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鄞中物理奥赛培训教材第一版知识框架第11-20讲


第十一讲 功和功率 【赛点知识】 一、功 物体(可看成质点)在恒力 F 的作用下产生了位移,则力 F 对物体所做的功为:

W ? Fs cos ?
式中, ? 是力 F 与位移 s 之间的夹角,功是标量,但有正、负之分,正功和负功的物理意义则须从与做功相联系的能量转 化角度去理解。说明: (1)功是描述力的空间累积效果的物理量,由于位移总是与一个过

程相联系的,所以功是过程量。 (2)功在不同的参照条件中,可以有不同数值。但一般都取地面作为参照系。而一对作用力与反作用力做功之和却与 参照系的选择无关,如一对滑动摩擦力做的总功是 ? f ? s (式中 s 是相对位移) ,一对静摩擦力做的总功为零。 (3)当不能把物体当作质点处理时,物体的位移与力的作用点的位移可能是不相等的,这时公式中的 s 应理解为力的 作用点的位移。 如在半径为 R 的圆柱体上缠绕着一根轻绳,当施一恒定的水平力 F 拉绳子,使圆柱体无滑滚动一周过程中,力 F 所 做的功应为 F ? 4? R ,而不是 F ? 2? R 。 (4)功的定义式中力应为恒力。如 F 为变力,中学阶段常用如下几种处理方法: a.微元法。即把变力做功转化为恒力做功。 b.图像法。即作出力 F 与位移变化的图像,求出图线与位移轴之间所围的面积。 c.等效法。即用机械能的增量或 P ? t 等效代换变为功。 (5)几个特殊力做的功 a.重力做的功:只与始末位置的高度差有关,与运动的路径无关。 表达式: W ? mg ? h b.弹簧弹力做的功 据胡克定律 F ? kx ,作出 F ? x 图线。 当弹簧从形变 x 1 变化到形变 x 2 时,弹簧弹力所做的功相当于图中阴影部分的“面积” ,即 W ? 弹簧弹性力的功与路径无关,只与弹簧初、末状态两点的形变有关。 c.万有引力的功。质量分别为 m 和 M 的两个质点, m 相对 M 从初始位置 A(相距 r0 ) ,沿任意路径运动到终止位 置 B(相距 r ) ,质点 m 所受 M 的万有引力的功为:

1 2

kx1 ?
2

1 2

kx 2 。

2

W ?G

Mm r0

?G

Mm r

万有引力做的功与两质点初态的相对位置 r0 和终态的相对位置 r 有关,而与运动的路径无关。

二、功率 力所做的功与所用时间的比值,称为该力在这段时间内的平均功率,记为 P ?

W t

。若将 W ? Fs cos ? 代入上式得

P ? Fv cos ?
式中, v 若为平均速度,求得的 P 为平均功率,若 v 是即时速度,求得的 P 为即时功率,式中 ? 为 F 与 v 之间的夹角。

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【赛题精析】 例 1.如图所示,面积很大的水池,水深为 H ,水面上浮着一正方体木块,木块边长为 a ,密度为水的密度的

1 2



质量为 m ,开始时,木块静止,有一半没入水中,现用力 F 将木块缓慢地压到池底,不计摩擦,求:从开始到木块刚好浸 入水中的过程中力 F 做的功。

例 2.如图所示的传送机,传送带的速度 v ? 1 m/s,位于传动机底部的料斗每分钟向传送机输送 2 . 4 ? 10 kg 的煤屑,
3

传送机将煤屑送到 h ? 4 m 高处,求传送机电动机的功率 P (不包含传送机空转时所需的功率) 。

例 3.质量为 m 的小球用长为 l 的轻绳悬挂于支架的 O 点上,支架固定在平板上,平板与支架的总质量为 M ,平板 放在光滑的水平桌面上,如图所示,将小球拉至 A 点,使绳拉直并水平,在小球与板均静止时释放小球。 (1)试问:在小球从 A 点到最低点 C 的过程中,绳子张力对小球做了多少功? (2)求:当小球运动到 B 点(绳与竖直方向成 ? ? 60 ? 角)时,板的运动速度。

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【习题精选】 1. 一质量为 m 的小球用长为 L 的轻绳系于 O 点,小球在水平力 F 作用下,从平衡位置 P 点很缓慢地移到 Q 点,如图所 示,则力 F 所做的功为( A. mgL cos ? C. mgL (1 ? cos ? ) ) B. FL sin ? D. FL ?

2. 自动扶梯以恒定的速率运行,第一次人相对扶梯静止,第二次在扶梯运动的同时人也匀速向上走动,在这两种情况下, 自动扶梯对人所做的功分别为 W 1 和 W 2 ,扶梯做的功的功率分别为 P1 和 P2 ,比较他们的大小有( A. W1 ? W 2 D. P1 ? P2 B. W1 ? W 2 E. P1 ? P2 C. W1 ? W 2 F. P1 ? P2 )

3. 将放在地上的木板绕其一端转动角 ? ,求所需要做的功。 (木板长度为 L ,质量为 M ,木板与地面之间的摩擦因数为

?)

4. 在物体作直线运动的情况下,物体具有的动能与发生的位移 s 之间的关系如图所示。已知在 A 点物体受力 F A ? 2 N, 求物体在 B 点,C 点受力大小。

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5. 通风机通过墙上小洞将室内的空气吹出去,为使通风机在单位时间内所吹走的空气质量 m t 增加一倍,问通风机的原来 功率 P1 需要增加多少倍?

6. 如图所示,质量为 m 的小车以恒定速率 v 沿半径为 R 的竖直圆轨道运动,已知摩擦系数为 ? ,试求小车从轨道最低 点运动到最高点的过程中,摩擦力的功。

7. 泵将水沿管道抽到 h 高处,求泵的最小功率应该为多少?如图所示,管的横截面积为 S ,泵在单位时间内抽水的体积 为V t 。

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8. 列车以速度 v ? 72 km/h 沿水平路段行驶。为使列车在下大雨时,也以这样的速度行驶。问:火车头发出的功率应该变 化多少?(单位时间落在列车上的雨水质量 m t ? 100 kg/s,雨下落后顺车厢壁流下,下雨时摩擦力的变化不计)

9. 三个球半径相同,质量不同,并排平行地悬挂在同样长度的绳上,彼此相互接触。把质量为 m 1 的球拉开,上升到高 H 处,再放下,如图所示。再使第一个球与第二个球,第二个球与第三个球碰撞后,所有三个球具有同样的动量,试问 m 2 和

m 3 各为多少?它们上升多高?所有碰撞是完全弹性的。

10.一只质量为 m 的小环宽绰地把两个质量均为 M 的相同的细轴环套接在一起。小环开始下滑,此时轴环沿着有点粗糙 的水平面各自向两旁(向外)滑去。试求在开始时刻小环的加速度 a 。 ? AO 1O 2 ? ? ,如图所示,小环与轴之间的摩擦 ( 不计)

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第十二讲 动能定理 【赛点知识】 一、动能 动能是描述质点机械运动状态的一个物理量。 表达式: E K ?

1 2

mv

2

特点:动能是标量且恒为正值,它的大小跟参照系的选择有关。 二、动能定理 1.内容:作用在质点上合外力所做的功等于质点动能的改变量。 2.表达式: 3.说明: (1)质点动能定理只能在惯性系中运动,其中位移和速度必须是同一惯性系的。 (2)动能和功是完全不同的两个物理量,动能是描述质点机械运动状态的物理量;功是和运动过程相联系,是描述力 的空间累积效应的物理量,但动能和功又是密切联系的,体现在动能定理中,做功的本质是使物体的动能变化。 4.质点组动能定理 (1)内容:对于质点组,外力做功与内力做功之和等于质点组动能的改变量。 (2)表达式:

?W



? ?E K ?

1 2

mv 2 ?
2

1 2

mv 1

2

?W



? ? W内 ? ? E K 2 ? ? E K 1

【赛题精析】 例 1.长度为 L 的矩形板,以速度 v 沿光滑水平面上平动时,垂直滑向宽度为 l 的粗糙地带,板从开始受阻到停下来, 所经过路程为 s ,而 l ? s ? L ,如图所示,求板面与粗糙地面之间的动摩擦因数 ? 。

例 2.足球运动员在 11 m 远处罚点球,球准确地从球门横梁边缘进去。横梁边缘离地面高度 h ? 2 . 5 m,足球质量

m ? 0 .5 kg,空气阻力不计,问必须传递给这个足球的最小能量 E min 是多少?

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例 3.10 个同样的扁长木板一个紧挨一个地放在水平地面上,如图所示。每个木块的质量为 m ? 0 . 4 kg,长为

l ? 0 .50 m,它们与地面间的静摩擦和动摩擦因数均为 ? 2 ? 0 . 10 。原来木块处于静止状态,左方第一个木块的左端上方
放一质量为 M ? 1 .0 kg 的小铅块,它与木板间的静摩擦和动摩擦因数均为 ? 1 ? 0 .20 。现突然给铅块一向右的初速度

v 0 ? 4 .3 m/s。使其在大木块上滑行,试确定铅块最后的位置在何处(落在地上还是停在哪块木块上)( g 取 10 m/s2,设 。
铅块的线度与 l 相比可忽略)

例 4.如图所示,质量为 m 的物体可以沿竖直轨道 A,B 上、下运动,物体正下方置一轻弹簧,物体在轨道间的最大静 摩擦力与滑动摩擦力都是 f ? mg / 2 ,现在,物体在距离弹簧为 d 的高处由静止开始下落,试求: (1)物体下落的最低位置与弹簧倔强系数 k 的关系。 (2)物体由最低位置第一次弹回的高度与 k 的关系。

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【习题精选】 1. 如图所示,圆管弯成半径相同的两段弧,放在同一竖直面内, 弧 ABC ? 弧 ADC ,一小球以某一初速度 v 0 分别沿

弧 ABC 和 弧 ADC 到达 C 点时的速度分别为 v 1 和 v 2 ,小球与管间的摩擦因数相同,则(
A. v1 ? v 2 C. v1 ? v 2 B. v1 ? v 2 D.无法确定



2. 力 F ? 20 N 作用在静止的物体,在短时间 t ? 10

?2

s 内,使它获得动能 E K 1 ? 3 J。如果这个物体具有初速度

v 0 ? 10 m/s,力 F 沿初速度方向,在同样时间 t 内力 F 又能使物体获得多大动能?

3. 如图所示,质量为 M 的小车静止于光滑水平面,长为 l 的悬线系着质量为 m 的小球于水平位置静止释放,下摆到图示

? 位置时,小车的速率为 v ,试求该过程中悬线张力对小球所做的功。

4. 在与水平面成角 ? 的斜面上有一系在线上的小垫圈,如图所示,线的另一端固定在斜面上。如果将垫圈偏离平衡位置 (在线拉紧的情况下)一个小角度 ? 0 ,无初速释放,垫圈摆到平衡位置的另一侧最大偏角为 ? 1 (? 1 ? ? 0 ) 。求垫圈与斜面 之间的摩擦系数。

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5. 长度为 l 和质量为 M 的长木块放在光滑的水平面上,一个质量为 m 的小物块放在此木块上,如图所示。物体与木块之 间的摩擦因数为 ? , 为了使木块与墙壁发生弹性碰撞后, 物体从木块上落下来, 试问碰撞前此系统应该以多大速度 v 运动?

6. 两根长度均为 l 的刚性轻杆,一端通过质量为 m 的球形铰链连接,另一端分别接质量为 m 和 2 m 的小球,将此装置的 两杆并拢,铰链向上竖直地放在桌上,然后轻敲一下,使球往两边滑,但两杆始终保持在竖直面内,忽略一切摩擦,求: (1)铰链碰到桌面前的速度 v ; (2)当两杆夹角为 90 ? 时,质量为 2 m 的小球的速度 v 2 ; (3)当两杆夹角为 90 ? 时,质量为 2 m 的小球的位移 s 2 。

7. 倾角为 ? 的斜面上固定一个半径为 R 的光滑半圆环,如图所示,C 为圆心,小球从 A 处沿切线方向射入并在环内运动。 (1)若小球与斜面的摩擦因数为 ? ,求小球能通过圆环最高点时 v 0 的取值。 (2)若斜面光滑,小球刚好落到 C 点,求 v 0 多大?

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8. 一物体质量为 m ? 1 . 0 kg,置于水平面上,物体与水平面间的静摩擦系数和动摩擦系数 ? ? 0 . 4 ,如图所示,在原点 有一完全弹性的墙,且物体始终受到 F ? ? 20 x 的水平力, x 的单位为 m,现将物体于 x 0 ? 1 . 1 m 处静止释放,求: (1)物体从静止释放到停止运动,共用了多少时间? (2)物体最后停在什么位置? (3)物体克服摩擦力做了多少功?( g 取 10 m/s )
2

9. 质量分别为 m 1 ? 0 . 09 kg 和 m 2 ? 0 . 1 kg 的两块薄板用倔强系数为 k ? 150 N/m 的弹簧连接起来。一个质量为

m ? 0 .01 kg 的蜡塑球从 h 高处掉下来,落在上板上,如图所示。问:要使下板刚好离开地面,球至少从多高处落下来。

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10.质量为 m 的小珠,穿在竖直放置的半径为 R 的光滑圆环上,并用一个倔强系数 k ?

mg R

,原长也为 R 的弹簧连接,

弹簧的另一端固定在圆环的最高点 A 上, 若小珠从与 A 点相距为原长的 B 点静止下滑, 求在小珠下滑过程中对圆环所施的压 力。

11.如图所示,质量为 m 的箱子放在光滑水平地面上,箱内有一质量为 m 的滑块,滑块与箱底无摩擦,开始时箱子不动, 滑块以 v 0 从 A 向 B 运动,设二者每碰一次,相对速度变为碰前的 e 倍, e ? (1)要使系统损耗总动能不超过其初动能 40%,最多可碰几次? (2)从开始运动到完成上述次数的碰撞期间,箱子的平均速度是多少?

4

1 2

。问:

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第十三讲 势能和机械能守恒定律 【赛点知识】 一、保守力和非保守力 保守力:凡做功只依赖于质点组(或物体系)的初态和终态的相对位置的力,即与路径无关的力,如重力、万有引力 等。 非保守力:凡做功与路径有关的力,又称耗散力,如滑动摩擦力等。 二、势能 (一)概念 在保守力场中,有一种仅由物体系内的相对位置决定的能量,称之为势能。物体系具有势能的条件是受保守力作用。 (二)物体系的势能和保守力的关系 势能的改变量等于保守力做功的负值: ? W 保 ? ? E P 。 (三)特点 (1)势能是标量。 (2)势能是状态量,由于势能的概念只确定了其改变量,为确定某状态下物体系的势能值。必先规定某一状态势能为 零,这状态称之为势能零点。 (3)势能是物体系共有的。 (4)若物体系同时受几种保守力作用。则同时存在相应的几种势能。 (四)力学中常见的势能 (1)重力势能:在物体跟地球组成的系统中,由物体跟地球之间相互作用的重力及相对位置决定的势能。 表达式: E P ? mgh 。 (式中 h 为与选定的零势能面位置的高度差) (2)万有引力势能 a.产生:两个质点组成的系统中,由两质点相互作用的万有引力及相对位置决定的势能。 b.势能零点的规定:一般规定两质点相距无限远处为势能零点。 c.大小: E P ? ? G 讨论: ①质点及均匀球体组成的物体系,其引力势能为 E P ? ? G ②质点及均匀球壳组成的物体系: a.质点在均匀球壳内,其引力势能为: E P ? ? G b.质点在均匀球壳外,其引力势能为: E P ? ? G (3)弹性势能 ①产生在物体和弹簧组成的系统中,在弹簧弹性限度内,由物体跟弹簧相互作用的弹性力及相对位置决定的势能。 ②势能零点的规定:一般规定弹簧处于原长的位置为势能零点。 ③大小: E P ?

