽有相似之处, 但数学不是哲学的一部分, 哲学也不是数学的一部分。 ---现在有人说“哲学从一门学科中退出,意味着这 门学科的建立;而数学进入一门学科,就意味着这 门学科的成熟。”

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符号说:数学是一种高级语言,是符号的世界。
科学说:数学是精密的科学,“数学是科学的 皇后”。 工具说:“数学是其它所有知识工具的源泉”。 逻辑说:数学推理依靠逻辑,“数学为其证明

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所具有的逻辑性而骄傲。”

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创新说:数学是一种创新,如发现无理数,提
出微积分,创立非欧几何。 直觉说:数学的基础是人的直觉,数学主要是 由那些直觉能力强的人们推进的。 集合说:数学各个分支的内容都可以用集合论

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的语言表述。
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结构说(关系说):强调数学语言、符号的结构

方面及联系方面,“数学是一种关系学”。

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模型说:数学就是研究各种形式的模型,如微
积分是物体运动的模型,概率论是偶然与必然 现象的模型,欧氏几何是现实空间的模型,非 欧几何是非欧空间的模型。 活动说:“数学是人类最重要的活动之一”。

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精神说:“数学不仅是一种技巧,更是一种精神,
特别是理性的精神。”

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审美说:“数学家无论是选择题材还是判断能
否成功的标准,主要是美学的原则。” 艺术说:“数学是一门艺术。” 万物皆数说:数的规律是世界的根本规律,一 切都可以归结为整数与整数比。

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附:中国现象
---大学校长是综合素质比较好的学者;
众多大学校长都是数学教授,这也说明数

学教育对人的综合素质的提高,影响很大。 ---有些人把它叫做有趣的中国现象。

作为数学教授的大学校长
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丁石孙——北京大学 苏步青——复旦大学 谷超豪——中国科大 潘承洞——山东大学 齐民友——武汉大学 伍卓群——吉林大学 侯自新——南开大学 李岳生——中山大学 曹策问——郑州大学 杨思明——湘潭大学 展 涛 ——山东大学

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黄达人——中山大学 吴传喜——湖北大学 周明儒——徐州师大 王梓坤——北师大 陆善镇——北师大 王建磐——华东师大 史宁中——东北师大 路 钢——华中师大 邱玉辉——西南师大 王国俊——陕西师大 庾建设——广州大学 房灵敏——西藏大学

丁石孙:北京大学校长(1984-1989)
全国人大常委会副委员长, 民盟中央名誉主席。汉族, 1927年9月生,江苏镇江人, 民盟成员、中共党员,1950 年参加工作,清华大学数学 系毕业,大学学历,教授。 专长:代数、数论。
(在北京大学一百多年的校史上,第26任 校长丁石孙并不算是非常著名的人物。但 是北大著名的学者季羡林在百年校庆时, 曾在报上发表过这样一句感慨,他说在北 京大学的历史上,有两位校长值得记住, 一位是被称为“北大之父”的蔡元培,另 一位就是丁石孙。 )

苏步青,复旦大学校长(1978-1983)
1902年生于浙江,2003年卒 于上海。中国科学院院士。他 是国际公认的几何学权威,我 国微分几何学派的创始人。早 在20年代,他的仿射不变的四 次(三阶)的代数锥面,被命 名为苏锥面。他的仿射微分几 何的高水平工作,至今在国际 数学界仍享有很高的评价。

谷超豪,中国科技大学校长(1988-1993)
1926年生于浙江温州。1948年毕 业于浙江大学数学系,1953年起 在复旦大学任教,1957年赴前苏 联莫斯科大学进修,获科学博士 学位。历任复旦大学副校长和中 国科技大学校长。1980年当选为 中国科学院数学物理学部委员。 专长偏微分方程、微分几何和数 学物理。
(妻子胡和生均为中科院院士,苏步青学生。2010 年国家最高科技奖获得者。数学人生:一生尝尽 数学的深奥与抽象。)

潘承洞,山东大学校长(1986-1997)
1934出生,江苏省苏州市人。1997年 12月27日在济南病逝。中国科学院院 士。1981年与其胞弟潘承彪合作编著 的《哥德巴赫猜想》一书,为世界上 第一本全面系统地论述哥德巴赫猜想 研究工作的专著;1982年与王元、陈 景润共同以哥德巴赫猜想的研究成果 获国家自然科学一等奖。
(其专长于解析数论的研究,尤以哥德巴 赫猜想研究著名,与当代著名数学家华罗 庚、王元、陈景润一起成为中国数论派的 代表。)

展涛,山东大学校长(2000-2008)
回族,1963年4月出生,山东兖州 人,中共党员,理学博士,教授, 博士生导师。1979年9月入山东大 学数学系学习;1987年留校。1991 年1月至1992年12月获德国洪堡基 金会奖励基金,赴德国弗莱堡大学 从事合作研究;1993年4月任山东 大学数学系副主任;1995年3月任 山东大学副校长;1996年12月任山 东大学党委常委、副校长;2000年 7月任山东大学党委常委、校长。 2008年11月任吉林大学校长。

周明儒,徐州师范大学校长(1996—2002)
1963年毕业于徐州师范学院数 学系并留校任教,1980—1981 年在南京大学数学系进修; 1987—1988年在美国密歇根州 立大学数学系访问研究;1993 年8—9月在中国科学院数学研 究所访问研究。1992—1995年 任徐州师范学院副院长; 1996—2002年任徐州师范大学 校长。2001年至今任江苏省数 学会副理事长。

王梓坤,北京师范大学校长(1984-1989)
1929年4月生,江西吉安县人。 1952年毕业于武汉大学数学系。 1955年考入苏联莫斯科大学数学 力学系做研究生,师从于数学大 师 A.N. Kolmogorov和 R. L. Dobrushin, 1952年起先后任南开 大学讲师、教授。1984年以来任 北京师范大学教授。1991年当选 为中国科学院院士。王梓坤是我 国概率论研究的先驱和主要领导 者之一。

世界数学年

2000年是联合国宣布的“世界数学 年”,联合国教科文组织指出: “纯粹数学与应用数学是理解世界 及其发展的一把主要钥匙。”

本节结束
谢谢


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