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河南省实验中学2015届高三上学期期中数学试卷(理科)


河南省实验中学 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. (5 分)已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x| ≤4,x∈Z},则 A∩B=() A.(0,2) B.[0,2] C.|0,2| D.{0,1,2} 2. (5 分)

记 cos(﹣80°)=k,那么 tan100°=() A. B. ﹣ C. D.﹣

3. (5 分)已知集合 A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函 数,那么该函数的值域 C 的不同情况有() A.7 种 B. 4 种 C. 8 种 D.12 种

4. (5 分)设向量 =(1,2) ,向量 =(﹣3,4) ,向量 =(3,2) ,则向量( A.(﹣15,12) B. 0
*

)? =()

C. 5

D.﹣11

5. (5 分)设{an}(n∈N )是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列 结论错误的是() A.d<0 C. S9>S5 B. a7=0 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值

6. (5 分)在△ ABC 中,a=2,A=45°,若此三角形有两解,则 b 的范围为() A.2<b<2 B.b>2 C.b<2 D. <b<

7. (5 分)已知函数 y=3sinωx(ω>0)的周期是 π,将函数 y=3cos(ωx﹣ 象沿 x 轴向右平移 A.3sin(2x﹣ )

) (ω>0)的图

个单位,得到函数 y=f(x)的图象,则函数 f(x)=() B.3sin(2x﹣ ) C.3sin(2x+ ) D.3sin(2x+ )

8. (5 分)设△ ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列,sinA、sinB、sinC 成等比数列,则这个 三角形的形状是() A.直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等边三角形

9. (5 分)函数 y=lncosx(

)的图象是()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)O 为平面上的定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,若 ,则△ ABC 是() A.以 AB 为底边的等腰三角形 C. 以 AB 为斜边的直角三角形
x 2

B. 以 BC 为底边的等腰三角形 D.以 BC 为斜边的直角三角形

11. (5 分)设 p:f(x)=e +lnx+2x +mx+1 在(0,+∞)内单调递增,q:m≥﹣5,则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 12. (5 分)已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y= (m>0) ,l1 与函数 y=|log2x|的图象从左至

右相交于点 A,B,l2 与函数 y=|log2x|的图象从左至右相交于点 C,D.记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a,b,当 m 变化时, 的最小值为() A.16 B. 8 C. 8 D.4

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 20 分) . 13. (5 分)计算 =.

14. (5 分)已知 A、B、C 三点在同一条直线 l 上,O 为直线 l 外一点,若 p,q,r∈R,则 p+q+r=.

=0,

15. (5 分)若数列 x,a1,a2,y 成等差数列,x,b1,b2,y 成等比数列,则 取值范围是.



16. (5 分)已知函数 f(x)= 点,则实数 a 的取值范围是.

,若函数 y=f(f(x) )+1 有 4 个不同的零

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 70 分). 17. (12 分)设函数 个为真命题,求实数 a 的取值范围. 的定义域为 A,若命题 p:3∈A 与 q:5∈A 有且只有一

18. (12 分)已知函数 f(x)=

,其中 .

, =(cosωx

﹣sinωx,2sinωx) ,其中 ω>0,若 f(x)相邻两对称轴间的距离不小于 (Ⅰ)求 ω 的取值范围; (Ⅱ)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,a= =1,求△ ABC 的面积.

,b+c=3,当 ω 最大时,f(A)

19. (12 分) 若对任意 x∈R, 不等式 求 θ 的取值范围.

