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数列的求和(汇报课)


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数列的求和(汇报课) 数列的求和(汇报课)

江苏省徐州市第一中学: 江苏省徐州市第一中学:丁永刚 [教学目的 :1、通过一些特殊数列求和问题的学习,使学生初步掌握数列求和问题的基本解法。 教学目的]: 教学目的 2、帮助学生运用化归的思想方法,把特殊数列问题转化为常见的简单数列的问题。 3、培养和提高学生观察问题、分析问题的能力及解题能力。 [重点 : 重点]: 一些特殊的数列求和的问题,掌握典型问题的基本解法。 重点 [难点 : 难点]: 化归思想方法的运用,把特殊数列问题转化为常见简单数列的问题。 难点 [教学模式 :M-M 模式(用数学思想方法论的观点指导数学教学) 教学模式]: 教学模式 [数学思想 :化归思想 数学思想]: 数学思想 [教具准备 :投影片 三角板 教具准备]: 教具准备 [知识复习 : 知识复习]: 知识复习 1. 回忆等差数列和等比数列的前 n 项和公式? 2. 这两个公式分别是用什么方法推导得出的? . 等差数列求和公式的推导方法是将要解决的问题通过“逆序求和”转化为常数列问题从 而得到解决。 等比数列求和公式的推导则是利用“错项相减”的方法达到消去相同项的目的。 以上两种求和的思路在解决某些特殊数列求和问题时经常用到。 以上两种求和的思路在解决某些特殊数列求和问题时经常用到。这两节课我们就来研究 既非等差数列又非等比数列的一些特殊数列的求和问题。 既非等差数列又非等比数列的一些特殊数列的求和问题。 [例题讲解 : 例题讲解]: 例题讲解 2 3 n-1

例 1: 求数列 1,3a,5a ,7a ,… …(2n-1)a ,… …( a ≠ 1 ) , , 项和。 前 n 项和。

分析:此数列的每一项中的字母部分 a0, a1, a2, …, an-1 构成以 a 为公比的等比数列{an},每一项中 的系数部分 1,3,5,7,…, (2n-1)构成以 2 为公差的等差数列{bn}。我们不妨把这种数列称为“差比数 列”{cn}。则有 cn= an .bn 实际上,我们学过的等比数列也就是一种特殊的差比数列,由此可知,这类数列的求和问题可 用“错项相减法”解决。 解: 因 sn= 1+3a+5a2+7a3+… …+(2n-1)an-1 (1) (1)乘以 a 得:a.sn= a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-3)an-1+(2n-1)an (2) (1)-(2)得:(1-a)sn= 1+2a+2a2+2a3+… +2an-1+(2n-1)an =2(1+a+a2+a3+…+an-1)-(2n-1)an-1

1 1 an (2n 1)a n 1 1 a 2 1 a n (2n 1)a n + 1 所以:s n = 1 a2 1 a 练习: 、 练习:1、求数列 1 , 2 , 3 , ……, nn , ……的前 的前 2 4 8 2 =2

(

)

( (

) )

n 项和 Sn,并

证明: 证明:2Sn<4.
分析:由于

n 1 1 =n n 是由等差数列{an}和等比数列{ n }相乘而形成,可称之为差比数列。因此, n 2 2 2

可采用推导等比数列求和公式的方法(错项相减)求和。 解: ∵Sn=

1 2 3 n n + + + ……+ n 1 + n 2 4 8 2 2 1 1 2 3 n 1 n +…….+ n + n +1 ∴ Sn= + + 2 4 8 16 2 2
两式相减,得

1 1 1 1 1 n Sn= + + + ……+ n - n +1 (同分母错项相减) 2 2 4 8 2 2

1

1 1 (1 n ) 2 - n =1- 1 - n =2 1 2 n +1 2 n 2 n +1 1 2 1 n ∴Sn=2- n 1 - n 2 2
于是,Sn<2, 所以 2Sn<22=4。

2、求和:Sn=1+2x+3x2+4x3+….+nxn-1 、求和:
分析;本题应属于差比数列求和的问题,但还要注意 x 取值的讨论。 略解:当 x=0 时,Sn=1, 当 x=1 时,Sn=1+2+3+……+n=

n(n + 1) , 2

当 x≠0 且 x≠1 时,Sn=1+2x+3x2+4x3+….+(n-1)xn-2+nxn-1 xSx=x+2x2+3x3+4x4+….+(n-1)xn-1+nxn 两式相减,(1-x)Sn=1+x+x2+……+xn-1-nxn

1 xn = -nxn 1 x n nx n 1 x Sn= (1 x) 2 1 x

例 2、求下列各式的和。 、求下列各式的和。 1) 1 + 1 + 1 +……+

1 1× 2 2 × 3 3 × 4 n(n + 1) 2) 1 + 1 + 1 +……+ 1 1× 3 2 × 4 3 × 5 n ( n + 2) 1 1 1 解:1) ∵ = n(n + 1) n n + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴原式=( - )+( - )+( - )+……+( ) 1 2 2 3 3 4 n n +1 1 =1n +1 n = n +1