Mm r

。式中 r 为两质点间距。

Mm r

。式中 r 为质点到球心的距离。

Mm R Mm r

。式中 R 为球壳半径。 。式中 r 为质点到球壳球心的距离。

1 2

kx 。

2

三、机械能够守恒定律 (一)机械能 物体系动能和势能的总和,其中势能包括重力势能和弹性势能。 (二)机械能守恒定律 1.内容:一个物体系在某一过程中,外力不做功,内部非保守内力不做功,系统的机械能守恒。 2.说明: (1)定律只适用于惯性系,应用时必须选同一惯性系。

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(2)必须注意定律成立的条件: ①外力对系统不做功,表明系统与外界没有没有能量交换。 ②非保守力不做功,表明系统内部不发生机械能与其它形式能的转化。 【赛题精析】 例 1.质量均为 m 的 a,b 两球固定在轻杆的两端,杆可绕点 O 在竖直面内无摩擦转动,两球到点 O 的距离 L1 和 L 2 , 且 L1 ? L 2 ,如图所示。将杆拉至水平时由静止释放,则在 a 下降到最低点过程中,杆对 a,b 球分别做了什么功?

例 2.一质量为 M ,半径为 R 的光滑均质半球,静置于光滑桌面上,在球顶有一质量为 m 的质点,由静止沿球面下 滑,试求 m 离开 M 以前的轨迹及 m 绕球心 O ? 的角速度。

例 3.如图所示,一轻杆长为 l ,O 端装有光滑铰链,B 端固定一质量为 m 的小球,轻杆搁在一质量为 M ,边长为 a 的正方体木块上,各处摩擦均不计。初始时系统处于静止状态,且杆与水平面的夹角为 ? ,求当杆转至与水平面夹角为 ? 时,木块速度的大小。 (设此时杆仍与木块接触)

例 4.一根长度为 l 的光滑管道连接空中 A,B 两点,这两点间高度差为 h ,如图所示,在管内沿整个管长放一根绳子, 在 A 点拉住绳子。求当放开绳子的瞬间,绳开始运动的加速度?

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【习题精选】 1. 如图所示,长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架,在 A 处固定质量为 2 m 的小球,B 处固定质量为 m 的小球, 支架悬挂在 O 点,可绕过 O 点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动,开始时,OB 与地面相垂直,放手后开始运动,在不 计任何阻力的情况下,下列说法正确的是( A.A 球到达最低点时速度为零 B.A 球机械能减少量等于 B 球机械能增加量 C.B 球向左摆动所能达到的最高位置应高于 A 球开始运动时的高度 D.当支架从左向右回摆时,A 球一定能回到起始高度 )

2. 大空球质量为 M ,半径为 R ,小球质量为 m ,半径为 r ,从图所示水平位置开始沿大圆壁滚下,最后滚到大圆底部, 从过程中,大空球产生的位移 s ? _________ 。 (忽略一切摩擦)

3. 如图所示,一均匀不可伸长绳子两端悬于 A,B 两点,B 比 A 高 h ,在 A 点张力为 T A ,绳子质量为 m ,长为 l ,则在 B 点受的张力 T B ? __________ 。

4. 质量为 m 的重物从高 h 处自由下落,落在同弹簧相连的板上,在竖直方向上一起运动,试详细作出重物的加速度、速 度与时间的关系图像,要求标出重物最大加速度值和最大速度值。 (弹簧的劲度系数为 k ,弹簧和板的重力不计)

5. 一个摆长为 l ,摆球质量为 m 的单摆,这样使它摆动起来,当摆每次经过平衡位置时,有与速度方向一致的冲力 F 短 时间 t 作用在摆上。试问摆经过多少次全振动,才偏转 90 ? 。

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6. 一根未形变的弹簧长度为 l ,劲度系数为 k ,其上端固定在顶板上,下端系一个质量为 m 的物体,物体位于光滑的水 平面上,悬挂点的正下方,如图所示。为了使物体离开平面,需要使物体沿平面具有的最小速度为多少?

7. 质量为 m 的重物挂在弹性绳上。如果对重物施加一个向下的力,从 0 值开始缓慢增大,当力达到 F1 值时绳被拉断。如 果从一开始施加某个力并且以后保持不变,问当此力最小为何值时绳将被拉断?

8. 一个重物挂在轻弹簧上,现从弹簧中点向下缓慢地拉弹簧,为此做了一定功 W 。然后放松弹簧,求重物在运动过程中 所具有的最大动能。

9. 弹簧下端悬挂质量为 M 的重物,在此重物上堆放质量为 m 的砝码,如图所示。开始托着重物,然后放下它。试求重 物对砝码的最大作用力。

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10.质量为 m 1 的砂袋由一根不可伸长的轻绳,穿过桌子的小孔,与质量为 m 2 的砂袋相连,如图所示。绳长为 L ,桌高为

H ,并且 H ? L 。如果开始时刻绳子全部在桌上,两砂袋没有运动。此后 m 2 下落, m 1 可沿光滑的水平桌面滑动。问当

m 2 与地板相碰后, m 2 能上升多高?( m 2 与地为完全非弹性碰撞)

11.长为 l 的轻杆上端有一个质量为 m 的小重物,杆用铰链固接在 A 点,如图所示,并处于竖直位置,同时与质量为 M 的 物体相接触。由于微弱振动使系统发生运动。试问质量之比 这时物体的速度 u 为多少?(不计摩擦)

M m

为多少情况下,杆脱离物体时刻与水平面间成角 ? ?

?
6



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12.由绝对刚性轻杆连接两个很小的重球组成“哑铃” ,以速度 v 0 沿垂直于静止不动的光滑的墙平动,并且“哑铃”的轴与 墙面成 45 ? 角,如图所示。试问当“哑铃”与墙发生弹性碰撞后将作怎样运动?

13.玩具火车由许多节车厢组成,它以恒定速度沿水平轨道行驶,进入“死圈” ,列车全长 L ,圈半径为 R ( R 比车厢小 得多,但 L ? 2? R ) ,如图所示,试问:列车应具有多大的初速度,才能防止险情,不让一节车厢脱离圈的轨道?

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第十四讲 天体运动 【赛点知识】 一、开普勒三定律 第一定律:行星沿椭圆轨迹绕日运动,太阳在椭圆轨道的一个焦点上。 第二定律:行星与太阳的连线(称矢径)在相等的时间内扫过相等的面积。即:

vr sin ? ? 常数
式中, r 为从太阳中心引向行星的矢径的长度, ? 为行星速度与矢径 r 之间的夹角。 第三定律:行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。即:

T a
式中, M 为太阳质量, G 为引力恒量。

2 3

?

4?

2

GM

实际上,凡在中心天体的引力作用下,绕中心天体作周期运动的物体。如人造地球卫星,都遵循以上三定律,只需把 “太阳”改成“中心天体”即可。 二、万有引力定律 任何两质点间都存在着相互吸引力,其大小与两质点的质量的乘积成正比,与两质点间的距离平方成反比,力的方向 沿着两质点的连线。 表达式: F ? G

M 1m 2 r
2
? 11

式中, G 为引力恒量,大小 G ? 6 . 67 ? 10 注意: (1)此式仅适用于两质点之间。

N.m .kg 。

2

-2

(2)假如两物体不能看做质点,要求它们之间的引入,须把两物体分割成许多小块,然后再用上式计算,再矢量合成。 (3)质量分布是球对称的球体产生的万有引力,等效于把球体质量集中于球心的质点所产生的万有引力。 对均匀球面对球外质点的引力也等同于把球面的质量集中在球心处而成的质点与球外质点间的引力。 对均匀球壳对位于球壳内的质点的引力等于零。 三、天体运动 天体运动的轨道一般是圆或椭圆,它做曲线运动的向心力是靠万有引力提供的,因天体本身的大小与它们之间的距离 比较起来很小,因此可以把它们当成质点来处理。 当一颗质量为 m 的行星以速度 v 绕着质量为 M 的恒星做半径为 R 的圆周运动时,如以无穷远处作为零势能,则它的 动能 E K 和势能 E P 分别为:

EK ?

1 2

mv , E P ? ? G
2

Mm R
M R



G

Mm R
2

?m

v

2

R
2

?v ?G
2

故 行星的总能量 E ? E K ? E P ?

EK ? 1 2 G Mm R

1 2

mv ? Mm R

1 2

G 1 2

Mm R Mm R

?G

??

G

由上可知,卫星飞得越高,其速度越慢,但它的总能量却越大,它是发射高轨卫星较困难的原因之一。 在解决实际问题时,常把天体的能量问题与开普勒三定律结合起来解题。

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【赛题精析】 例 1.某行星质量为 M ,半径为 R ,若在距该行星中心 10 R 处有一物体,正沿着与它和行星连线夹角 ? ? 30 ? 的 方向运动,如图所示,此物体的速度至少要多大,才能避免该物体落在行星上与行星发生碰撞?

例 2.质量为 m 的飞船在半径为 R 的某行星表面上空高 R 处绕行星作圆周运动,飞船在 A 点短时间向前喷气,使飞 船与行星表面相切地到达 B 点,如图所示。设喷气相对飞船的速度大小为 u ? 度。 1.试求飞船在 A 点短时间喷气后的速度; 2.求所喷燃料(即气体)的质量。

Rg ,其中 g 为该行星表面处的重力加速

例 3.地球 m 绕太阳 M (固定)做椭圆运动,已知轨道半长轴为 a ,半短轴为 b ,如图所示,试求地球在椭圆各顶 点 1,2,3 的运动速度的大小及其曲率半径。

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例 4.宇宙飞船在距火星表面 H 高度处作匀速圆周运动,火星半径为 R ,今设飞船在极短时间内向外侧点喷气,使飞 船获得一径向速度,其大小为原速度的 a 倍,因 a 量很小,所以飞船新轨道不会与火星表面交会,如图所示,飞船喷气质 量可忽略不计。 (1)试求飞船新轨道的近火星点的高度 h 近 和远火星点高度 h 远 ; (2)设飞船原来的运动速度为 v 0 ,试计算新轨道的运行周期 T 。

【习题精选】 1. 卫星沿圆形轨道运行探测某行星,对它拍照,卫星运转周期为 T ,行星的密度为 ? ,试问行星的表面还有多大部分尚 未拍摄到?

2. 已知火星上大气压是地球的

1 200

3 ,火星直径约为地球的一半,地球平均密度 ? 地 ? 5 . 5 ? 10 kg/m ,火星平均密度

3

? 火 ? 4 ? 10 3 kg/m3,试求火星上大气质量与地球大气质量之比。

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3. 天文学家在 16 世纪就观测到了哈雷彗星,天文资料显示:哈雷彗星的近日距为 0.59 天文单位,远日距为 35.31 天文单 位,试根据以上资料求出哈雷彗星的最大速率 v 。 天文单位 = 地日距离 R ,地球公转速率为 30 km/s) (1

4. 卫星沿圆周轨道绕地球运行,轨道半径 R ? 3 R 地 , R 地 ? 6400 km。由于制动装置短时间作用,卫星的速度减慢, 使它开始沿着与地球表面相切的椭圆轨道运动,如图所示。问:制动后经过多少时间卫星落回到地球上?

5. 三级火箭是由质量 M ? 50 kg 的运载火箭和质量 m ? 10 kg 的防护头部的圆锥形物体组成的。 圆锥形物体以后将被压 缩的弹簧弹开。在地面上试验时,固定在火箭上的弹簧使圆锥体具有速度 v 0 ? 5 . 1 m/s。如果圆锥体和火箭在轨道上发生分 离,问它们的相对速度为多少?

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6. 学者研究新发现的行星,它是半径 R ? 6400 km 的球体,整个表面都被海洋覆盖,海水(普通的水)深 H ? 10 km, 测定出: 在海洋中不同深度的地方, 自由落体加速度在很大程度上仍然不变, 试根据这些数据确定行星上自由落体加速度 (万 有引力恒量 G ? 6 . 67 ? 10
? 11

N.m /kg ) 。

2

2

7. 要发射一颗人造地球卫星,使它在半径为 r2 的预定轨道上绕地球做匀速圆周运动,为此先将卫星发射到半径为 r1 的近 地暂行轨道上绕地球做匀速圆周运动, 如图所示, A 点, 在 实际上使卫星速度增加, 从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上, 当卫星到达转移轨道的远地点 B 时,再次改变卫星速度,使它进入预定轨道运行,试求卫星从 A 点到达 B 点所需的时间,设 万有引力恒量为 G ,地球质量为 M 。

8. 一颗陨石在飞向质量为 M 的行星的途中(沿着通过行星中心的直线) ,碰到绕此行星沿半径为 R 的圆周轨道运转的自 动宇宙站。站的质量为陨石质量的 10 倍。碰撞的结果陨石陷入站内,宇宙站过渡到与行星最近距离为 R / 2 的新轨道上, 求碰撞前陨石的速度 u 。

- 100 -

9. 质量为 M ? 12 t 的宇宙飞船,在离月球高度 h ? 100 km 处沿圆周轨道绕月球运行,为了能过渡到着陆的轨道上,于 某个时刻关闭发动机。从火箭喷口射出的气流速度为 u ? 10 m/s。月球半径 R月 ? 1700 km,月球表面上自由落体的加速
4

度 g 月 ? 1 . 7 m/s 。问:
2

(1)如图所示,当轨道上 A 点关闭制动发动机时,飞船要降落在月球上 B 处,需要消耗多少燃料? (2)为了使飞船在 A 点具有指向月球中心方向的动量,并且过渡到 C 点与月球相切的轨道上,需要消耗多少燃料?

10.质量为 m 的登月器连接在质量为 M ? 2 m 的航天飞机上一起绕月球做圆周运动,其轨道半径是月球半径 R m 的 3 倍, 某一时刻,将登月器相对航天飞机向运动反方向射出后,登月器仍沿原方向运动,并沿如图所示的椭圆轨道登上月球表面, 在月球表面逗留一段时间后, 经快速发动沿原椭圆轨道回到脱离点与航天飞机实现对接, 试求登月器在月球表面可逗留多长
2 时间。 (已知月球表面的重力加速度为 g m ? 1 . 62 m/s ,月球的半径 R m ? 1 . 74 ? 10 m)

6

- 101 -

第十五讲 动量定理与动量守恒定律 【赛点知识】 一、动量和动量定理 在牛顿定律建立以前,人们为了量度物体做机械运动的“运动量” ,引入了动量的概念。当时在研究碰撞和打击问题时 认识到:物体的质量和速度越大,其“运动量”就越大。物体的质量和速度的乘积遵从一定的规律,例如在两物体的碰撞过 程中,它们的改变量必然是数值相等、方向相反。在这些事实基础上,人们引入 mv 来量度物体的“运动量” ,称之为动量。 人们又发现:要使原来静止的物体获得某一速度,可用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间,只要 力 F 和力的作用时间 ? t 的乘积相同,所产生的改变这个物体的速度效果就一样,在物理学中把 F ? ? t 叫做冲量。 由牛顿定律,容易得出它们的联系。 对单个物体: F ? ? t ? mv t ? mv 0 ; F ? ? t ? ? p 即冲量等于动量的增量,这就是动量定理。 在应用动量定理时要注意它是矢量式,速度的变化前后的方向可以在一条直线上,也可以不在一条直线上。当不在一 直线上时,可将矢量投影到某方向上,分量式为:

F x ? ? t ? mv tx ? mv 0 x

F y ? ? t ? mv ty ? mv 0 x
F z ? ? t ? mv tz ? mv 0 x
对于多个物体组成的物体系,按照力的施力物体划分成内力和外力。对各个质点用动量定理: 第1个 第2个 ?? 第n 个

I 1外 ? I 1内 ? m 1 v1t ? m 1 v10 I 2 外 ? I 2内 ? m 2 v 2 t ? m 2 v 20
??

