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【高中数学必修五】1.2解三角形应用举例(3课时)


1.2

解三角形应用举例
第一课时

正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 的 应 用

?

距离问题 高度问题 角度问题 有关三角形的计算问题

例1、设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。测量者 在A的同测,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离55

cm, ∠BAC=51o, ∠ACB=75o,求A、B两点间的距离(精确到0.1m)

分析:已知两角一边,可以用正弦定理解三角形

AB AC = sin C sin B

例1、设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。测量者 在A的同测,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离55cm, ∠BAC=51o, ∠ACB=75o,求A、B两点间的距离(精确到0.1m)

解:
AB AC ? sin ?ACB sin ?ABC
AC sin ?ACB 55sin ?ACB AB ? ? sin ?ABC sin ?ABC 55sin 75? 55sin 75? ? ? ? 65.7( m ) ? ? ? ? sin(180 ? 51 ? 75 ) sin 54

答:A,B两点间的距离为65.7米。

例2、A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量两点 间的距离的方法。

分析:用例1的方法,可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离,再测出∠BCA的大小, 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。

例2、A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量两点 间的距离的方法。
解:测量者可以在河岸边选定两点 C、D,测得CD=a,并且在C、D两点

分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β,
∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC 和⊿BDC中,应用正弦定理得 a sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) AC ? ? ? sin ? ?180 ? ( ? ? ? ? ? )? ? sin( ? ? ? ? ? )
a sin ? a sin ? BC ? ? ? ? ? sin ?180 ? (? ? ? ? ? )? sin(? ? ? ? ? )

计算出AC和BC后,再在⊿ABC中,应用余弦定理计算出AB 两点间的距离
AB ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?

例1、设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。测量者 在A的同测,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离55cm, ∠BAC=51o, ∠ACB=75o,求A、B两点间的距离(精确到0.1m) 例2、A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量两点 间的距离的方法。

点评
测量不可到达的两点间的距离时: 若是其中一点可以到达,利用一个三角形即可解决, 一般用正弦定理; 若是两点均不可到达,则需要用两个三角形才能解决, 一般正、余弦定理都要用到.

例3.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m).

(1)什么是最大仰角?

(2)例题中涉及一个怎样的三角
形? 在△ABC中已知什么,要求什么?

最大角度

已知△ABC中AB=1.95m,AC=1.40m,

C

夹角∠CAB=66°20′,求BC.

A B

例3.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m). 解:由余弦定理,得
BC ? AB ? AC ? 2 ? AB ? AC ? cos A
2 2 2

最大角度

? 1.952 ? 1.402 ? 2 ? 1.95 ? 1.40 ? cos 66? 20? ? 3.571

? BC ? 1.89(m)
答:顶杆BC约长1.89m。 A B C

练习1:如图7所示,隔河可以看见目标A,B,但不能到达, 在岸边选择相距 km的C,D两点,并测得∠DCB= 45°,∠BDC=75°,∠ADC=30°,∠ACD=120° (A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离.
解:在△BCD中, 因为∠DCB=45° ,∠BDC=75° , 所以∠CBD=60° . 3sin45° 又CD= 3,由正弦定理得BD= sin60° = 2 在△ACD中,同理可求得AD=3. 在△ABD中, AB= ? 2?2+32-6 2cos?75° -30° ?= 5.

练习2.一货轮在海上由西向东航行,在A处望见灯塔C在货轮的东北 方向,半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向.若货 轮的速度为30 n mile/h,当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的 西北方向时,求A,D两处的距离.
[解] 如图8所示,在△ABC中,∠A=45° ,∠ABC= 90° +30° =120° ,∴∠ACB=180° -45° -120° =15° ,AB= 30×0.5=15(n AB , sin∠ACB AB· sin∠ABC 15×sin120° 3 2+ 6 ∴AC= = ×15(n sin15° = 2 sin∠ACB mile). 在△ACD中,∵∠A=∠D=45° , ∴△ACD是等腰直角三角形, ∴AD= 2AC=15(3+ 3)(n mile). ∴A,D两处的距离是15(3+ 3) n mile. mile).由正弦定理,得 AC sin∠ABC =

课堂小结
实际问题 抽象概括 示意图 数学模型 推 演 理 算 实际问题的解 还原说明 数学模型的解

作业:阅读教材12页,理解并掌握基准线定义

1.2

解三角形应用举例
第二课时

正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 的 应 用

?