>sinθ﹣1 恒成立,

20. (12 分)已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f′(x)=6x﹣2,数列 * {an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 小正整数 m. 21. (12 分)设函数 f(x)=lnx﹣px+1 (1)求函数 f(x)的极值点; (2)若对任意的 x>0,恒有 f(x)≤0,求 p 的取值范围; (3)证明: + + < (n∈N ,n≥2)
*

,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得

对所有 n∈N 都成立的最

*

【选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分)如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分) 23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 点,P 点满足 =2 ,P 点的轨迹为曲线 C2 (α 为参数)M 是 C1 上的动

(Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 与 C1 的异于极点的交

【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24.已知函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2| (1)当 a=﹣3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

河南省实验中学 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. (5 分)已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x| ≤4,x∈Z},则 A∩B=() A.(0,2) B.[0,2] C.|0,2| D.{0,1,2}

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 A={x|﹣2≤x≤2},B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13, 14,15,16},从而可求 解答: 解:∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2} B={x| ≤4,x∈Z}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16} 则 A∩B={0,1,2} 故选 D 点评: 本题主要考查了集合的交集的求解,解题的关键是准确求解 A,B,属于基础试题 2. (5 分)记 cos(﹣80°)=k,那么 tan100°=() A. B. ﹣ C. D.﹣

考点: 弦切互化. 专题: 计算题. 分析: 法一:先求 sin80°,然后化切为弦,求解即可. 法二:先利用诱导公式化切为弦,求出求出结果. 解答: 解:法一 ,

所以 tan100°=﹣tan80°= 法二 cos(﹣80°)=k?cos(80°)=k,

. :

= 点评: 本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,并突出了弦切互 化这一转化思想的应用. 3. (5 分)已知集合 A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函 数,那么该函数的值域 C 的不同情况有() A.7 种 B. 4 种 C. 8 种 D.12 种 考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用;集合. 分析: 值域 C 只可能是集合 B 的真子集,求出 B 的真子集的个数即可. 解答: 解:值域 C 可能为:只含有一个元素时,{a},{b},{c}3 种; 有两个元素时,{a,b},{a,c},{b,c}3 种; 有三个元素时,{a,b,c}1 种; ∴值域 C 的不同情况有 3+3+1=7 种. 故选:A. 点评: 本题考查了函数的定义的应用问题,也考查了集合的应用问题,是基础题.

4. (5 分)设向量 =(1,2) ,向量 =(﹣3,4) ,向量 =(3,2) ,则向量( A.(﹣15,12) B. 0 C. 5 D.﹣11

)? =()

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量的坐标运算可得 的坐标,由数量积的坐标运算可得.

解答: 解:∵ =(1,2) , =(﹣3,4) , =(3,2) , ∴ ∴( =(1,2)+(﹣6,8)=(﹣5,10) , )? =﹣5×3+10×2=5

故选:C 点评: 本题考查平面向量的数量积的坐标运算,属基础题. 5. (5 分)设{an}(n∈N )是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列 结论错误的是() A.d<0 C. S9>S5 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 利用结论:n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1,易推出 a6>0,a7=0,a8<0,然后逐一分析各选项, 排除错误答案. 解答: 解:由 S5<S6 得 a1+a2+a3+…+a5<a1+a2++a5+a6,即 a6>0, 又∵S6=S7, ∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7, ∴a7=0,故 B 正确; 同理由 S7>S8,得 a8<0, ∵d=a7﹣a6<0,故 A 正确; 而 C 选项 S9>S5,即 a6+a7+a8+a9>0,可得 2(a7+a8)>0,由结论 a7=0,a8<0,显然 C 选 项是错误的. ∵S5<S6,S6=S7>S8,∴S6 与 S7 均为 Sn 的最大值,故 D 正确; 故选 C. 点评: 本题考查了等差数列的前 n 项和公式和 sn 的最值问题, 熟练应用公式是解题的关键. 6. (5 分)在△ ABC 中,a=2,A=45°,若此三角形有两解,则 b 的范围为() A.2<b<2 B.b>2 C.b<2 D. <b< B. a7=0 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值
*

考点: 正弦定理.

专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理列出关系式,把 a,sinA 的值代入,表示出 b,B+C,根据 B 为两值, 得到两个值互补,确定出 B 的范围,进而求出 sinB 的范围,即可确定出 b 的范围. 解答: 解:∵在△ ABC 中,a=2,A=45°,且此三角形有两解, ∴由正弦定理 = =2 ,

∴b=2 sinB,B+C=180°﹣45°=135°, 由 B 有两个值,得到这两个值互补, 若 B≤45°,则和 B 互补的角大于等于 135°,这样 A+B≥180°,不成立; ∴45°<B<135°, 又若 B=90,这样补角也是 90°,一解, ∴ <sinB<1,b=2 sinB,

则 2<b<2 , 故选:A. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,熟练掌握定理是解本题的关键.