I n 外 ? I n 内 ? m n v nt ? m n v n 0

由牛顿第三定律: I 1内 ? I 2内 ? ? ? I n 内 ? 0 因此得到:

I 1外 ? I 2 外 ? ? ? I n 外 ? ( m 1 v1t ? m 2 v 2 t ? ? ? m n v nt ) ? ( m 1 v10 ? m 2 v 20 ? ? ? m n v n 0 )
即 I 合外 ? I 1外 ? I 2 外 ? ? ? I n 外 ? ? p 系 质点系所有外力的冲量等于物体系总动量的增量。 二、动量守恒定律 动量守恒定律是人们在长期实践的基础上建立的,首先在碰撞问题的研究中发现了它,随着实践范围的扩大,逐步认 识到它具有普遍意义。 对于相互作用的系统,在合外力为零的情况下,由牛顿第二定律和牛顿第三定律可得出物体的总动量保持不变。即

? ? ? m 1 v1 ? m 2 v 2 ? ? m n v n ? m 1 v1 ? m 2 v 2 ? ? m n v n
上式就是动量守恒定律的数学表达式。 应用动量守恒定律应注意以下几点: (1)动量是矢量,相互作用的物体组成的系统的总动量是指组成物体系的所有物体的动量的矢量和,而不是代数和, 在具体计算时,经常采用正交分解法,写出动量守恒定律的分量方程,这样就可以把矢量运算转化为代数运算。 (2)在合外力为零时,尽管系统的总动量保持不变,但组成系统的各个物体的动量却可能不断变化。系统内力只能改

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变系统内物体的动量,却不能改变系统的总动量。在合外力不为零时,系统的总动量要发生改变,但垂直于合外力方向上系 统的动量应保持不变,即合外力的分量在某一方向上为零,则系统在该方向上动量分量守恒。 (3)动量守恒定律成立的条件是合外力为零,但在处理实际问题时,当系统受到的合外力不为零,若内力远大于外力 时,我们仍可以把它当做合外力为零处理,动量守恒定律成立。如遇到碰撞、爆炸等时间极短的问题时,可忽略外力的冲量, 系统动量近似认为守恒。 (4)动量守恒定律是由牛顿定律推导出的,牛顿定律对于分子、原子等微观粒子一般不适用,而动量守恒定律却仍适 用。因此,动量守恒定律是一条基本规律,它比牛顿定律具有更大的普遍性。 【赛题精选】 例 1.将不可伸长的细绳的一端固定于天花板上的 C 点,另一端系一质量为 m 的小球,小球以角速度 ? 绕竖直轴作匀 速圆周运动,细绳与竖直轴之间的夹角为 ? ,如图所示,已知 A、B 为某一直径上的两点,问小球从 A 点运动到 B 点的过程 中,细绳对小球的拉力 T 的冲量为多少?

例 2.用长为 l ? 1 . 0 m 的轻软绳将质量为 m ? 0 . 1 kg 的小球悬挂于 O 点,然后拿住小球将其自悬点正下方距离悬点

h ? 0 . 4 m 的位置以速度 v 0 水平抛出。当悬绳刚要伸直时,小球的水平射程 s ? 0 . 8 m,如图所示。设以后小球立即做圆周
运动,试求: (1)轻绳被拉紧的瞬时对小球的冲量为多大? (2)小球摆到最低点时,绳对小球的拉力为多大?

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例 3. (全国力学竞赛题)如图所示,一根均匀柔软的链条悬挂在天花板上,且下端正好触地。若松开悬点,让链条自 由下落。试证明,在下落过程中,链条对地板的作用力等于已落到地板上的那段链条重的三倍。

例 4. (河南省竞赛题)一个质量为 m ? 40 g 的小球,以跟粗糙水平台面成 30 ? 倾角斜向下投向台面,击中台面时的 速度为 v 1 ? 5 m/s,被弹起时速度为 v 2 ? 4 m/s,方向跟台面成 45 ? 角,假定小球跟台面的持续作用时间 ?t ? 0 . 05 s, 试求小球跟台面作用过程中所受各力大小的平均值。 (取 g ? 10 m/s )
2

- 104 -

例 5. 如图所示, 小球 K 的质量为 m ? 0 . 4 kg, 在水平外力 F 的作用下, 从光滑水平面上的 A 点由静止开始向 B 运动, 到达 B 点时突然撤去外力 F ,小球 K 随即冲上半径为 R ? 0 . 4 m 的 1 / 4 光滑圆弧曲面的小车,小车即沿光滑水平面 PQ 运 动。设开始时平面 AB 与圆弧 CD 相切,A,B,C 三点在同一水平线上。令 AB 连线为 x 轴,且 AB = d = 64 cm,小球 K 在 AB 上运动时,动量随位移 x 的变化关系为 p ? 1 . 6

x kg·m/s,小车质量 M ? 3 . 6 kg,不计能量损耗。问:

(1)判断小球 K 能否到达 D 点。若能,试计算此时小车和小球 K 的速度各为多少? (2)小球 K 能否第二次通过 C 点,试分析说明之。若能,请计算小球 K 第二次通过 C 点时,小车和小球的速度又分别 是多少?

例 6. (北京市竞赛题)如图所示,质量均为 m 的两质点 A 和 B,由长为 l 的不可伸长的轻绳相连,B 质点限制在水平 面上的光滑直槽内,可沿槽中滑动,开始时 A 质点静止在光滑桌面上,B 静止在直槽内,AB 垂直于直槽且距离为 l / 2 ,现 在突然给质点 A 以平行于桌面的瞬时冲量,使它获得速度 v 0 在桌面上平行于槽方向运动,求证:当 B 质点开始运动时,它 的速度大小为 3 v 0 / 7 ,并求绳受到的冲量和槽的反作用力冲量。

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【习题精选】 1. 相距一定距离的 A,B 两球,质量相等,假设它们之间存在恒定的斥力作用。原来两球被按住,处于静止状态,现突然 松开两球,同时给 A 球以速度 v 0 ,使之沿两球连线向 B 球射去,B 球初速度为零。若两球间的距离从最小值到刚恢复到原 始值所经历的时间为 t 0 。求 B 球在斥力作用下的加速度。

2. 一辆总质量为 M 的列车, 在平直轨道上以速度 v 匀速行驶, 突然最后一节车厢脱钩, 假设列车受到阻力与质量成正比, 牵引力不变,则当最后一节车厢刚好静止的瞬间,前面列车的速度为多大?

3. 质量为 M 的木块在光滑的水平面上以 v 1 速度向右运动, 质量为 m 的子弹以速度 v 2 水平向左射入木块, 要使木块停下 来,必须发射子弹的数目为多少?

4. 如图所示,质量为 M 、边长为 h 的方木块静放在足够大的水平桌上,方木块的上表面光滑。在方木块左端边缘静放质 量为 m ? 的小铁块,今有质量为 m 的子弹以水平速度 v 0 飞来,击中木块并留在其中,子弹击中木块的时间极短,则: (1)当桌面光滑时,铁块从离开木块起至到达桌面的过程中,方木块产生的位移为多大? (2)若桌面与方木块的下表面的动摩擦因数为 ? ,则能移动的最大距离为多大?

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5. 有两块大小不同的圆形薄板(厚度不计) ,质量分别为 M 和 m ,半径分别为 R 和 r ,两板之间用一根长为 0.4 m 的 轻绳相连接。开始时,两板水平旋转并叠在一起,静止于高度为 0.2 m 处,如图所示,然后自由下落到一固定支架 C 上。支 架有一半径为 R ?( r ? R ? ? R ) 的圆孔,圆孔与两薄板中心均在圆板中心轴线上,大小板与支架发生没有机械能损失的碰 撞。碰撞后,两板即分离,直到轻绳绷紧。在轻绳绷紧的瞬间,两物体具有共同的速度 v 。问: (1)若 M ? m ,则 v 值为多少? (2)若 M / m ? k ,试讨论 v 的方向与 k 值间的关系?

6. 如图所示,在光滑的水平面上有两个并排放置的木块 A 和 B,已知 m A ? 500 g, m B ? 300 g,一质量为 80g 的小铜 块 C 以 25m/s 的水平初速开始在 A 表面滑动,由于 C 与 A,B 间有摩擦,铜块最终停在 B 上,B 和 C 一起以 2.5 m/s 的速度 共同前进,求: (1)木块 A 的速度; (2)C 在离开 A 时的速度?

7. 人和冰车的总质量为 M ,另有一木球,质量为 m , M : m ? 31 : 2 ,人坐在静止于冰面的冰车上,以速度 v (相对 于地面)将原来静止的木球沿冰面推向正前方的固定挡板,球与冰面、车与冰面的摩擦及空气阻力可忽略不计。设球与挡板 碰撞后反弹速率与碰撞前速率相等,人接住后再以同样的速度将球沿冰面向正前方推多少次后才能不再接到球?

- 107 -

8. 如图所示,质量为 m 的子弹以速度 v 从正下方向上击穿一个质量为 M 的木球,击穿后木球上升的高度为 H ,求击穿 木球后子弹能上升多高?

9. 水力采煤是利用高压水枪喷出的高压水柱冲击煤层,达到破碎的目的,如图所示,设水柱呈圆柱形,半径 r ? 20 mm, 喷射速度 v 0 ? 60 m/s,水柱沿水平方向垂直到煤层表面上,假设冲出煤层后,水流反射的平均速率 v ? ? 10 m/s,跟原来 方向的夹角为 120 ? ,试求水柱对煤层的平均冲击力。

10.一个物体原来的动量 p 1 ? 30 kg·m/s,方向自西向东;经过 10 s 时间,动量变为 40 kg·m/s,方向自北向南。问: (1)物体动量的增量大小为多少?方向怎样? (2)物体受到的平均冲击力的大小、方向怎样?

- 108 -

11.在一次暴风雨中,雨滴以跟地面成 45 ? 角方向落向地面,落到地面实处时速度约 11.3 m/s,测得在时间 ? t 为 10 分钟 内的降雨量为 25 mm。试求面积 s ? 10 m 的水平面每秒钟受到雨滴的平均压力。 (设雨滴落地后不再溅起, g ? 10 m/s )
2 2

12.如图所示,用一段橡皮管将质量为 M 的钢喷管接到竖直水管的一端。试问水流的流量为多少时,才能使喷管处于水平 位置?已知喷管的横截面积为 S ,长度为 L ,水的密度为 ? 。

13.自动称米装置,准备称米 M kg,米出口处的初速度为 0,米的流量为 m kg/s,当台秤称重达 M kg 加容器重时,自动 装置能及时在出口处切断米流,如图所示。问这种装置是否准确?说明理由。

- 109 -

14.放在光滑水平面上的木板质量为 M ,板上有质量为 m 的小狗以与木板成 ? 角的初速度 v 0 (相对于地)由 A 点跳到 B 点,如图所示,已知 AB 间的距离为 s ,求初速度的最小值。

15.如图所示, 一排人站在沿 x 轴的水平轨道旁, 原点 O 两侧的人序号都记为 n ( n ? 1, 2 ,3, ? ) , 每人只有一个沙袋,x ? 0 一侧的每个沙袋质量都为 m ? 14 kg, x ? 0 一侧的每个沙袋质量 m ? ? 10 kg。一质量为 M ? 48 kg 的小车以某一初速 度从原点出发向 x 轴正方向滑行,不计空气阻力,当车每经过一人身旁时,此人就把沙袋以 v 朝与车速相反的方向沿车面 扔到车上, v 的大小等于扔沙袋前的瞬间车速大小的 2 n 倍( n 为此人的序号数) 。问: (1)空车出发后,车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行? (2)车上最终有大小沙袋共有多少个?

16.一炮弹以速度 v 与水平方向成 ? 角向上射出,炮弹在弹道的某一点爆炸,分裂成质量相等的两部分,其中一部分竖直 落下,另一部分与水平方向成 ? 角开始向上运动。求爆炸时第二部分的速度。 (空气阻力不计)

- 110 -

17.如图所示,在光滑的水平面上,放置一个质量为 M ,截面是 1 / 4 圆(半径为 R )的柱体 A,柱面光滑,顶端放一质 量为 m 的小滑块 B。初始时刻 A,B 都处于静止状态,在固定坐标系 xOy 中的位置如图所示,设小滑块从圆柱顶端沿圆弧滑 下,试求滑块脱离圆弧以前在固定坐标系中的轨迹方程。

18.如图所示是水泥运送装置,每秒从水泥仓输出的水泥质量 q ? 36 kg/s,水泥下落到输送带上的速度为 v1 ? 1 . 5 m/s, 设水泥在脱离输送带时速度沿 x 轴方向,输送带的速度 v 2 ? 5 .5 m/s,求输送带对水泥沿 x,y 轴方向的作用力。

- 111 -

19.一根均匀的柔软绳长 l ? 3 m,质量为 m ? 3 kg,悬挂在天花板的钉子上,且下端刚好接触地板。现将软绳的最下端拾 起与上端对齐,使之对折起来,然后让它无初速地自由落下,如图所示,求下端的绳端离钉子的距离为 x 时,钉子对绳另 一端的作用力是多少?

20.一人站在平台车上,人和车的总质量为 M ? 40 kg,车以 10 m/s 的速度匀速行驶。此人在车运行到某一位置时抛出 一质量标准 m ? 10 kg 的铅球,使球水平地通过一固定圆环,如图所示,已知圆环中心距人手心的高度为 5 m,球抛出时相
2 对于人的速度为 5 5 m/s,试求: g ? 10 m/s ) (

(1)球抛出时手的位置离环的水平距离是多少? (2)若人抛球时,作用时间为 0.2 s,则车对地的压力为多少?

- 112 -

第十六讲 碰撞 【赛点知识】 一、碰撞

? ? 质量 m 1 和质量 m 2 的两个物块在直线上发生对心碰撞,碰撞前后速度分别为 v 1 , v 2 及 v 1 , v 2 ,碰撞前后速度在一
条直线上,由动量守恒定律得到:

? ? m 1 v1 ? m 2 v 2 ? m 1 v1 ? m 2 v 2
根据两物块碰撞过程中的恢复情况,碰撞又可分为下列几种: (一)弹性碰撞 在碰撞过程中没有机械能损失的碰撞称为弹性碰撞,由机械能守恒定律有:

1 2
结合动量守恒定律解得:

m 1 v1 ?
2

1 2

m2v2 ?
2

1 2

? m 1 v1 ?
2

1 2

? m2v2

2

? v1 ?

( m 1 ? m 2 ) v1 ? 2 m 2 v 2 m1 ? m 2 ( m 2 ? m 1 ) v 2 ? 2 m 1 v1 m1 ? m 2

? v2 ?
对于上述结果可作如下讨论:

? ? (1) m 1 ? m 2 时,则 v1 ? v 2 , v 2 ? v1 ,即 m 1 、 m 2 交换速度。 ? ? (2)若 m 1 ?? m 2 ,且有 v 2 ? 0 ,则 v1 ? v1 , v 2 ? 2v1 ,即大物体速度几乎不变,而小物体以二倍于大物体速
度运动。

? ? (3)若 m 1 ?? m 2 ,且有 v 2 ? 0 ,则 v1 ? ? v1 , v 2 ? 0 ,则大物体几乎不动,而小物体原速率反弹。
(二)完全非弹性碰撞 两物体相碰后粘合在一起或具有相同的速度,被称为完全非弹性碰撞,在完全非弹性碰撞中,系统动量守恒,机械能 损失最大。

m 1 v1 ? m 2 v 2 ? ( m 1 ? m 2 )V
V ?
碰撞过程中损失的机械能为:

m 1 v1 ? m 2 v 2 m1 ? m 2

?E ?

1 2

m 1 v1 ?
2

1 2

m2v2 ?
2

1 2

( m1 ? m 2 )v ?
2

1

m1 m 2

2 m1 ? m 2

( v1 ? v 2 )

2

(三)一般非弹性碰撞,恢复系数

? ? 一般非弹性碰撞是指碰撞后两物体分开,速度 v1 ? v 2 ,且碰撞过程中有机械能损失,但比完全非弹性碰撞损失机械
能要小。物理学中用恢复系数来表示碰撞性质。恢复系数 e 定义为:

e?

? ? v 2 ? v1 v1 ? v 2

- 113 -

(1)弹性碰撞, e ? 1 ;

? ? (2)完全非弹性碰撞, v1 ? v 2 , e ? 0 ;
(3)一般非弹性碰撞, 0 ? e ? 1 。 (四)斜碰 两物体碰撞前后不在一条直线上,属于斜碰,设两物体间的恢复系数为 e ,设碰撞前 m 1 、 m 2 的速度为 v 1 , v 2 ,其

? ? ? ? 法向分量分别为 v1 n , v 2 n ,碰后速度为 v 1 , v 2 ,法向分量为 v1 n , v 2 n ,则有

e?