距离问题 高度问题 角度问题 有关三角形的计算问题

例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物 的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析:由于建筑物的底部 B是不可到达的,所以不 能直接测量出建筑物的高。 由解直角三角形的知识, 只要能测出一点C到建筑 物的顶部A的距离CA,并 测出由点C观察A的仰角, 就可以计算出建筑物的高。 所以应该设法借助解三角 形的知识测出CA的长。
D
H
? C

A

?

G

E B

例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物 的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法
解:选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α,β,CD=a,测角 仪器的高是h.那么,在⊿ACD 中,根据正弦定理可得

a sin ? AC ? sin(? ? ? )
AB ? AE ? h ? AC sin ? ? h

A

a sin ? sin ? ? ?h sin ?? ? ? ?

D
H

? C

?

G

E B

例4 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角α=54°40′,在塔底 C处测得A处的俯角β=50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m, 求出山高CD(精确到1m)

分析:根据已知条件,应该设 法计算出AB或AC的长

例4 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′,在塔底C处测得A 处的俯角β=50°1′。已知铁塔BC部分 的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m)
解:在⊿ABC中,∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理,

BC AB ? sin(? ? ? ) sin( 90? ? ? ) BC sin(90? ? ? ) BC cos ? 所以,AB ? ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

解Rt?ABD, 得

BD ? AB sin ?BAD ?

BC cos ? sin ? sin(? ? ? )

27.3 cos 50?1' sin 54? 40' ? sin( 54? 40' ? 50?1' ) ? 177 (m)

所以,CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米。

例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上,行驶5km后到 达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角8°,求此山 的高度CD.

分析:要测出高CD,只要 测出高所在的直角三角形 的另一条直角边或斜边的 长。根据已知条件,可以 计算出BC的长。

例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上,行驶5km后到 达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角8°,求此山 的高度CD.

解:在⊿ABC中, ∠A=15°,
∠C=25°-15°=10°.

根据正弦定理,

BC AB ? sin A sin C

AB sin A 5 sin 15? BC ? ? ? 7.4524(km). ? sin C sin 10

CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m) 答:山的高度约为1047米。

例6 一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5n mile 后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该 沿怎样的方向航行,需要航行多少距离(角度精确到0.1°,距 离精确到0.01n mile)?
解:在⊿ABC中,∠ABC=180°-75°+32°=137°,根据余弦定理,

AC ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ?ABC ? 67.5 ? 54.0 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 cos137 ? 113.15
2 2 ?

所以,∠CAB=19.0°, 75°-∠CAB=56.0°.

根据正弦定理, BC AC ? sin ?CAB sin ?ABC BC sin ?ABC sin ?CAB ? AC 54.0 sin 137 ? ? 113.15 ? 0.3255,

答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行, 需要航行113.15n mile.

练习.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处, 两船相距a(n mile),乙船向正北方向行驶.若甲船的速 度是乙船速度的√3 倍,问甲船应取什么方向前进才能尽 快追上乙船?相遇时乙船已行驶多少海里?
[解] 如图12,设两船在C处相遇,并设 ∠CAB=θ,乙船行驶距离为x n mile,则AC= 3x,由正弦定理得 BC· sin120° 1 sinθ= = 2 ,∴θ=30° ,∠ACB= AC 180° -(θ+∠ABC)=30° . AB· sinθ 从而BC= =a(n mile). sin∠ACB 答:甲船应取北偏东30° 方向前进才能尽快 追上乙船,两船相遇时乙船已行驶了a n mile.

