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2.2.1-2《换底公式及应用》 课件(新人教版必修1)


2.2.1-2

对数与对数运算

第二课时

换底公式及应用

泰安十九中 王振河

课前复习
1、对数的定义: 如果ax=N(a>0,a≠1)那么数x叫做以a为底 N的对数。 记作: x=logaN , 其中a叫做对数的底数,N叫做真数, x=logaN叫做对数式. 常用对数:log10N=lgN 自然对数:logeN=lnN

课前复习
2、指数式和对数式的联系:
指数
x

对数



真数

log a N ? x(a>0且a ? 1) a ? N?
底数 底数

3.对数运算有哪三个常用结论? (1)loga a ? 1; (2) log a 1 ? 0 ; log N (3) a ? N.
a
.

4、求值: (1)log525; (3)lg1000; (5)log981;

2

1 (2) log 2 16

?4

3
2

(4)lg0.001; (6)log2.56.25; (8)log3243。

?3
2

(7)log7343; 3

5

5、 (1) 给出四 个等式:

1) lg(lg10) ? 0; 2) lg(ln e) ? 0; 3)若lgx=10,则x=10; 4)若lnx=e,则x=e
2

1) ,2) 其中正确的是________ ⑵ ⑶ ⑷

log 3 1 ? log 3 3 ? log 3 27 ?4 ln e ? lg100 ?3 7 lg14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg18 ? ? 3

新课:

1、对数的运算性质

如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga MN ? loga M ? loga N ⑴

M log a ? log a M ? log a N N n loga M ? n loga M (n ? R)
语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍

P65例3、例4 练习p68 T1、T2、T3

知识探究(一):对数的换底公式

log2 5 ? x log2 3 ? log2 3 ,从而有 3 ? 5 . 进一步可得到什么结论?
x

log 2 5 ? x ,则 思考1:假设 log 2 3

x

log2 5 x ? log3 5,即 ? log3 5 log2 3

思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗? lg 3 能 . log2 3 ? lg 2

思考3:一般地,如果a>0,且a≠1; c>0,且c≠1;b>0,那么 与哪个 对数相等?如何证明这个结论?
logc b 结论 : ? loga b logc a
logc b 证明 :令 ? x ? logc b ? x logc a logc a
logc b ? ? loga b logc a

log c b log c a

? logc b ? logc a x ? b ? a x ? x ? loga b

log c b 思考4:我们把 log a b ? log c a

(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) 叫做对数换底公式,该公式有什么特征?

一个对数可以用同底数 的两个对数的商来表示

思考5:通过查表可得任何一个正数的常用

18 对数,利用换底公式如何求log1.01 的值? 13 18 lg 18 lg 18 ? lg 13 13 log1.01 ? ? 13 lg 1.01 lg 1.01

思考6:换底公式在对数运算中有什么意 义和作用? 可以利用以10为底的对数的 值来求任何对数值

知识探究(二):换底公式的变式

思考1:loga b 与 logb a 有什么关系? 互为倒数 思考2: logan N 与 log a N 有什么关系?
log a n 1 N ? log a N n

思考3: (loga M ) ? (loga N ) 可变形为什么?

logN M

对数换底公式

logm N loga N ? logm a
( a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0)

两个推论:

设 a, b > 0且均不为1,则

1) loga b ? logb a ? 1
n 2) log am b ? log a b m
n

例题与练习
例1、计算:
1)

log8 9 ? log27 32
1?log0.2 3
4

2) 5
3)

log4 3 ? log9 2 ? log1 32
2

练习:P68

T4

例2.已知

log2 3 ? a, log3 7 ? b

用a, b 表示 log42 56

1.求值:

(log2 5 ? log4 0.2)(log5 2 ? log25 0.5)
2.若 log3 4 ? log4 8 ? log8 m ? log4 2 ,求m 3.若log
8

3=p,

log

3

5=q ,

用p,q表示 lg 5

例3 计算: (1) log8 9 ? log27 32 ;
lg 9 lg 32 2 lg 3 5 lg 2 解 : 原式 ? ? ? ? lg 8 lg 27 3 lg 2 3 lg 3 10 ? 9

(2).(log2 125? log4 25 ? log8 5) ? (log5 2 ? log25 4 ? log125 8)
lg125 lg 25 lg 5 解 : 原式 ? ( ? ? )? lg 2 lg 4 lg 8 lg 2 lg 4 lg 8 ( ? ? ) lg 5 lg 25 lg125

3 lg 5 2 lg 5 lg 5 lg 2 2 lg 2 3 lg 2 ?( ? ? )?( ? ? ) lg 2 2 lg 2 3 lg 2 lg 5 2 lg 5 3 lg 5
13lg 5 3 lg 2 ? ? ? 13 3 lg 2 lg 5

例4 20世纪30年代,里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量 地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记 录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们 常说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA- lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅,A0是 “标准地震”的振幅(使用标准振幅是为了 修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20, 此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地 震的震级(精确到0.1);

解: (1) M ? lg 20 ? lg 0.001
20 4 ? lg ? lg 20000? lg 2 ? lg10 0.001 ? 4.3.

因此,这是一次约为里氏4.3 级的地震.

例4 20世纪30年代,里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量 地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准 地震”的振幅(使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差). (2)5级地震给人的震感已比较明显,计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅 的多少倍(精确到1).

解:(2)

由M ? lg A ? lg A0可得
A A M ? lg ? ? 10M ? A ? A0 ?10M . A0 A0

当M=7.6时,地震的最大振幅为 A1 ? A0 ?10

7.6

当M=5时,地震的最大振幅为 A2 ? A0 ?10
所以,两次地震的最大振幅之比是
A1 A0 ?10 7.6?5 2.5 ? ? 10 ? 10 ? 398. 5 A2 A0 ?10
7.6

5

答:7.6级地震的最大振幅大约是5级地 震的最大振幅的398倍.

例5 生物机体内碳14的“半衰期”为 5730年,湖南长沙马王堆汉墓女尸出 土时碳14的残余量约占原始含量的 76.7%,试推算马王堆古墓的年代. 解答过程见教科书P67页.


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