7. (5 分)已知函数 y=3sinωx(ω>0)的周期是 π,将函数 y=3cos(ωx﹣ 象沿 x 轴向右平移 A.3sin(2x﹣ )

) (ω>0)的图

个单位,得到函数 y=f(x)的图象,则函数 f(x)=() B.3sin(2x﹣ ) C.3sin(2x+ ) D.3sin(2x+ )

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:∵函数 y=3sinωx(ω>0)的周期是 将函数 y=3cos(ωx﹣ =π,∴ω=2. 个单位, ﹣ )=3sin(2x﹣ )的图象,

) (ω>0)的图象沿 x 轴向右平移 )﹣ ]=3cos(2x﹣

得到函数 y=f(x)=3cos[2(x﹣

故选:B. 点评: 本题主要考查诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 8. (5 分)设△ ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列,sinA、sinB、sinC 成等比数列,则这个 三角形的形状是() A.直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等边三角形 考点: 数列与三角函数的综合;三角形的形状判断. 专题: 计算题;综合题.

分析: 先由△ ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列,求得∠B=60°,∠A+∠C=120°①;再 由 sinA、sinB、sinC 成等比数列,得 sin B=sinA?sinC,②,①②结合即可判断这个三角形 的形状. 解答: 解:∵△ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列, ∴∠B=60°,∠A+∠C=120°①; 又 sinA、sinB、sinC 成等比数列, ∴sin B=sinA?sinC= ,② 由①②得:sinA?sin(120°﹣A) =sinA?(sin120°cosA﹣cos120°sinA) = = sin2A+ ? sin2A﹣ cos2A+
2 2

= sin(2A﹣30°)+ = , ∴sin(2A﹣30°)=1,又 0°<∠A<120° ∴∠A=60°. 故选 D. 点评: 本题考查数列与三角函数的综合,关键在于求得∠B=60°,∠A+∠C=120°,再利用三 角公式转化,着重考查分析与转化的能力,属于中档题.

9. (5 分)函数 y=lncosx(

)的图象是()

A.

B.

C. 考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 数形结合. 分析: 利用函数 性可排除一些个选项.从而得以解决. 解答: 解:∵cos(﹣x)=cosx,

D.

的奇偶性可排除一些选项, 利用函数的有界



是偶函数,

可排除 B、D, 由 cosx≤1?lncosx≤0 排除 C, 故选 A. 点评: 本小题主要考查复合函数的图象识别.属于基础题. 10. (5 分)O 为平面上的定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,若 ,则△ ABC 是() A.以 AB 为底边的等腰三角形 C. 以 AB 为斜边的直角三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 设 BC 的中点为 D,由条件可得 ?2 =0,故 ⊥ ,故△ ABC 的 BC 边上的中 B. 以 BC 为底边的等腰三角形 D.以 BC 为斜边的直角三角形

线也是高线,△ ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形. 解答: 解:设 BC 的中点为 D,∵ 2 ∴ )=0, ?2 =0,∴ ⊥ ,故△ ABC 的 BC 边上的中线也是高线. ,∴ ?(2 ﹣

故△ ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形, 故选 B. 点评: 本题考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量垂直的条件,三角 形形状的判定,得到△ ABC 的 BC 边上的中线也是高线,是将诶提的关键. 11. (5 分)设 p:f(x)=e +lnx+2x +mx+1 在(0,+∞)内单调递增,q:m≥﹣5,则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 利用导数研究函数的单调性;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 压轴题. 分析: 首先求出函数的导数,然后根据导数与函数单调性的关系求出 m 的范围. 解答: 解:由题意得 f′(x)=e + +4x+m, ∵f(x)=e +lnx+2x +mx+1 在(0,+∞)内单调递增, ∴f′(x)≥0,即 e + +4x+m≥0 在定义域内恒成立,
x x 2 x x 2

