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2011年高考理科数学全国卷2及答案


2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅱ) 理科数学
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 选择题 (1)复数 z = 1 + i, z 为 z 的共轭复数,则 z z - z - 1 = (A) - 2i (B) - i (C) i (D) 2i

(2)函数 y = 2 x ( x  0) 的反函数为

(A) y =

x2 ( x  R) 4

(B) y =

x2 ( x  0) 4

(C) y = 4 x 2 ( x  R )

( D) y = 4 x 2 ( x  0)

(3)下面四个条件中,使 a > b 成立的充分而不必要条件是 (A) a > b + 1 (B) a > b - 1 (C) a > b
2 2

(D) a > b

3

3

(4)设 Sn 是等差数列 { n }的前 n 项和,若 a1 = 1, 公差d = 2, S k + 2 - S k = 24, 则 k = a (A) 8 (B)7 (C)6 (D)5

(5)设函数 f ( x) = cos w x(w > 0) ,将 y = f ( x) 的图像向右平移 合,则 w 的最小值等于 (A)

p 个单位长度后,所得的图像与原图像重 3
(D) 9

1 3

(B) 3

(C) 6

(6) 已 知 直 二 面 角 a - l - b , 点 A 蝆 , AC a

l , C 为 垂 足 , B 蝆b , BD

l, D 为 垂 足 , 若

AB = 2, AC = BD = 1, 则 D 到平面 ABC 的距离等于

(A)

2 3

(B)

3 3

(C)

6 3

(D) 1

(7)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的 赠送方法共有 (A)4 种 (B) 10 种 (C) 18 种 (D) 20 种 (8)曲线 y = e- 2 x + 1 在点 (0, 2) 处的切线与直线 y = 0 和 y = x 围成的三角形面积为 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D) 1

(9)设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 #x

1 时, f ( x) = 2 x(1- x), 则 f (-

5 )= 2

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(A) -

1 2

(B) -

1 4

(C)

1 4

(D)

1 2

(10)已知抛物线 C : y 2 = 4 x 的焦点为 F ,直线 y = 2 x - 4 与 C 交于 A, B 两点,则 cos ? AFB (A)

4 5

(B)

3 5

(C) -

3 5
0

(D) -

4 5

(11)已知平面 a 截一球面得圆 M ,过圆心 M 且与 a 成 60 二面角的平面 b 截得该球面得圆 N 。若该球面 的半径为 4 ,圆 M 的面积为 4p ,则圆 N 的面积为 (A) 7p (B) 9p (C) 11p

(D) 13p r r r r r r r r r r r r 1 0 (12)设向量 a, b, c 满足 a = b = 1 , a b = - , < a - c, b - c > = 60 则 c 的最大值等于 2 (A) 2 (B) 3 (C)

2

(D) 1

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 填空题 (13) (1-

x )20 的二项展开式中, x 的系数与 x9 的系数之差为

.

(14)已知 a ? ( , p ),sin a

p 2

5 , 则 tan 2a = 5

.

(15)已知 F1 , F2 分别为双曲线 C :

x2 y 2 = 1 的左、右焦点,点 A ? C ,点 M 的坐标为 (2, 0) , AM 为 9 27
.

?F1 AF2 的平分线,则 AF2 =

(16)已知点 E 、 F 分别在正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 的棱 BB1 , CC1 上,且 B1 E = 2 EB, CF = 2 FC1 ,则面

AEF 与面 ABC 所成二面角正切值等于
三、解答题 (17)(本小题满分 10 分)

.

D ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 A - C = 900 , a + c =

2b ,求 C.

(18) (本小题满分 12 分) 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (Ⅱ) X 表示该地的 100 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求 X 的期望. (19) (本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 锥 S - ABCD 中 , AB / / CD, BC ^ CD 侧 面 SAB 为 等 边 三 角

S
形. AB = BC = 2, CD = SD = 1. (Ⅰ)证明: SD ^ 平面SAB;

D
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C

A

B

(Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小.

(20) (本小题满分 12 分)

a 设数列 { n }满足 a1 = 0, 且
(Ⅰ)求 { n }的通项公式; a

1 1 = 1. 1- an+ 1 1- an

(Ⅱ)设 bn =

1-

an + 1 n

n

, 记 Sn =

?
k= 1

bk ,证明: S n < 1.

(21) (本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C : x +
2

y2 = 1 在 y 轴正半轴上的焦点, F 且斜率为 过 2

2 的直线 l 与

uuu uuu uuu r r r r C 交于 A, B 两点,点 P 满足 OA + OB + OP = 0.
(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设 P 点关于点 O 的对称点为 Q 证明 : A, P, B, Q 四点 在同圆上.

y A F

O

x
B l

(22) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)设函数 f ( x ) = ln(1 + x) -

2x , 证明:当 x > 0 时, f ( x) > 0; x+ 2

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取 20 次,设抽 得的 20 个号码互不相同的概率为 P . 证明: P < (

9 19 1 ) < 2 10 e.

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