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圆的一般方程
一、[复习与回顾]

圆的标准方程的形式是怎样的?

2 ? ( y ? b) 2 ? 2 ( x ? a) r
展开,得:x ? y ? 2ax ? 2by ? (a ? b ? r ) ? 0
2 2 2 2 2

令 ? 2a ? D,?2b ? E , a ? b ? r ? F
2 2 2

即:x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

思 考:
反过来想一想,形如x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

的方程所表示的曲线是不是圆?

判断以下方程是不是圆的方程 ()x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 1
2 2

(2) x ? y ? 2 x ? 4 y ? 5 ? 0
2 2

(3) x ? y ? 2 x ? 4 y ? 6 ? 0
2 2

①是

②不是

③不是

二、导入新课
所表示的轨迹

哦!这 样啊!

要认 真哦

分析方程x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

配方可得 D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F (x ? ) ?(y ? ) ? 2 2 4 (*)

(1)当D2 ? E 2 ? 4F ? 0时,方程 ( * )表示以 D E 1 ( ? , )为圆心, D 2 ? E 2 ? 4F为半径的圆 ? 2 2 2

(2)当D2 ? E 2 ? 4F ? 0时,方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0只有实 D E 数解x ? ? ,y ? ? ,表示一个 2 2 D E 点( ? , ). ? 2 2

(3)当D2 ? E 2 ? 4F ? 0时,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0没有
2 2

实数解,因而不表示任何图形.

1、圆的一般方程的概念 当D 2 ? E 2 ? 4F ? 0时,方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0称为

圆的一般方程.即:
2

? ? ? x y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? 2 2 ? D ? E ? 4F ? 0 ?
2

2、例题示范
例.下列方程各表示什么图形?若是圆则求出圆心、 半径.

(1)2 x ? 2 y ? 4 x ? 12y ? 1 ? 0
2 2

()x ? y ? 2ax ? 0(a ? 0) 2
2 2

解:)由2 x 2 ? 2 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 1 ? 0 (1 1 得x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? ? 0 2 21 2 2 即:(x ? 1) ? ( y ? 3) ? 2 故它表示以( 1 3 ?, )为圆心, 42 为半径的圆 2

(2)由x 2 ? y 2 ? 2ax ? 0 得(x ? a) 2 ? y 2 ? a 2 ? 0 故它表示以( a, o)为圆心,为半径的圆 ? a

例4.求过三点o(0,0),M(1,1),N(4,2) 的圆的方程,并
求出这个圆的半径和圆心坐标. 待定系数法的步骤:1、设方程(标准方程或一 般方程)2根据条件列出关于待定系数的方程组 3、解方程组,求出系数,写出方程。
? ? Dx ? Ey ? F ? 0 解:设所求圆的方程为: ?F ? 0 ? D ? ?8 ? ? ?D ? E ? F ? 2 ? 0 E?6 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 解这个方程组,得 ? ?F ? 0 ? 故所求的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? 8 x ? 6 y ? 0 ?

x

2

y

2

又由x 2 ? y 2 ? 8 x ? 6 y ? 0得:(x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 所以圆心为(, 3 4 ? ),半径为5

例5 已知线段AB的端点B的坐标是 (4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运 动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
y B

A
o

M x

[圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较]
(1).若已知圆上任意三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般 方程用待定系数法求解. (2)若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较 简单.

求过三点O(0,0),M(8,0),N(0,-6)的圆 的方程? y
x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0

0
N

.

M

x

OM x ?y 1 1 由题意,得: ? 即 ? 3用坐标表示列出方 OA 2 2 ( x ? 3) 2 ? y 2 程 4化简 化简,得:x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0这就是所求曲线方程 2 2 2 2 5证明

例 3 . 已 知 一 曲 线 是 与 定 点 O ( 0 ,, )( 3 , 0 ) 距 离 的 两个 0A 1 比为 的点的轨迹,求此的方程,并画出曲线. 曲线 2 1设点 解:设点M(x,y)为曲线上任一点 2写出点的集合 2 2

由x ? y ? 2 x ? 3 ? 0得(x ? 1) ? y ? 4 它是以(? 1 0 , )为圆心, 2为半径的圆

研究:若比值不是0.5,而是其它的正数, 比如是1,图形是什么呢 ? 那 2呢? 任意正数K呢?

课 时 小 结
圆的方程

圆心和半径

知a、b、r

(x-a)2+(y-b)2=r2
配 方 展 开

X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F D2+E2-4F>0

(四)本节课用的数学方法和数学思 想方法:
①数学方法: 配方法 (求圆心和半径).
待定系数法

②数学思想方法:
(ⅰ)分类讨论的思想 (ⅱ)方程的思想


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