由于 +4x≥4,当且仅当 =4x,即 x= 时等号成立,故对任意的 x∈(0,+∞) ,必有 e + +4x >5 ∴m≥﹣e ﹣ ﹣4x 不能得出 m≥﹣5 但当 m≥﹣5 时,必有 e + +4x+m≥0 成立,即 f′(x)≥0 在 x∈(0,+∞)上成立 ∴p 不是 q 的充分条件,p 是 q 的必要条件,即 p 是 q 的必要不充分条件 故选 B. 点评: 本题考查函数导数与单调性的关系.属于函数恒成立问题,难度较大,综合性强, 尤其是充分条件的证明是本题的难点, 本题易因为判断不出最值而导致无法下手, 本解答通过 给出 e + +4x>5 这一条件避免了利用导数求最值, 从而达到判断两个命题之间关系的目的. 做 题时要注意掌握此类变通的技巧.
x x x

x

12. (5 分)已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y=

(m>0) ,l1 与函数 y=|log2x|的图象从左至

右相交于点 A,B,l2 与函数 y=|log2x|的图象从左至右相交于点 C,D.记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a,b,当 m 变化时, 的最小值为() A.16 B. 8 C. 8 D.4

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;对数函数图象与性质的综合应用;平行投影及平 行投影作图法. 专题: 计算题;综合题;压轴题. 分析: 设 A,B,C,D 各点的横坐标分别为 xA,xB,xC,xD,依题意可求得为 xA,xB,xC, xD 的值,a=|xA﹣xC|,b=|xB﹣xD|,利用基本不等式可求得当 m 变化时, 的最小值. 解答: 解:设 A,B,C,D 各点的横坐标分别为 xA,xB,xC,xD, 则﹣log2xA=m,log2xB=m;﹣log2xC= ∴xA=2
﹣m

,log2xD= .



,xB=2 ,xC=

m

,xD=

∴a=|xA﹣xC|,b=|xB﹣xD|,
m

∴ =

=|

|=2 ?

=



又 m>0,∴m+

= (2m+1)+

﹣ ≥2

﹣ = (当且仅当 m= 时取“=”)

∴ ≥

=8



故选 B. 点评: 本题考查对数函数图象与性质的综合应用,理解平行投影的概念,得到 = 是关键,考查转化与数形结合的思想,考查分析与运算能力,属于难题.

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 20 分) . 13. (5 分)计算 = .

考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 因为被积函数表示以 (﹣2, 0) 为圆心, 1 为半径的半圆, 所以 表示(x+2) +y =1 与 x 轴围成的上半圆的面积. 解答: 解:因为被积函数表示以(﹣2,0)为圆心,1 为半径的半圆,所以 表示圆(x+2) +y =1 与 x 轴围成的上半圆的面积, 所以 故答案为: . = ;
2 2 2 2

点评: 本题考查了定积分的计算以及其运用定积分的几何意义求曲边梯形的面积.

14. (5 分)已知 A、B、C 三点在同一条直线 l 上,O 为直线 l 外一点,若 p,q,r∈R,则 p+q+r=0.

=0,

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 计算题. 分析: 将三个点共线转化为两个向量共线,利用向量共线的充要条件列出方程,利用向量 的运算法则将方程的向量用以 O 为起点的向量表示,求出 p,q,r 的值,进一步求出它们的 和. 解答: 解:∵A、B、C 三点在同一条直线 l 上,∴ ∴ ∵ , , . ,

∴P=λ﹣1,q=1,r=﹣λ, ∴p+q+r=0. 故答案为 0. 点评: 本题主要考查平面向量基本定理的应用,解决三点共线的问题,一般先转化为以这 三点为起点、终点的两个向量共线,利用向量共线的充要条件解决,属于基础题.

15. (5 分)若数列 x,a1,a2,y 成等差数列,x,b1,b2,y 成等比数列,则 取值范围是[4,+∞)或(﹣∞,0]. 考点: 等差数列的性质;基本不等式;等比数列的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意可知 = = = + +2.由此可知



的取值范围. 解答: 解:在等差数列中,a1+a2=x+y;在等比数列中,xy=b1?b2. ∴ = = = + +2.

