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公式分类 同角三角函数的基本关系 tan α =sin α /cos α 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin α ˇ2+cos α ˇ2=1 tan α *tan α 的邻角=1 锐角三角函数公式 正弦: sin α =∠α 的对边/∠α 的斜边 余弦:cos α =∠α 的邻边/∠α 的斜边 正切:tan α =∠α 的对边/∠α 的邻边 余切:cot α =∠α 的邻边

/∠α 的对边 二倍角公式 sin2A=2sinA?cosA cos2A=cos^2 A-sin^2 A=1-2sin^2 A=2cos^2 A-1 tan2A=(2tanA)/(1-tan^2 A) 三倍角公式

sin3α =4sinα ?sin(π /3+α )sin(π /3-α ) cos3α =4cosα ?cos(π /3+α )cos(π /3-α ) tan3a = tan a ? tan(π /3+a)? tan(π /3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a

cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =4sina[(√3/2)^2-sin^2a] =4sina(sin^260°-sin^2a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a) /2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] =4cosa(cos^2a-cos^230°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-3 0°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

和差化积 sinθ +sinφ = 2 sin[(θ +φ )/2] cos[(θ -φ )/2]

sinθ -sinφ = 2 cos[(θ +φ )/2] sin[(θ -φ )/2] cosθ +cosφ = 2 cos[(θ +φ )/2] cos[(θ -φ )/2] cosθ -cosφ = -2 sin[(θ +φ )/2] sin[(θ -φ )/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinα sinβ cosα cosβ sinα cosβ cosα sinβ 双曲函数 sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: = [cos(α -β )-cos(α +β )] /2 = [cos(α +β )+cos(α -β )]/2 = [sin(α +β )+sin(α -β )]/2 = [sin(α +β )-sin(α -β )]/2

sin(2kπ +α )= sinα cos(2kπ +α )= cosα tan(2kπ +α )= tanα cot(2kπ +α )= cotα 公式二: 设 α 为任意角,π +α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π +α )= -sinα cos(π +α )= -cosα tan(π +α )= tanα cot(π +α )= cotα 公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α )= -sinα cos(-α )= cosα tan(-α )= -tanα cot(-α )= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π -α )= sinα cos(π -α )= -cosα tan(π -α )= -tanα cot(π -α )= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到 2π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π -α )= -sinα cos(2π -α )= cosα tan(2π -α )= -tanα cot(2π -α )= -cotα 公式六: π /2±α 及 3π /2±α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π cos(π tan(π cot(π sin(π /2+α /2+α /2+α /2+α /2-α )= )= )= )= )= cosα -sinα -cotα -tanα cosα

cos(π /2-α )= sinα tan(π /2-α )= cotα cot(π /2-α )= tanα

sin(3π /2+α )= -cosα cos(3π /2+α tan(3π /2+α cot(3π /2+α sin(3π /2-α cos(3π /2-α tan(3π /2-α cot(3π /2-α (以上 k∈Z) A?sin(ω t+θ √{(A^2 +B^2 )= )= )= )= )= )= )= sinα -cotα -tanα -cosα -sinα cotα tanα

)+ B?sin(ω t+φ ) = +2ABcos(θ -φ )} ? sin{ ω t +

arcsin[ (A?sinθ +B?sinφ ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ -φ )} } √表示根号,包括{……}中的内容 诱导公式 sin(-α ) = -sinα cos(-α ) = cosα tan (-α )=-tanα sin(π /2-α ) = cosα cos(π /2-α ) = sinα sin(π /2+α ) = cosα cos(π /2+α ) = -sinα sin(π -α ) = sinα cos(π -α ) = -cosα sin(π +α ) = -sinα cos(π +α ) = -cosα tanA= sinA/cosA tan(π /2+α )=-cotα tan(π /2-α )=cotα tan(π -α )=-tanα tan(π +α )=tanα 诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限 万能公式 sinα =2tan(α /2)/[1+tan²(α /2)] cosα =[1-tan²(α /2)]/[1+tan²(α /2)] tanα =2tan(α /2)/[1-tan²(α /2)]

其它公式

(1) (sinα )^2+(cosα )^2=1 (2)1+(tanα )^2=(secα )^2 (3)1+(cotα )^2=(cscα )^2 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα )^2,第二个除(cosα )^2 即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π -C tan(A+B)=tan(π -C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ -tanC)/(1+tanπ tanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当 x+y+z=nπ (n∈Z)时,该关系式也成立 由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC (8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)

编辑本段内容规律 三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规 律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部 规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1、三角函数本质:

[1]

根据右图,有 sinθ =y/ r; cosθ =x/r; tanθ =y/x; cotθ =x/y。 深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来, 比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 推导: 首先画单位圆交 X 轴于 C, 在单位圆上有任意 A, 点。 AOD 为 α , D, B 角 BOD 为 β ,旋转 AOB 使 OB 与 OD 重合,形成新 A'OD。 A(cosα ,sinα ),B(cosβ ,sinβ ),A'(cos(α -β ),sin(α -β )) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α -β )-1]^2+[sin(α -β )]^2=(cosα -cosβ )^2+(sinα -sinβ )^ 2

和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2 与 (a-b)/2) 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位 圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角 形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义, 而不只是对于在 0 和 π /2 弧度之间的角。它也提供了一个图象,把所有 重要的三角函数都包含了。根据勾股定理,单位圆的等式是: 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角, 而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ ,并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ 。 图象中的三角形确保了这个公式; 半径等于斜边且长度为 1, 所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x /1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的 长度,但保持斜边等于 1 的一种查看无限个三角形的方式。 两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)


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