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浙江省开化中学2013-2014学年高一9月开学检测数学试题(创新班)


开化中学 2013 年 9 月开学检测试卷 高一创新班数学试卷
命题人: 张小臣 2013 年 6 月

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? x x ? 2 ,则下列四个关系中正确的是( A. 1 ? A B. 1 ? A C. 1 ? A

?

?

) D. ?1? ? A

2.某城市为保护环境,维护水资源,鼓励市民节约用水,作出如下规定:每 月用水量不超过 8 吨,按每吨 2 元收取水费;每月超过 8 吨,超过部分加 倍收费.某家庭某月缴费 20 元,则该家庭这个月实际用水( A.10 吨 B.13 吨 C.11 吨 )
1 3



D.9 吨

3 3.将 ?a a 化成分数指数幂的形式是(

A . ?a

1 2

B. ? a

?

1 2

C. ?a )

D. ?a

2 3

4.不等式 | x ? 3 |? 2 的解是( A. 1 ? x ? 5 C. ?5 ? x ? 5

B. x ? 5 或 x ? ? 5 D. x ? 1 或 x ? 5 )
2

5.下列函数既是奇函数又是增函数的是( A. y ? ? x B. y ? x ? 1

C. y ? x

D. y ? x

3

6. 关于 x 的一元二次方程 mx2+(m-1)x+m=0 有实根,则实数 m 的取值范围 是( )

1 3 1 C. {m | ?1 ? m ? 且m ? 0} 3
A. {m | ?1 ? m ? }

B. {m | ?1 ? m ? } D. ?m | m ? ?1或m ? }

1 3

? ?

1 3

7.已知函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,3)和(1,1)两点,若 0<c<1, 则 a 的取值范围是( ) A.(1,2) B.(1,3)
高一创新班数学试卷

C.[2,3)
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D.[1,3]

8. 梯形 ABCD 的两腰 AD 和 BC 的延长线相交于 E ,若梯形两底的长度 分别是 12 和 8,梯形 ABCD 的面积为 90,则 ?DCE 的面积为( A.50 B.64 C.72 D.54 )

9. 当 ? 1 ? x ? 1 时,函数 y ? 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 2a 有最小值是 ? 值为( A. ) B. 1 C. 3

3 ,则 a 的 2

7 8

D. 1 或 3

2 ? ?? x ? 1? ? 1? x≤3? 10.已知函数 y ? ? ,则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个,则 2 x ? 5 ? 1 x > 3 ? ? ? ? ? ? k 的值为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90 ,若 AC ? 2 BC ,则 sin A 的值是 12.函数 y ? .

1 1? 2 ? x

定义域为

.

13.若关于 x 的不等式 ? 值为_______.

1 2 x ? 2 x ? mx 的解为 ?x | 0 ? x ? 2? , 则实数 m 的 2

14.已知 ?ABC 的面积为 S ,三边长分别为 a, b, c ,则 ?ABC 的内切圆的 半径等于 .
2

2 15.设 ?、? 是关于 x 的方程 x ? 2tx ? t ? 6 ? 0 的两个实根, 则 (? ?1) ?

( ? ?1)2 的最小值为

.

16. P 为⊙ O 外一点,OP 与⊙ O 交于点 A , 割线 PBC 与⊙ O 交于 B , C , 且 PB ? BC . 已知 OA ? 7, PA ? 2 ,则 PC ? 17.已知 x 为任意实数, 则 3 x ? 3 1 ? x 的取值范围为
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. .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 18.(本题满分 14 分)已知 R 为全集, A ? { x |

x ?1 ? 0}, 3? x

B ? { x | x 2 ? 5 x ? 6}.
(1)求 A , B , A (2) 求 (CR A)

B,A B;

(C R B ) .