当 x?y>0 时, + ≥2,故

≥4;

当 x?y<0 时, + ≤﹣2,故

≤0.

答案:[4,+∞)或(﹣∞,0] 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细思考.

16. (5 分)已知函数 f(x)= 点,则实数 a 的取值范围是(0,+∞) .

,若函数 y=f(f(x) )+1 有 4 个不同的零

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 数形结合;分类讨论;函数的性质及应用. 分析: 函数 y=f[f(x)]+1 的零点个数,即为方程 f[f(x)]=﹣1 的解的个数,结合函数 f(x) 图象,分类讨论判断,求解方程可得答案. 解答: 解:函数 y=f(f(x) )+1 的零点, 即方程 f[f(x)]=﹣1 的解个数, (1)当 a=0 时,f(x)= ,

当 x>1 时,x= ,f(f(x) )=﹣1 成立,∴方程 f[f(x)]=﹣1 有 1 解 当 0<x<1,log2x<0,∴方程 f[f(x)]=﹣1 无解, 当 x≤0 时,f(x)=1,f(f(x) )=0,∴,∴f(f(x) )=﹣1 有 1 解, 故 a=0 不符合题意, (2)当 a>0 时,

当 x>1 时,x= ,f(f(x) )=﹣1 成立, 当 0<x<1,log2x<0,∴方程 f[f(x)]=﹣1 有 1 解, 当 <x≤0 时,0<f(x)≤1,∴f(f(x) )=﹣1 有 1 解, 当x 时,f(x)<0,∴f(f(x) )=﹣1 有 1 解,

故,f(f(x) )=﹣1 有 4 解, (3)当 a<0 时,

当 x>1 时,x= ,f(f(x) )=﹣1 成立,∴f(f(x) )=﹣1 有 1 解, 当 0<x≤1 时,f(x)≤0.f(f(x) )=﹣1,成立∴f(f(x) )=﹣1 有 1 解, 当 x≤0 时,f(x)≥1,f(f(x) )=﹣1,成立∴f(f(x) )=﹣1 有 1 解, 故 f(f(x) )=﹣1 有 3 解, 不符合题意, 综上;a>0 故答案为: (0,+∞) 点评: 本题考查的知识点是函数零点的判定,其中将函数的零点问题转化为方程根的个数 问题,分类讨论求解. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 70 分). 17. (12 分)设函数 个为真命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 命题的真假判断与应用. 分析: 由题意可得 .由 3∈A,5∈A 分别可求 P,q 所对应的 a 的范围, 的定义域为 A,若命题 p:3∈A 与 q:5∈A 有且只有一

由命题 p:3∈A 与 q:5∈A 有且只有一个为真命题,可讨论:P 真 q 假;P 假 q 真,可求 解答: 解:由题意可得 .…(1 分)



,…(3 分)



.…(5 分)

若 P 真 q 假,则

a 无解;…(8 分)

若 P 假 q 真,则 综上,

,解可得 1 .…(14 分)

或 9≤a<25…(12 分)

点评: 本题主要考查了对数函数的定义域,分式不等式的解法,要注意分类讨论思想的应 用.

18. (12 分)已知函数 f(x)=

,其中 .

, =(cosωx

﹣sinωx,2sinωx) ,其中 ω>0,若 f(x)相邻两对称轴间的距离不小于 (Ⅰ)求 ω 的取值范围; (Ⅱ)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,a= =1,求△ ABC 的面积.