? ? v 2 n ? v1n v1n ? v 2 n

? ? 若两物体接触处光滑,则应有 m 1 、 m 2 切向分量不变, v1t ? v1t , v 2 t ? v 2 t 。
若两物体接触处有切向摩擦,这一摩擦力大小正比于法向正碰力,也是很大的力,它提供的切向冲量便不可忽略。 二、质心及质心的运动 (一)质心及质心位置 任何一个质点系中都存在着一个称为质心的特殊点,它的运动与内力无关,只取决于外力。当需将质点组处理成一个 质点时,它的质量就是质点组的总质量。当需要确定质心运动时,就没想把质点组所受的全部外力集中作用在质心上。 设空间有 N 个质点,其质量、位置分别记作 m i , ri ,质点组质心记为 C,则质量、位置:

mC ?

?m

i



? rC ?

?m r ?m
i

?

i i

在 x,y,z 直角坐标系中,记录质心的坐标位置为:

xC ?

?m x ?m
i i

i



yC ?

?m y ?m
i i

i



zC ?

?m z ?m
i i

i

(二)质心的速度、加速度、动量

? 质心的速度: v C ?

?mv ?m
i i

?
i



? ?vC ? ? 质心的加速度: a C ? ?t

?m a ?m
i i

?
i

?

?F
mC

?
i



由此可知,当质点组所受外力为零,质心将保持静止或匀速直线运动状态。 (三)质心的动能与质点组的动能 以两个质点为例,质量 m 1 , m 2 的两质点相对于静止参照系速度 v 1 , v 2 ,质心 C 的速度为 v C ,两质点相对于质心

? ? 的速度是 v 1 , v 2 ,可以证明有
EK ? 1 2 m 1 v1 ?
2

1 2

m2v2 ?
2

1 2

mC vC ?
2

1 2

? m 1 v1 ?
2

1 2

? m2v2

2

? E K ? E KC ? E K
即两个质点的总动能等于质心的动能与两个质点相对于质心的动能之和。

- 114 -

【赛题精析】 例 1. (国家集训队训练题)光滑水平面上有两个质量分别为 m 1 , m 2 的小球 A,B,在一与右侧竖直墙垂直的直线上 前后放置着,如图所示,设 B 开始处于静止状态,A 球以速度 v 0 朝着 B 运动,设系统处处无摩擦,所有碰撞均无机械能的 损失,如果两球能且仅能发生两次碰撞,试确定它们的质量比 m 1 / m 2 的取值范围。

例 2. (前苏联竞赛题)质量为 M 的斜面体放置于光滑水平面上,斜面倾角 ? ? 15 ? 。质量 m 的小球由静止自由下 落到斜面上,下落高度 h ? 1 .60 m,假设斜面是光滑的,碰撞恢复系数 e ? 0 . 60 ,碰撞点离桌面高度 H ? 1 .00 m,

M ? 2 m。求:
(1)碰后小球反弹速度和斜面体获得速度。 (2)碰后小球上升的最大高度。

例 3. (十校选拔赛题)如图所示,质量分别为 m 1 、 m 2 的两木块用劲度系数为 k 的轻弹簧相连,静止地放在光滑水 平面上。质量为 m 的子弹以水平初速 v 0 射入木块 m 1 内,设子弹射入过程极短,试求: (1)弹簧的最大压缩长度; (2)木块 2 相对于地面的最大速度和最小速度。

- 115 -

例 4.动能为 E 0 的氦核 2 He 轰击静止的锂核 3 Li ,做完全非弹性碰撞后成为复合核 5 B , 5 B 进一步分裂成
1

4

7

11

11

10 5

B和

中子 0 n 。上述核反应过程中需消耗能量 ?E ? 2 .8 MeV。问:上述核反应过程所需 E 0 的最小值为多少?相应的中子动能 为多大?

例 5.水平桌面上放着三个圆柱体 A,B,C,它们的半径均为 r ,质量 m B ? m C ? m A / 2 。先让它们保持如图所示 的位置,然后从静止开始释放,若不计接触面间的摩擦,求 A 触及桌面时的速度。

- 116 -

【习题精选】 1. 质量为 m 和 M ( M ?? m ) 的两个弹性钢球从 h 高处自由落下,如图所示,两球是紧挨,落到弹性地面上后,又被 弹起,设弹性碰撞是发生在同一竖直线上,求 m 上升的最大高度。

2. 如图所示,在光滑水平面上有一辆长 L ? 1 . 0 m 的小车 A,在 A 上有一小块木块(可视为质点)B,A 与 B 质量相等,两 者之间的动摩擦因数为 ? ? 0 . 05 。开始时 A 静止,B 位于 A 的正中央以初速 v 0 ? 5 . 0 m/s 向右运动,假设 B 与 A 的左右 两壁都是完全弹性的,且 A 不会翻转,试问: (1)B 与 A 的壁共能发生多少次碰撞? (2)从开始到 B 相对于 A 停止的全部时间内,A 相对于水平面走过多少路程? ( g ? 10 m/s )
2

3. 有一个半径为 R ,质量为 M 的刚性均匀细圆环,开始时静止在光滑水平面上。环上有一小孔 P0 ,桌面上另有一质量 为 m 的质点,可以自由地穿过小孔。开始时质点以初速度 v 从小孔 P0 射入,如图所示,质点与圆环内壁发生 N 次碰撞后, 又从小孔 P0 穿出。设圆环内壁光滑,从质点射入到它又从小孔穿出,圆环中心到质点的连线相对于圆环刚好转过 360 ? , 试求质点穿出小孔后,圆环中心相对于桌面的速度。

- 117 -

4. 如图所示,质量为 m 的长方形箱子放在光滑水平面上,箱内有一质量也为 m 小滑块,箱底光滑。开始箱不动,滑块以

v 0 初速从箱 A 壁向 B 壁运动,然后碰撞,假设碰撞恢复系数 e ?

4

1 / 2 。问:

(1)要使滑块与箱系统动能损耗不超过初动能的 0.4,滑块与箱壁最多碰撞多少次? (2)滑块从开始运动至完成上述次数碰撞期间箱子的平均速度是多少?

5. 质量足够大的长平板在水平方向上以 v 0 速率向右做匀加速直线运动, 如图所示, 板上方 H 高处有一小球从静止自由下 落并与平板发生碰撞,小球与平板间动摩擦因数 ? ? 0 . 1 ,小球反弹回高度仍为 H ,试确定小球反弹抛射角 ? 的正切与

H 之间函数关系并作图。

6. 质量为 m 1 的小球以速度 v 1 与质量为 m 2 的静止小球发生对心碰撞,求: (1)碰撞后两球相对于质心的速度。 (2)碰撞前后,两球相对于质心的动能。 (设碰撞恢复系数 e 已知)

- 118 -

7. 如图所示,用劲度系数为 k 轻弹簧连接质量分别为 m 1 , m 2 的木块,放在光滑水平面上,让第一个木块紧靠竖直墙壁, 在第二个木块的侧面上施加水平压力,将弹簧压缩 L 长度。撤去这一压力后,试求系统质心可获得的最大加速度和最大速 度值。 、

8. 两个完全相同木块 a 和 b,其质量均为 m ,用轻质弹簧将它们连在一起,弹簧原长为 l ,劲度系数为 k ,将整个系统 放在光滑水平直轨道上,并保持静止,如图所示。在 t ? 0 时刻突然给滑块 a 一个冲量,使得它获得向右的初速度 v 0 ,求 解它们相对于质心 C 的运动情况。

9. 如图所示,长为 2 L 轻绳,两端各系有质量为 m 的小球,中点系有质量为 M 的小球,三球成一直线静置于光滑桌面 上,绳处于伸直状态。现对小球 M 施以冲力,使其获得与绳垂直的初速度 v 0 ,试求: (1)两小球相碰时绳中张力 T ; (2)若从小球 M 开始运动,到两小球相碰历时 t ,试求此期间小球 M 经过的距离 s M 。

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10.一长直光滑板 AB 放在平台上,OB 伸出台面,在左侧 D 点放一质量为 m 1 的小铁块,它以初速度 v 向右运动。假设直板 相对桌面不发生滑动,经过时间 T 0 后直板翻倒。现让直板恢复原状,并在直板上 O 点放上另一质量为 m 2 的小物体,如图 所示,同样让 m 1 从 D 点开始以速度 v 向右运动,并与 m 2 发生正碰,那么从 m 1 开始滑动后经过多少时间直板翻倒?

11.如图所示,四个质量均为 m 的质点,用同样长度且不可伸长的轻绳连接成菱形 ABCD,静止放在水平光滑桌面上,若突 然给质点 A 一个历时极短沿 CA 方向的冲量,当冲击结束的时刻,质点 A 的速度为 v 0 ,其它质点也获得一定的速度,

?BAC ? 2? , ? ? 45 ? ) ( ,求此质点系统受冲击后的总动量和总动能。

12.如图所示,质量为 m 的物体沿光滑斜槽向下滑动,斜槽过渡是半径为 r 的圆周,在最低点与质量为 m ? 的物体发生弹 性碰撞,若碰后 m ? 脱离圆周轨道时的高度为 H , m 沿槽上升又下滑,随 m ? 在同一地点脱轨,摩擦不计。问: m 从多高 处开始运动?两物体的质量比是多少?

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13.军训时,战士距离墙 S 0 以速度 v 0 起跳,再用脚蹬墙一次,如图所示,使身体变为竖直向上的运动以继续升高,墙面与 鞋底之间的静摩擦因数为 ? ,求能使人体重心有最大总升高的起跳角。

14.如图所示,在倾角 ? 的光滑斜面上 A 点以 v 与斜面成 ? 角斜抛出一小球,小球与斜面做弹性碰撞,问 ? ,? 之间满足 什么条件时小球将逐渐跳回 A 点?

15.如图所示,质量为 M 的金属杆置于光滑地面上,中央有一转动轴 O,轴上联有一根轻杆,长 l ,上端有一质量小于 M 的小球,小球的质量为 m ,开始时小球位于最高点,系统静止,放开后杆倒下,当杆转过 90 ? , m 接进金属板时,杆所 受的拉力。

- 121 -

16.一光滑小球与另一相同的静止小球相碰,在碰撞前第一个小球的运动方向与碰撞时两球的连心线成 ? 角。求碰后第一 个小球偏过的角度 ? 。设恢复系数为 e 。

17.如图所示,质量均为 m 的 A,B,C 三个小球置于光滑水平面内,B,C 两球用轻质刚性杆连接,并处于静止状态,A 球 沿图示方向以速度 v 与 B 求正碰,已知恢复系数 e ? 0 ,求碰撞过程中系统的动能损失。

18.放在光滑水平面上的匀质木块 A,质量为 M ,今有一质量为 m 的子弹以水平速度 v 0 击中它,恰好能从 A 中穿出;假 如把 A 固定在水平面上,并在它右侧放上一块与 A 质地相同、质量相等的木块 B,这颗子弹以同样的水平速度击穿 A 后又正 好能穿过 B,求 A 和 B 的厚度之比(子弹受到的阻力只与木块的质地有关)

- 122 -

19.如图所示, 质量为 m 的滑块可沿竖直轨道上下运动, 轨道与与滑块之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力都是 f ?

1 2

mg 。

轨道下方置一劲度系数为 k 的弹簧,弹簧及其顶板的质量忽略不计。现在让滑块从离弹簧顶板 d 处由静止落下,试求: (1)滑块能到达的最低位置; (2)滑块到达最低位置后第一次反弹的高度。

20.在航天飞机上,如图所示,有一个长度 l ? 20 cm 的圆筒,绕着与筒的长度方向想垂直的轴 O O ? 以恒定的转速

n ? 100 r/min 旋转,筒的近轴端离开轴线 O O ? 的距离为 d ? 10 cm,筒内装满非常粘稠、密度为 ? ? 1 . 2 g/cm3 的液体。
有一颗质量 m ? ? 1 .0 kg,密度为 ? ? ? 1 . 5 g/cm 的粒子从筒的正中部释放(释放时粒子相对于圆筒静止) ,试求该粒子在到
3

达筒端的过程中克服液体的粘滞阻力所做的功(十三届全国决赛题) 。

- 123 -

第十七讲 角动量与角动量守恒 【赛点知识】 一、力矩 在某惯性系中, 质点相对于参考点 O 的位移为 r , 质点所受力为 F , r 于 F 不共线, 设 它们惟一确定的平面记为 ? 在?

?

?

?

?

F



F

平面上,通常 r 于 F 之间有一个较小的夹角 ? 和一个较大的夹角 ? ,其中 0 ? ? ? ? ,规定 ? 为 r 于 F 之间的夹

?

?

?

?

角。力 F 相对于参考点 O 的力矩是个矢量,它被定义为:

?

? ? ? 大小: M ? M? ? 方向:按从

?? r F sin ? ? ? r 到 F 的右手螺旋法则确定

力矩大小 M 表达式中的 r sin 达式中的 F sin

?

? 即为参考点 O 到力 F 作用线的距离 d ,即有 M ? F d 。常称 d 为力。也可将 M 表
? ? ??

?

?

?

?

?

? 用 ? F 平面内 F 在垂直于 r 方向线上的分量 F? 代替,即有: M ? r F? 。

?

? ? ? ? M 的方向与平面 ? F 垂直。以参考点 O 为坐标原点建立 Oxyz 坐标系,引入 x,y,z 轴的方向矢量 i , j , k ,它们
均为 1 个单位,方向沿 x,y,z 轴上的分量,那么 M 可分解为 M ? M x i ? M

?

?

?

? ? j ? M zk 。 y

? M x , M y , M z 分别称 M 在 x,y,z 轴上的分量,有时也将它们称为 F 相对于 x 轴,y 轴,z 轴的力矩。
可以证明,一个质点受若干个力作用时,相对于同一参考点的各分力力矩之和等于合力的力矩。 二、角动量 将质点的质量记为 m ,速度记为 v ,它的动量便为 p ? mv 。 设 r 和 p 不共线,它们惟一确定的平面记为 ? p ,在 ? p 平面上 r 和 p 的夹角 ? 如图所示,质点相对参考点 O 的角动 量也是一个矢量,它被定义为: 大小: L ? rp sin

?

方向:按从 r 到 p 的右手螺旋法则确定。 如图所示,将 p 分解为:

? ? ? p ? p ? ? p //
那么对 L 有贡献的只有 p ? 分量,即有:

L ? rp ?
以 O 为坐标原点建立 Oxyz 坐标系后, L 也可相应地分解为:

? ? ? ? L ? Lx i ? L y j ? Lz k
? ? L x , L y , L z 分别称 L 在 x,y,z 轴上的分量,有时也将它们称为 p 相对于 x 轴,y 轴,z 轴的角动量。
需要注意,相对同一参考点 O, ? p 平面由 r , p 两矢量确定, ? 重合, L 和 M 的方向也常互异。

?

?

F

平面由共点的 r , F 两矢量确定,通常二者并不

?

?

- 124 -

三、质点对参考点的角动量定理 动量定律可表述为: F ?

?p ?t M ? ?L ?t
?L y ?t

即质点所受的力等于它的动量随时间的变化率。质点所受力矩与它的角动量随时间的变化率也恰好是相等关系,即有

这就是质点的角动量定理,定理中 M , L 必须相对同一参考点,质点角动量定理有三个分量式:

M

x

?

?Lx ?t

,M

y

?

,M

z

?

?Lz ?t

质点在运动过程中若 M 恒为零,则 L 为守恒量,这就是质点角动量守恒定律。 在某一惯性系中做匀速直线运动的质点,受力必为零,相对这一惯性系中任何参考点的力矩均为零,角动量守恒。变 换惯性系,质点运动的匀速直线运动不变,因此它在任何惯性系中相对于任何参考点的角动量都守恒;考察行星的运动,略 去其他天体施加的引力,以太阳为参考点,太阳引力的力矩恒为零,行星绕太阳运动过程中相对于太阳的角动量守恒。但若 改取其他点为参考点,太阳引力力矩不恒为零,角动量便不再守恒。 四、质点组对参考点的角动量定理 首先要取一个参考点 O,质点组中各质点相对 O 点的角动量一般记为 L i ,则称

L?

