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二项式定理典型例题讲解学生版


二项式定理典型例题讲解
1.二项式定理:
0 n 1 n ?1 r n?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N ? ) ,

2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做 (a ? b) n 的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数 C n (r ? 0,1, 2, ???, n) . ③项数:共 (r ? 1) 项,是关于 a 与 b 的齐次多项式
r n?r r r n?r r a b 表示。 ④通项:展开式中的第 r ? 1 项 Cn a b 叫做二项式展开式的通项。用 Tr ?1 ? Cn

r

3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有 (n ? 1) 项。 ②顺序:注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。 (a ? b) n 与 (b ? a ) n 是不同的。 ③指数: a 的指数从 n 逐项减到 0 ,是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到 n ,是升幂排列。各项的次数 和等于 n .
0 1 2 r n ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是 Cn , Cn , Cn , ???, Cn , ???, Cn . 项的系数是

。 a 与 b 的系数(包括二项式系数) 4.常用的结论: 令 a ? 1, b ? x, 令 a ? 1, b ? ? x, 5.性质: ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即 Cn ? Cn , · · ·Cn ? Cn
0 n
k k ?1

0 1 2 2 r r n n (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? Cn x (n ? N ? )
0 1 2 2 r r n n (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? (?1)n Cn x (n ? N ? )

②二项式系数和:令 a ? b ? 1 ,则二项式系数的和为 Cn 变形式 Cn
1

0

1 2 r n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n ,

2 r n ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n ? 1 。
0 1 2 3 n n n

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令 a ? 1, b ? ?1 ,则 Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1) Cn ? (1 ? 1) ? 0 , 从而得到: Cn
0

1 2 4 2r 1 3 2 r ?1 ? Cn ? Cn ??? ?Cn ? ??? ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ??? ? ? 2n ? 2n ?1 2

1

④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
0 n 0 1 n ?1 2 n?2 2 n 0 n ( a ? x ) n ? Cn a x ? Cn a x ? Cn a x ? ? ? Cn a x ? a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? ? ? an x n 0 0 n 1 2 2 n?2 n n 0 ( x ? a ) n ? Cn a x ? Cn ax n ?1 ? Cn a x ? ? ? Cn a x ? an x n ? ? ? a2 x 2 ? a1 x1 ? a0

令x ? 1, 则a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ? (a ? 1) n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① 令x ? ?1, 则a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (a ? 1) n ? ? ? ? ? ? ? ?② (a ? 1) n ? (a ? 1) n ① ? ②得, a0 ? a2 ? a4 ? ? an ? (奇数项的系数和) 2 (a ? 1) n ? (a ? 1) n ① ? ②得, a1 ? a3 ? a5 ? ? an ? (偶数项的系数和) 2
⑤二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数 n 是偶数时,则中间一项的二项式系数 C 取得最大值。
n ?1 n ?1 n 2 n

如果二项式的幂指数 n 是奇数时,则中间两项的二项式系数 Cn 2 , Cn 2 同时取 得最大值。 ⑥系数的最大项:求 (a ? bx) n 展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
? Ar ?1 ? Ar 为 A1 , A2 , ???, An ?1 ,设第 r ? 1 项系数最大,应有 ? ,从而解出 r 来。 ? Ar ?1 ? Ar ? 2

专题一 题型一:二项式定理的逆用;
1 2 3 n ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ? ? Cn ? 6n ?1 ? 例: Cn
1 2 3 n ? 3Cn ? 9Cn ? ? ? 3n ?1 Cn ? 练: Cn

.
.

题型二:利用通项公式求 x n 的系数; 例:在二项式 ( 4
1 3 2 n ? x ) 的展开式中倒数第 3 项的系数为 45 ,求含有 x 3 的项的系数? x

练:求 ( x 2 ?

1 9 ) 展开式中 x 9 的系数? 2x

题型三:利用通项公式求常数项; 例:求二项式 ( x 2 ?
1 2 x )10 的展开式中的常数项?

2

练:求二项式 (2 x ?