,b+c=3,当 ω 最大时,f(A)

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;平面向量数量积的运算;解三角形. 专题: 计算题. 分析: (I)利用向量的数量积的坐标表示及二倍角公式对函数整理可得, ,根据周期公式可得 对称轴间的距离即为 ,从而有 ,根据正弦函数的性质相邻两

代入可求 ω 的取值范围. 由 f(A)=1 可得,

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ω 的最大值为 1,

结合已知可得
2 2



由余弦定理知



得 b +c ﹣bc=3,又 b+c=3 联立方程可求 b,c,代入面积公式可求 也可用配方法 求得 bc=2,直接代入面积公式可求

解答: 解: (Ⅰ)f(x)= cosωx?sinωx=cos2ωx+ ∵ω>0 ∴函数 f(x)的周期 T= ,由题意可知 , sin2ωx=

解得 0<ω≤1,即 ω 的取值范围是{ω|0<ω≤1} (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ω 的最大值为 1, ∴ ∵f(A)=1 ∴ 而 ∴2A+ ∴A= π π

由余弦定理知 cosA= ∴b +c ﹣bc=3,又 b+c=3 联立解得 ∴S△ ABC=
2 2

(或用配方法∵ ∴bc=2 ∴ .

点评: 本题综合考查了向量的数量积的坐标表示,由函数的部分图象的性质求解函数的解 析式,正弦函数的周期公式,由三角函数值求解角,余弦定理及三角形的面积公式等知识的综 合,综合的知识比较多,解法灵活,要求考生熟练掌握基础知识并能灵活运用知识进行解题.

19. (12 分) 若对任意 x∈R, 不等式 求 θ 的取值范围.

>sinθ﹣1 恒成立,

考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 分析: 原不等式变形为: (cosθ﹣sinθ+1) x﹣ (cosθ﹣sinθ﹣4) x+cosθ﹣sinθ+4>0, 令 t=cosθ 2 ﹣sinθ 得: (t+1)x ﹣(t﹣4)x+t+4>0,求出 t 的范围,即可求 θ 的取值范围. 2 解答: 解:原不等式变形为: (cosθ﹣sinθ+1)x ﹣(cosθ﹣sinθ﹣4)x+cosθ﹣sinθ+4>0 2 令 t=cosθ﹣sinθ 得: (t+1)x ﹣(t﹣4)x+t+4>0, ∴

∴cosθ﹣sinθ>0,∴cosθ>sinθ,∴2kπ﹣ 所以 θ 得范围是(2kπ﹣ ,2kπ+ )

<θ<2kπ+ k∈Z

,k∈Z

点评: 本小题主要考查函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力, 考查化归与转化思想.属于中档题. 20. (12 分)已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f′(x)=6x﹣2,数列 * {an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 小正整数 m. 考点: 数列的求和;导数的运算. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx(a≠0) ,根据导函数求得 f(x)的表达式,再根 * 据点(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上,求出 an 的递推关系式, (Ⅱ)把(1)题中 an 的递推关系式代入 bn,根据裂项相消法求得 Tn,最后解得使得 对所有 n∈N 都成立的最小正整数 m. 2 解答: 解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx(a≠0) , 则 f′(x)=2ax+b, 由于 f′(x)=6x﹣2,得 a=3,b=﹣2, 所以 f(x)=3x ﹣2x. * 又因为点(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上, 2 所以 Sn=3n ﹣2n. 2 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(3n ﹣2n)﹣[3(n﹣1) ﹣2(n﹣1)]=6n﹣5. 2 当 n=1 时,a1=S1=3×1 ﹣2=6×1﹣5, * 所以,an=6n﹣5(n∈N ) (Ⅱ)由(Ⅰ)得知 = = ,
2 * 2

,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得

对所有 n∈N 都成立的最

*

故 Tn=

=
*

= (1﹣ (n∈N )成立的 m,必须且仅须满足 ≤

) .