?L
i

i

为质点组相对 O 点的角动量。第 i 质点所受力相对 O 点的力矩记为 M i ,引入

M ?
因Mi ?

?M
i

i

? Li ?t

,故必有 M ?

?L ?t



如前所述,质点组中各质点所受力有内力和外力之分,因此可将 M 分解为

M ? M 外 ? M内
式中, M 内 为各质点所受内力相对 O 点力矩之和, M 外 为各质点所受外力相对 O 点的力矩之和。于是便有

M



? M内 ?

?L ?t

根据牛顿第三定律可以证明,任何一对作用力和反作用力相对于同一参考系的力矩之和为零。考虑到质点组中内力成 对出现,必有 M 内 ? 0 ,即有: M 外 ?

?L ?t



这就是质点组角动量定理。质点组角动量定理的三个分量式为:

M 外,x ?

?Lx ?t

, M 外,y ?

?L y ?t

, M 外 ,z ?

?Lz ?t

如果在过程中, 质点组各质点所受外力相对参考点 O 的力矩之和 M 外 恒为零, 那么质点组相对该参考点 O 的角动量 L 为守恒量。这就是质点组的角动量守恒定律。

- 125 -

五、讨论 (1)地面上质点组中各个质点均受到重力作用,重力的方向由质点所在位置处重力角速度 g 的方向确定,重力的大 小也与 g 的大小有关。线度远小于地球半径的质点组,各质点所在位置的重力加速度 g 可处理为相同的矢量,这种情况下 可以证明, 各质点所受重力相对某一参考点的力矩之和等效为全部重力集中在某一个部位后相对该参考点的力矩, 这一点部 位即为质点组的重心。证明中还可以得到这样的结论:此质点组的重心恰好位于它的质心。 (2)刚体绕一个固定的几何轴线转动,称为刚体的定轴转动。有些情况中,刚体作定轴转动时没有实物支持轴,对称 的陀螺在地面上无平移地绕竖直几何轴转动便是一例。 实物支持轴可为转动的刚体提供支持力和摩擦力。 刚体作定轴转动时, 常将参考点选在几何轴上,与转动快慢变化直接相关的便是角动量定理沿几何转轴的分量式。将几何轴取为 z 轴,对应的分 量式为: M 外 , z ?

?Lz ?t

常称 M 外 , z 为各外力相对转轴力矩之和。 (3)质点所受都是外力,若质点所受合外力为零,便称它处于平衡状态。平衡状态的特征是加速度为零,此时质点或 静止或做匀速直线运动。 物体处于平衡状态的特征是质心的加速度为零和物体相对任何一个参考点的角动量守恒, 这就要求:

? F合外 ? 0 ? 0 ? M 外 ? (相对任何一个参考点



可以证明,在 F合外 ? 0 的前提下,只要各外力相对某一参考点的力矩之和为零,那么外力相对任何参考点的力矩之 和也必定为零,据此,可将物体平衡的条件放宽为:

? F合外 ? 0 ? 0 ? M 外 ? (相对某个参考点)
处于平衡态的物体可以是静止的,也可以是运动着的,讨论得较多的是静止状态。

【赛题精析】 例 1.如图所示,质量为 m 的小球自由落下,某时刻具有速度 v ,此时小球与图中的 A,B,C 三点恰好位于某长方形 的四个顶点,且小球与 A,C 点的距离分别为 l1 , l 2 。试求: (1)小球所受重力相对于 A,B,C 三点的力矩 M 1 , M 2 , M 3 ; (2)小球相对于 A,B,C 三点的角动量 L1 , L 2 , L 3 。

- 126 -

例 2.对于圆锥摆,试问: (1)摆球相对圆运动中心点 O1 的角动量 L1 是否为守恒量? (2)摆球相对于悬挂点 O 2 的角动量 L 2 是否为守恒量?

例 3.质量均为 m 的小球 1,2 用长为 4 a 的轻质细线相连后,均以初速 v 沿着与线垂直的方向在光滑水平面上运动, 开始时线处于伸直状态。在运动过程中,线上距离小球 1 为 a 的部位与固定在水平面上的一竖直光滑细钉接触,如图所示。 设在以后的运动过程中两球不相碰,试求小球 1 与钉的最大距离。 (精确到 0 . 001 a )

- 127 -

例 4.质量为 m ,长为 l 的匀质细杆,绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度 ? 转动时,它的动能和相对端点的角 动量大小分别为:

Ek ?
式中, I ?

1 2

I ? , L ? L?
2

1 3

ml 。

2

今从如图所示将此杆从水平位置静止释放, 设此杆能绕着过 A 端的固定光滑水平细轴无摩擦地摆下。 当摆角从零达到 ? 时,试求: (1)细杆转动角速度 ? 和角加速度 ? ; (2)固定的光滑细轴为杆提供的支持力 N 。

例 5.一半径为 r 的水平匀质圆形转台,以匀角速度绕通过其中心的铅直轴转动,如图所示。台上站有 4 人,质量各 等于转台质量的

1 4

;2 人站于台边,2 人站于距圆心

r 2

处。设台边的 2 人相对于圆台以速度 v 循转台的转向沿圆周走动,

求转台的角速度 ? 1 ;若 4 人都顺转台的转向走动,求转台的角速度 ? 2 。

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【习题精选】 1. 三个质点 A,B 和 C 用轻杆(杆质量不计)相连,数据如图所示。设轴通过 A 点并与纸面垂直,求此系统对该轴的转动 惯量 I 。

2. 如图所示,一鼓轮 C 以角速度 ? 0 循逆时针旋转,今用制动器(俗称“刹车” )使鼓轮经 t 秒钟后停止转动,问需在制动 器杠杆(其质量忽略不计)一端 B 处加多大的力 F ?(设鼓轮的半径为 r ,质量为 m ,可视作一均质圆盘; AB ? a ,

AD ? b ,制动块 D 与鼓轮边缘间的摩擦系数为 ? )

3. 如图所示, 质量为 m 的小球拴在细绳的一端, 绳的另一端穿过水平桌面上的小孔 O 而下垂。 先使小球在桌面上以速度 v 1 沿半径为 r1 的圆周匀速转动,然后非常缓慢地将绳向下拉,使圆的半径减小到 r2 。设小球与桌面的摩擦不计,求此时小球 的速度 v 2 以及在此过程中绳子拉力 T 所做的功。

- 129 -

4. 一水平匀质圆形转台,质量 M ? 200 kg,半径 r ? 2 m,可绕经过中心的铅直轴转动,质量 m ? 60 kg 的人站在转台 边缘。开始时,人和转台都静止,如果人在台上以 1.2 m/s 的速率沿转台边缘循逆时针方向奔跑,求此时转台转动的角速度。 (设轴承对转台的摩擦力矩不计)

5. 如图所示,传送机支撑轮Ⅰ,Ⅱ的半径均为 r ,质量均为 m ,可视作均质圆柱。在传送带上放置一袋质量为 m 的水泥。 今由电动机向支撑轮Ⅰ提供一不变的力矩 M , 使传送带自静止开始运动。 设传送带的倾角为 ? , 与支撑轮之间无相对滑动, 其质量可不计。求证:这袋水泥移动距离 l 时的速度为: v ?

l ( M ? mgr sin ? ) mr



6. 如图所示,一长为 l ? 0 . 40 m,质量为 M ? 1 kg 的均质杆,铅直悬挂。试求:当质量为 m ? 8 ? 10 平速度 v ? 200 m/s 在距轴 O 为

?3

kg 的子弹以水

3 4

l 处射入杆内时,此杆的角速度。

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7. 如图所示,在天花板的 O 点悬挂一个均质光滑小圆环 P,P 可绕 O 点无摩擦地转动,长为 L 的轻绳穿过圆环 P,绳的两 端分别连接质量为 m1 和 m 2 ( m1 ? m 2 )的两个小球 A1 和 A2。设 A1 和 A2 同时作圆锥摆运动,且在任意时刻 A1,A2 和绳均

在该时刻对应的一个竖直平面内,旋转的角速度同为: ? ?

g L

?

m1 ? m 2 m1 m 2

(1)确定 A1,A2 各自到 P 的距离 l1 , l 2 ; (2)计算 A1,A2 和绳构成的系统所受外力相对 P 的力矩之和的大小 M ; (3)该系统相对 P 的角动量竖直分量与水平分量中哪个为守恒量? (4)计算该系统相对 P 的角动量水平分量大小 L // 。

8. 一根质量为 M 的均匀干麦管放在无摩擦地水平桌面上,麦管与桌面的一边垂直,且有一半突出在桌子外。开始时有一 只质量为 m 的苍蝇也停落在此端点上,但麦管并未倾覆,试求第二苍蝇的质量 m ? 的取值范围。

9. 一颗卫星沿椭圆轨道绕地球运行。在近地点,卫星与地球中心的距离为地球半径的 3 倍,而在近地点卫星的速度为在远 地点时的 4 倍,求在远地点时卫星与地球中心之间的距离为地球半径的多少倍?

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10.一块半径为 R 的水平轻质圆盘,可绕过圆心 O 的竖直轴自由旋转。在圆盘下面的边缘处等间距地系有四个质量均为 m 的小球,如图所示。开始时,圆盘静止,一质量也为 m 的玩具汽车从 O 出发,以恒定的相对于盘的速率 v 0 沿半径驶往盘的 边缘,并沿盘的边缘行驶。试求: (1)当玩具汽车沿半径行驶时,圆盘转动的角速度 ? 1 ; (2)当玩具汽车沿盘的边缘行驶时,盘转动的角速度 ? 2 。

11.上题中的竖直轴不在圆心,而在某一小球位置处,玩具汽车从该轴处以恒定的相对于圆盘的速率 v 0 沿盘边缘行驶。试 求: (1)当玩具汽车行驶了半个圆周时,圆盘的角速度 ? 1 ; (2)当玩具汽车行驶了

3 4

个圆周时,圆盘的角速度 ? 2 ;

(3)当玩具汽车行驶了一个圆周时,圆盘的角速度 ? 3 。

- 132 -

12.在一根长 3l 的轻杆上打一个小孔,孔离一端的距离为 l ,再在杆的两端以及距另一端 l 处各系一个质量为 M 的小球, 然后通过此孔将杆悬挂于一光滑的水平细轴 O 上,如图所示。开始时轻杆静止,一质量为 m 的小铅粒以 v 0 的水平速度射入 细管中间的小球,并留在其中,若铅粒相对小球静止时杆的角位移可忽略,试求杆在以后摆动中的最大摆角。

13.质量均为 m 的两珠子可在光滑内管中自由滑动,管可在水平面内绕过 O 点的光滑竖直轴自由旋转。原先两珠对称地位 于 O 点的两边,与 O 相距 a ,在 t ? 0 时刻,对管施以冲量矩,使杆在极短时间内即以角速度 ? 0 绕竖直轴旋转,求 t 时刻 杆的角速度 ? 、角加速度 ? 及两珠与 O 点的距离 r 。

- 133 -

14.一质量为 M a 、半径为 a 的圆筒 A,被另一个质量为 M b 、半径为 b 的圆筒 B 同轴套在其外,均可绕轴自由旋转。在 圆筒 A 的内表面上散布了薄薄的一层质量为 M 0 的砂子,并在壁上开有许多小孔。在 t ? 0 时,圆筒 A 以角速度 ? 0 绕轴匀 速转动,而圆筒 B 则静止,打开小孔,砂子向外飞出并附着在 B 筒的内壁上,如图所示。设单位时间内喷出砂子的质量 k , 若忽略砂子从 A 筒飞到 B 筒的时间,求 t 时刻量筒旋转的角速度。

15.光滑水平面上有一小球 A 被一轻绳拴住, 轻绳穿过平面上小孔 O 与小球 B 连接。 开始时 A 球在水平面上绕 O 做匀速圆周 运动,B 球静止地向下垂挂着,如图所示。今使小球 B 的质量缓慢增加,直到 A 球绕 O 点作圆周运动的半径缩短一半,试问 此时 B 球质量为初始质量的多少倍?

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第十八讲 转动定律 【赛点知识】 一、转动惯量 质量是平动惯性的量度。在刚体的定轴转动中,描述转动惯性的物理量,称之为刚体对该轴的转动惯量,定义为:

I ?

?m r

2

i i

,式中 ri 为质点 i 绕定轴转动的半径。
2

转动惯量可表示为刚体的质量 m 与某个长度 k 的平方的乘积 mk 。 k 称为回转半径。 同一刚体,绕不同的轴转动,其转动惯量是不同的。刚体的转动惯量不但取决于刚体质量的大小,而且与其质量相对 轴的分布有关。在实际中,常常依此规律来改变转动惯量以适应需要。 刚体的转动惯量的值,一般通过实验的方法进行测定。形状规则且密度均匀刚体的转动惯量,可根据定义式计算,限 于数学工具,下面直接给出部分常见规则刚体的转动惯量。 (1)质量为 m 、长度为 L 均匀细杆,绕过其中点并垂直于杆的垂直固定轴转动,转动惯量为 的垂直固定轴转动,其转动惯量为

1 12

mL 。绕过其端点

2

1 3

mL 。
2

2

(2)质量为 m 、半径为 R 的匀质圆环,绕过其圆心并与环面垂直的固定轴转动,转动惯量为 mR 。 (3)质量为 m 的中心有孔的匀质薄圆盘,外半径为 R 2 ,内半径为 R1 ,绕过盘心并与盘面垂直的固定轴转动的转动 惯量为

1 2

m ( R 2 ? R1 ) 。中心有孔的匀质圆柱体绕其中心轴的转动惯量与此相同。
2 2

如果中心没有孔的圆盘或实心圆柱体,则 R1 ? 0 ,用 R 替代 R 2 ,则 I ? (4)质量为 m ,半径为 R 的匀质球体,围绕其直径转动的转动惯量为 对转动惯量的计算,有下面两个定理,一个定则。 定理一:平行轴定理

1 2

mR 。
2

2

2 5

mR 。

对不同的转轴,刚体的转动惯量不同。实验表明,如果几个轴相互平行,其中的一个轴过质心,刚体对此轴的转动惯 量最小。若用 I C 表示刚体通过质心轴的转动惯量,对另一个与此平行相距为 d 的定轴的转动惯量为: I ? I C ? md 。
2

定理二:垂直轴定理 对于薄片状物体,相对于 z 轴的转动惯量 I z 为相对于 x 轴的转动惯量 I x 与相对于 y 轴的转动惯量 I y 的和,即:

Iz ? Ix ? Iy 。
定则:伸展定则 如果将一个物体的任何一点,平行地沿着一根轴的方向作任意大小的位移,则此物体对此轴的转动惯量不变。我们可 以想像,将一个物体,平行于直轴地,往两端拉开。在物体伸展的同时,保持物体任何一点离直轴的垂直距离不变,则伸展 定则阐明此物体对此轴的转动惯量不变。 二、转动定律 力是产生加速度的原因。在刚体的定轴转动中,力矩是改变刚体转动状态的原因,在定轴转动中,刚体的角加速度与 外界对轴的合外力矩成正比,与其对轴的转动惯量成反比,此规律称为转动定律,表达式为: M ? I ? ,其中 ? 角加速度。

- 135 -

【赛题精析】 例 1.如图所示,有一直棒长为 L ,其中 棒对 O 轴的转动惯量(O 轴垂直纸面) 。

L 2

长的质量为 m1 (均匀分布) ,另

L 2

长的质量为 m 2 (均匀分布) ,写出此

例 2. (国家集训队训练题)如图所示,一定滑轮质量为 m ,半径为 R ,细绳跨过此滑轮且两端分别系有一物体,其 质量为 m1 和 m 2 。细绳不可伸长,与滑轮间无相对滑动。如不计绳的质量及滑轮轴上的阻力矩,求物体的加速度 a 1 、a 2 及 绳上的张力。

例 3.试求质量为 m ,半径为 R 的球,沿着倾角为 ? 的斜面无滑滚下的加速度?

