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福建省龙岩市非一级达标校2014-2015学年高二上学期期末质量检查数学(文)试题含答案


福建省龙岩市非一级达标校 2014-2015 学年高二上学期期末质量检查数学(文)试题

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. ) 1.一元二次不等式 x ? 2 x ? 0 的解集为 A. (0, 2)
2

B. ( ??, 0) D. (2, ??)

C. (??,0)

(2, ??)
x

2.命题“任意 x ? R , 2 ? 0”的否定是
x A.不存在 x ? R , 2 >0 x C.对任意的 x ? R , 2 ? 0 x B.存在 x ? R , 2 >0
x D.对任意的 x ? R , 2 >0

3.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为 A. (2, 0) A.4 5.双曲线 B. (0, 2) B.8 C. (1, 0) C. ?4 D. (0,1) D. ?8 4.已知等差数列 {an } 中, a2 ? a4 ? 16 ,则 a3 的值等于

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 4 12
B. y ? ?2 3
2 2 2

A. x ? ?2

C. y ? ? 3x

D. x ? ? 3 y D.等腰直角三角形 D. ?9

6.在 ?ABC 中,若 a ? b ? c ,则 ?ABC 的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 7.已知等差数列 {an } 的公差为 3,若 a1,a3 ,a4 成等比数列,则 a2 等于 A. ?18
2

B. ?15

C. ?12

8. “ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?x ? y ? 2 ? 0 ? 9.若实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值是 ?x ? 1 ?
A. ?4 则下列说法正确的是 A.函数 f ( x ) 在 (?2,3) 内单调递减 B.函数 f ( x ) 在 x ? 3 处取极小值 C.函数 f ( x ) 在 (?4,0) 内单调递增 D.函数 f ( x ) 在 x ? 4 处取极大值
2

B. ?2

C.2

D.6

10.函数 f ( x ) 的导函数 f '( x) 的图象如右图所示,

(第 10 题图)

11.过抛物线 y ? 8x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,若 x1 ? x2 ? 5 , 则 | AB |? A.10 B.9 C.8 D.7

-1-

12. 定 义 方 程 f ( x) ? f '( x) 实 数 根 x0 为 函 数 f ( x ) 的 “ 和 谐 点 ” . 如 果 函 数

g ( x) ? x2 ( x ? (0, ??)) , h( x) ? sin x ? 2cos x( x ? (0, ? )) , ? ( x) ? ex ? x 的“和谐点” 分别为 a,b,c ,则 a,b,c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡相应位置. ) 13.在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a,b,c ,若 b ? 2, c ? 3 , ?ABC 的面积为 2, 则 sin A ? . . . 14.若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ? 3n ,则该数列的通项公式 an ? 15.已知 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x 在 R 上单调递增,那么 a 的取值范围是 则称曲线 C 为“黄金曲线” .下列五条曲线: ①

N (5, 0) 是平面上的两点, 16. 已知 M (?5,0) , 若曲线 C 上至少存在一点 P , 使| P M | |? P N| 6 ? ,

y 2 x2 ? ?1; 16 9



x2 y 2 ? ? 1; 4 9



x2 y 2 ? ?1; 4 9

④ y2 ? 4x ;

⑤ x2 ? y 2 ? 9 . . (写出所有 “黄金曲线”的序号) ..

其中为“黄金曲线”的是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 满足 a2 ? 7, a8 ? ?5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

18. (本小题满分12分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a,b,c ,且 a sin B ? 3b cos A . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 b ? 3, c ? 2 ,求 a 的值.

-2-

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ?12x ? 5 . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0,5) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值.

20. (本小题满分12分) 第一届全国青年运动会将于 2015 年 10 月 18 日在福州举行. 主办方在建造游泳池时需建 造附属室外蓄水池,蓄水池要求容积为 300m ,深为 3m .如果池底每平方米的造价为 120 元,池壁每平方米的造价为 100 元,那么怎样设计水池的底面,才能使蓄水池总造价最低? 最低造价是多少?
3

21. (本小题满分 12 分) 已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与椭圆: x ? 7 y ? 4 交于 A , B 两点. (Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ)求证: OA ? OB .
2 2

-3-

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? mx ? 1 , m ? R . (Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若不等式 f ( x) ? 1 在 x ? [1, ??) 恒成立,求 m 的取值范围.

