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【随堂优化训练】2014年数学(人教a版)必修5配套课件:2.2.1 等差数列的定义及通项公式


2.2 等差数列
2.2.1 等差数列的定义及通项公式

【学习目标】
1.通过实例,理解等差数列的概念. 2.探索并掌握等差数列的通项公式.

3.体会等差数列与一次函数的关系.

1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从________ 第 2 项 起,每一项与它的前一 常数 ,那么这个数列

就叫做等差数列, 项的差等于同一个________ 公差 ,通常用字母 d 表示. 这个常数叫做等差数列的________ 练习 1:在等差数列{an}中,a2=-5,d=3,则 a1=( B ) A.-9 B.-8 C.-7 D.-4

2.等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通项

an=a1+(n-1)d . 公式是________________
练习 2:在等差数列{an}中,a1=-5,d=3,则 a10=_____. 22

【问题探究】 1.利用通项公式求第 n 项需要哪些条件?

答案:首项、项数和公差.
2.如何理解等差数列通项公式和一次函数之间的关系? 答案:通项公式 an=nd+(a1-d)是关于 n 的一次函数,n

是正整数.

题型 1 等差数列中的基本运算 【例1】 在等差数列{an}中, (1)已知a1=2,d=3,n=10,求a10; (2)已知a1=3,an=21,d=2,求n; (3)已知a5=11,a8=5,求a1,d,an;

1 (4)已知 d=-2,a7=18,求 a1.

思维突破: 由通项公式 an = a1 + (n - 1)d ,在 a1 , d , n , an四个量中,可由其中任意三个量求第四个量.
解:(1)a10=2+(10-1)· 3=29.
? ?· n - 1 (2)由 21=3+ ? 2,解得 n=10. ? ? ?

? ?a1+4d=11, (3)由等差数列的通项公式及已知,得? ? ?a1+7d=5. ? ?a1=19, ? ? ?d=-2.

解得

所以 an=19+(n-1)(-2),即 an=-2n+21.
? 1? a7=a1+(7-1)?-2?=18,解得 ? ?

(4)已知

a1=21.

【变式与拓展】

1.数列{an}的通项公式 an=3n+5,则此数列( A )
A.是公差为 3 的等差数列

B.是公差为 5 的等差数列
C.是首项为 5 的等差数列 D.是公差为 n 的等差数列

2.-401 是不是等差数列-5,-9,-13,?的项?如果
是,是第几项? 解:等差数列的通项公式为 an=-4n-1.

∵-4n-1=-401,∴n=100.
∴-401 是等差数列-5,-9,-13,?的第 100 项.

题型 2 求等差数列的通项公式 【例 2】 在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12=31,求它

的通项公式.
思维突破:给出等差数列的任意两项,可转化为关于 a1 与

d 的方程组,求得 a1 与 d,从而求得通项公式.
解:方法一:由 an=a1+(n-1)d,得
? ?10=a1+4d, ? ? ?31=a1+11d. ? ?a1=-2, 解得? ? ?d=3.

∴等差数列的通项公式为 an=3n-5.

方法二:由an=am+(n-m)d,得 a12=a5+(12-5)d=a5+7d,即31=10+7d.∴d=3. ∴an=a5+(n-5)d=10+(n-5)×3=3n-5. ∴等差数列的通项公式为an=3n-5. 求等差数列的通项公式:①确定首项 a1 和公差

d,需建立两个关于 a1 和 d 的方程,通过解含 a1 与 d 的方程求
得 a1 与 d 的值;②直接应用公式 an=am+(n-m)d 求解.

【变式与拓展】 3.已知数列{an}满足 a1=2,an+1=an-1(n∈N),则数列

的通项 an=( D )
A.n2+1 C.1-n B.n+1 D.3-n

4.已知数列{an}为等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12. 求数列{an}的通项公式. 解:由 a1+a2+a3=12,得 3a2=12,即 a2=4.

∴d=a2-a1=2.∴an=2n.

【例 3】 判断下列数列是否是等差数列. (1)an=4n-3; (2)an=n2+n. 易错分析:易用特殊代替一般,验证前几项后就得出结论, 等差数列在定义中的要求是“任意的后一项与前一项的差是常 数”,不是“确定的后一项与前一项的差是常数”.

解:(1)∵an+1-an=[4(n+1)-3]-(4n-3)=4, ∴{an}为等差数列. (2)由an=n2+n知:a1=2,a2=6,a3=12,a2-a1≠a3 -a2. ∴{an}不是等差数列.

[方法· 规律· 小结] 1.用好等差数列的定义与掌握好等差数列的通项公式是关

键,在写等差数列通项公式时,要注意 n 的取值范围.
2.等差数列常见的判定方法. (1)定义法:an+1-an=d(常数).

(2)通项公式为 n 的一次函数:an=kn+b(k,b 为常数).
3.题设中有 3 个数成等差数列时,一般设这 3 个数为 a-

d,a,a+d.若 5 个数成等差数列,一般设为 a-2d,a-d,a, a+d,a+2d.有时也可直接设为等差数列的通项形式,具体问
题具体分析,设的目的是便于计算,要灵活选择设的方法. 4.等差中项有广泛应用,要准确理解其含义.


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