注:本题是将数列中的每一项裂成两项之差,除首尾两项(有时也可能是首尾若干项)外,其余各项 均前后抵消,从而达到错项相消的目的。这种方法叫裂项求和法。这种方法,在解决通项是分数形式的数 列求和问题时经常用到,但裂项的方法有很多,解题时必须根据具体问题具体分析。 2)原式=

1 1 1 1 1 1 1 1 [(1- )+( - )+( - )+……+( )] 2 3 2 4 3 5 n n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 = [(1+ + +……+ )-( + + +……+ )] 2 2 3 n 3 4 5 n+2 1 1 1 1 = (1+ - ) 2 2 n n+2 3 2n + 3 = 4 2(n + 1)(n + 2)

练习:
3、{an}为等差数列,an≠0, (n∈N),d 为公差。 、 为等差数列, 为公差。 为等差数列 ∈

2

求证: 求证:

1 a1 a 2

+

1 a 2 a3

+……+

1 a n 1 a n

=

n 1 。 a1 a n

分析:注意在例 7 中的 1)、2)、3)小题,它们能裂项实际上是由于分母中的两个因子构成一个等 差数列,因而本题也采用裂项求和。 证明:1)d=0 时,an=a1(n∈N), 左式=

1 1 n 1 +……+ 2 = 2 2 a1 a1 a1
n-1 个

n 1 n 1 右式= = 2 ,∴左式=右式。 a1 a1 a1
ii)d≠0 时,an-an-1=d, ∴

1

a n 1a n 1 ∴左式= d
=

1 d 1 = d

1 d 1 a n a n1 1 1 1 = = ( ) d a n 1a n d a n 1a n d a n 1 a n 1 1 1 1 1 1 [( )+( )+……+( )] a1 a 2 a 2 a3 a n 1 a n 1 1 1 a a1 ( )= ( n ) a1 a n d a1 a n (n 1)d n 1 = =右式。 a1 a n a1 a n =

注:实际上,此题结论已从规律上总结了前面几题的裂项方法,在今后的解题学习中
应注意这种规律性东西的归纳和整理。 前面几节课中我们已经学过如下公式:

1 n(n+1) 2 12+22+32+……+n2= 1 n(n+1)(2n+1) 6 3 3 3 3 1 2 1 +2 +3 +……+n = n (n+1)2 4
1+2+3+… …+n=

(1) (2) (3)

这些公式叫做自然数的方幂和公式。 这些公式叫做自然数的方幂和公式。利用此类公式,我们又可解决
如下一些数列求和问题。

例 3、已知 12+22+32+……+n2= 1 n(n+1)(2n+1) 、
6 13+23+33+……+n3= 1 n2(n+1)2 4

求和:1 求和 2+32+52+……+(2n-1)2
解:1)an=(2n-1)2=4n2-4n+1 ∴Sn=12+32+……+(2n-1)2 =(412-41+1)+(422-42+1)+…..+(4n2-4n+1) =4(12+22+32+……n2)-4(1+2+3+……n)+n =4

1 n(n + 1) n(2n 1)(2n + 1) n(n+1)(2n+1)-4 +n= 6 2 3

注:可以看出,如果数列{an}的通项是关于 n 的多项式或通项可以转化为关于 n 的多项
式,一般大都可以利用自然数的方幂和公式来求解。

练习: 练习:

3

4、求和 12-22+32-42+52-62+……+(2n-1)2-(2n)2 、
解: (法一)原式=[12+32+……+(2n-1)2]-[22+42+……+(2n)2] =[(412-41+1)+(422-42+1)+……+(4n2-4n+1)]-4(12+22+32+……+n2)

1 1 n(2n-1)(2n+1)-4 n(n+1)(2n+1) 3 6 1 = n(2n+1)(2n-1-2n-2) 3 1 = n(2n+1)(-3)=-n(2n+1) 3
= (法二) :原式=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+……+(2n-1-2n)(2n-1+2n) =-[1+2+3+4+5+6+……+(2n-1)+2n] =-

(2n + 1)2n =-n(2n+1) 2

[小结 :1. 小结] 小结

本课主要学习了求数列前 n 项和的方法: (1)、直接求和法,即直接运用等差(等比)数列的前 n 项和公式求和。 (2)、逆序求和法; (3) 、错项相消法; (4) 、公式法; (5) 、裂项相消法:主要适用于通项的分母为两个因式的积,分子为常数的数列求和。

[作业布置 :1、求 Sn=1+ 作业布置]: 、 作业布置

3 4 n +1 n + 3 + ……+ n 1 + n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2、求数列 , , ,L, , L 的前 n 项和。 项和。 、 2× 4 4×6 6×8 2n(2n + 2 )

3、求数列 22 ,42 ,62 ,… ,(2n)2 , …的前 n 项和。 、 的前 项和。

以上为必做题,思考题可选做。 以上为必做题,思考题可选做。 思考题: 思考题: 是否存在常数 a、b、c,使等式 、 、 , 12+223+324+……+n2(n+1)= n(n + 1) (an2+bn+c)
12

对一切自然数 n 都成立?并证明你的结论。 都成立?并证明你的结论。

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