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例 4. (国家集训队训练题)刚体可绕 O 点处的轴转动,如图所示,今在与 O 点相距 L 的 P 点施以巨大的冲力 F ,其 指向与 OP 线垂直。刚体绕 O 轴的转动惯量为 I ,试求刚体给予轴承的冲力?(设质心 C 到 O 的距离为 h )

例 5.如图所示,冲床上装配一质量为 1000 kg 的飞轮,尺寸见图。今用转速为 900 r/min 的电动机借皮带传动来驱 动这飞轮,已知电动机的传动轴直径为 10 cm。求: (1)飞轮的转动动能; (2)若冲床冲断 0.5 mm 厚的薄钢片需用冲力 9 . 80 ? 10 N,
4

并且所消耗的能量全部由飞轮提供,求冲断钢片后飞轮的转速变为 多大?

例 6.如图所示,多米诺骨牌厚为 a ,高为 b ,宽为 c , a ?? b , a ?? c ,两张骨牌之间的距离为 d ,每次碰撞 机械能损失碰撞前的一半。设 b ? 4 cm, d ? 2 cm。问如要骨牌匀速前进,应以多大的角速度 ? 0 推动第一张牌?

- 137 -

【习题精选】 1. 质量分别为 2 kg,3 kg,4 kg 的三个物体(可视为质点) ,用长均为 2 m 的三根轻刚性细棒相连,如图所示。求: (1)如果系统绕通过 O 点而垂直于纸面的轴转动,试确定系统的转动惯量。 (2)如果绕 y 轴转动,系统的转动惯量多大?

2. 如图所示是测定圆盘转动惯量的实验装置。已知匀质圆盘半径 R ? 0 . 3 m,圆盘安装在光滑轴上,并用轻绳绕其边缘, 绳上悬挂一质量为 m ? 0 . 5 kg 的物体,测得物体的加速度 a ? 2 . 0 m/s 。问:圆盘的转动惯量和质量各多大?
2

3. 将半径为 R 的薄壁圆筒迅速旋转到具有角速度 ? 0 ,然后将其放在两倾斜平面之间,如图所示, ? ? 45 ? 。滑动摩擦 因数 ? 与滑动速度无关。已知圆筒减速过程中其轴保持静止,求转动停止时圆筒转过的圈数。

- 138 -

4. 如图所示,一个半径为 r ? 10 cm 的小环,从高度 h ? 20 cm 处掉到桌上,此小环在空气中绕其中心轴(在竖直方向) 旋转,角速度 ? 0 ? 21 rad/s。圆环与桌面的碰撞为非弹性的(碰后不反弹) ,且碰撞时间极短。小环与桌面间摩擦因数

? ? 0 .3 ,求小环停止时所转过的圈数。

5. 如图所示,转轴平行的两飞轮 A 和 B,半径分别为 R1 , R 2 。对各自转轴的转动惯量分别为 I 1 , I 2 ,A 轮转动的加速 度为 ? 0 ,B 轮不转动。移动 B 轮使两轮缘互相接触。两轴仍保持平行,由于摩擦,两轮的转动会变化。问转动稳定后,两 轮的角速度各为多少?

6. 如图所示,一飞轮以 1500 r/min 的转速绕定轴作逆时针转动。制动后,飞轮均匀地减速,经时间 t ? 50 s 停止转动。 求: (1)角加速度 ? ; (2)从开始制动到静止,飞轮转过的转数 N ; (3)制动开始后 t ? 25 s 时飞轮的角速度 ? ; (4)设飞轮的半径 R ? 1 m,求 t ? 25 s 时飞轮边缘上一点的速度和加速度。

- 139 -

7. 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴 O O ? 转动, 设大小圆柱体的半径分别为 R 和 r , 质量分别 为 M 和 m ,绕在两柱体上的细绳分别与物体 m1 和 m 2 挂在圆柱体的两侧,如图所示,设 R ? 0 . 20 m, r ? 0 .10 m,

m ? 4 kg, M ? 10 kg, m1 ? m 2 ? 2 kg,且开始时 m1 和 m 2 离地的高度均为 h ? 2 m,求:
(1)柱体转动时的角加速度; (2)两侧细绳的张力; (3) m1 经多长时间着地? (4)设 m1 与地面作完全非弹性碰撞, m1 着地后柱体的转速如何变化?

8. 如图所示,一质量为 M 、长为 l 的均匀细棒,可在水平面内绕通过其中心的竖直轴转动,开始细棒静止。一质量为 m 的小球,以水平速度 u 与棒的端点作弹性碰撞。求碰撞后小球弹回的速率及棒的角速度。

9. 如图所示,一均匀细棒,可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长为 l ,质量为 m ,开始时棒处于水平位 置。令棒由水平位置自由下摆,求: (1)棒在任意位置时的角加速度; (2)棒摆至铅垂位置时重力矩所做的功; (3)铅垂位置时轴端所受的外力。

- 140 -

10.如图所示,长为 L 的均匀细棒 AB,A 端悬挂在铰链上。开始时棒自水平位置无初速地向下摆动,当棒通过竖直位置时, 铰链突然松脱,棒自由下落。问: (1)在下落过程中棒的质心以什么样的轨迹运动? (2)自由脱落后,当棒质心 C 下降了 h 距离后,棒一共转了多少圈?

11.如图所示,质量为 M 、长为 l 的均匀细杆,可绕过 A 端的水平轴自由转动,当杆自由下垂时,有一质量为 m 的小球, 在离杆下端的距离为 a 处垂直击中细杆,并于碰撞后自由下落,而细杆在碰撞后的最大偏角为 ? ,试求小球击中细杆前的 速度。

12.一轻绳绕过一半径为 R ,质量为

m 4

的滑轮,质量为 m 的人抓住了绳子的一端,而在绳的另一端系住了一个质量为

m 2

的重物,如图所示,绳子与滑轮不打滑。求当人相对于绳子匀速上爬时,重物上升的加速度是多少?

- 141 -

13.如图所示,两物体 A,B 质量分别为 m1 , m 2 ,用一轻绳相连,绳子跨过均质的定滑轮 C,滑轮 C 对轴 O 的转动惯量为

I ,半径为 r 。若物体 B 与水平桌面间的滑动摩擦系数为 ? ,绳子与滑轮之间无相对滑动,其他摩擦均不计,且物体 A 在
下降,求系统的加速度 a 及绳中的张力 T1 和 T 2 。

14.两个重物 A,B 的质量分别为 m1 , m 2 ,并分别系于两条绳子上,这两绳又分别绕在半径为 r1 , r2 ,且装于同一轴的 两个鼓轮上,如图所示。重物在重力作用的影响下运动,鼓轮和绳子的质量,轴对鼓轮的摩擦均略去不计,试证鼓轮的角加 速度为 ? ?

( m 1 r1 ? m 2 r2 ) g m 1 r1 ? m 2 r2
2 2



15.如图所示,两均质轮的半径分别为 R1 , R 2 ,质量分别为 m1 , m 2 ,两轮用张紧的皮带(质量不计)连接。若在主动 轮 A 上作用一外力矩 M ,在被动轮上具有摩擦力矩 M ,并设皮带与轮之间没有相对滑动。求证 A 轮的角加速度为

f

2 ( MR 2 ? M f R1 ) ( m 1 ? m 2 ) R1 R 2
2



- 142 -

第十九讲 振动 【赛点知识】 一、机械振动 物体在某位置附近做往复运动,叫做机械振动。该位置称为振动的平衡位置。 (1)产生振动的条件:有回复力的作用且所受阻力足够小。 (2)回复力:物体离开平衡位置时所受到的指向平衡位置的力叫回复力。 (3)振动位移:平衡位置指向物体所在位置的有向线段,为方便描述振动引入。 二、简谐运动 (一)简谐运动的定义 如果物体所受的回复力大小总与位移成正比,方向总与位移相反,那么它所作的振动叫做简谐运动。 简谐运动物体的上述受力特征,可表示为: F ? ? kx 。 其动力学方程为: a ? ?

k m

x

上式中, F 为简谐运动物体所受的回复力, x 为振动物体相对于其平衡位置的位移, k 为 F 与 x 间的比例系数(振动物 体为弹簧振子时, k 为弹簧的倔强系数) ,负号表示回复力 F 的方向与位移 x 的方向相反, a 为振动物体在位移为 x 时的 加速度。 (二)简谐运动和匀速圆周运动 简谐运动是一种变加速运动,直接用数学方法求解其运动方程显得复杂,若定性画出运动图线会发现像正弦或余弦曲 线。联想到数学中的单位圆,则可以尝试与熟悉的匀速圆周运动联系。 考察一个以 ? 角速度沿半径为 R 的圆周做匀速运动的质点,它的质量为 m ,受到的合外力构成向心力,方向指向圆 心,大小为: F心 ? m ? R
2

取 xOy 坐标系如图所示。 t ? 0 时质点的角位置为 ? 0 , 设 任意 t 时刻角位置 ? ?

? t ? ? 0 。质点在 x 方向的分运动为:

? x ? R cos ? ? R cos( ? t ? ? 0 ) ? ? v x ? ? v sin ? ? ? ? R sin( ? t ? ? 0 )
质点所受合力在 x 方向分量为:

? F心 cos ? ? ?
即:

m ? Rx
2

R

? ?m? x
2

? F x ? ? kx ? 2 ?k ? m ?
由此可见,匀速圆周运动质点在 x 方向分运动具有两个特征:位移量 x 随时间 t 在零点附近作往返的余弦变化;质点 在 x 方向受力与位移量 x 的大小成正比,方向相反,或者说是一个线性回复力,可见该运动是一个简谐振动。 (三)简谐运动方程 由上可知,满足 F ? ? kx 的振动物体的位移 x 随时间 t 的变化规律是一余弦函数(当然也可以表述为正弦函数) ,这 就是简谐运动的方程:

x ? A cos( ? t ? ? 0 )
式中, A 为此振动的振幅,即振动物体离开平衡位置最大位移的大小, ? 叫此振动的角频率(也称圆频率) ,它与此振动 的周期 T 、频率 f 有如下的关系:

? ?

2? T

? 2? f

- 143 -

式中, (? t ? ? 0 ) 叫此振动的相位, ? 0 叫此振动的初相位。 若 t ? 0 时刻(即起振时刻)振动位移和速度分别为 x 0 和 v 0 ,则有:

? v0 2 2 ? A ? x0 ? ( ) ? ? ? ? tan ? ? ? v 0 0 ? ?x0 ?
需要注意的是:当 ?

v0

?x0

? 0 时,? 0 可在Ⅰ、Ⅲ象限;当 ?

v0

?x0

? 0 时,? 0 可在Ⅱ、Ⅲ象限。因此,还需结合 x 0 或 v 0

的正、负来辅助确定 ? 0 所在象限。

简谐运动的周期是由振动系统本身的物理条件来决定,其关系式为: T ? 2?

m k

式中, m 为振动物体的质量。故此周期又称为此物体的固有周期(对应地也有其固有频率) 。 一个作简谐运动的系统,若它不与外界交换能量,内部又没有机械能损失,则称该系统为谐振子。谐振子的机械能守 恒。谐振子的能量可以用简谐运动的振幅、频率和相位表示。

Ek ?

1 2

mv ?
2

1 2

m ? A sin (? t ? ? 0 )
2 2 2

EP ?

1 2

kx ?
2

1 2

kA cos (? t ? ? 0 )
2 2

可见谐振子的动能和势能都随时间变化,但机械能:

E ? Ek ? EP ?

1 2

m? A ?
2 2

1 2

kA

2

保持不变。 E k , E P , E 与时间的关系如图所示。由图可见,动能和势能的变化频率都是振动频率的两倍。谐振子的总能 量与振幅的平方成正比,与角频率的平方成正比。这是谐振子的一般特征。 谐振子的能量表达式还为我们提供了求振子频率的另一种方法,这种方法不涉及振子所受的力,在力不易求得时较为 方便。将势能写成位移的函数,则有: ? ?

2EP kx 2E mA
2 2

或将总能量写成振幅的函数,则有: ? ? (四)弹簧振子

劲度系数为 k 的轻质弹簧水平放置,一端固定另一端连接质量为 m 小物体,后者与水平面光滑接触。取 x 轴水平地朝 着弹簧伸长的方向放置。坐标原点设在弹簧处于自由长度状态时小物体所在位置。如图所示,当小物体有位移 x 时,便受 到弹性力:

F x ? ? kx
该力为线性回复力,小物体的运动是简谐运动:

x ? A cos( ? t ? ? 0 )
其中角频率:

- 144 -

? ?

k m

振幅 A 与初相位 ? 0 可由 t ? 0 时刻小物体的位置 x 0 及速度 v 0 来确定。 (五)单摆 如图所示,有一根长度为 l 不能伸长的轻线。上端固定,下端与一质量为 m 的小球相连。当小球静止不动时,线与小 球的拉力 T 与重力平衡,小球位于悬点下方的 O 点,O 点称为小球的平衡位置。若将小球向右拉开一小段距离,到达 B 点位 置放手,小球将在重力 mg 和线的拉力 T 的作用下向左运动,然后在竖直面内沿半径为 l 的圆弧在 B、C 之间往复运动。这 个振动系统称为单摆。 若最大摆角为 ? 0 ,小球运动到 P 处的摆角为 ? ,则此时小球速度:

v?

2 gl (cos ? ? cos ? 0 )

重力 mg 沿切线方向的分力 F1 ? mg sin ? ,在 F 的作用下,小球沿切线方向的 加速度为:

a? ? g sin ?
小球在 P 点时的速度为 v ,它沿半径为 l 的圆弧运动,所以它的向心加速度为:

an ?

v

2

l

? 2 g (cos ? ? cos ? 0 )

以小球的平衡位置为原点。下面我们讨论小球在水平方向的运动,以水平向右的方向为 x 轴的正方向,向上的方向为 y 轴的正方向,则小球在 P 点时的加速度沿 x 轴的分量为:

a x ? ? g sin ? cos ? ? 2 g (cos ? ? cos ? 0 ) sin ?
当摆角

? 0 很 小 时 , 例 如 ? 0 ? 5 ? ? 0 .087 弧 度 时 ,
1 2

1 2

? 02 ? 3 . 8 ? 10 ? 3 ?? 1 , cos ? 0 ? 1 ?

1 2

? 02 ? 1 ,

cos ? ? 1 ?

? ? 1 ,上式变为:
a x ? ? g sin ?

由于 sin ? ?

x l

,故有:

ax ? ?

g l

x

由此式和简谐运动的定义相比较,可知小球在 x 方向的运动,在摆角 ? ?? 1 弧度的条件下,是一个简谐运动。比较上式和 公式 a ? ? ? x ,可以得出这个简谐运动的角频率:
2

? ?
再由 T ?

g l

2?

?

可得出相应的周期,也就是单摆振动的周期公式:

- 145 -

T ? 2?

l g

同样可以证明竖直方向分运动在 ? ?? 1 弧度条件下也为简谐运动,周期为:

T???
(六)简谐运动的合成 (1)同方向、同频率两振动的合成

l g

当一个物体同时参与同方向的两个振动时,它的位移应为参与每个振动时的位移的代数和。当两振动频率相同时,设

x1 ? A1 cos( ? t ? ? 1 ) x 2 ? A2 cos( ? t ? ? 2 )
则合振动

x ? x1 ? x 2 ? A1 cos( ? t ? ? 1 ) ? A2 cos( ? t ? ? 2 )
利用旋转矢量,很容易求出以上的和。既然 x 1 和 x 2 是旋转矢量 A1 , A 2 的投影,而矢量投影的和等于矢量和的投影,于 是 x 就是合矢量 A ? A1 ? A2 的投影。由于 A1 与 A 2 的角速度相同,合矢量 A 与 A1 , A 2 的相对位置保持不变, A 也以 角速度 ? 旋转,即:

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

x ? A cos( ? t ? ? )
如图所示,由图不难看出:

A?

