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2.4。一元二次不等式的解法(1)


本节课学习内容:

2.3 一元二次不等式解法(1)
学习目标:
要求同学们: 1、理解二次函数和一元二次不等式的有关概念; 2、掌握求解一元二次不等式 (△> 0) 的解集的方法。

一、一次函数 y = ax + b 和一次方程 和一次不等式 的关系:

设一次函数 y = ax + b

( a > 0 ) (1) 令 y = 0 得方程:ax+ b = 0, 方程的解为 { x| x = x0 }
说明 直线和 x 轴的交点坐标为 (x0 , 0) x0

y ? ax ? b

(2) 令 y > 0得不等式:ax + b > 0, 不等式的解集为{ x | x > x0 }

说明 不等式 ax + b > 0 的解集是函数y = ax + b ( a > 0 )的
图像在 x 轴上方部分的自变量 x 的取值范围是{ x | x > x0 } (3) 令 y < 0得不等式:ax + b < 0, 不等式的解集为{ x | x < x0 }

说明 不等式 ax + b < 0 的解集是函数y = ax + b ( a > 0 )的
图像在 x 轴下方部分的自变量 x 的取值范围是{ x | x < x0 }

练 习:
1、已知函数 y = 3x + 9 , 求当 x 为何值时, y = 0; y > 0;y < 0。 (1) 令 y = 0 得:3x + 9 = 0, x = - 3 ∴方程 3x + 9 = 0 的解集为{ x | x = -3 } 即 直线和 x 轴的交点坐标为 (-3 , 0) (2) 令 y > 0得:3x + 9 > 0, x > - 3 ∴不等式 3x + 9 > 0 的解集为{ x | x > -3 } (3) 令 y < 0得:3x + 9 < 0, x < - 3 ∴不等式 3x + 9 < 0 的解集为{ x | x < -3 } 2、解下列不等式: (1) 4 x ? 3 ? 0 由 4x + 3 ≤ 0

即 : (?3, ??) 即 : (??, ?3)

(2)? 6 x ? 1 ? 0

3 ? 不等式的解集为 : {x | x ? ? } 4

3 得: x ? ? 4

1 即: x ? 6 1 ? 不等式的解集为 : ( ,??) 6

由 – 6x + 1 < 0 得 6x - 1 > 0

复习与一元二次不等式有关的知识:
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)在什么情况下有解? 判别式: △= b2 - 4ac ≥ 0 方程有解 2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式是:

x1、2

? b ? b 2 ? 4ac ? 2a
当a<0时,抛物线开口向下,

3、二次函数y = ax2 + bx+c 的图像是什么曲线? 是一条抛物线 当a>0时,抛物线开口向上

0 x1

x2

0x

1

x2

练 习

△= b2 - 4ac ≥ 0

x1、2

1、求下列方程的根: △= (-1)2 – 4×1×(-2)=9 =32> 0 (1) x2 – x – 2 =0
∵ (x-2)(x+1)=0
∵ (x-2)(2x+1)=0 ∴x=2或x=-1

? b ? b 2 ? 4ac ? 2a

(2) 2x2 – 3x – 2 =0 △= (-3)2 – 4×2×(-2)=25 =52> 0
∴x=2或x=-1/2 (3) 4x2 - 5x + 1=0 △= (-5)2 – 4×4×1=9 =32> 0 ∵ (4x-1)(x-1)=0 ∴x=1/4或x=1

(4) x2 – 25=0 ∵ x2=25 ∴x=5或x=-5 (5) x2 – 3x – 2 =0 ∵△= 32 – 4×1×(-2) =9+8=17> 0
x1、2 ? (?3) ? 17 ? 2 ?1

3 ? 17 ? x1 ? 2

3 ? 17 x2 ? 2

1、一元二次不等式的概念
含有一个未知数且未知数的最高次数为二次的不等式 称为一元二次不等式。 它的一般形式是: ax2 + bx + c > (≥) 0( a ≠ 0) ax2 + bx + c < (≤) 0 ( a ≠ 0)
2、下面研究不等式:ax2 + bx + c > (或<) 0 (其中a > 0) 的解法 观察函数 y = ax2 + bx+c (a>0) 的图像 图象是一条开口向上的抛物线
当y=0时

ax2 + bx+c =0的解为: {x|x=x1 或 x = x2}
当 y > 0 时 ax2 + bx+c >0的解集为:

0 x1

x2

{x| x<x1 或 x > x2}
当 y < 0 时 ax2 + bx+c < 0的解集为:

{x|x1 <x < x2}

3、一元二次不等式的解法的步骤:
ax2 + bx + c > 0( a > 0) ax2 + bx + c < 0 ( a > 0) 步骤: (1) 二次项系数化为正数; (2) 令:ax2 + bx + c = 0 (3) 计算 △= b2 - 4ac > 0 (4) 求出方程的根。 可由因式分解或求根公式:
x1、2 ? b ? b 2 ? 4ac ? 2a ( x1 ? x2 )