19.(本题满分 14 分)因式分解: (1) (a 2 ? 2a )2 ? 7(a 2 ? 2a ) ? 8 (2) x ? 3 x ? 3 x ? 1
3 2

(3) k ? 3k ? 2
3

20. (本题满分 14 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 一次函数 y ? kx ? b

( k ? 0) 的图象与反比例函数 y ?

m 的图象交于一、 三象限内的 A、B 两 x

点,直线 AB 与 x 轴交于点 C ,点 B 的坐标为 ( ?6, n) ,线段 OA ? 5 ,

E 为 x 轴正半轴上一点,且 tan ?AOE ?
(1)求反比例函数的解析式; (2)求 ?AOB 的面积.

4 3

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21.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ? ax 2 ? x ? a, a ? R.

17 ,求实数 a 的值; 8 (2)解不等式 f ( x ) ? 1(a ? R).
(1)若函数 f ( x ) 有最大值

22.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ? ax 2 ? 4 x ? b(a ? 0, a、b ? R) .设关 于 x 的方程 f ( x ) ? x 的两个实根分别为 ?、? . (1)若 | ? ? ? |? 1 ,求 a、 b 的关系式; (2)若 a、 b 均为负整数,且 | ? ? ? |? 1 ,求 f ( x ) 的解析式; (3)在(2)的条件下,若方程 f ( x ) ? ( 2m ? 2) x ? 2m ? 4 至少有一个正 根,求实数 m 的取值范围.

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开化中学 2013 年 9 月开学检测试卷 高一创新班数学参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.B 2.D 3.A 4.D 5.D 6.C 7.A 8.C 9.B 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.

10.D

5 5

12. { x | x ? 2且x ? 1}

13. 1

14.

2S a?b?c

15. 8

16. 8

17. (0, 3 4 ]

第 17 题提示:设 3 x ? a, 3 1 ? x ? b, 3 x ? 3 1 ? x ? t ,则有

?a ? b ? t ,将第一式平方后得 a3 ? b3 ? 3ab(a ? b) ? t 3 ,再由第二个式 ? 3 3 ?a ? b ? 1
t 3 ?1 (注意 : t ? 3 x ? 3 x ? 1 ? 0) 子,有 3ab(a ? b) ? t ? 1,? ab ? 3t
3 2 这样 a , b 是关于 y 的方程 y ? ty ?

t 3 ?1 ? 0 的两根,其判别式 3t

? ? t2 ? 4?

t 3 ?1 ? 0, 易知只要 0 ? t ? 3 4 , ?t 3 ? 4 ? 0,?t ? 3 4 .反推, 3t

原方程就有解.综上所述, 3 x ? 3 1 ? x 的取值范围是 (0, 3 4 ].

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 18.(本题满分 14 分) 解: (1)A=[-1,3) ,B=[2,3] , A (2) (CR A)

B ? [2, 3) , A B ? [?1, 3] -----10 分
-------4 分

(CR B) = CR ( A B) ={x︳x<2 或 x≥3}
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19.(本题满分 14 分) 解: (1) (a 2 ? 2a )2 ? 7(a 2 ? 2a ) ? 8 ? (a 2 ? 2a ? 8)(a 2 ? 2a ? 1) = (a ? 4)(a ? 2)(a ? 1)2 ; (2) x3 ? 3 x 2 ? 3 x ? 1 ? ( x3 ? 1) ? (3 x 2 ? 3 x ) -----------4 分

? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) ? 3x( x ? 1)
= ( x ?1)( x 2 ? 2 x ? 1) ? ( x ? 1)3
3

-----------5 分

(3) k ? 3k ? 2 = k 3 ? k 2 ? k 2 ? 3k ? 2 ? k 2 (k ?1) ? (k ?1)(k ? 2) = (k ?1)(k 2 ? k ? 2) ? (k ? 2)(k ?1)2 20.(本题满分 14 分) 解:(1)过点 A 作 AD ? x 轴,在 Rt ?AOD 中, -----------5 分

tan ?AOE ?