A1 ? A2 ? 2 A1 A2 cos( ? 2 ? ? 1 )
2 2

tan ? ?

A1 sin ? 1 ? A 2 sin ? 2 A1 cos ? 1 ? A 2 cos ? 2

当 ? 2 ? ? 1 ? 2 k ? ( k 为整数)时,

A ? A1 ? A2
合振动最强,称为振动相长。当 ? 2 ? ? 1 ? ( 2 k ? 1)? 时,

A ? A1 ? A 2
合振动最弱,称为振动相消。一般情况, A 介于 A1 ? A 2 与 A1 ? A 2 之间。 (1)同方向、频率相近的两振动的合成——拍 若物体同时参与两个不同频率的简谐运动,例如:

x1 ? A1 cos ? 1t x 2 ? A2 cos ? 2 t

- 146 -

为简单起见,我们已设 ? 1 ? ? 2 ? 0 ,这只要适当选取时间零点,总可以做到。如果 A1 ? A2 ? A ,则合振动:

x ? x1 ? x 2 ? A (cos ? 1 t ? cos ? 2 t ) ? 2 A cos
这可以看成振幅为 2 A cos 频率为

?1 ? ? 2
2

t cos

?1 ? ? 2
2

t

?1 ? ? 2
2

t (随时间变化) 角 、

?1 ? ? 2
2


的 振 动 。 当 ?1 与 ? 2 比 较 接 近 时 , 小得多, 于是合振动可以看成振幅

?1 ? ? 2
2

?1 ? ? 2
2

随时间缓慢变化的,角频率为两振动平均值的简谐运动。 当然,由于现在振幅随时间变化,合振动已不是严格意义 上的简谐运动,只在观察时间比振幅变化周期短得多的情况下,才近似地为简谐运动。这样的振动称为拍。拍的位移与时间 的 关 系 大 体 如 图 所 示 。 由 图 可 见 , 振 幅 的 变 化 周 期 T ? 为 简 谐 运 动 x ? 2 A cos

?1 ? ? 2
2

t 变化周期的一半,即

T ?

1

2

2 ?1 ? ? 2

? 2? ?

2?

?1 ? ? 2

或拍频 f ?

1 T?
2

?

?1 ? ? 2
2?

? f1 ? f 2 。

(七)阻尼振动和受迫振动 由于振动不可避免地要受到摩擦和其他阻力作用,振动系统要克服阻力做功,系统的能量将逐渐减少,振动的振幅也 将随之减小,这种振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。 系统在周期性的外力策动下所发生的振动叫受迫振动。受迫振动的周期等于策动力的周期,它与振子的固有周期无关。 当策动力的周期跟振动系统的自由振动周期(在不计阻尼时为其固有周期)相等时,受迫振动的振幅增大,这种现象 叫共振。 【赛题精析】 例 1.有一单摆,其摆长 l 与地球半径 R 相等,试求此单摆在地球表面附近振动时的周期 T ,已知地球半径

R ? 6370 km。

例 2.一个单摆,由一根刚性轻杆和杆端的重物组成,做振幅很小的自由振动。如果在杆上某点再固定一个和杆端重 物质量相同的重物,使单摆变成一个异性复摆。摆的振动周期最多能改变百分之几?

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例 3.一个大容器中装有互不相溶的两种液体,它们的密度分别为 ? 1 和 ? 2 ( ? 1 ?

,现让长度为 L 、密度为 ?2 )

?1 ? ? 2
2

的均匀木棍,竖直地放在上面的液体内,其下端离液体分界面的距离为

3L 4

,由静止开始下落,试计算木棍到达

最低处所需的时间。假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计。且两液体都足够深,保证木棍始终都在液体内部运 动,即未露出液面,也未与容器底相碰。

例 4.平均深度为 6 m 的某海峡的潮汐涨落可看成由太阳引起的潮汐和月亮引起的潮汐两个成分组成,每个成分的潮 汐均随时间作简谐变化。设太阳潮的幅度为 1.5 m,周期为 12 h,月亮潮的幅度为 2.5 m,周期为 12.5 h,试求该海峡的潮 汐涨落与时间的关系。

例 5.在光滑水平面上自由放置一轻弹簧,其左端固定,右端系着一物块 P,另一物块 Q 在 P 的右边与它紧靠,Q 的质 量是 P 的 2.5 倍。P 与 Q 的右边有一壁与弹簧垂直,物块与此壁相距 L ?

14 ? 13

cm。今使 P、Q 从原来位置向左移一段距离,

并令其处于静止状态后予以释放。已知 P 在第一次通过平衡位置后完成一次全振动时,与 Q 恰好发生第一次碰撞,假设所有 碰撞均为完全弹性碰撞,且两物块的大小均可忽略不计,试求: (1)开始时弹簧的压缩量 L 0 ? ? (2)在 P 与 Q 第一次分离到第一次碰撞的时间内,P 至两物块第一次分离点的最远距离是多少? (3)在 P 与 Q 第一次碰撞的时间内,P 至两物块第一次分离点的最远距离是多少? (4)如图所示给出一条余弦曲线,试以两物块第一次相碰时刻为计时起点,在图中画出 P 和 Q 的位移——时间图像, 并标出 P 与 Q 第二次相碰的时刻。

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【习题精选】 1. 一摆钟,在北京走时准确,求移至上海后一昼夜的走时误差是多少?(设摆钟可视为单摆,北京的重力加速度

g 1 ? 9 .800 m/s2,上海的重力加速度 g 2 ? 9 . 794 m/s2)

2. 一长列火车依惯性驶向倾角为 ? 的小山上,当列车完全停下时,列车一部分在山上,如图所示。试求列车从开始上山 到停下来所经历的时间。 (列车全长为 L ,摩擦不计)

3. 两轮轴相互平行, 相距 2 d , 两轮转速相同而转向相反。 质量为 m 的一根均质杆搁在两轮上, 杆与轮的动摩擦因数为 ? 。 若杆子的质心 O 起初距一轮较近,如图所示。试证明杆作简谐运动,并求其振动周期。

4. 质量分别为 M 和 m 的两物块用劲度系数为 k 的轻弹簧相连置于光滑水平台面,将两物块距离由弹簧自然长度 l 拉开

x 0 后静止释放,求两物块的振动周期和振幅。

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5. 如图所示,在水平光滑桌面的中心有一光滑小孔 O,一条劲度系数为 k 的轻而细的弹性绳穿过小孔 O,绳的一端固定于 D 点(D 点位于小孔的正下方) ,另一端系一质量为 m 的质点,弹性绳的自然长度等于 OD,现将质点沿桌面拉至 B 处,设

OB ? l ,并将质点沿垂直于 OB 的方向以速度 v 0 沿桌面抛出,试求:
(1)质点绕 O 点转过 90 ? 至 C 处所需的时间; (2)质点到达 C 点时速度及 C 点至 O 点的距离。

6. 位于铅垂平面内的“L”形等截面弯管,两臂分别与水平面成 ? 角和 ? 角,如图所示,其内盛有长为 l 、质量为 m 的 流柱,受扰动后,液柱将沿管作往返振荡,求振荡周期。设管壁无阻力。

7. 假定地球是一个半径为 R 、总质量为 M 0 的均匀球体,设想沿大弦开一隧道,地心到隧道的距离为 L ,将物体 m 置 于隧道口,然后放开,若忽略摩擦阻力,求物体通过隧道所需的时间。

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8. 三根长度均为 l ? 2 .00 m,质量均匀的直杆,构成一正三角形框架 ABC。C 点悬挂在一光滑水平转轴上,整个框架可以 绕转轴转动。杆 AB 是一导轨,一电动玩具可在导轨上运动,如图所示。现观察到松鼠正在导轨上运动,而框架却静止不动, 试问松鼠的运动是一种什么样的运动,并证明。

9. 水平弹簧振子质量 m ? 1 kg、劲度系数 k ? 100 N/m,振子与水平面之间动摩擦因数 ? ? 0 . 1 ,将它从平衡位置拉长

?x ? 9 . 3 cm 放手,作阻尼振动,计算经多少时间停止运动。 (静摩擦与动摩擦因数视为相等处理)

10. 在两条柔软的弹性轻绳中间连接着一个小球,而这两条绳的另一端分别固定于同一竖直线上的 O 、 O ? 点,如图所示。 已知上、下绳的劲度系数分别 K 1 ? 8 . 0 N/m 和 K 2 ? 12 . 0 N/m。小球静止不动时位于图上 C 点处,这时上、下绳相对于各 自的自然长度分别伸长了 l1 ? 0 . 080 m 和 l 2 ? 0 . 030 m。现在将小球沿竖直方向向下拉到与平衡位置 C 的距离为
2 l 3 ? 0 . 080 m 处,然后轻轻释放。求小球从释放开始到第一次回到该释放点所需要的时间。 (计算时可取 g ? 10 . 0 m/s )

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11. 五根自由状态下长度相同,劲度系数都为 k 的轻弹簧,在光滑的水平面上连接成如图所示系统。其中 A 点固定,其它 接点均可自由移动,B 点连接一质量为 m 的小振子,试求小振子沿图示 x 方向偏离平衡位置的微小振动的周期。

12. 如图所手,用三根竖直的长度相等不可伸长的细线将一圆环水平悬挂,换上的拴绳点彼此等间距。现借助于一些重量 不计的辐条将一个与环等质量的重物固定在环心处,试求固定此重物的前后环作微小扭转振动的周期之比。

13. 一弹簧振子竖直悬挂,另一弹簧系一屏与弹簧振子并排悬挂,它们沿竖直方向振动的周期相同,都是 1 s,有平行光 水平将弹簧振子投影在屏上,如图所示,今将振子和屏都向下拉 10 cm,先由静止释放振子,过时间 ? t 后再由静止释放屏, 为使影子在屏上的振幅为 5 cm, ? t 应为多少?

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14. 如图所示,质量 M ? 0 . 4 kg 的靶盒位于光滑水平的导轨上,连结靶盒的弹簧的一端与墙壁固定,弹簧的劲度系数

k ? 200 N/m,当弹簧处于自然长度时,靶盒位于 O 点,P 是一固定的发射器,它可根据需要瞄准靶盒,每次发射出一颗水
平速度 v 0 ? 50 m/s、 质量 m ? 0 . 10 kg 的球形子弹。 当子弹打入靶盒后, 便留在盒内 (假定子弹与盒发生完全非弹性碰撞) , 开始时靶盒静止。今约定,每当靶盒停在或到达 O 点时,都有一颗子弹进入靶盒内。 (1)若相继有 6 颗进入了靶盒,问每一颗子弹进入靶盒后,靶盒离开 O 点的最大距离为多少?它从离开 O 点到回到 O 点经历的时间各为多少? (2)若 P 点到 O 点的距离为 s ? 0 .25 m, 问至少应发射几颗子弹后停止发射, 方能使靶盒来回运动而不会碰到发射器。

15. 水平导轨上有质量为 M 的重物。重物上固定一个单摆——不可伸长的轻线上系有质量为 m 的小球,重物只能沿导轨 移动。如图所示,试求摆分别在平行和垂直竖直平面内的导轨上作小振动的周期之比

T2 T1



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第二十讲 波动 【赛点知识】 一、波的形成与传播 机械振动在弹性介质中的传播就形成机械波。 波传播的是振动这一运动形式。即前一质点发生了振动,由于质点间弹性力的作用,后一质点也会“跟着”发生振动。 这样,后一质点的振动比前一质点的振动总要“落后”一些。 波在传播振动这种运动形式的同时,也将波源的能量传送出去。因此,波也是能量传递的一种方式。 短暂扰动在媒质中的传播形成脉冲波,周期振动在媒质中传播形成周期波,如图所示。振动方向与传播方向垂直的波 叫横波,振动方向与传播方向一致的波称纵波。 为形成波,除必须有波源外,传播波动的媒质各质点间,当有相对 位移时,必须有力的作用。按这种作用力的性质不同,可形成不同的波, 如弹性波、表面张力波、重力波(水波)等。在固体中,任一扰动不论 在扰动方向或与扰动垂直方向上都会对相邻质点产生弹力的作用,故固 体中既能传播弹性纵波,又能传播弹性横波。液体和气体的扰动只在扰 动方向对相邻质点产生弹力的作用, 故液体或气体中只能传播弹性纵波, 不能传播弹性横波。 波的传播中,其波速 v ,频率 f 和波长 ? 之间的关系为 v ?

?f 。

波长:沿着波的传播方向,两个相邻的“同位相” (位相差为 2 ? )质元间的距离,叫做波长。波长是对波的空间周期 性的描述。 波的周期频率:振动状态传播一个波长的距离所需要的时间称为波的周期,周期的倒数为波的频率,也就是在单位时 间内在波所传播的距离中“完整波”的数目。由此可见,波的周期和频率等于波源的振动周期和频率。是对波的时间周期性 的描述。 波速:波是靠着媒质各质元之间的相互作用而向前传播的,因而波的传播速度由媒质的性质决定。媒质质元间相互作 用越强,波速越大;媒质密度(惯性)越大,波速则越小。 在弹性媒质中,纵波和横波的传播速度分别为:

v纵 ?

Y

?
N

v横 ?

?

式中, Y , N 分别称为杨氏模量和切变模量,各表示产生单位相变形变(拉伸形变和切形变)所需的外力,是反映媒质弹 性大小的物理量,亦即反映媒质质元间相互作用大小的物理量, ? 是媒质的密度。 在柔软弦中,弦中只有张力存在时,弦上才能传播横波,弦上质元正是藉张力产生相互作用的,若张力为 T ,弦的线 密度为 ? ,则波速为 v 弦

T

?



水面波是大家熟知的波,它的传播是借重力实现的,而重力与质量本身成正比,因而水面波的波速与水的密度无关。 可以证明,当水较浅(深度 h 比波长 ? 小得多)时,波速为:

v浅 ?
当水较深(深度 h 比波长 ? 大得多)时,波速为:

gh

v深 ?

g? 2?

这时波速与波长有关,这种现象称为色散(这一名词是从光学中借用过来的) 。水面上还可以传播一种很细微的波,它是由

- 154 -

表面张力作用引起的,称为表面张力波,其波速为:

v 表面 ?
式中, ? 为表面张力系数, ? 是水的密度,这种波也有色散。 (一)简谐波的方程 设坐标原点的简谐运动为: y ( 0 , t ) ? A cos 为:

2??

??

? t 。对于振幅无衰减的简谐波,若传播方向与 ? x 方向一致,则其方程
2?

y ( x , t ) ? A cos( ? t ?
若其传播方向与 ? x 方向一致,则其方程为:

?
x

x ) ? A cos ? ( t ?

x v

)

y ( x , t ) ? A cos( ? t ?
式中,

2?

?

x ) ? A cos ? ( t ?

v

)

2?

?

