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鄞中物理奥赛培训教材第一版知识框架第1-10讲


第一讲 力的种类和受力分析 【赛点知识】 一、自然界中常见的力 我们在日常生活中会遇到各种各样的力,如重力、绳中的张力、摩擦力、地面的支撑力和空气的阻力等,从最基本的 层次看,上述各种力属于四大范畴: (1)引力; (2)电磁力; (3)弱力; (4)强力。 这里我们只介绍开头列举的那几种常见的力。 (一)万有引力 宇宙间存在于任何两个有质量的质点之间的相互吸引力称万有引力。

r />
F ?G
式中, G

m A mB r2

? 6.67 ?10 ?11 Nm /kg
2

2

,为万有引力常量; m A , mB 为 A,B 两质点的质量, r 表示两质点的距离。

重力来源于地球对物体的吸引。在地球表面附近,物体的重力大小 G

? mg ,方向竖直向下。

物体的各个部分都受到重力的作用,我们把它等效地认为是作用在物体的重心上。 在一般情况下,在地球表面附近的小范围可以认为重力是不变的。 若在大范围内考虑,并计及地球自转的影响,则同一物体的重力是可变的,重力将随距地面的高度、不同的纬度而不 同,它实际上是万有引力的一个分力。 (二)弹力 物体在受力产生形变时,有恢复原状的趋势,这种抵抗外力力图恢复原状的力就是弹力。 对于弹簧的弹力,在弹性限度内,弹簧的弹力和弹簧伸长(或压缩)的长度成正比

F ? ?kx
式中, k 为弹簧的劲度系数,由弹簧本身性质所决定(如匝数、材料及弹簧的粗细等) x 为弹簧的形变量,负号表示弹力 ; 的方向与形变 x 的方向相反,弹簧伸长时 x 取正。其它弹力的大小只能据状态求。 弹力的方向:应为恢复形变的方向,在实际问题中可理解为垂直接触面的方向;对绳子或柔软体,沿绳方向;对二力 杆则沿杆方向。 弹簧的连接: (1 )弹簧的串联:将劲度系数分别为

k1 , k 2 , k 3 ,?, k n 的几个弹簧串联,串联后等效的劲度系数为 k串 ,则

1 1 1 1 ? ? ??? k串 k1 k 2 kn



(2)弹簧的并联:将劲度系数分别为 k1 , k 2 , k 3 , ?, k n 的几个弹簧并联,在形变相同的情况下,并联后等效的劲度 系数为 k 并 ,则 k串 (三)摩擦力 两个相互接触的物体间有相对运动或者有相对运动趋势时,这两个物体的接触面上就会出现阻碍相对运动的进行或阻 碍相对运动发生的力,这就是摩擦力。前者是滑动摩擦力,后者是静摩擦力。方向与相对运动或相对运动趋势方向相反,沿 接触面的切线方向。 静摩擦力大小: 式中,

? k1 ? k1 ? ? ? k n 。

0 ? f ? fM
f M ? ? s N ; ? s 为静摩擦系数,它由相互接触物体的质料和表面情况决定,并且有

fM

为最大静摩擦力,

? s ? ?动 。
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滑动摩擦力大小:

f 动 ? ?动 N

摩擦力的起因及微观机理,尚有许多未知领域,有待进一步探讨。但实验指出,接触面过于粗糙或过于光滑又清洁时, 摩擦因数都会增大。相对速度过小或过大。滑动摩擦因数也要变化,不过在通常情况下,这种变化不明显,可以忽略不计。 所以在一般的分析计算中,都认为摩擦因数不受接触面积、接触面粗糙程度和滑动速度的影响,一般给出的摩擦因数,都是 在通常条件下,有实验测出的平均值。 滚动摩擦:滚动摩擦的产生是由圆柱体和地面接触处的形变引起的。滚动摩擦一般远小于滑动摩擦,所以它对物体的 影响我们常不予考虑。 以上谈的都是固体之间的摩擦问题,下面简短谈谈流体与固体之间的摩擦。流体(气体或液体)不会对与它相对静止 的物体施加摩擦力,但要对在其中运动的物体施加阻力。粗略地说,在流体的粘滞性较大,运动物体较小、较慢的情况下, 阻力

f

正比于 v,

S

和粘滞性( v, S 分别为运动速度,横截面积) ;在相反的情况下,阻力

f

正比于 v 和 S ,但与粘滞

2

性无关。通常在空气中坠落、行驶或飞翔属于后一种情况。 二、受力分析 研究力学问题的第一步工作就是对研究对象进行受力分析,正确的受力分析是解力学问题的前提。 受力分析可按三种不同性质的力依次进行,简称四步曲。 (1)先确定研究对象,并将“对象”隔离出来,必要时“转换”研究对象。 (2)分析“对象”受到的外力,按先重力、次弹力、再摩擦力的顺序进行分析,不要边分析边处理力,画出示意图。 (3)根据具体情况将力的合成或分解。 (4)写出运动条件,解方程,而后分析讨论结果。 【赛题精析】 例 1.均匀长棒一端搁在地面上,另一端用细线系在天花板上,如图所示。若细线竖直,试分析棒的受力情况。

面间滑动摩擦因数为 ? ,当木块 B 也有相对地面向东的速度 v 时,试分析 A、B 木块的受力情况。

例 2.如图所示,木板 A 质量为 M,以相对地面的速度 v 在水平面上向东运动,木板上放一质量为 m 的木板 B,各接触

例 3.如图所示,质量为 m 的物体恰好能在倾角为 ? 的固定斜面上匀速下滑,如在物体上施加一个力 F 使物体沿斜 面匀速上滑,为了使力 F 取得最小值,这个力与斜面的倾斜角 ? 为多大?这个力的最小值是多少?

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【习题精选】 1. 画出图中各种情况下静止物体 A 的受力示意图(小球均光滑) 。

2. 如图所示的皮带传动装置中,O1 是主动轮,O2 是从动轮,A,B 分别是皮带上与两轮接触的点,C,D 分别是两轮边缘与 皮带接触的点(为清楚起见,图中将两轮与皮带画得略为开些,而实际上皮带与两轮是紧密接触的) 。当 O1 顺时针起动时, 若皮带与两轮间不打滑,则 A,B,C,D 各点所受摩擦力的方向分别是( A.向上、向下、向下、向上 B.向下、向上、向上、向下 C.向上、向上、向下、向下 D.向下、向下、向上、向下 )

3. 如图所示,两木块的质量分别为 m1 和 m 2 ,两轻质弹簧的劲度系数分别为 k 1 和 k 2 ,上面木块压在上面的弹簧上(但 不拴接) ,整个系统处于平衡状态,现缓慢向上提上面的木块,直到它刚离开上面弹簧,在这过程中下面木块移动的距离为 ( A. )

m1 g k1 m1 g k2

B.

m2 g k1 m2 g k2

C.

D.

4. 质量为 m 的小木块,停放在水平地面上,它与地面的静摩擦因数为 ? ,一人想用最小的作用力 F 使木块移动,则最 小的作用力 F =______________。

5. 如图所示,两根劲度系数分别为 k 1 和 k 2 的轻弹簧竖直悬挂,下端用光滑细绳连接,把一光滑的轻滑轮放在细绳上,求 当滑轮下挂一重为 G 的物体时,滑轮下降的距离多大?

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6. 如图所示,质量为 m 的木块与水平面间无摩擦, m 静止时各弹簧均处于原长,在图中两种情况下,求 m 受一水平向 右的力 F 作用平衡后,木块 m 移动的距离。

7. 如图所示,人字形梯置于铅垂平面内,A,B 两处 ? 相同,当人爬至 D 处时系统失去平衡,此时 A,B 两处何处先滑动。

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第二讲 有固定转动轴的物体平衡 【赛点知识】 力可以使物体发生转动,物体转动时,它的各点都沿圆周运动,圆周的中心在同一直线上,这条直线叫转动轴,而一 个力使物体转动的效果取决于力矩(力×力臂) 。如果有几个力作用在物体上,那么这几个力共同对物体的转动效果取决于 它们力矩的代数和,力矩的代数和不等于零,物体将作变速转动;力矩的代数和等于零,物体将保持静止或匀角速转动。 实验证实:有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩的代数和等于零或者说合力矩为零,即

M1 ? M 2 ? M 3 ? ? ? M n ? 0
【赛题精析】 例 1.由边长 l



?M ? 0

,夹在水平放置的、半径为 R 的光滑圆木上。两板用带 ? 4R 的两个正方形均匀薄板构成“硬封面簿”

有铰链的轻杆相连结,此系统处于平衡状态,求两板间的夹角为多大?

? 40 cm 处,水平轴 P 上装有均匀杆,杆的长度 l ? 30 cm,质量 m ? 0.5 kg,杆偏离竖直方向夹 角 ? ? 30? ,靠在位于地面上的半径 R ? 10 cm 的球面上,整个系统处于平衡状态,试求球与地面之间以及球与杆之间的
例 2.离地面高 H 摩擦力。

例 3.一支杆秤,其秤锤已丢失,仅留下杆秤及一根细线,不用其他器材,如何确定丢失的秤锤的质量?

例 4.如图所示,三根长度均为 l 的轻杆用铰链连接并固定在水平天花板上的 A,B 两点,A,B 两点相距为 2l ,今在 铰链 C 上悬挂一个质量为 m 的重物,要使 CD 杆保持水平,则在 D 点上应施的最小力为多大?

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【习题精选】 1. 如图所示,重球置于一光滑木板 AB 和光滑竖直墙壁之间,木板 AB 重力不计,可绕固定光滑铰链 A 转动,在 B 端施一始 终竖直向上的力 F ,使 B 端缓慢落下,直至 AB 成水平位置,这个过程中,下列说法正确的是( A.力 F 及其力矩 M 都变大 B.力 F 及其力矩 M 都变小 C.力 F 变大,力矩 M 变小 D.力 F 变小,力矩 M 变大 )

2. 一均匀的直角三角形木板 ABC,可绕通过 C 点的水平轴竖直于纸面转动,如图所示,现用一始终沿直角边 AB 的作用于 A 点的力 F ,使 BC 边缓慢地由水平位置转至竖直位置,在此过程中,力 F 的大小随 ? 角变化的图线是图( )

3. 如图所示,两根均匀杆 AB 和 CD,长均为 L ,重均为 G ,AB 杆的 A 的端用铰链固定在墙壁上,其 B 端与 CD 杆的 C 端 用铰链连接在一起,使两根杆均可在竖直平面内转动,现于杆上某点施一竖直向上的力,使 AB 杆和 CD 杆都保持水平,那么 施力的作用点到杆的 A 端的距离为多少?所施加的大小又为多少?

4. 有六个完全相同的刚性长条薄片

Ai Bi (i ? 1,2, ?,6) ,其两端下方各有一个小突起,薄片及突起的重力均可不计,现

将六个薄片架在一只水平的碗口上,使每个薄片一端的小突起 Bi 搭在碗口上,另一端的小突起 由正上方俯视如图所示, 若将一质量为 m 的质点放在薄片 的距离,求薄片

Ai 位于其下方薄片的正中,

A6 B6 上的一点, 这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起 A6

A6 B6 中点 A1 所受的压力。

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5. 有一长为 l ,重为 W0 的均匀杆 AB,A 端顶在竖直的粗糙墙壁上,杆端与墙面间的静摩擦系数为 ? ,B 端用一强度足够 且不可伸长的绳悬挂,绳的另一端固定在墙壁 C 点,木杆呈水平状态,绳与杆的夹角为 ? ,如图所示,求: (1)杆能保持平衡时, ? 与 ? 应满足的条件, (2)杆保持平衡时,杆上有一点 P 存在,若在 A 点与 P 点间任一点悬挂重物,则当重物的重量 W 足够大时总可以使 平衡破坏,而在 P 点与 B 点之间任一点悬挂任意重量的重物,都不能使平衡破坏,求出这一点 P 与 A 点的距离。

6. 轻质横杆 OB,O 端用铰链固定在墙上,B 点用轻绳拉紧,使杆处于水平状态,在 B 点挂重为 G 的物体,如图所示,AB 和 OB 的夹角为 ? ,在把重物的悬点向 O 端移动的过程中,求墙对杆的作用力的最小值。

7. 三个直径和重力都相同的圆木柱垛在一起,如图所示。问:圆木柱之间摩擦因数 ? 最小为何值时,它们才不会滚散? (设圆木在地面上不可能滑动)

8. 一根长度为 l 的杆 AB 重为 G ,B 端压在粗糙的地面上,A 端用一根足够牢的轻绳斜拉在地上,绳与杆的夹角为 ? ,如 图所示,在离 B 端 al 处有一水平作用力 F ,问: (1)杆 B 端与地面之间的动摩擦因数至少为多大,才能维持杆静止? (2)如果 B 端与地面之间的动摩擦因数为 ? 0 ,那么在 AB 上有一点 D,在 AD 之间不论施加上多大的水平力 F ,都不 会破坏 AB 杆的平衡,求 D 点的位置。

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9. 人对均匀细杆的一端施加力,方向垂直于杆,要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬到竖直位置,试求杆与地板间的最小摩 擦系数。

10.如图所示, 用一段橡皮管将质量为 M 的钢喷管接到竖直水管的一端, 试问: 水的消耗量为多少才使喷管处于水平位置? (喷管的横截面积为 S ,长度为 l ,摩擦不计)

11.三根重为 G ,长为 a 的均质杆对称搁在地上,底端相距也均为 a ,如图所示,求: (1)A 杆顶端所受作用力的大小? (2)若一重为 G 的人坐在 A 杆中点,则 A 杆顶端所受作用力变为多少?

