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高等数学-第七版-课件-10-5 三重积分及其在直角坐标系下的计算


第五讲 三重积分 及其在直角坐标系下的计算

三重积分及其在直角坐标系下的计算

一、三重积分的概念
二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算

三重积分及其在直角坐标系下的计算

一、三重积分的概念
二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算

一、 三重积分的概念

(一)引例
(二)三重积分的定义

一、 三重积分的概念

(一)引例
(二)三重积分的定义

非均匀物体的质量
?分割: 把Ω分为 ?v1 , ?v2 ,?, ?vi ,?, ?vn ?取近似: ?M k ? f (? k ,?k , ? k )?vk ?求和:
M ? ? f (? k ,? k , ? k )?vk
k ?1 n n

f ( x, y , z )

?

?v k
(? k ,? k , ? k )

?取极限:M ? lim ? f (? k ,? k , ? k )?vk
? ?0
k ?1

一、 三重积分的概念

(一)引例
(二)三重积分的定义

一、 三重积分的概念

(一)引例
(二)三重积分的定义

?定义 设 f ( x , y, z ) 是有界闭区域?上的有界函数.将闭区域Ω 任意分成 n 个小闭区域?v1 , ?v2 ,?, ?vn ,其中 ?v i 表示第i个小闭 闭区域,也表示它的体积.在每个?v i 上任取一点 (? i ,?i , ? i ), 作乘积 f (? i ,?i , ? i )?vi (i ? 1 , 2 ,?, n),并作和 ? f (? i ,?i , ? i )?vi . 如果 当各小闭区域直径中的最大值 ? ? 0 时这和的极限总存在,
i ?1 n

且与闭区域?的分法及点 (? i ,?i , ? i )的取法无关,那么称此极限
为函数 f ( x , y, z ) 在闭区域Ω上的三重积分, 记作???Ω f ( x, y, z )dv , 即

???

Ω

f ( x , y , z )dv ? lim ? f (? i ,? i , ? i )?v i .
? ?0

n

?注 (1)

dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxd ydz.

i ?1

(2) 三重积分的物理意义: 不均匀物体的质量(f(x,y,z)≥0)

三重积分及其在直角坐标系下的计算

一、三重积分的概念
二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算

三重积分及其在直角坐标系下的计算

一、三重积分的概念
二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算

?线性性质

??? ?? f ( x, y, z ) ? ? g( x, y, z )?dv ? ? ??? f ( x, y, z )dv ? ? ??? g( x, y, z )dv
? ? ?

?可加性

??? f ( x, y, z )dv ? ??? f ( x, y, z )dv ? ??? f ( x, y, z )dv
? ?1 ?2

?物理意义

??? dv ? V
?

V为Ω的体积

?不等式
f ? g ( x, y, z ) ? ?

??? f ( x, y, z)dv ? ??? g ( x, y, z)dv
? ?

??? f ( x, y, z)dv ? ??? f ( x, y, z) dv
? ?

?估值定理
m ? f ? M ( x, y, z ) ? ?
mV ? ??? f ( x, y, z )dv ? MV
?

?中值定理
f ( x, y, z ) 在Ω上连续,则存在(? ,? , ? ) ? ?, 使得

??? f ( x, y, z)dv ? f (? ,? , ? ) V
?

三重积分及其在直角坐标系下的计算

一、三重积分的概念
二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算

三重积分及其在直角坐标系下的计算

一、三重积分的概念
二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算

三、 三重积分在直角坐标系下的计算

(一)先一后二(先单后重)法 (二)先二后一(先重后单)法

三、 三重积分在直角坐标系下的计算

(一)先一后二(先单后重)法 (二)先二后一(先重后单)法

?计算公式 设 f ( x, y, z ) ? 0 , 将其视为物体的密度函数 物体质量:M ? ??? f ( x , y , z )dv
? z1 ( x, y ) ? z ? z 2 ( x, y ) 若? :? ? ( x, y ) ? D
?

z ? z2 ( x, y )

z
z ? z1 ( x, y )

细长柱体微元的质量:

? ? ?

? z ( x, y )
1

z2 ( x, y )

f ( x, y, z )d z ? ? d xd y ?

物体的质量为

x

D

y
d xd y

????

f ( x, y , z ) d v ?
记作

?? D ? z ( x, y )
1
x2 ( y , z )

? ? ?

z2 ( x, y )

类似可得
? D yz

?? D d xd y ? z1 ( x, y )
x1 ( y , z )

z2 ( x, y )

f ( x, y, z )d z ? ? d xd y ?
f ( x, y, z )d z
y2 ( x , z )

??? f ( x, y, z)dv ? ?? dydz ?

f ( x, y, z )dx ? ?? dxdz ?
Dxz

y1 ( x , z )

f ( x, y, z )dy

?计算步骤 (以向xoy平面投影为例)

??? f ( x, y, z)dv ? ?? dxdy ?
? Dxy

z2 ( x , y )

z1 ( x , y )

f ( x, y, z )dx

(1) 画出区域Ω的草图(或Ω的一部分). (2) 求区域Ω在xoy面的投影Dxy
.

z

z ? z2 ( x, y) z ? z1 ( x, y)

(3) 定出z的上限和下限.
在Dxy内作平行于z 轴的直线, o 穿入区域时,Ω的边界曲面F(x,y,z)=0确 定的z=z1(x,y)为z的下限. x 穿出区域时,Ω的边界曲面G(x,y,z)=0确 定的z=z2(x,y)为z的上限. (4) 将二重积分化为累次积分. (5) 计算累次积分.

y

?例1 计算三重积分 ??? xd xd yd z ,
?

z

1
1 2

其中? 为三个坐标面及平面

x ? 2 y ? z ? 1所围成的闭区域 .
?例2 计算三重积分 ??? y cos( x ? z )d xd y d z,
?

y

其中? 为抛物面 y ? x 及平面

x1
z

? y ? 0, z ? 0, x ? z ? 所围成的闭区域 . 2

?例3 计算三重积分

???

?

xyzd xd y d z,
o

其中? 为曲面 z ? xy 及平面 z ? 0 x ? 0, y ? 0, x ? 1, y ? 1 所围成的闭区域 .

y

x

三、 三重积分在直角坐标系下的计算

(一)先一后二(先单后重)法 (二)先二后一(先重后单)法

三、 三重积分在直角坐标系下的计算

(一)先一后二(先单后重)法 (二)先二后一(先重后单)法

?计算公式 设

z b z a
x
??
f ( x, y , z ) d x d y ? d z ? ?? D a
Z

以 Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为

Dz

?

y

该物体的质量为
b

记作

? a d z ??DZ
d c

b

f ( x, y, z )d xd y
dy ?? f ( x, y, z )dxdz ? ?e dx ?? f ( x,y,z)dyd z
Dxz
D yz f

类似可得

??? f ( x, y, z)dv ? ?
?

? ? d z ??
a

b

DZ

f ( x, y, z )d xd y

?适用条件

f(x,y,z)是z的函数(与x和y无关)
Dz的面积较易求出 ?例4 计算三重积分

z D z c z
a x
by

?例5 计算三重积分

???

z

?

z 2 d xd y d z,
y x

其中? 为 x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 与 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2Rz的公共部分

? ? d z ??
a

b

DZ

f ( x, y, z )d xd y

?适用条件

f(x,y,z)是z的函数(与x和y无关)
Dz的面积较易求出 ?例4 计算三重积分

z D z c z
a x
by

?例5 计算三重积分

???

z

?

z 2 d xd y d z,
y x

其中? 为 x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 与 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2Rz的公共部分.


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