是波沿传播方向推进单位长度距离时引起的相位落后值。

(二)简谐波的图像(如图所示) 波的图像的物理意义:反映了介质各个质点在某一时刻的位移情况。 (三)波面和波线 波在绳或杆、弹簧中只能沿绳、杆和弹簧的方向传播,但是一般说来在气体、液体和固体等充满某一部分空间的介质 中,波是从波源向所有方向传播的。为了形象地描述波的传播方向,可自波源沿各传播方向画一些带箭头的线,这样的表示 波的传播方向的线叫做波线。同样,我们也可以把在某时刻位相相同(这是真正的相同,即位相差为零)的点连起来形成一 个曲面或平面,并称之为波面或波阵面。波传播中最前面的波面叫做波前,它描述波在该时刻传播到的位置。在任何时刻波 前只有一个,但波面却有许多个。 球面波和平面波的波阵面和波线如图所示。 (每隔一个波长画一个波阵面)

(四)波传播中的反射、折射和衍射 当波在传播过程中遇到两种媒质的交界面时,一部分会返回原媒质中,一部分将透入第二种媒质继续传播;前者称为 反射波,后者称为透射波,或称折射波。当入射方向与交界面垂直时,反射波的传播方向与入射波相反,折射波的传播方向 与入射波相同。当入射方向与交界面不垂直时,反射波与折射波均偏离入射波的传播方向。若入射波的传播方向与交界面的 法线成 i 角( i 称入射角) ,反射波的传播方向与交界面的法线成 i ? 角( i ? 称反射角) ,折射波的传播方向与交界面法线成 r 角( r 称折射角) ,如图所示,则有:

i ? ? i ??????????① sin i v ? ???????② sin r v ? 式中, v 为波在入射媒质中的传播速度, v ? 为波在折射媒质中的传播速度。①式
称为波的反射定律,②式称为波的折射定律。 弦上的波在线密度不同的两种弦的连接点也发生反射与透射。当弦上有向上

- 155 -

波脉冲经自由端发射时,自由端可看成新的振源,故反射波仍为向上的波脉冲, 只是波形左、右颠倒,犹如反射波是入射波的反向延伸,如图(a)所示。当弦 上有向上波脉冲经固定端反射时,固定端也可看成新的“振源” ,又牛顿第三定 律,固定端对弦的作用力方向与原脉冲对弦的作用力相反,故反射脉冲向下,即 波形不仅左、右颠倒,上、下也颠倒,这时反射波可看成入射波反向延伸的负值, 如图(b)所示。将周期波看成一系列连续脉冲,周期波经自由端或固定端的反 射也可由此得出。 当波在传播过程中遇到障碍物时,会偏离原来传播方向,绕过障碍物边缘而 展衍,这种现象称为衍射,如图所示。由于衍射,声波可绕过门、窗而到达室外, 光可绕过小孔边缘而到达几何阴影区。障碍物线度(如小孔直径)越小,波长越 长,衍射现象越明显。 (五)波的叠加和干涉 1、波的叠加 大量事实证明,若有几列波同时在介质中传播,不管它们是否相遇, 它们都各自以原有的振幅、波长和频率独立传播,彼此互不影响。例如, 房间里人们在交谈,同时还播放着音乐,但决不会因此而改变说话人的声 音,同样,欣赏音乐的人也不会由于旁边有人说话而使音乐旋律发生变化。 正由于两列波互相独立地传播,因此,在两波相遇处体元的位移等于 各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和,这就叫做波的叠加原理。 2、波的干涉 若两列波同时在介质中传播且相遇,相遇处质点的位移等于各分波所引起的位移的矢量和。由于振动方向不同、频率 不同,在相遇处引起的合振动往往是很复杂的。但如果这两列波满足一定条件,则两波相遇各点的合振动能各自保持恒定振 幅而不同位置各点的大小不同的合振幅振动, 这种现象称为波的干涉。 能够形成波的干涉的两列波必须满足下列条件: 第一, 两列波具有相同的振动方向;第二,两列波频率相同;第三,两列波在空间每一点引起的分振动都具有固定的位相差。 现在对产生干涉现象的条件再作些讨论。如图所示,设两列平面简谐波相遇,它们的波方程分别是:

y1 ? A1 cos( ? 1t ? k 1 x ? ? 1 ) y 2 ? A2 cos( ? 2 t ? k 2 x ? ? 2 )
两波相遇处发生振动的合成,两波在任意一点分振动的位相差为:

? ? ? (? 1t ? k 1 x ? ? 1 ) ? (? 2 t ? k 2 x ? ? ? 2 ) ? (? 1 ? ? 2 )t ? ( k 1 x ? k 2 x ?) ? ? 1 ? ? 2
欲 ? ? 保持一定,必须 ? 1 ? ? 2 ,即两波有相同的频率。又从上式看来,似乎频率相同,也便完全能够保证固定位相差了, 为什么还要在相干条件中除频率相同外强调固定位相差呢?因为, 上面公式仅针对连续不断两列简谐波叠加的情况, 但对于 某些波源, 例如光源, 实际上不可能连续发出光波。 光波是处于激发状态的原子从较高能级跃迁至较低能级时辐射出的波动, 是断断续续进行的, 对于互相独立的两个光源即使频率相同, 但发光的断断续续完全处于无规则的状况, 谈不上相互的配合, 因此不能保证固定的位相差。相互独立的两个光源,实际上不可能形成干涉,为实现光的干涉,必须采取适当的措施。另外 顺便指出,光波的干涉,表现为空间各点光的强度不同而形成明暗相间的花纹。 3、驻波 频率相同、振幅相等、振动方向一致、传播方向相反的两列简谐波互相叠加,便形成驻波,设坐标原点的振动方程为

y ? A cos ? t ,则满足上述条件的两列简谐波的波动方程分别为:

y1 ? A cos( ? t ? y 2 ? A cos( ? t ?

2?

? 2?
?

x) x)

- 156 -

叠加所合成波的方程为: y ? y 1 ? y 2 ? 2 A cos(

2?

?

x ) cos ? t 。式中, 2 A cos(

2?

?

x ) 是此合成波的振幅,它与

x 有关。振幅最大处称为波腹,振幅最小处称为波节。
波腹的位置为: x ? k

?
2

.( k ? 0 , ? 1, ? 2 , ? )
1 ? ) .( k ? 0 , ? 1, ? 2 , ? ) 2 2

波节的位置为: x ? ( k ?

相邻两波腹(或波节)之间的间距为

?
2

,如图所示。

驻波事实上是一维介质中的干涉。要注意驻波现象中两相 邻波节间质点振动同相,两相邻波腹振动反相。 二、多普勒效应 波在同一介质中传播的速度是恒定的,不会因波源运动而改变,也不因观察者运动而改变。但当波源(或观察者)相 对介质运动时,观察者所接收到的频率却可以改变。当我们站在铁路旁,有火车迎面开来时,汽笛声会由高亢变为低沉,就 是这个缘故反之, 亦有类似现象, 这种由于波源或观察者 (或两者) 相对介质运动而造成的观察者接收频率发生改变的现象, 称为多普勒效应。 为简单起见设波源或观察者的运动都在波源与观察者的连线上,并以 v 表示观察者相对介质的速度,以趋近波源为正; 以 u 表示波源相对介质的速度,以趋近观察者为正;介质中的波速 V 。以下分三种情形讨论: (一)波源静止,观察者运动 这时 u ? 0 , v ? 0 。所谓观察者的接收频率,就是单位时间内通过观察者的完 整波长数。波在 1 s 内相对介质行进了距离 V ,当观察者不运动时,波在 1 s 内相对 观察者也进行了 V ,观察者接收到的频率为 f ?

V

?

。由于观察者运动,1 s 内波相

对观察者进行了 V ? v ,故观察者接收到的频率为:

f??

V ?v

?

?

V

?

(1 ?

v V

)?

V ?v V

f

如图所示。当 v ? 0 时, f ? ? f ,当 v ? 0 时, f ? ? f 。 (二)波源运动,观察者静止 这时 u ? 0 , v ? 0 ,波在 1 s 内相对观察者行进的距离仍为 V ,但由于波 源运动,使波长缩短。当波源静止时,相邻两位相相等的等相面之间的距离为 ? 。 波源运动时,当第一个等相面自波源发出后,该面即以速度 V 向前行进,在第二个 同位相的等相面发出时,波源已向前移动了 uT 的距离,而这时第一个等相面已向 前进了 VT ?

? 的距离,如果两同位相等相面之间的距离变为 ? ? uT ,这就是现

在的波长 ? ? ,如图所示,则:

? ? ? ? ? uT
故观察者接收到的频率为:

f??

V

??

?

V

? ? uT

?

V

? (1 ?

u V

? )

V V ?u

f

上式所表述的多普勒效应现象中,波的频率和波速尽管没有改变,由于波源的 移动,波上每个质点的振动频率不再等于波的频率。 (三)波源和观察者都运动 这时 u ? 0 , v ? 0 ,只要把一、二结合起来,即可得到波源和观察者都运动时观察者接收到的频率:

- 157 -

f??

V ?v

? ? uT

?

V ?v V ?v ? f u V ?u ? (1 ? ) V

三、激波现象和音障 若波源的速度大于波的传播速度,波面的包络面会形成如图所示的锥形,称为马赫锥。由于波的传播速度不会超过波源的速 度,故马赫锥面是波的前沿,外面没有波动形成,这种现象称为激波现象,锥形顶角的一半的正弦称马赫数:

sin ? ?

v波 v源

激波现象可见于超音速飞机和水面上高速航行的船只。当飞机 速度以接近声速飞行时, ? ?

?
2

,飞机前缘有大量振动能量聚集,

空气被强烈压缩,严重阻碍飞机的飞行,这种现象称为音障。 【赛题精析】 例 1.一列横波沿一直线在空间传播,在某一时刻直线上相距为 s 的 A,B 两点均处在平衡位置,且 A,B 之间仅有一 个波峰,若经过时间 t ,B 恰好第一次达波峰位置,则该列波可能的波速是哪些?

例 2.夜晚地面辐射降温,使空气层温度随高度增加,导致声速也随高度增加。假设将空气沿水平方向分割为厚度均 为 d 的薄层,声音在最靠近地面一层的传播速度为 v 1 ,则在第 n 层的声速可表述为 v n ?

n v1 。在地面上 A 处的声源,沿

与竖直方向成 30 ? 角的方向发射声波,如图所示。求地面上能最清楚地听到此声音的点到 A 点的距离。

- 158 -

例 3.音叉与频率为 250 Hz 的标准声源同时发音时,产生 1.5 Hz 的拍音。当音叉粘上一小块橡皮泥时,拍频增加了, 将该音叉(未粘泥)放在盛水的细管口,连续调节水面的高度,当空气柱高度相继为 0.34 m 和 1.03 m 时发出共振。试求: (1)声波在空气中的声速; (2)画出空气柱中的驻波图。 (如图所示)

例 4.蝙蝠在洞穴中飞来飞去,它利用超声脉冲导航非常有效。这种超声脉冲是持续 1 ms 或不到 1 ms 的短促发射, 且每秒重复发射几次。假定蝙蝠的超声脉冲发射频率为 39000 Hz。在一次正朝着表面平直的墙壁飞扑的期间,它的运动速 率为空气中声速的

1 40

。试问它自己听到的从墙壁反射回来的脉冲波的频率是多少?

例 5.如图所示,位于 S 城的无线电爱好者与远方的 A,B 两城进行无线电通讯联系,SA 与 SB 之间的夹角为 ? ? 。当 S 与 A 通话时,令 B 接收不到无线电信号;反之,当 S 与 B 通话时,令 A 接收不到无线电信号。为了达到此目的,S 城的无 线电爱好者竖立两根互相平行的竖直天线,两根天线作为发射无线电波的波源,它们的频率和振幅相同,相位差为 ? 。试 问: (1)两天线的最小间距 d 应为多少? (2)两天线连线的中垂线应指向何方? (3)两波源的相位差 ? 多大?

- 159 -

【习题精选】 1. 沿 ? x 方向传播的简谐波在 t ? 0 时刻的波形如图所示,已知该波的振幅为 A ,波速为 u ,波长为 ? 。 (1)试写出该波的波动表达式; (2)试画出该波在 t ?

T 2

时刻的波形图,其中 T 是周期。

2. 如图所示,高频波的振幅 S 与一检波器 D 在地面上相距为 d 。设由 S 发出而直接传到 D 处的波和由 S 发出从 H 高处水 平层反射再到 D 处的波同相。当反射层升高 h 距离时,检波器中没有检测到讯号。设大气吸收忽略不计,试求此高频波的 波长。

3. 如图所示,半径为 45 m 的圆形广场,在广场的中心 O 处及广场圆周上的 A 点处,分别安装相同型号的扩音器。从这两 个扩音器里发出振幅、波长及频率完全相同的声音。已知声音的波长是 10 m,传播中不考虑衰减现象及人的运动对声音传 播的影响。这时有个人沿着广场周围逆时针方向行走。当它在 B 点时听不到声音,这个人经过 B 后继续沿逆时针方向行走。 试问:他离开 B 之后到达 A 之前,有几处他听不到扩音机的声音。

- 160 -

4. 采用干涉法测定声音振动的频率,如图所示,图中 T 是声波,A,B 是两根弯管(看作是空的金属管) ,弯管 B 可以抽动, M 是助听器。观察者移动弯管头 B 的位置,用助听器来调节增强或者减弱声音。为了使声音强度从一个极小值过渡到下一个 极小值,将弯管头 B 移动距离 l ? 5 . 5 cm。在室温下声音速度 v ? 340 m/s,试求声音的振动频率。

5. 一固定的超声源发出频率为 100 kHz 的超声波, 一汽车向超声源迎面驶来, 在超声源处接收到从汽车反射回来的超声波, 其频率为 110 kHz。设空气中声速为 330 m/s,试计算汽车的行驶速度。

6. 飞机在空中以速度 v ? 200 m/s 作水平飞行,发出频率为 f 0 ? 2000 Hz 的声波,静止在地面上的观察者测定飞机发 出的声波的频率,当飞机越过观察者头顶时,观察者在 4 s 内测出的频率由 f 1 ? 2400 Hz 降为 f 2 ? 1600 Hz。已知声波 在空气中的速度为 v ? 300 m/s。试求飞机的飞行高度 h 。

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7. 如图所示,在飞行的子弹的图片上可以看到子弹激励出的声波。请用尺子测定一下子弹的大致速度。空气中的声速为 340 m/s。

8. 如图所示,A,B 两点相距 20 m,为同一介质中的两振源,作同频率( f ? 100 Hz)同方向的振动,它们激起的波为 平面波,振幅均为 5 cm,波速均为 200 m/s,且 A 处为波峰时,B 处为波谷。求 AB 连线上因干涉而静止的各点的位置。

9. 试证明:在一细绳中传播的横波速度 v ?

T

?

,其中 T 为绳中的张力, ? 为单位长度绳子的质量。

- 162 -

10.如图所示,当左边物块作角频率为 ? 的左右简谐运动时,此运动将自左至右逐渐传播,使各物块相继作同频率同振幅 的振动,设 ?
2

??

k m

,求此运动传播的速度。 (每个小物块质量为 m ,两物块间的间隔均为 d )

11.潜水艇在深度为 h 0 ? 500 m 处游弋。 声速在水中随深度增加而降低, 深度每增加 ?h ? 100 m, 声速将减小 ?v ? 4 m/s, 而靠近海面的水中的声速 v 0 ? 1500 m/s(声速随水深变化、与水的温度及其密度变化有关) ,问潜艇上的声纳员能发现离 潜艇多远距离处的舰艇?

12.一波脉冲沿弦以 v ? 1 cm/s 的速度向右行进, t ? 0 时刻的波形如图所示,弦的右端固定,求: (1) t ? 1,2,3,4,5,6,7,8s 时弦上的波形; (2)P 点的位移与时间的关系。

- 163 -

13.将一根长约 100 cm 的均匀弦线,沿水平的 x 轴放置,拉紧并使其两端固定,现对离固定的右端 25 cm 处(取该处为原 点 O,如图所示)的弦上一点施加一个沿垂直于弦线方向(即 y 轴方向)的扰动,其位移随时间的变化规律如图所示。该扰 动将沿弦线传播而形成波(弦的脉冲波) ,已知该波在弦中的传播速度为 2.5 cm/s,且波在传播和反射过程中都没有能量损 失。 (1)试在图中准确地画出自 O 点沿弦向右传播的波在 t ? 2 . 5 s 时的波形图; (2)该波向右传播到固定点时将发生反射;反射波向左传播,反射点总是固定不动的。这可看成是向右传播的波和向 左传播的波相叠加,反射点的位移始终为零,由此观点出发,试在图中准确地画出 t ? 12 . 5 s 时的波形图。 (3)在图中准确地画出 t ? 10 . 5 s 时的波形图。

14.大家都清楚,建筑声学里有一种“低声”回廊现象。在大教堂里沿圆顶底部周围建成一道圈起来的围廊,参观者可以进 入围廊闲谈。很久以前,就有人注意到,如果人们在 A 点(如图所示)对着墙说话,即使声音不大,在 B 点也能听得很清楚。 而如果在 A 点直接对 B 点说话,用同样大的声音在 B 点却什么也听不到,这是为什么? 非定向声波在 A 点发出足够响的脉冲,其持续时间为 t 1 ,问在 B 点接受到的脉冲的持续时间为多少?围廊的直径为 d 。

- 164 -


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