12.(山东省 1979 年复赛题)今用一均匀的长为 l 2 、重为 G 2 的撬棒把一块长为 l1 、重为 G1 的均匀预制板支起达平衡位 置, 如图所示, 问垂直作用于撬棒上端点的作用力 F 是多少? (假定预制板与撬棒的接触处是光滑的, 地面是粗糙的, ? 角 和角 ? 都是已知的)

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第三讲 一般物体的平衡 【赛点知识】 一般物体的平衡条件是指物体既满足平动的平衡条件,又满足转动的平衡条件,即

?? Fx ? 0, ? ? ?? Fy ? 0, ? ?? M o ( F ) ? 0. ?
其中,

?M

o

(F ) 是指所有力对任一点的力矩的代数和为零,在满足 ? Fx ? 0 , ? Fy ? 0 的条件下,可以证明,当

所有力对于某一点的力矩的代数和为零时, 对任一点的力矩的代数和都等于零。 因此, 在实际应用时可以选择适当的转轴 O, 使方程得以简化。 上面所表示的只是平衡方程的基本形式,并不是唯一形式。平面一般力系的平衡方程还可以表示为以下两种形式。 1.两个力矩平衡方程形式,即三个平衡方程中有两个力矩方程和一个投影方程,可写为:

?? Fx ? 0, ? ? ?? M A ( F ) ? 0, ? ?? M B ( F ) ? 0. ?
其中,A,B 两点的连线 AB 不能与 x 轴垂直。 因为满足

?M

A

( F ) ? 0 时, 力系不可能简化为一个力偶, 只可能简化为通过 A 点的一个合力。 ? M B ( F ) ? 0 当

也同时被满足时,若有合力,则它必通过 A,B 两点。但因为连线 AB 不能与 x 轴垂直,故当 证明了力系的合力

?F

x

? 0 也成立时,就充分

? F ? 0 必成立。故其一定是平衡力系,如图所示。
?? M A ( F ) ? 0, ? ? ?? M B ( F ) ? 0, ? ?? M C ( F ) ? 0. ?

2.三个力矩平衡方程形式,即三个平衡方程都是力矩方程,可写为:

其中,A,B,C 三点不能共线。这一结论读者可自行论证。 这样,平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程,每一种形式都只包含有三种独立方程。因此,对一个受平面一般 力系作用的平衡物体,可以也只能列出三个平衡方程,求解三个未知数。任何第四个方程都是前三个方程的线性组合,而不 是独立的。至于在实际应用中采用何种形式的平衡方程,完全决定于计算是否简便,要力求避免解联立方程的麻烦。 【赛题精析】 例 1.有两个质量分别为 m1 , m 2 的光滑小环,套在竖直放置且固定的光滑大环中,并用细绳连接。平衡时细绳与竖 直线的夹角为 ? ,如图所示。已知细绳所对的圆心角为 ? ,试证明: tan?

?

m1 ? m2 ? cot m1 ? m2 2



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例 2.如图所示,两个质量分别为 m1 , m 2 的小环能沿着一轻绳光滑地滑动,绳的两端固定于直杆上的 A,B 两点,杆 与水平成角 ? ,在杆上又套上 1 个轻小环,绳穿过轻杆,并使 m1 , m 2 在其两侧,环与直杆间无摩擦,系统处于平衡时,

? 角如图所示,求

tan? tan ?

的值。

例 3.如图所示,AOB 是一把等臂夹子,轴 O 处的摩擦可以忽略。若想在 A,B 处用力夹住一圆柱形物体 C,则能否夹 住与哪些因素有关?如果这一装置能夹住 C,这些因素应满足什么条件?(不考虑 C 的重力)

例 4.如图所示,匀质圆柱体夹在木板与竖直墙之间,其质量为 m ,半径为 R ,与墙和木板间的摩擦因数均为 ? , 板很轻,其质量可忽略。板的一端 O 与墙用光滑铰链相连,另一端 A 挂有质量为 m? 重物,OA 长为 l ,板与竖直墙夹 ? 角,

? ? 53? ,试问: m? 至少需要多大才能使系统保持平衡?并对结果进行讨论。

例 5.如图所示,质量为 m ,自然长度为 2?a ( a 性球上,不计摩擦。 (1)设平衡时绳圈长 2?b , b (2)设 k

?

R ) ,弹性系数为 k 的弹性圈,水平放置于半径为 R 的固定 2

? 2a ,试求 k 。

?

mg ,求绳圈的最后平衡位置及长度。 2? 2 R

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【习题精选】 1. 如图所示,水平放置的两个固定的光滑硬杆 OA 和 OB 成 ? 角,在两杆上各套轻环 P,Q,两环用轻绳相连,现用恒力 F 沿 OB 杆方向向右拉环 Q ,当两环稳定时绳的拉力多大?

2. 跨过两个光滑滑轮的线上,挂有三个质量分别为 m1 , m 2 和 M 的重物,如图所示。两滑轮离悬挂点同一高度。求当 整个系统处于平衡状态时,三个重物的质量之间的关系?这些条件是否总是能满足?(不计摩擦)

3. 质量分别为 m 和 M 的两个小球用长为 l 的轻质硬杆相连, 在如图所示位置处于平衡状态。 杆与桌边缘部分摩擦因数为

? ,桌长为 a ,球 m 和竖直壁间没有摩擦。为使杆平衡,问参数 m , M , ? , l , a 和 ? 应满足什么条件?

4. 如图所示,小圆环 A 吊着一个重为 G1 的砝码套在另一个竖直放置的大圆环上,有一细线,其一端拴在小圆环 A 上,另 一端跨过固定在大圆环最高点 B 的一个小滑轮后吊着一个重为 G 2 的砝码。如果小环、滑轮、绳子的大小和质量以及摩擦都 可以忽略不计,绳子又不可以伸长,求平衡时弦 AB 所对的圆心角 ? 。

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5. 四个半径相同的均质球在光滑水平面上堆成锥形 (俯视见图所示)下面三球用细绳缚住。 , 绳与三球心共面, 各球重为 G , 求绳内张力大小。

6. 如图所示,将一长为 l ,质量为 m 且分布均匀的链条套在表面光滑的圆锥上,当链条静止时,其张力为 T ,求圆锥顶 角? 。

7. 如图所示,边长为 a ,质量为 10 m 的立方块置于倾角为 30? 的固定斜面上,半径为

a ,质量为 m 的圆柱依次搁置成 2
? 2 2 3


一排,物块与圆柱、圆柱之间、圆柱与斜面均为光滑接触,但物块底面粗糙,其与斜面之间的静摩擦系数为 ? 试求保持系统静止时,最多可依次放置多少个这种圆柱体?

8. 如图所示,AB,BC,CD 和 DE 为质量相等,长度为 2a 的四根均匀细杆,四根杆通过位于 B,C,D 的光滑铰链而铰接起 来,并以端点 A 和 E 置于粗糙水平面上,形成对称弓形,而且在竖直平面内保持平衡,若平面与杆间摩擦系数等于 0.25, 试求 AE 的最大距离及 C 点离水平面的相应高度 H 。

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9. 半径为 r , 质量为 m 的三个相同的球放在水平桌面上, 两两相互接触, 用一高为 1.5r 的无底圆筒将三球刚好套于筒内, 各处保持无变形接触。现取一质量亦为 m ,半径为 R 的第四球置于三球正上方,俯视如图所示,设各处静摩擦系数均为

??

3 15

,试求 R 取何值时,用手竖直轻轻上提圆筒,能将四球一起提起来。

10.把 4 块完全相同的均匀砖块由下而上依次叠放在桌子边缘,如图所示。要使最上面的砖块伸出桌子边缘最多,砖应如何 叠放?砖块伸出桌子边缘的最大水平距离是多少?(设砖长为 l )

11.两个相同长方体处于如图所示位置,问当 ? 角为多少,它们才可能平衡?(长方体与台面间摩擦因数为 ? ,长方体长 为 b ,宽为 a ,它们之间摩擦不计。 )

12.如图所示,在一个置于水平面上的表面光滑的半径为 R 的半圆柱面上,置有一条长为 ?R 的均匀链条,链条的质量为

m ,其两端刚好分别与两侧的水平面相接触。问:此链中张力的最大值为多少?

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13.质量为 m ,长为 l 的均匀杆 AB 下端靠在墙上,借助绳 DC 保持倾斜状态,如图所示,绳的一头系在墙上 C 点,而另一 头系在杆上 D 点, AD

?

1 AB 。绳和杆分别与墙成角 ? 和 ? 3

,试求杆与墙之间一切可能的摩擦因数值。

14.如图所示,一光滑半球形容器,直径为 a ,其边缘恰好与一光滑竖直的墙壁相切,现有一均匀直棒 AB,其 A 端靠在墙 上,B 端与容器底相接触,当棒倾斜与水平成 60? 角时,棒恰好静止,求棒的长度。

15.A,B 为全同物块,按如图所示铰接于 M,N,P 三处,M,N 在同一水平面上,A,B 的重量可不计。顶边水平,且各长 3m; 侧边竖直,高 4m。今在 B 的顶上距 P 1.5m 处加竖直力 F

? 400 N,求 B 对铰链 P 的作用力。

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第四讲 平衡的种类和液体静平衡 【赛点知识】 一、物体平衡的种类 物体平衡的种类有:稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。 它是处于重力场以及其他有势场的物体在场作用下的三种平衡情况,处于势场的物体和场一起具有势能,而物体都有 向势能较小位置运动的趋势。 a.稳定平衡 当物体稍稍偏离平衡位置时,有一个力或力矩使之回到平衡位置,这样的平衡叫稳定平衡。而且因稳定平衡是使物体 处于势能最小位置时的平衡,所以一旦对它有微小的扰动而使它离开平衡位置,外界就必须对它做功,这样势能就增加。 b.不稳定平衡 当物体稍稍偏离平衡位置时,它所受到的力或力矩使它偏离继续增大,这样的平衡叫不稳定平。所谓的不稳定平衡也 是指物体处于势能最大时的平衡,使它离开平衡位置,外界不必对它做功,任何微小扰动,总引起重力对它做功,势能减小, 这样它将继续减小势能,再也回不到原来那个势能最大的位置。 c.随遇平衡 当物体稍稍偏离平衡位置时,它所受的力或力矩不发生变化,它能在新的位置上再次平衡。所谓的随遇平衡是指处于 平衡状态的物体,受到微小扰动后,势能始终保持不变。因此可以在任意位置继续保持平衡。 二、物体平衡种类的判别法 (一)受力分析法 当质点受到外界的扰动稍微偏离平衡位置后,如果所受合外力指向平衡位置,则此质点的平衡是稳定的;如果所受的 合外力背离平衡位置,则此质点的平衡是不稳定的;如果所受的合外力为零,则此质点处于随遇平衡状态。 (二)力矩比较法 对于有支轴的刚性物体,当它受外界扰动而偏离平衡位置时,如果外力会引起一个回复力矩,此力矩有把物体拉回到 原平衡位置的倾向,则称物体处于稳定平衡状态;如果外力会引起一推斥力矩,它有把物体推离原平衡位置的倾向,则称物 体处于不稳定平衡态;如果物体所受合力矩仍为零,则称物体处于随遇平衡态。 (三)重心升降法 对受重力和支持力作用而平衡的物体(包括质点和刚性物件) ,判断其平衡种类时,常可用重心升降法。即若使物体稍 微偏离平衡位置,如是重心升高,则称稳定平衡;若物体稍微偏离平衡位置,如其重心降低,则为不稳定平衡;而若物体偏 离平衡位置如其重心高度不变,则为随遇平衡。 (四)支面判断法 具有支面的物体平衡时,物体所受重力的作用线一定在支面内,如果偏离平衡位置后,重力作用线仍在支面内,物体 就能回到平衡位置,属于稳定平衡;但如果物体倾斜较大时,重力的作用线超出支面,重力的力矩,会使物体继续远离原来 的位置,即原来的平衡被破坏,利用这一点,常能为处理平衡种类的一些问题找到解题的突破口。 三、液体静平衡 (一)静止流体中的压强 液体内部某点处的压强与方向无关,可用公式

p ? ?gh 计算,式中的 h 是指从该点到液面的竖直距离,而不是到液

面的距离。对于连通管来说,凡是在相连通的同种液体的相同高度处其压强必相等,若不是同种液体,或者虽是同种液体, 但中间夹有其他种液体或气体时,上述关系就不一定能成立。对于盛有多层不同液体的容器内的压强应分层计算,然后叠加 起来。 (二)浮力 液体对物体的浮力表示为 F

