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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《3.1.2 空间向量的数乘运算(二)》导学案


§3.1.2 空间向量的数乘运算(二)
学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简; 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P86~ P87,找出疑惑之处)
? ? ? ? ? 复习 1:什么叫空间向量共线?空间两个向量 a, b , 若 b 是非零向量,则 a 与 b 平行的充要 条件是

??? 1 ??? 2 ??? ? ? ? 复习 2:已知直线 AB,点 O 是直线 AB 外一点,若 OP ? OA ? OB ,试判断 A,B,P 三点是 3 3 否共线?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的共面 ??? 问题:空间任意两个向量不共线的两个向量 a,b 有怎样的位置关系?空间三个向量又有怎样 的位置关系?
新知:共面向量: 2. 空间向量共面: 同一平面的向量.

? ? ? ? ?? 定 理 : 对 空 间 两 个 不 共 线 向 量 a, b , 向 量 p 与 向 量 a, b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 , 使得 .

推论:空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是: ⑴ 存在 ,使 ⑵ 对空间任意一点 O,有

??? 1 ??? 1 ??? 1 ???? ? ? ? 试试: 若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足关系式 OP ? OA ? OB ? OC ,则点 P 2 3 6 与 A,B,C 共面吗?

??? ? ??? ? ??? ? ???? 反思:若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足关系式 OP ? xOA ? yOB ? zOC ,且点 P 与 A,B,C 共面,则 x ? y ? z ? .

※ 典型例题 例 1 下列等式中,使 M,A,B,C 四点共面的个数是( ) ???? ??? ??? ???? ? ? ? ? ① OM ? OA ? OB ? OC; ???? 1 ??? 1 ??? 1 ???? ? ? ? ? ② OM ? OA ? OB ? OC; 5 3 2 ???? ???? ???? ? ? ③ MA ? MB ? MC ? 0;
???? ??? ??? ???? ? ? ? ? ④ OM ? OA ? OB ? OC ? 0 . A. 1 B. 2 C. 3

D. 4

??? 1 ??? 7 ??? ? ? ? ???? 变式: 已知 A,B,C 三点不共线, 为平面 ABC 外一点, O 若向量 OP ? OA ? OB ? ?OC ? ? ? R ? , 5 3 则 P,A,B,C 四点共面的条件是 ? ?

例 2 如图,已知平行四边形 ABCD,过平面 AC 外一点 O 作射线 OA,OB,OC,OD,在四条射线 OE OF OG OH 上分别取点 E,,F,G,H,并且使 ? ? ? ? k, OA OB OC OD 求证:E,F,G,H 四点共面.

变式:已知空间四边形 ABCD 的四个顶点 A,B,C,D 不共面,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的 中点,求证:E,F,G,H 四 点共面.

A E B F
C

H
D G

小结:空间向量的化简与平面向量的化简一样,加法注意向量的首尾相接,减法注意向量要 共起点,并且要注意向量的方向.

※ 动手试试
??? 1 ??? 2 ??? 2 ???? ? ? ? 练 1. 已知 A, B, C 三点不共线,对平面外任一点,满足条件 OP ? OA ? OB ? OC ,试判 5 5 5 断:点 P 与 A, B, C 是否一定共面?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 练 2. 已知 a ? 3m ? 2n, b ? ( x ? 1)m ? 8n , a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律; 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. ※ 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移, 它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度” ,空间的平移包含平 面的平移.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

???? ? ???? ? ????? 1. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 D1C 、 A1C1 A. 有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量.

是(



2. 正 方 体 A B C?D ' A B 中 , 点 E 是 上 底 面 A' B ' C ' D ' 中 心 , 若 的 ' ' C' D ???? ???? ???? ??? ? ' ' BB ? x AD ? y AB ? z AA , 则 x= ,y= ,z= . ??? ? ??? ? ??? ? 3. 若点 P 是线段 AB 的中点,点 O 在直线 AB 外,则 OP ? OB . OA + ???? ? 1 ??? ???? ???? 4. 平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , O 为 A 1 C 与 B 1 D 的交点,则 ( AB ? AD ? AA' ) ? AO . 3 5. 在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的直线平行;②若 a、b 所在的直线是异面 直线,则 a、b 一定不共面;③若 a、b、c 三向量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也共面; ④已知三向量 a、b、c,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc.其中正 确命题的个数为 ( ). A.0 B.1 C. 2 D. 3

? ? ? ? ? ? ? ? 1. 若 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp , ? ? ? ? a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x, y .

课后作业:

?? ?? ? ??? ?? ?? ? ? 2. 已 知 两 个 非 零 向 量 e1 , e2 不 共 线 , AB ? e1 ? e2 ,

???? ?? ?? ???? ? ?? ?? ? AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 . 求 证 :

A, B, C, D 共面.


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