4 3

? 可设 AD ? 4a, OD ? 3a, OA ? 5 ,
在 Rt ?AOD 中,根据勾股定理解得

AD ? 4, OD ? 3,? A(3, 4)
把 A(3, 4) 代入反比例函数 y ? 解得 m ? 12 , 所以反比例函数的解析式为 y ? (2)把点 B( ?6, n) 代入 y ?

m 中, x
12 . x
-----------7 分

12 中,解得 n ? ?2,? B( ?6, ?2) , x

把 A(3, 4), B( ?6, ?2) 分别代入一次函数 y ? kx ? b( k ? 0) 得

2 ? ?3k ? b ? 4 ?k ? ?? 3, ? ??6k ? b ? ?2 ?b ? 2 ?

高一创新班数学试卷

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所以一次函数解析式为 y ?

2 x?2. 3

∵点 C 在 x 轴上,令 y ? 0 ,得 x ? ?3, 即 OC ? 3

? S?AOB ? S?AOC ? S?BOC ?
21.(本题满分 15 分)

1 1 3 4? 3 2 ? 9. 2 2

-----------7 分

1 2 1 ? 4a 2 ) ? 解: (1)当 a ? 0 时不合题意, f ( x ) ? a( x ? , 2a 4a 1 ? 4a 2 17 ? , 当 a ? 0 时, f ( x ) 有最大值,且 ? 4a 8 1 解得 a ? ?2 或 a ? ? . -----------5 分 8
(2) f ( x ) ? 1 ,即 ax ? x ? a ? 1,化为 ( x ? 1)(ax ? a ? 1) ? 0 ,
2

① 当 a ? 0 时,解为 x ? 1 ; ② 当 a ? 0 时, ( x ? 1)( x ? 1 ? ③ 当a ? ? ④ 当?

1 1 ) ? 0 ,解为 x ? 1 或 x ? ?1 ? ; a a

1 时, ( x ?1)2 ? 0 ,无解; 2

1 1 1 ? a ? 0 时, ( x ? 1)( x ? 1 ? ) ? 0 ,解为 1 ? x ? ?1 ? ; 2 a a 1 1 1 时, ( x ? 1)( x ? 1 ? ) ? 0 ,解为 ?1 ? ? x ? 1 . 2 a a
-----------10 分

⑤ 当a ? ?

22.(本题满分 15 分) 解: (1)由题设 ax ? 3 x ? b ? 0 的两实根为 ?、? ,?? ? 9 ? 4ab ? 0 .
2

3 ? ? ?? ?? ? 9 4b ? a ? ? 1 ? 9 ? 4ab ? a 2 , 将? 代入 | ? ? ? |? 1 得 2 b a a ??? ? ? a ?
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即 a 2 ? 4ab ? 9(a ? 0, a、b ? R) . (2)由(1)知 a(a ? 4b) ? 9.

-----------4 分

?a ? ?1 或 a、b 均为负整数,故 ? ?a ? 4b ? ?9

?a ? 4b ? ?1 ?a ? ?3 ?a ? ?1 (舍)或 ? (舍) ,解之得 ? , ? ?a ? ?9 ?a ? 4b ? ?3 ?b ? ?2
? f ( x ) ? ? x 2 ? 4 x ? 2.
-----------5 分

(3)方程 f ( x ) ? ( 2m ? 2) x ? 2m ? 4 即 x 2 ? (2m ? 2) x ? 2m ? 6 ? 0 方程至少有一个正根,有三种可能:

? ?? ? 0 ?m ? ?1或m ? 5 ? ? ①有两个正根,此时可得 ? f ( 0) ? 0 ,即 ? m ? ?3 ?m ? 1 ? 2( m ? 1) ? ? ?0 ? ?2
??3 ? m ? ?1
②有一个正根,一个负根,此时可得 f (0) ? 0 ,得 m ? ?3

③有一个正根,另一根为零,此时可得 ? 综合上述三种情况的 m ? ?1.

?6 ? 2m ? 0 ? m ? ?3. ?2( m ? 1) ? 0
-----------6 分

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