? ?Vg ,式中的 V

为物体浸没于液体部分的体积, ? 为液体的密度。液体对浸在其中

的物体的浮力来自于液体的静压强,而液体的静压强则来自于液体的重量,当液体作加速运动时,其视重改变了,液体内的 静压强以及液体对浸在其中的物体的浮力也随之而改变。 例:木块漂浮于水面上,若把它们放于以加速度 a 上升的升降机中,由于液体、木块超重的倍数相同(液体的超重相

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当于液体的密度变为原来的

g?a 倍) ,因而木块浸入水中的体积将不发生变化。 g

(三)浮体平衡的稳定性 浮在流体表面的浮体,所受浮力与重力大小相等、方向相反,处于平衡状态,浮体平衡的稳定性,将因所受扰动方式 的不同而异。显然,浮体对铅垂方向的扰动,其平衡是稳定的,对于水平方向的扰动,其平衡是随遇的。 浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动,其平衡的稳定性视具体情况而定。以浮于水面的船体为例:当船体向右倾 斜(即船体绕过质心的水平对称轴转动一小角度)时,其浮心 B 将向右偏离,浮力 FB 与重力 W 构成一对力偶,力偶矩将 促使船体恢复到原来的方向,如图所示,可见船体对这种扰动,其平衡是稳定的,但如果船体的重心 G 太高,船体倾斜所 造成的力偶矩也可能使船体倾斜加剧,这时船体的平衡就是不稳定的,如图所示。

【赛题精析】 例 1.如图所示,固定在竖直平面内的椭圆环,其长轴沿竖直方向,有两个完全相同的小圆环套在椭圆环上,不计质 量的轻线将两个小圆环连接在一起, 轻线跨过位于椭圆焦点 F 的水平轴, 小圆环与轻线系统处于平衡状态, 不计各处的摩擦, 小圆环的大小忽略不计。试分析说明,系统属于哪一种平衡状态?

例 2.如图所示,半径为 R 2 的均质圆柱体置于水平位置的半径为 R1 的圆柱上,母线互相垂直,设两圆柱间静摩擦系 数足够大,不会发生相对滑动,试求稳定平衡时, R1 和 R 2 应满足的关系。

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例 3.儿童玩具“不倒翁”高 h

? 21 m,质量 M ? 300 g,相对轴 KD 对称分布,不倒翁的下部是半径 R ? 6 cm 的

部分球面,如图所示。如果不倒翁放在与水平面倾斜成角 ?

? 30? 的粗糙面上,当它的轴 KD 与竖直方向偏角 ? ? 45? ,

则处于稳定平衡状态,如图所示。为了使它在水平桌面上失去稳定平衡,就要在头顶 K 点上固定塑泥,试问最少需加多少塑 泥?

例 4.一根均匀细杆悬在水面上不动,如图所示,杆可绕杆上端的水平轴 O 在竖直平面内转动。杆的长度为 l ,杆的材 料密度为 ? ( ? 小于水的密度 ? 0 ) 。当缓慢放下轴时,杆浸入水中。试求杆与竖直线的偏角与从轴到水面距离的关系。

【习题精选】 1. 在蜡烛的底部插入一个铁钉后,竖立在水中,蜡烛露出水面 1cm,已知蜡烛的密度为水的密度的 0.9 倍,现将蜡烛点 燃,蜡烛燃烧多长后才可熄灭?

2. 用轻绳连接的三个动滑轮组成动滑轮组,如图所示。挂在左、右两侧滑轮上的重物的质量均为 M ,为使系统处于平衡 状态,求挂在中间滑轮上的重物的质量 m 应为多大?两侧滑轮与支架之间的摩擦因数 ? 应为多少?这种平衡是否稳定? (图中角 ? 为已知)

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3. 一根质量为 m 的均匀杆,长为 l ,下端可绕固定水平轴转动,有两根水平弹簧,劲度系数相同,拴在杆的上端,使其 处于竖直位置,如图所示,问:弹簧的劲度系数为何值,才能使杆处于稳定平衡?

4. 如图所示,用均匀材料制成的浮子,具有由两个半径皆为 R 的球冠围成的外形(像一粒豆子) ,浮子的厚度 h ? 2R , 质量为 m1 ,沿浮子的对称轴向浮子插入一根细辐条,穿过整个厚度,辐条长 l 水中时,浮子只有少数体积没于水中,浮子的状态是稳定的吗?

? h ,质量为 m 2 ,当将浮子辐条向下浸于

5. 如图所示,边长为 a 的均匀立方体,平衡地放在一个半径为 r 的圆柱面顶部,假设静摩擦因数很大,足以阻止立方体 下滑,试证物体的平衡条件为 r

?

a 。 2

6. 如图所示,将一根长度为 2l 的硬铅丝弯成等臂直角形框架,在两臂的端点各固定一个质量为 m 的小球,在直角的顶点 焊一根长为 r 的支杆,支杆平分这一顶角,将杆支在支座上。试证:当 r 成为稳定的(不计支杆、铅丝的质量) 。

?

2 2 l 时平衡为随遇的;当 r ? l 时,平衡 2 2

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7. 如图所示,半径为 r 的球浮于密度分别为 ? 1 和 ? 2 的分层液体的界面处,该分界面正好位于球的直径平面上,求球所 受到的浮力有多大?

8. 用一根细线竖直悬挂一根长为 l 的均匀细木杆,置于水桶内水面上方,如图所示,当水桶缓慢上提时,细木杆逐渐浸入 水中,当木杆浸入水中超过一定深度 l ? 时,木杆开始出现倾斜现象,求 l ? (已知木杆密度为 ? ,水的密度为 ? 0 ) 。

9. 有一密度为 ? 1 ,半径为 r 的半球放在盛有密度为 ? 2 的液体的容器底部,它与容器底部密切接触(即半球表面与容器 底面间无液体) ,如图所示,若液体深度为 H ,问半球体对容器底部的压力是多大?

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10.在图中有一根细而均匀的棒长为 l1 ,一端悬以重为 P 的小球(球的体积可忽略不计) 。设棒的 1 力P。

1 浮出水面,求棒的重 n

11.半径为 R 的圆环绕其铅垂直径轴以角速度 ? 匀速转动,两质量为 m 的珠子用长为 L 稳定性(如图所示) 。

? R 的轻杆相连套在圆环上,可 在圆环上无摩擦地滑动,试求细杆在圆环上的平衡位置,用环心 O 与杆心 C 的连线与铅垂轴的夹角 ? 表示,并分析平衡的

12.如图所示, 大容器内盛有密度为 ? 1 的液体, 其内放一个底面积为 S 的圆筒形小容器, 其底部接进一个长为 L 的小口管, 两容器固定不动,往小容器内注入密度为 ? 2 的有色液体( ? 2

? ?1 ) ,直到液体高度为 H 时为止。此时小容器的液面与

大容器液面相平。 打开小口管下端开口处, 就会发现重液体从小口管内流入大容器, 但过一会儿轻液体又开始从小口管上升, 然后又重复这一过程,假设两种液体不相混合,又忽略表面张力,试求中液体首次从小容器流出的质量 ?m1 是多少?轻液 体每次流入小容器的质量 ?m 2 是多少?以后每次循环从小容器流出的重液体的质量 ?m k 又是多少?

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第五讲 质点运动的基本概念 【赛点知识】 力学中研究的运动,是指物体位置的变动,称为机械运动。这是最简单、最基本的运动形式,它存在一切运动形式之 中。如何描述运动使之可以量化处理需要一些基本的运动学概念。 一、参考系 机械运动时物体位置在空间中的变动,但是任何物体的位置及其变动只有相对于现实选定的物体或彼此无相对运动的 物体群才有明确的意义。这种被选作运动依据的物体或物体群成为参考物。与参考物固连的三维空间称为参考空间。另外, 位置变动总是伴随着时间的变动,所谓考察物体的运动,也就是考察物体的位置变动与时间的关系。参考空间与固连的时钟 的组合称为参考系。一般来说,研究运动学的问题,只要描述方便,参考系可以随便选取。但是在考虑动力学问题时,参考 系的选择就受到一定限制,因为有些重要的动力学规律(如牛顿三定律)只对特定的参考系(惯性系)成立。 参考系选定后,为了定量地标定物体相对于参考系的位置,还必须在参考系上建立适当的坐标系。所谓坐标系就是固 定在参考空间的一组坐标轴和用来确定物体位置的一组坐标。 常用的坐标系有直角坐标系、 极坐标系、 球坐标系和柱坐标系。 物体的运动完全由参考系选择决定,与坐标系的选取无关。坐标系的不同,只是描述运动的变量不同而已,对应的物体的运 动状态相同。 二、质点 实际物体都有一定的大小、形状和内部结构。在考察物体运动时,我们仅考察物体的整体运动,或物体本身的大小比 所考察运动的线度小得多,就可以不计物体各部分运动状况的差别把它抽象成一个点,称为质点。 质点是一种理想模型,它突出了物体具有质量和占有位置这两个主要因素,而忽略了形状、大小及内部结构等次要因 素。运动学中的质点概念使量化物体位置成为可能,而更复杂的物体运动可以看成质点的组合。 三、位移和路程 在直角坐标系中质点的位置可以用从坐标原点 O 指向质点 P 位置的有向线段 OP 来表示,OP 的长度给出质点到 O 点 的距离, OP 的方向可用方向余弦 cos? , cos ? 和 cos? 决定,由于

cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1
故有向线段 OP 是由 ? , ? , ? 及 OP 的长度中任意三个参量决定。有向线段 OP 是一个特殊的矢量,称为位置矢量, 简称位矢,用 r 表示。当质点运动时,位矢的大小和方向都随时间变化,表示某时刻质点的位置,即

?

? ? r ? r (t ) ? 位矢在一段时间 ?t 内的变化量称为位移,用 x 表示: ? ? ? x ? r (t ? ?t ) ? r (t )
如图所示,位移既有大小又有方向,是一个矢量,所以上述运算遵循矢量运算法 则。 位移 ?x 的矢量和,而路程是这些瞬间位移大小的标量和,即: 路程是物体通过的实际轨迹的长度。路程只有大小,没有方向。可以这样认为,一段时间 t 内的位移 x 是每瞬间 ?t 内

?

?

? ? ? x ? ? ?x , s ? ? ?x
要注意的是位移反映的是物体的运动,所以位移总和某段时间相对应,如图所示中 x 是表示 t 时间内的运动量的大小 和方向,而 ?x 是表示瞬间的运动量的大小和方向。 四、速度 物体以恒定快慢程度在一直线上运动,称为匀速直线运动。匀速直线运动是最简 单的一种运动。在匀速直线运动中,任意时间内的位移和所用时间的比值都为常量, 可以用来描述运动的快慢叫做匀速直线运动的速度。

?

?

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v?
非匀速直线运动或曲线运动质点在任意 t 到 t

? ?t 的比值不再为常量,仍用某段时间间隔内的位移和该段时间间隔的 比值来描述该段运动的大致快慢程度,称为该时间间隔中质点的平均速度,用 v 表示。 ? ?x v? ?t
方向沿位移方向,这实际上是用一段匀速运动对原运动的等效替代。 当考察的时间间隔足够小时,此时间内各质点运动的快慢和方向可能存在的差别也必然非常小,以致可以忽略不计, 于是当 ?t

x t

? 0 时,上述平均速度的极限就可以精确描写 t 时刻质点运动的快慢和方向,此极限称为 t 时刻的瞬时速度,简 ? 称速度,用 v t 表示: ? ?x ? vt ? lim ?t ?0 ?t
五、加速度 一般情况下质点的速度往往随时间变化,与速度的定义类似我们可以先寻找最简单的变速运动——匀变速直线运动。

a?
由于速度随时间线性变化则平均速度为:

?v ?t

v?
则其运动位移、时间、速度及加速度有如下关系:

v 0 ? vt 2

?vt ? v0 ? at ? 1 2 ? ? x ? v0 t ? at 2 ? 2 2 ?vt ? v0 ? 2ax ?
注意上述运算遵循矢量运算法则,由于是一直线上的矢量,故可设定正方向后以标量的代数和形式运算。 同样也可以得出平均加速度和瞬时加速度,分别为:

? ? ?v ? ?v , at ? lim a? ?t ?0 ?t ?t

如图所示。

六、运动图像 图像是描述各种运动的另一种重要形式,匀变速直线运动的图像如图所示,图像中的斜率和面积也有重要含义,合理 运用可以很直观地反映运动。对于平面曲线运动及空间曲线运动则需要对运动在坐标系中分解,各方向分运动分别描述。

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【赛题精析】 例 1. 如图所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅汽雾拖尾的照片 (俯视) 两列车沿直轨道分别以速度 v1 。 和 v2

? 50 km/h

? 70 km/h 行驶,行驶方向如图所示。求风速。

例 2.一总质量为 M 的卡车拖着一质量为 m 的车厢在水平路面上匀速行驶,已知所受阻力和车重成正比。某时刻, 后面所挂车厢脱落,司机维持原有牵引力不变继续行驶了 L 距离后发现车厢脱落,于是关闭发动机,问当卡车停下时候与 车厢相距多少距离?

