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2.6 求数列通项公式的常用方法(一)


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2.5 求数列通项公式的常用方法(一)
【知识要点】 数列的通项公式是数列的核心内容之一。它如同函数的解析式一样,对研究数列的性质起 着重要的作用。围绕数列的通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项的变化规 律与趋势,而且还便于研究数列的前 n 项和,因此求数列的通项公式往往是解决数列问题 的突破口,在解题时,根据题目所给条件的不同,可以采用不同的方法求数列的通项公式, 常见的方法有: 1. 观察归纳法:观察归纳法就是观察数列特征,找出各项共同的构成规律,横向看各项之 间的关系,纵向看各项与项数 n 的内在联系,从而归纳出数列的通项公式。

2. 迭代法:对于形如 a n = f ( a n -1 ) 型的递推公式,采取逐次降低:下标“数值的反复迭代方 式,最终使 a n 与初始值 a 1 ( 或 a 2 ) 建立联系的方法就是迭代法。 3. 累加法:对于由形如 a n + 1 - a n = f ( n ) 型的递推公式求通项公式。 4. 累乘法:对于由形如
a n +1 an = f ( n ) 型的递推公式求通项公式。

5. 公 式 法 : 能 使 用 等 差 数 列 或 等 比 数 列 的 通 项 公 式 或 使 用 a n 与 S n 的 关 系
? S 1 ,( n =1) an = ? ,求通项 ? S n - S n -1 ,( n ? 2 )

【知识应用】 1. 运用观察法求通项公式关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点,找到数列的一 个构成规律,根据此规律便可写出一个相应的通项公式 【J】例 1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式 (1) (3)
1 4 9 16 , , , ,.... 2 5 10 17 3 7 15 31 , , , ,.... 4 8 16 32

(2) 1 ,- ,

1 1 3 7

,-

1

,

1

,....

15 31

(4) 2 1 ,2 0 3 ,2 0 0 5 ,2 0 0 0 7 ,... (6) 1 ,
3 1 5 1 7 , , , , ,.... 2 3 4 5 6

(5) 0 .2,0 .2 2,0 .2 2 2,0 .2 2 2 2,....

【L】例 2 写出下列数列的一个通项公式 (1) 2
1 2 ,4 1 4 ,6 1 8 ,8 1 16 ,....

(2) 1 0 ,1 1 ,1 0 ,1 1 ,1 0 ,1 1 ,...

1

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(3) -1 , ,5

8

15 24 , ,... 7 9

【C】例 3 写出下列数列的一个通项公式 (1)
2 , 4 , 1 6 , 1 8 , 10 1 7 ,...

(2) -1 , ,3

1

9

,

17

,-

33 99

,...

3 15 35 63 99

35 63

(3) 1 ,0 ,- ,0 , ,0 ,3 5

,0 …..

(4) 5,0,-5,0,5,0,-5,0,...

(5)3,5,9,17,33,….

2. 对于迭代法,只需根据递推公式一步一步推导下去,知道推到首项 【J、L】例 1 已知数列 ? a n ? , a 1 = 2, a n = 2 a n -1 -1( n ? 2 ), 求 a n

【C】例 3 已知数列 ? a n ? 满足 a n + 1 = a n

3 ( n + 1) 2

n

, a 1 = 5, ,求数列 ? a n ? 的通项公式

2

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3. 对于累加法:a. 当 f(n)=d 为常数时,为等差数列,则 a n = a 1 + ( n -1) d b. 当 f(n)为 n 的函数时,将每两项相减写出来,最后将各个式子相加 【J】例 1 已知数列 ? a n ? 中, a 1 =1, 且 a n + 1 - a n = 3 - n ,求数列 ? a n ? 的通项公式
n

【L】例 2 已知数列 ? a n ? 满足 a n + 1 = a n + 2 n +1 a 1 =1 ,求数列 ? a n ? 的通项公式

【C】例 3 已知数列 ? a n ? 满足 a n + 1 = a n + 2 ? 3 +1 ,求数列 ? a n ? 的通项公式
n

4. 对于类乘法:a. 当 f(n)为常数时,即

a n +1 an

= q (其中 q 是不等于 0 的常数,此时该数列为

等比数列, a n = a 1 ? q

n -1

b. 当 f(n)为 n 的函数时,将每项写出来,最后相乘得出 a n

3

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【J】例 1 已知数列 ? a n ? 满足 a n + 1 = 2 a n ,且 a 1 =1 ,求 a n
n

【L】 2 已知数列 ? a n ? 满足 a 1 =1, a n = a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 + ...+ ( n -1) a n -1 ( n ? 2 ) , ? a n ? 通项公式 例 求

【C】例 3 已知数列 ? a n ? 满足 a n + 1 = 2 (n + 1 )5 a n , a 1 = 3 ,求 ? a n ? 的通项公式
n

5. 利用公式法关键是将已知条件转化为等差或等比,求出公差或公比,再利用公式求通项。 【J】例 1 数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n = 3+ 2 , 求 a n
n

4

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【L】例 2 已知数列 ? a n ? 中, a n > 0, S n 是数列 ? a n ? 的前 n 项和,且 a n +

1 an

= 2 S n ,求 a n

【C】例 3 数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n = (-1)

n +1

n ,求 a n

5


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