-4-

龙岩市非一级达标校 2014~2015 学年第一学期期末高二教学质量检查

数学(文科)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,依题意得:

?a2 ? a1 ? d ? 7 ? ?a8 ? a1 ? 7d ? ?5 解得 a1 ? 9, d ? ?2

???????????????????2 分 ??????????????????4 分

???????6分 ? an ? a1 ? (n ?1)d ? 9 ? (n ?1) ? (?2) ? ?2n ? 11 n(n ? 1) d (Ⅱ) S n ? na1 ? 2 n(n ? 1) ? 9n ? ? (?2) ??????????????????9分 2 ? ?n2 ? 10n ?????????????????12分

(Ⅱ)

b ? 3, c ? 2 ,由(Ⅰ)得: A ?
2 2

?

3 2 由余弦定理可知: a ? b ? c ? 2bc cos A ?????????9 分 1 ? 9 ? 4 ? 2 ? 3? 2 ? ? 7 ?????????????????11 分 2 ?????????????????12 分 ?a ? 7
2

19. (本小题满分 12 分) 解: f '( x) ? 6 x ? 6 x ?12 (Ⅰ)依题意可知: k ? f '( x) |x?0 ? ?12 ??????????????2 分 ???????????4 分 ??????????6 分 ???????????8 分

? 切线方程为: y ? 5 ? ?12 x 即 12 x ? y ? 5 ? 0
(Ⅱ)令 f '( x) ? 0 ,得: x1 ? ?2, x2 ? 1

-5-

x
f '( x) f ( x)

(??, ?2)

?2

(?2,1)

1
极小值

(1, ??)

?

0
极大值 25

?
?2

?

??????????????11 分 ? f ( x) 的极大值为 f (?2) ? 25 ,极小值为 f (1) ? ?2 ?????12 分 20. (本小题满分 12 分) 解:设底面的长为 xm ,宽为 ym ,蓄水池的总造价为 w 元, 依题意得: w ? 120 ? ??????2 分

300 ? 100(2 ? 3x ? 2 ? 3 y ) 3
????????6 分 ?????????????8 分 ? 10

? 12000 ? 600( x ? y) 又 3xy ? 300 ,xy ? 100


?w ? 12000 ? 600( x ? y) ? 12000 ? 600? 2 xy ? 12000 ? 600? 20 ? 24000
? w ? 24000 ,当且仅当 x ? y 即 x ? y ? 10 时等号成立.

所以,将水池的地面设计为 10 米的正方形时总造价最低,最低造价为 24000 元??12 分 21. (本小题满分 12 分)

x2 y2 ? ?1 解: (Ⅰ)设椭圆方程可化为为: 4 4 7 4 ? a 2 ? 4, b 2 ? ? a ? 2 7

?????????????1 分

?????????????3 分 ????????????4 分 ?????????????5 分

4 2 42 ? c 2 ? a 2 ? b2 ? ? c ? 7 7 ?e ? c 42 ? a 7

分 (Ⅱ)法二:证明:联立 ?

?x ? y ?1 ? 0 ?x ? 7 y ? 4
2 2

得: 8x ? 14 x ? 3 ? 0
2

????????7 分

-6-

1 3 ?????????9 分 (4 x ? 1)(2 x ? 3) ? 0 解得:x1 ? ? , x2 ? ? 4 2 3 1 y1 ? , y2 ? ? 4 2 1 3 3 1 ? A(? , ), B(? , ? ) , ???????????10 分 4 4 2 2 1 ? kOA ? ?3, kOB ? 3 ?????????????11 分 ?kOA kOB ? ?1
所以, OA ? OB 22. (本小题满分 14 分) 解: f ( x ) 的定义域为: (0, ??) (Ⅰ) f ?( x ) ? ??????????????12 分 ??????????1 分

1 ?m x f '(1) ? 0 ∴ m ? 1 经检验,符合题意. ?????5 分 1 (Ⅱ)∵ f ?( x ) ? ? m , ??????????6 分 x 当 m ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,则 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ,无单调减区间 1 1 ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? m m 综上所述:当 m ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ,无单调减区间
当 m ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 当 m ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间是 (0,

1 1 ) ,单调递减区间是 ( , ?? ) m m

??8 分

-7-


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