例 3.蚂蚁离开巢沿直线爬行,它的速度与到蚁巢中心距离成反比。当蚂蚁爬到离巢中心 L1

? 1 m 的 A 点处时速度是

v1 ? 2 cm/s。试问蚂蚁从 A 点爬到距离巢中心 L2 ? 2 m 的 B 点需要多少时间?

例 4.一些很小的球从竖直对称轴附近,高度 H

?

R 处,无初速度情况自由落下。碰到半径为 R 的凹形球面上,小 8

球与球面的碰撞是完全弹性的,试证明在第一次碰撞后,每个小球都落在球面的最低点(小球间不发生碰撞) 。

始时两位小朋友的位置如图所示,考虑到两个木马相互接触并以相同的角速度 ? 向同一方向旋转。试问:从乙观察丙的运 动有什么特点?

例 5.两位小朋友乙和丙,他们打算玩一会旋转木马。乙在半径为 r 的旋转木马上,丙在半径为 R 的旋转木马上。开

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【习题精选】 1. 一架飞机在高度为 10 km 上空飞行,机上乘客看见太阳升起。试估计在飞机正下方地面上的观察者还要经过多少时间可 以看见太阳。

2. 身高 h 的人以 v 的速度在水平面上从路灯的正下方匀速走过, 在某一时刻, 人的影长为 L1 , 经过时间 t , 人的影长为 L2 , 求路灯距地面的高度。

3. 如图所示为两个光滑的斜面,两斜面高度相同,且 AB+BC=AC,今让小球分别从斜面(a)中的 A 点和斜面(b)中的 A? 点无初速释放,若不计小球在 B 点损失的能量,试问哪种情况下,小球滑至斜面底端历时较短?

4. 将光滑细管弯成圆角的长方形,如图所示固定在竖直平面,B 角比 C 角低,从 A 角同时放进两个小球,一个沿 AB,一个 沿 AC 滑到 D 角,问哪个球先到达 D 角?

5. 如图所示,一辆小车在轨道 MN 上行驶的速度 v1 可以达到 50 km/h,在轨道外的平地上行驶的速度 v 2 可达到 40 km/h, 与轨道的垂直距离为 30 km/h 的 B 处有一基地,如图所示,问小车从基地 B 出发到离 D 点 100 km 的 A 处的过程中最短时间 需要多少?

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6. 快艇系在湖面很大的湖的岸边(湖岸线可认为是直线) ,突然系艇的绳松脱,风吹着快艇以恒定的速度 v 0 沿与湖岸成 ?

? 2.5 km/h

? 15? 的角漂去。人可沿湖岸以速度 v1 ? 4 km/h 行走或在水中以 v2 ? 2 km/h 游泳,那么能否追上快艇?当

快艇速度最大为多大时人可以追上?

7. 两个物体沿直线相向运动,初速度分别是 v1 和 v 2 ,而加速度为 a1 和 a 2 ,加速度方向分别与相应的初速度方向相反, 要使两物体在运动过程中迎面相遇,试求它们间的最大起始距离 l max 。

8. 如图所示,一质点自倾角为 ? 的斜面上方 O 点,沿一光滑斜槽 OA 下降,如欲使此质点到达斜面所需的时间最短,问斜 槽 OA 与竖直线所成之角度 ? 应为何值?

9. 如图所示,在竖直平面内有一半径为 R 的圆环,同一平面内有一点 A,由点 A 到圆环上任一点 M 连接光滑直线。在重 力作用下,一金属小环 m 从 A 点由静止出发滑到 M。问 M 点位于何处时, m 滑动所用的时间最短?

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10.如图所示,AOB 是一个内表面光滑的楔形槽,固定在水平桌面(图中纸面)上,夹角 ? 夸大了) 。一个质点从 C 处以速度 v

? 5 m/s 射出,其方向与 AO 间的夹角 ? ? 60? ,且 OC

?1? (为了能看清楚,图中 ?
= 10 m。设质点与桌面间的摩擦

可以忽略不计。质点与 OB 面及 OA 面的碰撞都是弹性碰撞,且每次碰撞时间极短,可以忽略不计。试求: (1)经过几次碰撞后质点又回到 C 处与 OA 相碰(计算次数时,包括在 C 处的碰撞)? (2)全过程经历多少时间? (3)在此过程中,质点到 O 点的最短距离是多少?

11.设从空间一点 M 以同样的速度沿着同一竖直面内各个不同方向,同时抛出几个物体。试证明,在任一时刻,这些抛出物 体总是处在某一个圆周上。

12.试求在日全食期间月球的影子沿地球表面运行的速度。不考虑地球沿轨道运行方向的修正值。为了简单起见可以认为: 观察日食是在赤道上晌午时进行的,地轴垂直月球轨道平面。地球绕地轴运行的方向与月球沿轨道绕地球运动方向一致,如 图所示。地球与月球之间距离为 r

? 3.8 ?10 5 km、地球半径 R地 ? 6.4 ? 10 3 km。月球上一个月为地球上 28 天。计算时

注意地球到太阳的距离比地球到月球的距离远得多。

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13.有一质点由 A 向 B 作直线运动,A,B 间的距离为 L ,已知质点在 A 点的速度为 v 0 ,加速度为 a 。如果将 L 分成相等 的 n 段,质点每通过

L a 的距离,加速度均匀增加 ,求质点到达 B 时的速度。 n n

14.湖湾成顶角为 ? 的楔形,岸上住有一个渔人;他的房子在 A 点,如图所示,从 A 点到他离湖最近的 C 点之距离为 h , 而到湖湾的一头,即到 D 点之距离为 l ,湖对岸 B 点处有渔人好友的房子,点 B 位置与 A 点相对湖湾对称。渔人拥有一只小 船,他可以以速度 v 沿岸步行或以速度

v 乘船载湖中划行,他从自己家里出发到好友家里去,求他需要的最短时间 t 。 2

15.如图所示,在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道 ABC,光滑小球从顶点 A 处沿斜边轨道自静止出发自由地 滑到端点 C 处所需要的时间, 恰好等于小球从顶点 A 处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点 C 处所需要的时间, 这里 假设铅垂轨道 AB 和水平轨道 BC 的交接处 B 有极小的圆弧,可确保小球无碰撞地拐弯,且拐弯时间可忽略不计。 在此直角三角形范围内可构建一系列如图中虚线所示的光滑轨道, 每一轨道是由若干铅垂线与水平线交接而成, 交接处 有极小圆弧(作用同上) ,轨道均从 A 点出发到 C 点终止,且不越出该直角三角形边界,试求小球在各条轨道中,由静 止出发自由地从 A 点划行到 C 点所经时间的上限和下限之比值。

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第六讲 相对运动和运动的合成与分解 【赛点知识】 一、运动的合成与分解 运动的合成与分解是指位移、速度及加速度的合成与分解。因为都是矢量,其运算都遵守矢量运算法则,即平行四边 形定则或三角形法则。 一个物体同时参与两个运动,其表现结果就是合运动,分运动和合运动是同时存在的,解题时要注意利用等时性。 各分运动是相互独立的,某一分运动并不因为其他的分运动的存在和变化而受到影响,分运动的变化只会使合运动发 生变化。 已知两个分运动,其合运动是惟一的,而将一个已知运动分解成两个分运动,可以有无数解,需从题中寻找隐含条件 来确定分解方式。 把矢量向某个方向投影时,必须就另一分量也作出交待。 二、相对运动 运动的合成包括位移、速度、加速度的合成,遵从矢量合成法则。通常,将相对观察者静止的参照系称为静止参照系, 将相对观察者的参照系称为运动参照系。 物体相对于静止参照系的运动称为绝对运动, 相对应的速度和加速度称为绝对速度 和绝对加速度;物体相对于运动参照系的运动称为相对运动,相对应的速度和加速度称为相对速度和相对加速度。而运动参 照系相对于静止参照系的运动称为牵连运动,相对应的速度和加速度称为牵连速度和牵连加速度。以速度为例,这三种速度 的矢量关系为:

? ? ? v绝对 ? v相对 ? v牵连
位移、加速度之间也存在类似关系,但要注意具体运算是按平行四边形法则或三角形法则进行的。 三、负矢量、矢量减法和相对速度 负矢量是跟对应矢量大小相同、方向相反的矢量。有了负矢量的定义,我们就可以从矢量相加法则推出矢量相减的法 则。 现在我们来求两个运动物体之间的相对速度。 如图所示,如果某甲有一个向东的速度 v1 ,则在甲看来,所有物体相对于他都向西运动,速率为 v1 ,即所有物体有一 个速度 ? v1 。当某乙实际上运动速度为 v 2 时,在甲看来乙同时具有两个速度 ? v1 和 v 2 ,因而甲观察到的乙相对于甲的相 对速度为:

?

?

?

?

?

? ? ? v21 ? v2 ? v1
同理,乙观察到的甲相对于乙的相对速度为:

? ? ? ? v12 ? v1 ? v2 ? ?v21
凡是涉及相对速度的问题都可用这些公式处理。 四、刚体的平面运动 刚体的平面运动是一种较为复杂的运动。但从理论上讲,任何刚体的平面运动都可看作是随某一点的平动与绕该点的 转动的合运动。这一点我们称为基点。基点是可任意选取的,不会影响解题的结果,平动部分与基点的选取有关,转动部分 与基点的选取无关。 如图所示可知,选 A 为基点,则 B 点的速度即由平动速度 v A 与转动速度 v BA (? ?AB) 合成而得,即

?

?

? ? ? vB ? v A ? vBA
由图可看出,v BA 总是垂直于 AB 连线的。 也就是说它在 AB 连线上的投影为零, 所以 v A 和

?

?

? v B 在 AB 连结的投影必相等。故可得结论:当刚体做平面转动时,其上任意两点的速度在这两

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点连线上的投影相等。 五、轮的直轨道滚动 半径为 R 的轮在固定的直轨道上滚动时,轮的中心点 O 相对直轨道作直线运动,速度记为 vO ,此轮绕 O 转动角速度 便为:

?

??
? 轮缘上任何一点 P 绕 O 作圆周运动,速度为 v P ,其大小为 v? P ?

? v0 R
? ?R ,方向随时在变,点 P 相对直轨道的速度便为:

? ? ? ? v P ? vO ? v P

? 需要注意的是 v P , vO 大小虽同为 ?R ,但方向一般不同。仅当 P 转到最高位置时两者方向一致,此时 v P 达极大值 2?R 。 ? P 转到最低位置时,即与直轨道接触时, v P , vO 彼此方向相反, v P
六、轮的圆轨道滚动 轮沿着固定圆轨道滚动时,设轮心 O 的圆运动角速度为 ? O ,轮绕 O 转动角速度为 ? ,如图所示,轮上点 P 相对圆轨 道的速度为:

?

?

?

?

?

?

? 0。

? ? ? ? v P ? vO ? v P

? 式中, vO 为点 O 相对圆轨道速度, v P 为 P 相对 O 的速度。两者大小为:
vO ? ? O ( R ? r ) ,
v ? ? ?r p

?

?

? 式中, R , r 分别为圆轨道和轮的半径。当 P 与圆轨道接触时,如图所示,必有 v P
大小必相同,即得:

?

? ? ? ? ? ? ? 0 ,且 v P 与 vO 反向,因此 vO , v P

?O ( R ? r ) ? ?r
便有:

?O r 。 ? ? R?r

【赛题精析】 例 1.有一拖轮从港口出发去拦截一艘正以 u 的速度沿直线航行的轮船,港口离轮船航线的最近点为 a 。当轮船离港 口 b 时(但尚未达最近点)拖轮起航。试证明拖轮追上轮船所必需的最小速率为

au 。 b
的一段航线内被拦截。

2 b 2 v 2 ? a 2u 2 au 若拖轮的航速 v(u ? v ? ) ,试证明轮船可在航行时间为 u2 ? v2 b

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例 2.如图所示的系统中,A1,A2 两物体均有向下的速度 v A ,吊住 B 物体的两根绳与竖直方向的夹角都是 ? ,试求 B 物体上升的速度 v B 。

例 3.一只狐狸以不变的速度 v1 沿直线 AB 逃跑,一猎犬以不变的速率 v 2 追击,其运动方向始终对准狐狸。某时刻狐 狸在 F 处,猎犬在 D 处,FD 垂直于 AB 且 FD =

L ,如图所示,试求猎犬追上狐狸所需要的时间。

例 4.缠在线轴上的绳子的一头搭在墙上的钉子 A 上,如图所示。以恒定速度 v 拉绳,当绳子与竖直方向成角 ? 时, 求线轴中心速度 v O 。线轴外径为 R ,内径为 r ,线轴沿水平面作无滑动的滚动。

例 5.胶合板从空中落下,发现在某个时刻 a 点和 b 点速度相同: v a

? vb ? v ,且均位于板面上;同时还发现板上

c 点速度为 2v ,c 点到 a,b 点的距离等于 a,b 间距离。试问:板上的哪些点的速度等于 3v 。

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【习题精选】 1. 唱机转盘以 33

1 r / min 2

的恒定转速旋转,一个小虫在转盘上以 3 cm/s 的线速率沿一径向直线向外爬行,当小虫距轴

12 cm 时,地面上静止的观察者所看到的小虫速度是多少?