(5)写出结论:ax2 + bx+c > 0的解集为:

{x\ x<x1 或 x > x2}。也可以写成 (- ∞,
ax2 + bx+c < 0的解集为:

x1) ∪(x2,+ ∞)

{x\ x1 <x < x2} 。也可以写成 ( x1 ,x2)

例题
例一、解不等式 (1) x2 – x – 12 > 0 解:令:x2 – x – 12 = 0
因为△= (-1)2 - 4 ×1×(-12)= 49 >0 由方程 x2 – x – 12 = (x- 4)(x+3) = 0 得 x1 = - 3 x2 = 4
-3 0 4

(2 )

x – x2+ 12 > 0

(1) 不等式 x2 – x – 12 > 0 的解集是 {x |x< - 3或 x > 4} x

即 (- ∞,-3) ∪(4,+ ∞)
(2) ∵a = - 1 < 0,∴两边乘以-1得 x2 – x – 12 < 0 其解集是 {x | - 3< x < 4} 即 ( - 3, 4 )

? 例二、解不等式

3x - x2 + 10≥ 0

解:∵a=-1<0 ∴原不等式变形为: x2 - 3x -10 ≤ 0 因为 △=(-3)2 - 4×1 ×(-10) = 49 = 72 > 0, 由 x2 - 3x-10 = (x- 5)(x+2) = 0 的解是:
-2

x1 = - 2

x2 = 5

0

5

x

所以,原不等式的解集是 {x |-2≤x≤5} 即 [ -2, 5 ]

练 习
1、解下列不等式:x2 – x – 6 > 0
解:不等式解集为 {x |x< -2 或 x > 3 }, 即 (- ∞,-2) ∪(3,+ ∞)

2、解下列不等式:2x2 – 3x – 2 ≥0
解: 不等式 的解集为{ x | x≤ -1 /2 或 x≥ 2 } 即 (- ∞,-1/2]∪[2,+ ∞)

3、解不等式:- 4x2 + 5x – 1 > 0
解:原不等式变形为: 4x2 - 5x + 1 < 0 所以原不等式的解集为: {x |1 / 4 < x <1}, 即(1/4,1)

4、解不等式:x2 ≤25
解:原不等式的解集为 {x | - 5 ≤ x ≤ 5} , 即 [ - 5,5 ]

小 结:
本节主要学习了一元二次不等式 (△= b2 - 4ac > 0) ax2 + bx + c > 0 或 ax2 + bx + c < 0 (其中a>0) 的解法: 步骤:(1) 二次项系数化为正数;
(2) 令:ax2 + bx + c = 0 (3) 求出 △= b2 - 4ac > 0 (4) 由因式分解或求根公式求出方程的根 (5) 写出结论。 作业: 课本第33页 习题 2.3 A 组 第 1 (1)(2) (4)(6) 题 一元二次不等式的解法(2) .

下节课学习课本第 31-33 页:2.3 请同学们预习

1、解下列不等式:x2-x-2>0 解:由 x2 – x – 2 = 0 得 判别式 △=(-1)2 - 4×1×(-2)= 9 > 0 解得: x1= -1,x 2 = 2 ∴ x2- x – 2 > 0 的解集为 { x | x< - 1 或 x > 2 } 即 (- ∞,-1) ∪(2,+ ∞) 2、解下列不等式:2x2-3x-2≥0 解:由题 2x2 – 3 x – 2 = 0得 判别式 △=(- 3)2 – 4 ×2× (-2) = 25 >0 解得 x1 = - 1 / 2,x2 = 2 ∴ 2x2 - 3 x – 2 ≥0 的解集为{ x | x< -1 /2 或x<2 } 即 (- ∞,-1/2]∪[2,+ ∞)

3、解不等式:- 4 x2 + 5x-1>0 解:将原不等式变形为: 4x2 - 5x + 1< 0 由4x2 - 5 x + 1 = 0得判别式 △=(-5)2 – 4 ×4×1= 9 >0 方程的解为:x1= 1/4,x2 = 1 ∴ 4x2 – 5 x + 1 > 0的解集为: {x |1/4<x<1}, 也可以写为 (1/4 , 1) 4、解不等式:x2≤25

解:将原不等式变形为:x2 – 25 ≤ 0 由x2 – 25 = 0 得判别式 △ =02- 4 × 1 ×(-25)=100> 0 方程的解为: x1= - 5,x2 = 5 ∴ X2 - 25 ≤0 的解集为 {x | - 5 ≤ x ≤ 5}, 也可以写为 [ - 5,5 ]


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