课堂小结
1.测量一个底部不能到达的建筑物的高度 ? 解决这类问题的思路是先分别在某水平面和垂直面内构造 一个直角三角形,利用正弦定理求出水平三角形的一条直 角边长,然后在垂直面内的直角三角形中解出另一直角边 (建筑物高)的长. 2.角的测量 ? 要测量角的大小,可利用测角仪及测距离的钢卷尺等工具 结合正弦定理及余弦定理解三角形,实际解决不能直接测 得的角的大小的问题. ? 在解决测量问题的有关题目时,要搞清方位角、俯角与仰 角的含义,合理的构造三角形求解,即把实际问题数学 化.

1.2

解三角形应用举例
第三课时

正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 的 应 用

?

距离问题 高度问题 角度问题 有关三角形的计算问题

31 ? [例1] 在△ABC中,BC=5,AC=4,cos∠CAD= 且AD= 32 BD,求△ABC的面积.
C

[解]

设CD=x,则AD=BD=5-x,

D

在△CAD中,由余弦定理可知: ?5-x?2+42-x2 31 cos∠CAD= =32,解得x=1. 2×4×?5-x? 在△CAD中,由正弦定理可知: AD CD = , sinC sin∠CAD
AD ∴sinC=CD· 1-cos2∠CAD=4 31 3 1-?32?2=8 7.

A

B

1 1 3 15 ∴S△CAB= AC· BC· sinC= ×4×5× 7= 7. 2 2 8 4 15 答:三角形ABC的面积为 4 7.

迁移变式1

在△ABC中,A=60° ,b=1,S△ABC= 3 ,则

a 的值为________. sinA

2 39 答案: 3

[例2] 在△ABC中,若c=4,b=7,BC边上的中线AD 7 的长为2,求边长a.

在△ACD中, 7 72+x2-? ?2 2 有cosC= , 2×7×x

[解] 如图2所示,∵AD是BC边上的中线, ∴可设CD=DB=x, 则CB=a=2x. 7 ∵c=4,b=7,AD= , 2

72+?2x?2-42 在△ABC中,有cosC= . 2×7×2x 7 72+x2-?2?2 72+?2x?2-42 ∴ = . 2×7×x 2×7×2x 9 解得x= . 2 ∴a=2x=9.

? 迁移变式2 ? 如图,在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=5,AC =7,DC=3,求AB的长.
解:在△ACD中,由余弦定理,得cosC= AC2+CD2-AD2 72+32-52 11 = = . 2AC· CD 2×7×3 14 ∵C为三角形的内角,∴C∈(0,π), ∴sinC= 1-cos C=
2

11 2 5 3 1-? ? = . 14 14

AB AC 在△ABC中,由正弦定理,得 = , sinC sinB 5 3 7× 14 AC· sinC 5 6 ∴AB= = = . sinB sin45° 2

[例3] 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为 a、b、c. cosB c-bcosA 求证: = . cosC b-ccosA

“边化角”
[证法一] 由正弦定理,得 c-bcosA 2RsinC-2RsinBcosA = b-ccosA 2RsinB-2RsinCcosA sin?A+B?-sinBcosA = sin?A+C?-sinCcosA sinAcosB cosB =sinAcosC=cosC .

[例3] 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为 a、b、c. cosB c-bcosA 求证: = . cosC b-ccosA
[证法二] 由余弦定理,得 a2+c2-b2 c-bcosA 2c = = b-ccosA b2+c2-a2 b2+a2-c2 b- 2b 2b a2+c2-b2 2ac cosB = 2 = . 2 2 cos C b +a -c 2ab b2+c2-a2 c- 2c

“角化边”

迁移变式3

在△ABC中,角A、B、C的对边分别

a2-b2 sin?A-B? 为a、b、c,证明 c2 = sinC .

提示:可以运用“角化边”,从右向左证明.

[例4] (2009· 天津高考)在△ABC中,BC= 5 ,AC =3,sinC=2sinA. (1)求AB的值; π (2)求sin(2A-4)的值.

?1?2

5

2 ?2? 10

解决三角形中计算问题的关键是转化为 求三角形中的边或角,再分析所解三角形中 已知哪些元素,还需要求出哪些元素.通常 情况下,求线段的长转化为求三角形的边长, 求角的大小转化为求三角形中角的大小,即 放到“形中求”.


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