2. 某人驾船从河岸 A 处出发横渡,如果使船头保持跟河岸垂直的方向航行,则经 10 min 后到达正对岸下游 120 m 的 C 处, 如果他使船逆向上游,保持跟河岸成 ? 角的方向航行,则经 12.5 min 恰好到达正对岸的 B 处,求河的宽度是多少?

3. 甲乙两个游泳运动员,甲在东西方向的河南岸,乙在北岸,彼此相距 s 。甲乙两处连线方向与河岸成 ? 角,如图所示, 已知甲在静水中的最大游泳速度为 v1 ,乙在静水中的最大游泳速度为 v 2 ,甲乙两人同时开始运动。 (1)求他们从出发到相遇需要的最短时间; (2)问他们的运动方向如何?设水的流速保持不变。

4. 如图所示,一串相同汽车以等速度 v 沿宽度为 c 的直公路行驶,每车宽为 b ,头尾间距为 a ,则人能以最小速率沿一 直线穿过马路所用的时间为多少?

5. A,B,C 三个芭蕾演员同时从边长为 L 的三角形顶点出发,以相同的速率 v 运动,运动中始终 A 朝着 B,B 朝着 C,C 朝着 A,试问经过多少时间三人相遇?每个演员跑了多少路程?

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6. 如图所示,一个圆台,上底半径为 r1 ,下底半径 r2 ,其母线 AB 长为 l ,放置在水平地面上,推动它之后,它自身以角 速率 ? 旋转,整体绕 O 点作匀速圆周运动,若接触部分不打滑,求旋转半径 OA 及旋转一周所需的时间。

7. 一木板竖直地立在车上,车在雨中匀速行进一段给定的路程,木板板面与车前进方向垂直,其厚度可忽略。设空间单位 体积内的雨点数目处处相等,雨点匀速竖直下落,下列诸因素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是( A.雨点下落的速度 B.单位体积中的雨点数 C.车行进的速度 D.木板的面积 )

8. 均匀光滑细棒 AB 长 L ,A,B 两端分别靠在光滑墙和地板上,如图所示,由于光滑,棒将开始滑动,当 A 端滑动到离 O 点距离为 y 时,A 端速度为 v ,问此时 B 端的速度多大?

9. 模型飞机以相对空气 v

? 39 km/h 的速度绕一个边长为 2

km 的等边三角形飞行,设风速 u

? 21 km/h,方向与三角形

的一边平行并和飞机起飞方向相同。求飞机绕如图所示的三角形一周需要多少时间?

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10.如图所示装置, 设杆 OA 以角速度 ? 绕 O 转动, A 端则系以绕过滑轮 B 的绳, 其 绳子的末端挂一重物 M, 已知 OB 当 ?OBA ? ? 时,求物体 M 的速度。

? h,

11.如图所示,AB 杆的 A 端以匀速 v 运动,在运动时杆恒与一半圆周相切,半圆周的半径为 R ,当杆与水平线的交角为 ? 时,求杆的角速度 ? 及杆上与半圆相切点 C 的速度和杆与圆柱接触点 C? 的速度大小。

12.两只小圆环 O 和 O? 分别套在静止不动竖直杆 AB 和 A?B? 上。一根不可伸长的绳子一端系在 A? 点上,穿过环 O? , 另一端系在环 O 上,如图所示。若环以恒定速度 v1 向下运动, ?AOO? ? ? ,求环 O 的速度。

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13.合页构件由三个菱形组成,其边长之比为 3 : 2 : 1 ,如图所示。顶点以速度 v 往水平方向移动。则当构件所有角都为直 角时,顶点 A1,A2,B2 的速度。

14.线轴沿水平面做没有滑动的滚动,并且线段(A 点)的速度为 v ,水平方向。以铰链固定于 B 点的木板靠在线轴上,如 图所示。线轴的内外半径分别为 r 和 R 。试确定木板的角速度 ? 与角 ? 的关系。

15.如图所示,有两条位于同一竖直平面内的水平轨道,相距为 h 。轨道上有两个物体 A 和 B,它们通过一根绕过定滑轮 O 的不可伸长的轻绳相连接,物体 A 在下面的轨道上以匀速率 v 运动。在轨道间的绳子与轨道成 30? 角的瞬间,绳子 BO 段的 中点处有一与绳相对静止的小水滴 P 与绳子分离。设绳长 BO 远大于滑轮直径,求: (1)小水滴 P 脱离绳子时速度的大小和方向; (2)小水滴 P 离开绳子落到下面轨道所需要的时间。

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第七讲 抛体运动 【赛点知识】 抛体问题大概是大家进入高中以来第一个碰到的稍复杂的问题,之前的匀速直线运动和匀加速直线运动都只是在一维 理想情况下的简单问题,而抛体问题就扩展到二维空间。二维空间的运算不再是一维空间中的代数运算,而是矢量运算。 用现在的匀速直线运动和匀加速直线运动的知识就可以处理抛体问题,由于抛体运动是匀变速平面曲线运动,基本的 处理方式是在平面直角坐标系中对运动分解,这也是处理曲线运动的一种最基本的方法。先来看相对简单的竖直抛体运动。 竖直抛体运动 竖直抛体运动是抛体运动中比较简单的一种,即竖直向下或者竖直向上的抛体运动。处理这个问题和前面的一维情况 下的匀变速直线运动一样,这里加速度是 g ,竖直向下。不过这样处理问题的前提是不考虑空气阻力。大家很容易就能得 到竖直上抛的运动方程:

vt ? v0 ? gt ,

x ? v0 t ?

1 2 gt 2

这里的 v t 是抛出后 t 时刻的速度, x , v 0 , v t 都是以向上为正。运动关于速度为零的点(最高点)对称。 下抛运动的处理方法完全类似,只不过是将正方向取为下而已。 平抛运动 平抛运动就是以一定的初速度 v 0 沿水平方向抛出去后物体所做的运动。平抛运动是曲线运动,要用到前面的运动的合 成与分解的方法。 我们可以看到平抛运动可以分解成水平的匀速直线运动和竖直的自由落体运动的合成。 上面已经说过运动 的分解是任意的,我们可以沿不同分运动数,不同方向、大小作不同的分解,但是对于平抛运动的相对较简单的方法就是沿 水平和竖直两个方向的分解,如图所示。则各运动分量为:

?v x ? v 0 , ? ?v y ? gt

? x ? v0 t ? ? 1 2 ? y ? 2 gt ?

合速度和合位移(大小,方向)由两个方向的分量矢量相加得到:
2 2 v ? vx ? v y



tan ? ?

vy vx

s?

x2 ? y2



tan? ?

很容易可以发现 ? 和 ? 之间的关系: 以及平抛运动的轨迹方程:

y x

tan? ? 2 tan?
y? g 2 x 2 2v 0

抛物线上某点的切线方向就表示在这点物体的速度方向。而 tan? 斜抛运动 斜抛运动是以一定的初速度(方向用角度 ? 表示)抛出去的物体 所做的运动。按照平抛运动的分解规则,斜抛运动也可以分解为水平和 竖直两个方向的分运动,水平方向仍然是匀速直线运动,竖直方向则具 有初速度的匀变速直线运动。 按照上述分解方法分析初速度为 v 0(大小为 v 0 , 方向用仰角 ? 表 示)的斜抛运动,如图所示:

? 2 tan? 式与抛物线上某点的切线的斜率有关,

感兴趣的同学可以自己推导一下。由轨迹方程可以求出一定高度平抛运动的抛程(取时间为正的根) 。

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?v x ? v0 cos? , ? ?v y ? v 0 sin ? ? gt

? x ? v0 t cos? ? ? 1 2 ? y ? v0 t sin ? ? 2 gt ?

由上面两组公式和矢量合成法则就可以得到 t 时刻的速度和位移矢量。斜抛运动的轨迹方程也可以由此得到:

y ? x tan? ?
对轨迹方程求

g x2 2v cos2 ?
2 0

y 的最大值就得到射高:
H?
2 v 0 sin 2 ? g

物体达到最高点的条件是 v y

? 0 ,故可得到达到最高点的时刻: t M ?

v0 sin ? g





: y ? 0 时的 x 值就得到斜抛运动的射程(到达和抛出点等高时和抛出点的水平距离)
2 v 0 sin 2? g

R?
而由运动的对称性可得到到达射程点的时刻:

t P ? 2t M
从射程的表达式可以看出在 ?

? 45? 时射程有最大值,而且有互余的两仰角,若速度的大小相同那么对应的射程也相同。

对于高为 h 抛射点的最大射程类似求解,不过在数学处理上会烦一些,大家可以试着求出表达式。这个结论在我们日常生 产中有一定应用,比如推铅球、投垒球、掷标枪等。 平抛运动和竖直抛体运动只是斜抛运动一定初速角度的特例。 以上是关于斜抛运动的水平竖直分解的有关内容,以下介绍一下应用斜交分解较简单的情况。举一个例子:在斜面底 端作斜抛运动,求物体触到斜面前离开斜面的最大距离。这里斜面的倾角用 ? 表示,那么简单的处理方式就是按照角度 ? 进行正交分解,如图所示:

v x ? v0 cos( ? ? ) ? gt sin ? , ?
v y ? v0 sin(? ? ? ) ? gt cos? ,

1 2 gt sin ? , 2 1 y ? v0 t sin(? ? ? ) ? gt 2 cos? 。 2 前面的问题的解答是 y 的表达式关于 t 的最大值。所以说分解是任意的,按照对具体问题的解决难易来决定,但是对于绝大 x ? v0 t cos( ? ? ) ? ?
多数的抛体问题,分运动数量为 2,而且为正交分解(两分运动互相垂直) ,因为我们在矢量合成的运算时,也是通过正交 分解来求合矢量的大小和方向的,采用直角分解主要由我们描述矢量的方式决定。 以上的内容都是在理想条件下的抛体运动描述,可是实际的情况要复杂得多,空气阻力对抛体运动有不可忽略的影响, 我们将考虑空气阻力的抛体运动的运动轨迹称作弹道曲线, 关于弹道曲线的拟合研究对早期惯性制导的导弹精确度有重要贡 献。

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【赛题精析】 例 1.从高 H 处的一点 O 先后平抛两个小球 1 和 2,求 1 直接恰好越过竖直挡板 A 落到水平地面上的 B 点,如图所示, 设球 2 与地面碰撞遵循类似光的反射定律,且反弹速度大小与碰前相同,求竖直挡板的高度 h 。

例 2.在离地高为 h 处,一小球以初速度 v 0 作斜抛运动如图所示,则它的抛射角 ? 为多大时,才能获得最大的水平射 程?并求出此最大水平射程 L max 。

例 3.大炮在山脚直接对着倾角为 ? 的山坡发射炮弹,炮弹初速度为 v 0 ,要在山坡上达到尽可能远的射程,则大炮的 瞄准角为多少?最远射程为多少?

例 4.炮从隐蔽所底下向外射击,隐蔽所与水平面倾角成角 ? ,如图所示,炮位于离隐蔽所的地基(B 点)相距 l 的 A 点处,炮弹的初速度为 v 0 ,炮弹飞行的轨道位于图面上。求炮弹飞行的最远射程。

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例 5. 一质点在平面上作匀变速运动, 在时刻 t

? 1s,3s,5s 时,质点分别位于平面上的 A,B,C 三点,已知 AB ? 8 m,

BC ? 6 m,且 AB ? BC 。试求此质点运动的加速度是多少?

【习题精选】 1. ,但抛出点未知,AB 是平抛的一段轨迹,已知 A,B 两点到 y 轴的水平距 y 轴为过抛出点的数值线(物体作平抛运动)

离分别为 x1 , x 2 ,AB 两点的竖直距离为 h ,如图所示,求小球抛出时的初速度为多少?

2. 如图所示,房间的左上方离地面 H 高的 A 处放一白炽灯泡 P,今在 A 处有一小球水平方向抛出,恰好抛射到 BC 墙前的 C 点。问: (1)小球在墙上的影子作什么运动? (2)影子移动速度多大?