1 6 ) 的展开式中的常数项? 2x

1 练:若 ( x 2 ? )n 的二项展开式中第 5 项为常数项,则 n ? ____. x

题型四:利用通项公式,再讨论而确定有理数项; 例:求二项式 ( x ? 3 x )9 展开式中的有理项?

题型五:奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和; 例:若 ( x 2 ?
1
3

x

2

) n 展开式中偶数项系数和为 ?256 ,求 n .

练:若 ( 3

1 5 1 n ? ) 的展开式中,所有的奇数项的系数和为 1024 ,求它的中间项。 x x2

题型六:最大系数,最大项; 1 例:已知 ( ? 2 x) n ,若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项 2 式系数最大项的系数是多少?

练:在 (a ? b) 2 n 的展开式中,二项式系数最大的项是多少?

x 1 练:在 ( ? 3 ) n 的展开式中,只有第 5 项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少? 2 x

练:写出在 (a ? b)7 的展开式中,系数最大的项?系数最小的项?
1 练:若展开式前三项的二项式系数和等于 79 ,求 ( ? 2 x) n 的展开式中系数最大的项? 2

3

练:在 (1 ? 2 x)10 的展开式中系数最大的项是多少?

题型七:含有三项变两项; 例:求当 ( x 2 ? 3x ? 2)5 的展开式中 x 的一次项的系数?

练:求式子 ( x ?

1 ? 2)3 的常数项? x

题型八:两个二项式相乘; 例: 求(1 ? 2 x)3 (1 ? x) 4 展开式中x 2的系数.

练: 求(1 ? 3 x )6 (1 ?

4

1 10 ) 展开式中的常数项. x

1 n ) 的展开式中没有常数项, n ? N *且2 ? n ? 8, 则n ? ______ . x3 题型九:奇数项的系数和与偶数项的系数和;

练:已知(1 ? x ? x 2 )( x ?

例: 在( x ? 2)2006的二项展开式中, 含x的奇次幂的项之和为S ,当x ? 2时, S ? _____ . 题型十:赋值法;
1 例:设二项式 (3 3 x ? ) n 的展开式的各项系数的和为 p ,所有二项式系数的和为 s ,若 x

p ? s ? 272 ,则 n 等于多少?
? 1 ? ? 练:若 ? ?3 x ? ? 的展开式中各项系数之和为 64 ,则展开式的常数项为多少? x? ?
n

练: 若(1 ? 2 x)2009 ? a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? a3 x3 ? ? ? a2009 x 2009 ( x ? R), 则

a a1 a2 ? 2 ? ??? ? 2009 的值为 2 2 22009

练: 若( x ? 2)5 ? a5 x5 ? a4 x 4 ? a3 x3 ? a2 x 2 ? a1 x1 ? a0 , 则a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ____ . 题型十一:整除性; 例:证明: 32 n ? 2 ? 8n ? 9(n ? N * ) 能被 64 整除

4

练习: 1、(x-1)11 展开式中 x 的偶次项系数之和是
1 2 2 n n 2、 C0 n ? 3Cn ? 3 Cn ? ? ? 3 Cn ?

2、 项

3、 ( 3 5 ?

1 20 ) 的展开式中的有理项是展开式的第 5

王新敞
奎屯

新疆

4、(2x-1)5 展开式中各项系数绝对值之和是 5、求(1+x+x2)(1-x)10 展开式中 x4 的系数
王新敞
奎屯 新疆

6、求(1+x)+(1+x)2+?+(1+x)10 展开式中 x3 的系数

王新敞
奎屯

新疆

7、若 f ( x ) ? (1 ? x ) m ? (1 ? x ) n (m ? n ? N) 展开式中,x 的系数为 21,问 m、n 为何值时,x2 的系数最小?

8、自然数 n 为偶数时,求证:
2 3 4 n ?1 n ?1 1 ? 2C1 ? Cn n ? Cn ? 2Cn ? Cn ? ? ? 2Cn n ? 3? 2

9、求 80 11 被 9 除的余数

王新敞
奎屯

新疆

10、在(x2+3x+2)5 的展开式中,求 x 的系数

王新敞
奎屯

新疆

11、求(2x+1)12 展开式中系数最大的项

王新敞
奎屯

新疆

5


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