因此,要使 (1﹣

)<

,即 m≥10,

所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 点评: 本题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技 能,考查分析问题的能力和推理能力. 21. (12 分)设函数 f(x)=lnx﹣px+1 (1)求函数 f(x)的极值点;

(2)若对任意的 x>0,恒有 f(x)≤0,求 p 的取值范围; (3)证明: + + < (n∈N ,n≥2)
*

考点: 函数在某点取得极值的条件;函数恒成立问题;不等式的证明. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: (1)对 f(x)进行求导,令 f′(x)=0,解方程,求出 f(x)的极值点; (2)由(1)利用导数研究函数的单调区间,求出 f(x)的极大值,再求出 f(x)的最大值 小于 0,即可求出 p 的范围; 2 2 2 (3)可以令 p=1,得出不等式 lnx≤x﹣1,将 x 换为 n ,利用不等式 lnn ≤n ﹣1,进行放缩证 明; 解答: 解: (1)∵f(x)=lnx﹣px+1,∴f(x)的定义域为(0,+∞) , f′(x)= ﹣p= 当 p≤0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上无极值点, 当 p>0 时,令 f′(x)=0,∴x= ∈(0,+∞) ,f′(x) ,f(x)随 x 的变化情况如下表: x (0, ) ( ,+∞)

f′(x)+ f(x) 递增

0 ﹣ 极大值递减

从上表可以看出:当 p>0 时,f(x)有唯一的极大值点 x= , (2)当 p>0 时,在 x= 处取得极大值 f( )=ln ,此极大值也是最大值, 要使 f(x)≤0 恒成立,只需 f( )=ln ≤0; ∴p≥1,∴p 的取值范围为[1,+∞) (3)令 p=1,由(2)知,lnx﹣x+1≤0,∴lnx≤x﹣1, ∵n∈N,n≥2, 2 2 ∴lnn ≤n ﹣1, ∴ ≤ =1﹣ ,



+

+…+ + + + +

≤(1﹣ +…+ +…+ +…+

)+(1﹣ ) ) )

)+…+(1﹣



=(n﹣1)﹣( <(n﹣1)﹣( =(n﹣1)﹣(

=(n﹣1)﹣(



= 即证; 点评: 此题主要考查函数的单调性以及函数在极值点取得极值点条件,第三问利用不等式 进行放缩,同学们要认真看放缩的过程,这类题比较难,是 2015 届高考的压轴题; 【选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分)如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;立体几何. 分析: (Ⅰ)利用四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,可得∠D=∠CBE,由 CB=CE,可得 ∠E=∠CBE,即可证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN,证明 AD∥BC,可得∠A=∠CBE,进而可得∠A=∠E, 即可证明△ ADE 为等边三角形. 解答: 证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠D=∠CBE, ∵CB=CE, ∴∠E=∠CBE, ∴∠D=∠E; (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC, ∴O 在直线 MN 上, ∵AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M, ∴OM⊥AD, ∴AD∥BC, ∴∠A=∠CBE, ∵∠CBE=∠E, ∴∠A=∠E, 由(Ⅰ)知,∠D=∠E,

∴△ADE 为等边三角形.

点评: 本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分) 23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 点,P 点满足 =2 ,P 点的轨迹为曲线 C2 (α 为参数)M 是 C1 上的动

(Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 考点: 简单曲线的极坐标方程;轨迹方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (I) 先设出点 P 的坐标, 然后根据点 P 满足的条件代入曲线 C1 的方程即可求出曲线 C2 的方程; (II) 根据 (I) 将求出曲线 C1 的极坐标方程, 分别求出射线 θ= 以及射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1, 与 C1 的异于极点的交

与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2,最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求.

解答: 解: (I)设 P(x,y) ,则由条件知 M( , ) .由于 M 点在 C1 上,

所以



从而 C2 的参数方程为 (α 为参数) (Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sinθ. 射线 θ= 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin . , .

所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=

点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于 中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24.已知函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2| (1)当 a=﹣3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法;带绝对值的函数. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)不等式等价于 ,或 ,或 ,

求出每个不等式组的解集, 再取并集即得所求. (2)原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1,2]上恒成立,由此求得求 a 的取值范围. 解答: 解: (1)当 a=﹣3 时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即① ,或





或③



解①可得 x≤1,解②可得 x∈?,解③可得 x≥4. 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1 或 x≥4}. (2)原命题即 f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x 在[1,2]上恒成立, 等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1,2]上恒成立. 故当 1≤x≤2 时,﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x 的最小值为 0, 故 a 的取值范围为[﹣3,0]. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式组 来解,体现了分类讨论的数学思想, 属于中档题.


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