3. 如图所示,有一半径为 R 的无限长竖直圆筒。一个小球从 O 点以 v 0 水平抛出,与筒壁不断发生碰撞,不计碰撞时间和 碰撞损失,求发生第 n 次碰撞时,小球下落的高度。

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4. 如图所示,轰炸机以速度 v1 作水平匀速飞行,飞行高度为 H 。问: (1)为使炸弹命中地面目标,试问应在离目标多大水平距离处投弹? (2)地面上与目标距离为 D 处有一高射炮,在飞机投放炸弹的同时发 射炮弹,为使炮弹能击中飞行中的炸弹,试问炮弹初速 v 2 至少要多大? (3)若 v 2 取最小值,试问炮弹的发射角是多大? 已知轰炸机、高射炮和目标在同一竖直平面内,设空气阻力可忽略。

5. 一只弹性小球从离地板高 H

? 1 m 处放下,在球下落的路径上固定一块木板,球从板上弹起。问:怎样放置板,才能

使球落地点离下落起点最远?这个最远距离为多少?

6. 木排停泊在河上,到岸的距离 L

? 60 m。流水速度同离岸的距离成比例增大,在岸边 v0 ? 0 ,而在木排边流速

v L ? 2 m/s。小汽船离开岸驶向木排。船相对水的速度 v ? 7.2 km/h。问:驾驶员在起航前应该使船指向何方,使以后无
须校正船速就能靠上与起航处正对面木排?这时船航行多少时间 T ?

7. 一个小球以初速度 v 0 与水平方向成 ? 角斜上抛出,碰到水平方向以速度 v 迎面而来的竖直壁上,球被弹回到抛出点。 试问:小球抛出后,经过多少时间 t 发生于壁碰撞?(不计摩擦)

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8. 钢球沿着光滑的长梯弹跳,在每一级台阶上仅弹跳一次,如图所示。每次与台阶碰撞时,球要损失 50%的机械能。试求: 小球抛出时的初速度 v 及其与竖直线的夹角 ? 。 (梯子台阶高度 h

? 10 cm,宽 l ? 20 cm)

9. 一水枪需将水射到离喷口的水平距离为 3 m 的墙外,从喷口算起,墙高 4 m,不计空气阻力,取 g 需的最小初速度及对应的喷射仰角。

? 10 m/s 。求:所
2

10.一盏灯挂在离地板高 L2 的天花板下面 L1 处。灯泡爆破,所有碎片以同样大小速度 v 向各方向飞去。求:碎片落到地 板上的半径。 (可以认为碎片与天花板的碰撞是弹性的,与地面的碰撞是完全非弹性的,碎片碰不到墙)

11.追击炮和目标位于同一个水平面上,它们之间有高为 h 的小山。追击炮到山顶的水平距离为 a ,目标到山的距离为 b , 如图所示。试求:为击毁目标,炮弹必须具有的最小初速度以及发射角(空气阻力不计) 。

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12.枪击气碟,子弹和飞碟自同一地点、相同速率 v 0 发射,飞碟发射仰角为 ? 1 ,子弹的仰角为 ? 2 ,飞碟和子弹在同一平 面内运动。求:子弹击中飞碟时的发射时间间隔。

13.从高度 h

? 1km 的山上,以速度 v0 ? 500 m/s 水平发射第一颗炮弹。过了 t 0 ? 1 s 接着发射第二颗炮弹。问:要使第

二颗炮弹追上第一颗炮弹,它应当具有的最小初速度及发射角度为多大?

14.在仰角 ?

?

?
6

的雪坡上举行跳台滑雪比赛如图所示,运动员从坡上方 A 点开始下滑,到起跳点 O 时借助设备和技巧,

保持在该点的速率而以与水平成 ? 角的方向起跳,最后落在坡上 B 点,坡上 OB 两点距离 L 为此项运动的纪录,已知 A 点高 于 O 点, h

? 50 m。忽略各种阻力、摩擦。求:最远可跳多少米,此时起跳角为多大?

15.从离地面的高度为 h 的固定点 A,将甲球以速度 v 0 抛出,抛射角为 ? , 0 ? ?

?

?
2

,若在 A 点前方适当的地方放一

质量非常大的平板 OG,让甲球与平板作弹性碰撞,并使碰撞点与 A 点等高,如图所示,则当平板的倾角 ? 为恰当值时 (0 ??

?

?

) ,甲球恰好能回到 A 点。另有一小球乙,在甲球自 A 点抛出的同时,从 A 点自由落下,与地面作弹性碰撞。

2

试讨论: v 0 , ? , ? 应满足怎样的一些条件,才能使乙球与地面碰撞一次后与甲球同时回到 A 点。

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第八讲 圆周运动 【赛点知识】 直角坐标系中,任意空间曲线运动都可以分解为直线运动来研究,原则上解决所有的曲线运动问题。但对于很多非匀 变速曲线运动往往这种分解显得极不方便,若是涉及复杂的数学计算,会使问题极难求解。圆周运动的研究方式事实上给我 们提供了研究一般曲线运动的另一类运动分解方式。 质点的平面曲线运动轨迹一般为光滑曲线,所谓光滑曲线就是处处无突变性拐角的曲线。如果轨迹曲线中有突变性拐 角,总可将其分解为若干段,使得每一段内均无这样的拐角。例如从地面斜抛出去的小球,落地后又弹上去,以后还会屡次 落地,形成有突变性拐角的曲线轨道,落地点为一系列的拐角点。这样的曲线显然可分解为若干段光滑的抛物线,分段点取 在落地点即可。 将一段光滑的平面曲线分解为一系列无限小的弧线, 数学上可知对于曲线上任意 S 处附 近的无限小弧线都可以找到一个对应的圆,使得这一小段弧线成为该圆上的一小段圆弧,如 图所示。此圆称为曲线在 S 处的曲率圆,圆半径 R 称为 S 处的曲率半径。 R 小,曲线在 S 处弯曲程度高; R 大,弯曲程度低。直线可视为曲率半径 R 处处为无穷大的特殊曲线。 根据上面的讨论,点 P 的平面曲线运动可分解为一系列的圆弧运动,从而将平面曲线运 动约化为圆周运动。 质点在半径为 R 的圆周上运动时,可以用图中的转角 ? 来确定它的位置。设 ?t 时间内转过的角量为 ?? ,可引入平 均角速度:

??
进而取 ?t

? 0 ,得瞬时角速度,记为:
?t ?0

?? ?t ?? ?t ?0 ?t v ? lim ?l ?t

? ? lim ? ? lim

需要注意的是在这里平均角速度和角速度都是矢量,方向由右手螺旋确定。点 P 的速度 v 沿圆周的切线方向,大小为:
?t ?0

?

? R?? 为 ?t 时间内转过的小圆弧弧长,如图所示。据此有: v ? ?R ? 乃至 v 为常量的圆周运动,称为匀速圆周运动。这一称谓可理解为是“匀角速圆周运 ? 动”或“匀速率圆周运动”的简化。点 P 作匀速圆周运动时, v 的大小不变,但方向始终在变 ? ? ? 化,在 ?t 时间内 v 由 v1 变为 v 2 ,则速度增加应为:
式中 ?l

? ? ? ?v ? v2 ? v1
参考图示,在由 v1 , v 2 , ?v 构成的矢量等腰三角形中,当 ?? 向圆心,大小为:

?

?

?

? ? ? ? 0 时, ?v 的方向垂直于 v 2 且与矢径 R 反平行,即指

?v ? v1?? ? ?R??
于是圆运动加速度为:

方向:指向圆心;大小: a

? lim

?v ?? ? lim ?R ? ?2R 。 ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t

? ?v ? a ? lim ?t ?0 ?t

a 既然指向圆心,故也称为向心加速度,改述为: an ? ? 2 R 。

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因 v ? ?R ,又有: a n

? ?v ?

v2 R



可以看出 a n 不改变 v 的大小,但它起着改变 v 方向的作用。

?

?

?

? 乃至 v 均随时间 t 变化的圆周运动,称为变速圆周运动,可为此种运动引入角加速度 ? ,定义为:
? ? lim
?? ?t ?0 ?t
?

质点作变速圆周运动时, v 的方向和大小都在变化,在 ?t 时间内,设 v 由 v1 变为 v 2 ,速度增量:

?

? ? ? ?v ? v2 ? v1
可如图所示分解为: ?v

?

? ? ? ?v? ? ?v// 。

? ? ? ? ?v? 相当于匀速圆周运动中的 ?v , ?v// 的方向与 v 2 平行,大小为:
? ?v// ? v2 ? v1 ? ? 2 R ? ?1 R ? R??
点 P 加速度矢量

? ?v ? a ? lim ?t ?0 ?t ? ? ?v// ?v? ? a ? lim ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t
? ?

可分解为:

式中第一项与匀速圆周运动中的 a n 完全一致,第二项沿切线方向,称为切向加速度 a? 。于是 a 可表述为:

?

? ? ? a ? a n ? a?

v2 ? a n 方向:指向圆心;大小 an ? ? 2 R ? ?v ? R
?v ?? ? a? 方向:沿切线方向;大小 a? ? lim // ? lim R ? ?R ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t ? ? ? ? 这里的 a n 起着改变 v 方向的作用, a? 起着改变 v 大小的作用。顺便一提,由于 ?t ? 0 ,? 2 与 ?1 之间的差别以及 v 2 与
v1 的差别可略。故分别可用 ? , v 代替,此即 a n 表达式中的 ? , v 量。

? 为常量的圆周运动,称为匀变速圆周运动,或称为匀加速圆周运动。若设 t ? 0 时, ? ? ?0 ,则任意 t 时刻有:
? ? ?0 ? ?t
对于 v 有:

?

v0 ? ?0 R , v ? ?R ? v0 ? ?Rt ? v0 ? a? t

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【赛题精析】 例 1.处于边长为 a 的正三角形顶点上的三只犬 1,2,3,同时以恒定速率 v 开始运动,运动时犬 1 的速度始终指向犬 2, 犬 2 的速度始终指向犬 3,犬 3 的速度始终指向犬 1,求三只犬相距为 L 时的加速度大小。

例 2.已知抛物线方程

y ? Ax 2 ,试采用物理的方法确定任意 x 处抛物线的曲率半径是多少?

例 3.一半径为 R 的半圆柱体沿水平方向做加速度为 a 的匀加速运动。在圆柱上搁置一竖直杆,此杆只能沿竖直方向 运动,如图所示。当半圆柱体的速度为 v 时,杆与半圆柱体接触点 P 的角位置为 ? ,求此时竖直杆运动的速度和加速度。

例 4.一只狼沿半径为 R 的圆形岛边缘按逆时针方向匀速跑动,如图所示。当狼经过 A 点时,一只猎犬以相同的速率 从圆心出发追击狼。设追击过程中,狼、犬和 O 点在任一时刻均在同一直线上,问猎犬沿什么轨迹运动?在何处追上?

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例 5.已知等距螺旋线在垂直轴方向的截面圆半径为 R ,曲率半径为 ? ,一质点沿此螺旋线作匀速率运动。已知质点 的垂直轴方向的投影转过一周所用的时间为 T ,则质点沿轴方向的分运动速度大小为多少?

【习题精选】 1. 当人在电影屏幕上看到汽车向前行驶, 而如图所示的车轮却没有转动时, 则汽车运动的可能最小速度约为多少?已知电 影每秒钟放映 24 个画面,转子半径为 0.5 m。

2. 磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动,重新绕上磁带。绕好后带卷的末半径为初半径的三倍,如图所示。绕带时间为

t1 。要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带。问:需要的时间 t 2 为多少?

3. 如图所示,圆 A 的半径为圆 B 的半径的

1 ,圆 A 从图上位置出发绕圆 B 作匀速无滑滚动,若圆 A 的圆心第一次返回到 3

它的出发点需 1 s。问:圆 A 的角速度为多大?

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4. 由两个球组成的滚珠轴承,其内环半径为 R2 ,外环半径为 R1 ,在两处之间分布有小球。外环以线速度 v1 顺时针方向 转,内环以线速度 v 2 顺时针方向转。试求:小球中心围绕圆环中心顺时针转动的线速度 v 和小球自转的角速度 ? ,设小球 与圆环之间无滑动发生(如图所示) 。

5. 公园的转椅以恒定的角速度 ? 绕其竖直对称轴在水平面内做匀速转动,如图所示。转椅上的人以相对转椅 v 的速度平 抛一小球,为使小球能击中转椅架底部中心点 O。试求: v 的大小和方向。 (已知小球抛出点比 O 点高 h ,与竖直转轴的距 离为 R )

6. 如图所示,一根长为 L 的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴 O 在竖直平面内转动,杆最初处在水平位置,杆上距 O 什么值时小物体与杆可能相碰?

为 a 放有一小物体(可视为质点) ,杆与其上小物体最初均处于静止状态,若此杆突然以匀角速 ? 绕 O 轴运动。问:当 ? 取

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7. 如图所示,一个半径为 R 的轴环 O1 立于水平面上,另一个同样的轴环 O2 以速度 v 从这个轴环旁通过。试求:两轴环交 叉点 A 的速度 v A 与两环中心之距离 d 的关系,轴环很薄,且第二个轴环紧傍第一个轴环通过。

8. 如图所示,直杆 AB 以匀速 v 搁在半径为 r 的固定圆环上作平动。试求:图示位置时,杆与环的交点 M 的速度和加速度。

9. 如图所示平面里,两直线 AB 和 CD 以相同的角速度 ? 分别绕固定点 A 和 C 作同方向匀速转动,A,C 两点相距为 d ,当 转至图示位置时,A,C 两点与两线交点 P 构成一底角为 ? 的等腰三角形。求:P 点在任意时刻的速度和加速度。

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10.质点绕半径为 R ? 1 m 的圆轨道作圆周,其速率与时间成正比例增加: v 点时,加速度的大小和方向。

? ?t 。求:质点绕圆周运动一周回到出发

11.圆环在水平面上匀速滚动,跟平面没有相对滑动,已知环心对地的速度为 v ,则环上的多点中相对于地的最大速度和最 小速度分别为多少?

12.如图所示,一个直径为 D 的圆柱体侧面刻有螺距为 h 的螺旋形凹槽,槽内有一小球。问:为使小球能自由落下,必须 要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子?

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13.采用物理方法确定等距螺旋线上任一点处的曲率半径。设截面圆半径为 R ,螺距为 h 。

14.一根长 L 的铁丝绕成一个高为 H 的等距螺旋线圈,把线圈固定,使其轴保持竖直,一个小珠子可以沿螺旋线无摩擦地 下滑,现将小珠子静止开始从螺旋线最高点释放。问:经过多少时间小珠子可以到达螺旋线底。

15.以速度 v 0 与水平方向成 ? 角抛出石块,石块沿某一轨道飞行。如果蚊子以大小恒定的速率 v 0 沿同一轨道飞行。问: 蚊子飞到最大高度一半处具有多大加速度?空气阻力不计。

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第九讲 牛顿运动定律 【赛点知识】 一、牛顿第一定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动状态,直到其他物体作用的力迫使它改变这种状态为止。这是牛顿第一定律的内 容。牛顿第一定律是质点动力学的出发点。 物体保持静止或匀速直线运动状态的性质称为惯性。牛顿第一定律又称为惯性定律。惯性是物体固有的属性,可用质 量来量度。 无论是静止还是匀速直线运动状态,其速度都是不变的。速度不变的运动也就是没有加速度的运动,所以物体如果不 受其他物体的作用,就作没有加速度的运动。牛顿第一定律指出了力是改变物体运动状态的原因。 牛顿第一定律只在一类特殊的参照系中成立,此参照系称为惯性参照系,简称惯性系。相对某一惯性系作匀速运动的 参照系必定也是惯性系。牛顿第一定律不成立的参照系称为非惯性参照系,简称非惯性系。非惯性系相对惯性系必做变速运 动。地球是较好的惯性系,太阳是精度非常高的惯性系。 二、牛顿第二定律 物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比,与物体的质量成反比,加速度的方向与合外力的方向相同,其数 学表达式为 F

?

? ? ma 。

牛顿第二定律包含了对质量的量度定义和力的大小的量度定义。 对牛顿第二定律的理解应注意: (1)矢量性:牛顿第二定律的表达式是矢量式,加速度的方向仅由合外力的方向决定。 (2)瞬时性:力和加速度是瞬时对应关系,加速度随力的变化而立即变化。即某时刻的力决定了这一时刻的加速度。 这种瞬时关系不仅是指力与加速度大小之间的瞬时对应关系,也表明了加速度与该时刻力的方向完全一致。 (3)独立性:当物体受到几个力作用时,各个力产生的加速度都满足 F 力决定。 牛顿第二定律在直角坐标系中可分解为:

?

? ? ma 。各加速度的矢量和由物体所受合外

Fx ? ma x , Fy ? ma y , Fz ? ma z
(4)牛顿第二定律只在惯性系中成立。且物体作低速运动(物体的速度远小于光速) 。 三、牛顿第三定律 两物体间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反并沿同一直线。 对牛顿第三定律的理解应注意: (1)作用力和反作用力一定是同种性质的力。 (2)作用力和反作用力成对出现,同时存在,同时消失。 (3)作用力和反作用力作用在不同的物体上,因此,谈作用力和反作用力的合力没有意义。 四、物体作曲线运动的条件 物体作曲线运动的条件是,物体的初速度不为零,受到合外力与初速度不共线,指向曲线的“凹侧” ,该时刻物体受到 的合外力 F 与速度的夹角 ? , ? 满足的条件 0? ? ? 五、物体作匀速圆周运动的条件 物体作匀速圆周运动的条件是物体受到始终与速度方向垂直,沿半径指向圆心,大小恒定的力作用。由牛顿第二定律

? 180? 。

可知,其大小为 F

? man ? m? 2 R ? m

v2 R



作变速圆周运动的条件是,合外力的法线和切线方向都有分量。 法向分量产生向心加速度:

F ? man ? m? 2 R ? m

v2 R

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切向分量产生切向加速度:

F? ? ma? ? m

?v ?t
?v 。 ?t

与变速圆周运动类似,在一般曲线运动中,合外力在法线方向和切线方向都有分量。法向分量的大小为:

F ? man ? m

v2 R

, R 为曲线在该处的曲率半径,切向分量的大小为: F?

? ma? ? m

【赛题精析】 例 1.在以加速度 a 沿水平直线运动的三棱柱的斜面上,有一个质量为 m 的物体,它与斜面保持相对静止。已知斜面 的倾角为 ? ,物体与斜面间的摩擦因数为 ? 。求: (1)斜面作用于物体的压力和静摩擦力。 (2)三棱柱的加速度超过什么限度,物体将斜面上滑动。

例 2. (浙江省竞赛题)如图所示,木箱的顶上悬挂一小球,当木箱从倾角为 ? 的斜面上自由下滑时,木箱内悬挂小球 的细线呈竖直方向。设小球质量为 m ,木箱质量为 M 。那么当木箱从斜面底端以某一初速度沿斜面向上滑行时,求细线 对小球拉力的大小和方向。

例 3. (国家集训队训练题)如图所示,地面上有一固定的球面,球半径为 R 。球面的斜上方 P 处有一质点(P 与球心 O 在同一竖直平面内) ,现要使此质点从静止开始沿一光滑斜面轨道在最短时间内滑到球面上。求所需的最短时间。 (已知 P 到球心 O 的距离为 L ,P 到地面的垂直距离为 H 。 )

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绕定点 O 作匀速圆周运动,圆周半径为 r ,角速度为 ? 。已知细绳始终与该圆周相切,试求小球与水平地面之间的摩擦因 数。

例 4. (南通市物理竞赛题)如图所示,长为 L 的细绳一端系一质量为 m 的小球,某人手持绳的另一端在水平地面上

例 5.质量都等于 m 的 A,B 两物块重叠放置于水平桌面上,B 与桌面的摩擦因数为 ? 。一根不可伸长的轻柔绳绕过 动滑轮和两个小定论与 A,B 相连。动滑轮下面挂一质量为 2m 的物体,滑轮的质量可忽略不计,如图所示。 (1)若 A,B 两物块之间的静摩擦因数足够大,可保证两物块不发生相对滑动,求 A,B 的加速度和它们之间的静摩擦 力,并找出 A,B 两物块间的最小静摩擦因数。 (2)若 A,B 两物块之间的静摩擦因数为 ?1 ,且 ?1 小于不发生相对滑动时静摩擦因数的最小值,求此时三物块的加 速度(设静摩擦因数与动摩擦因数相等)?

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【习题精选】 1. 质量为 M 的机车牵引质量为 m 的车厢在水平轨道上匀速前进。某时刻,车厢与机车脱钩,当机车行驶路程 L 后,司 机发现车厢脱钩,于是立即关闭发动机。设机车与车厢运动中所受阻力均为其重力的 k 倍。试求机车和车厢都停止时,两 者的距离。

2. 一个质量 m ? 2 kg 的物体原来静止在粗糙的水平地面上,现在给这个物体施以水平方向的力作用,且在第 1,3,5,? 奇数秒内给物体施加方向向北、大小为 6 N 的水平推力;在第 2,4,6,?偶数秒内给它施加方向仍向北,但大小等于 2 N 的 水平推力,已知物体与地面间的动摩擦因数为 0.1,重力加速度 g (1)物体在奇数秒内与偶数秒内的加速度分别为多大? (2)物体在开始运动后 4 s 末的速度多大? (3)从开始运动计时,经过多长时间,物体通过的位移大小为 40.25 m。

? 10 m/s ,问:
2

3. 如图所示,MN 为半径为 R 的竖直的圆弧形木槽,图中 A 点为圆弧木槽的最低点,木板 AB 在固定的木槽内部搭成一个 小球,当这个小球抵达木板的 B 端时速度为零。问:小球从 A 运动到 B 所需的时间是多少?

斜面,且固定不动。设木板是光滑的,木板与水平方向的夹角为 ? 。今在木板的 A 端沿木板向上方向以某一初速弹出一个

4. 倾角为 ?

? 30? 的传送带以恒定的速率 v ? 2 m/s 运动,皮带始终是绷紧的,皮带上、下两端之间的距离 s ? 5 m。现
? 10
m/s ,若增加皮带的速率,问:当皮带速率为多大时,在皮
2

将一工件放在皮带下端,经过 2.9 s 时间可达上端, g 带下端所放上的工件能最快送到上端?此时间是多少?

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5. 如图所示,在水平桌面的两边有相距为 L 的两块挡板 M 和 N。在两挡板的中央处并放着两个质量皆为 m 的小物块 1 和 2,它们与桌面间的动摩擦因数分别为 ?1 和 ? 2 。现令物块 1 向左运动,物块 2 向右运动,两者运动的初速度大小相等。两 物块与挡板碰撞时,碰撞前后的速度大小相等。问: (1)两物块运动的加速度分别为多大? (2)若物体 1 恰好不能与挡板 M 相碰,则物块 2 最后停在何处? (3)若要使两物块刚好不能相碰,则两个物块通过的距离各为多大?

6. 一质量为 m 的小滑块在光滑的水平面上运动,速度为 v ,方向向右。当它通过 O 点时受到水平向左的推力 F ,经过时 间 t 推力突然反向,试讨论 v 取何值滑块可能返回 O 点。

7. 如图所示,固定的斜面倾角为 ? ,斜面上放一个带有支架的木块,木块与斜面间的动摩擦因数为 ? ,如果木块可以沿 斜面加速下滑,在这过程中,悬挂在支架上的小球的悬线和竖直方向的夹角是多大时,球可以相对于木块静止?

8. 质量为 m ? 2.0 kg 的小铁块静止于水平导轨 AB 的 A 端,导轨及支架 ABCD 形状及尺寸如图所示,它只能绕通过支架 D 点的垂直于纸面的水平轴转动,其重心在图中的 O 点,质量 M 块与导轨之间的摩擦因数 ?
2

? 4.0 kg。现有一细线沿导轨拉铁块,拉力 F ? 12 N,铁

? 0.50 , g ? 10 m/s 。从铁块运动时起,导轨(及支架)能保持静止的最长时间是多少?

- 67 -

9. 如图所示,传送带与水平面夹角 ? 物体与传送带之间的摩擦因数为 ?

? 37? ,并以 v0 ? 10 m/s 的速度传送。在带的 A 端轻轻地放上一小物体,若已知
2

传送带 A 端到 B 端的距离为 16 m, 求小物体从 A 端到 B 端的时间。取 g ? 10 m/s ) ( ? 0.5 ,

10.如图所示,截面为等腰三角形的滑块 A,质量为 m1 ,顶角为 2? 。两完全相同的长方形木块 B,C,质量均为 m2 ,所 有接触处均不计摩擦。系统由静止开始释放。在 m1 碰到水平面前,长方体木块的加速度大小为多少?

11.质量为 m 的木块沿水平方向以速度 v 0 滑上静止在水平面的木板上,如图所示,木板的质量为 M ,木块与木板间、木 板与水平面间的摩擦因数分别为 ?1 和 ? 2 。试求:木块能在上滑行的距离和最后停下来所经历的时间。 (木板足够长,木块 不会从板的另一端滑下)

- 68 -

12.小车质量为 M

? 51kg,在右端伸出的细长水平臂上,固定着轻质定滑轮,车上放着质量 m1 ? 5 kg 的滑块, m1 通过
? 4 kg 的物体相连,如图所示,所有接触均不计摩擦,为使 M
, m1 , m2 三者均保持相

水平细线经定滑轮和质量为 m2

对静止,可对小车作用一水平向右的推力 F ,求 F 的大小。

13.如图所示,一根轻绳跨过装在天花板上的滑轮,绳的一端拴一质量为 M 的物体,另一端吊载人梯子而平衡。人的质量 为 m 。若滑轮与绳子的质量不计,绳柔软而不可伸长。问:为使滑轮对天花板的作用力为零,人相对梯子应按什么规律运 动?

14.如图所示,质量为 M 的滑块套在水平杆上。滑块下面用长为 L 的细线挂一质量为 m 的小球,水平杆绕竖直轴 OO'以 角速度 ? 匀速转动时, M 离 O 点距离为 a ,且相对杆静止,此时细线与竖直方向成 ? 角。求: (1)细线中的张力; (2) 滑块与杆的摩擦因数至少多大?( M , m 均可视为质点)

- 69 -

15.一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角 ?

? 30? ,如图所示,一条长为 L 的绳(不计质量) ,一端固定在圆锥体的顶点 O 处,另一端系着一个质量为 m 的小球(可视为质点) ,小球以速率 v 绕圆锥
的轴线做水平匀速圆周运动。求: (1)当速率 v 小球的拉力。

?

1 gl 时,绳对小球的压力; (2)当速率增大到 v ? 6

3 gl 时,绳对 2

16.如图所示,半径为 R

? 0.5 m 的空心球绕其本身竖直轴线旋转,角速度 ? ? 5 rad/s。在球内高度为

R 2

处有一木块随

同球一起旋转。 (1) 求: 摩擦因数至少为多少时才能实现这一情况? (2) ? 当 m/s )
2

(取 ? 8 rad/s 时实现这一情况的条件。 g ? 10

17.长为 L1 的细绳的一端固定在 O 点,另一端连接质量为 m1 的小球,此小球又与长 L2 的细绳的一端相连,后者的另一端 再与质量为 m 2 的小球连接,使系统从如图所示的水平静止伸直状态自由释放。试证明:在之后运动过程中,O, m1 , m2 三点不可能始终共线。

- 70 -

18.如图所示,用细杆把质量为 M 的圆环固定起来,圆环顶部套有两个质量为 m 的小环,大小环之间无摩擦,若两个小 环同时由静止开始下滑,那么: (1)试证明当 m 大于某一值时,大环会有上升的趋势; (2)说明 m 的值不同时,大圆环的 运动趋势情况。

19.如图所示,在水平面内有一平台可绕竖直的中心轴以角速度 ? 匀角速度转动,在平台内沿半径方向开两个沟槽,质量 为 m A 的小球放在粗糙的沟槽内,球与槽的摩擦因数为 ? ;质量为 m B 的小球放置在另一个光滑的沟槽内。长度为 L 的细 线绕过平台的中心轴,其两端与两球相连。设平台中心轴是半径可不计的细轴,且光滑。球 A 的位置可用它到中心点 O 的距 离 x 表示,试求在稳定情况下 x 的取值范围。

20.(全国力学竞赛题)一根绳的一端连接于 A 点,绳上距 A 端为 a 处系有一个质量为 m 的质点 B,绳的另一端通过固定 在 C 点的滑轮,A,C 位于同一水平线上。某人握住绳的自由端,以恒定的速率 v 收绳,当收至如图所示位置时,绳与水平 线的夹角分别为 ? 和 ? ,求这时人收绳的力。忽略绳与滑轮的质量以及滑轮的摩擦。

- 71 -

第十讲 非惯性参照系与惯性力 【赛点知识】 应用牛顿定律时,选用的参照系应该是惯性系,在非惯性系中,为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方程, 引入惯性力的概念,引入惯性力必须满足:

? ? ? F ? F惯 ? ma ?
式中 F 是质点真实受到的力, a ? 是质点相对非惯性系的加速度。 真实力与参照系的选择无关,惯性力是虚构的力,不是真实力,惯性力不是自然界中物体间的相互作用,因此不属于 牛顿第三定律涉及的范围之内,它没有施力物体,不存在与之对应的反作用力。 一、平动加速系统中的惯性力 设平动非惯性系相对于惯性系的加速度为 a 0 ,质点相对于惯性系的加速度为 a ,由相对运动知识可知,质点相对于平 动非惯性系的加速度 a ?

?

?

?

?

?

? ? ? a ? (?a0 )

质点受到的真实力为 F ,对于惯性系有 F 对于非惯性系有 F 得 F惯

?

?

? ? ma

?

? ? ? ? ? ? ? F惯 ? ma ? ? m(a ? (?a )) ? ma ? (?ma0 )

?

? ? ?ma 0

在平动非惯性系中,惯性力由非惯性系相对惯性系的加速度及质点的质量确定,与质点的位置及质点相对于非惯性系 速度无关。 二、匀速转动系统中的惯性力 圆盘以加速度 ? 绕竖直轴匀速转动,在圆盘上用长为 l 的细线将质量为 m 的质点系于盘心且质点相对于圆盘静止,即 随盘一起作匀速圆周运动。以惯性系观察,质点在线的拉力 F 作用下作匀速圆周运动,符合牛顿第二定律,以圆盘为参照 系观察,质点受到拉力 F 作用而保持静止,不符合牛顿定律。要在非惯性系中保持牛顿第二定律形式不变,在质点静止于 此参照系的情况下,引入惯性力:

?

?

? ? ? F ? F惯 ? ma ? ? 0 ? ? ? F惯 ? ? F ? m? 2 r
式中, r 为转轴向质点所引矢量,与转轴垂直。由于这个惯性力的方向沿半径背离圆心,通常称为惯性离心力,由此得出: 若质点静止于匀速转动的非惯性参照系中,则作用于此质点的真实力与惯性离心力的合力等于零。 惯性离心力的大小,除与转动系统的角速度和质点的质量有关外,还与质点的位置有关。 必须提出的是,如果质点相对于匀速转动的系统在运动,则若想在形式上用牛顿第二定律来分析质点的运动,仅加惯 性离心力是不够的,还须加其他惯性力,这里不作进一步讨论。

?

- 72 -

【赛题精析】 例 1. (罗马尼亚竞赛题)如图所示,定滑轮 A 的一侧挂有 m1

? 5 kg 的物体,另一侧挂有轻滑轮 B,滑轮 B 两侧挂着

m2 ? 3 kg, m3 ? 2 kg 的物体,求每个物体的加速度。

例 2. (国家集训队训练题)一盛水的烧杯,放在以加速度 a 在水平面上作加速运动的车上,分析稳定时液体表面的形 状。

例 3. (上海竞赛题)一辆质量为 m 的汽车以速度 v 在半径为 R 的水平弯道上做匀速圆周运动。汽车左右轮相距为 d , 重心离地高度为 h ,车轮与路面之间的摩擦因数为 ? 。求: (1)汽车内外轮各承受多大的支持力? (2)汽车能完全行驶的最大速度?

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例 4. (全国力学竞赛题)长分别为 L1 和 L2 的不可伸长的轻绳悬挂质量都是 m 的两个小球,如图所示,它们处于平 衡状态, 突然连接两绳的中间的小球受水平向右的冲击 (如另一球碰撞) 瞬间内获得水平向右的速度 v 0 。 , 求这瞬间连接 m 2 的绳子的拉力为多大?

例 5.在火车车厢内有一长 l ,倾角为 ? 的斜面,当车厢以恒定加速度 a 0 从静止开始运动时,物体自倾角为 ? 的斜面 顶部 A 点由静止开始下滑,已知斜面的静摩擦因数 ? 。求物体滑至斜面底部 B 点时,物体相对于车厢的速度,并讨论当 a 0 与 ? 一定时,倾角 ? 为多大时,物体可静止于 A 点?

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【习题精选】 1. 在光滑的水平轨道上有两个半径都是 r 的小球 A 和 B,质量分别为 m 和 2m ,当两球心的距离大于 l 时( l 比 2r 大得 多)时,两球间无相互作用力,当两球间的距离等于或小于 l 时,两球间存在着相互作用的恒定斥力 F 。设 A 球从远离 B 球处以 v 0 沿两球心连线向原来静止的 B 球运动。欲使两球不会发生接触, v 0 必须满足什么条件?

? 8 kg 的小车放在光滑水平面上,在小车的一端加一水平恒力 F ? 8 N,当小车向右运动速度达到 1.5 m/s 时,在小车的前端轻放一大小不计、质量为 m ? 2 kg 的物块,物块与小车的动摩擦因数为 0.2,小车足够长, 则物块从放上小车开始经过 t ? 1.5 s 通过的位移为多大?
2. 如图所示,质量 M

3. 如图所示, 一运动员骑摩托车在水平弯道上以速率 v 转弯, 车身与地面的夹角为 ? , 其转弯半径为 R 地面对摩托车的静摩擦力

? _________,

f ? __________ 。 _

4. 质量为 M 的滑块,倾角 ?

? 60? ,斜边长 L ,如图所示,滑块置于水平光滑水平面上,斜面顶端有一质量为 m 的光

滑小球,静止开始自由下滑。求小球滑到底端所需要的时间。

- 75 -

5. 升降机里的水平桌面上有一质量为 m 的物体 A, 它以一根跨过位于桌边定滑轮的细线与另一质量为 2m 的物体 B 相连, 如图所示,升降机以加速度 a

?

g 向下加速。设 A 物体与桌面的摩擦因数为 ? ,略去滑轮轴上的摩擦及绳的质量,且绳不 2

可伸长。求 A、B 两物体相对地面的加速度。

6. 如图所示,一光滑细棒绕竖直轴以角速度 ? 转动,细棒与数值轴夹角 ? 保持不变。一相对细棒原来静止的小环在离地 面高 h 沿棒下滑,求小环下滑到细棒下端的速度。

7. 如图所示,在以加速度 a 匀加速行驶的车厢内,有一长为 L 、质量为 m 的匀质棒 AB 靠在光滑后壁上。棒与地面的摩 擦因数为 ? ,为使棒不滑动,棒与车厢后壁的夹角 ? 应在什么范围?

8. 如图所示,一绳子套在固定于电梯天花板上的滑轮上,两端各悬挂质量为 m1 和 m 2 的重物,电梯以加速度 a 0 上升,忽 略滑轮的质量和摩擦,求: (1)重物 m1 相对于电梯的加速度和相对于地的加速度; (2)滑轮作用于电梯天花板的力。

- 76 -

9. 如图所示,一质量为 m 的小物体,放在半径为 R 的球面上,如果物体和半球面间的摩擦因数等于零,初始时它们相对 静止然后滑下,求下列情况下物体离开球面时,离半球底部的距离 h 。 (1)半球以 10 m/s 的速度匀速上升时;

g 匀加速上升时; 2 g (3)半球面以加速度 a ? 匀加速向右运动时。 4
(2)半球面以加速度 a

?

10.在一辆不光滑的铁路平板车上有一只均匀装满货物的集装箱,箱子高为 H ,宽为 l ,右边有一个小滑轮,当车向左加 速行驶的加速度达到 a 0 时,集装箱开始沿平板车向右慢慢地滑动,如图所示,要使集装箱开始向左慢慢滑动,则火车应具 有的最小加速度?

11.如图所示,木柜宽 2l ,其重心高度为 h ,把木柜放于车上,车以加速度 a 起动,试分析木柜在车上滑动、翻倒的条件, 以防事故的发生。

12.在静止的车厢内有一幅角为 ? (0 ? ?

? 90?) 的圆锥摆,当摆球处于图中最左位置时,车厢开始以加速度 a 向右做匀

加速直线运动,试问摆球相对车厢是否有可能恰好从此时开始以某个 ? ?(0 ? ? ? ? 90?) 为幅角做圆锥摆运动?

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13.如图所示,质量为 m1 和 m 2 的物体挂在绳的两端,绳跨在双斜体面的顶部。斜面与地面的夹角分别为 ? 1 和 ? 2 ,摩擦 均不计,斜面体的质量为 M ,整个系统起初静止,求放开后斜面体对地的加速度 a 0 和 m1 ,m 2 对斜面的加速度 a1 和 a 2 ; 试分析讨论斜面体保持静止的条件。

14.在天花板比地板高出 2.0 m 的实验火车的车厢里,悬挂着长为 1.0 m 的细线,细线下端连着一个小球,火车缓慢加速 且加速度逐渐增大。问: (1)若加速度达到 10 m/s 时,细线恰好被拉断,则细线能承受的最大拉力为小球重力的多少倍? (2)若从细线被拉断的时刻起,火车的加速度保持不变则小球落地点与悬挂点之间的水平距离是多少?
2

15.利用自动小车在间隔距离 L ? 20 m 的水平轨道上移送重物。用长 l

? 5 m 的细线把重物挂在小车上,如图所示,小车

在前半段时间做匀加速运动,后半段时间做匀减速运动,假设小车与重物在初始时刻和运动到终点的时刻都静止不动。试确 定小车的加速度大小。假定小车加速和减速两个过程的加速度大小相等。

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