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2013版高二数学(人教B版)选修2-2综合素质测试 Word版含答案]


选修 2-2 综合素质测试
时间 120 分钟,满分 150 分.

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x),g(x)满足 f′(x)=g′(x),则 f(x) 与 g(x)满足( )

A.f(x)=g(x) B.f(x)-g(x)为常数函数 C.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)为常数函数 [答案] B [解析] 由 f′(x)=g′(x),即 f′(x)-g′(x)=(f′(x)-g′(x))=0,∴f(x)-g(x)为常数 函数.故选 B. 2.函数 y=(sinx2)3 的导数是( A.y′=3xsinx2· sin2x2 B.y′=3(sinx2)2 C.y′=3(sinx2)2cosx2 D.y′=6sinx2cosx2 [答案] A [解析] y′=[(sinx2)3]′=3(sinx2)2· (sinx2)′=3(sinx2)2· cosx2· 2x=3· 2sinx2· cosx2· x· sinx2= 3x· sinx2· sin2x2.故选 A. 3.下列命题中正确的是( ) )

A.复数 a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d B.任何复数都不能比较大小 C.若 z1 = z2 ,则 z1=z2 D.若|z1|=|z2|,则 z1=z2 或 z1= z2 [答案] C [解析] A 选项未注明 a,b,c,d∈R.实数是复数,实数能比较大小.z1 与 z2 的模相等, 符合条件的 z1,z2 有无数多个,如单位圆上的点对应的复数的模都是 1.故选 C. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4.数列 1, , , , , , , , , ,…,的前 100 项的和等于( 2 2 3 3 3 4 4 4 4 9 A.13 14 11 B.13 14 )

1 C.14 14 [答案] A [ 解析 ]

3 D.14 14

n(n+1) 1 从数列排列规律看,项 有 n 个,故 1 + 2+ … +n = ≤100.得 n(n + n 2

n(n+1) 1)≤200,所以 n≤13,当 n=13 时, =13×7=91(个),故前 91 项的和为 13,从第 2 1 1 9 92 项开始到第 100 项全是 ,共 9 个 ,故前 100 项的和为 13 .故选 A. 14 14 14 5.对一切实数 x,不等式 x2+a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,-2] B.[-2,2] C.[-2,+∞) D.[0,+∞) [答案] C 1? 1 [解析] 用分离参数法可得 a≥-? ?|x|+|x|?(x≠0),则|x|+|x|≥2,∴a≥-2.当 x=0 时, 显然成立. 6.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( 9 A. 4 C.e2 [答案] D [解析] y′=(ex)′=ex,曲线在点(2,e2)处的切线斜率为 e2,因此切线方程为 y-e2= 1 e2 e2(x-2),则切线与坐标轴交点为 A(1,0),B(0,-e2),所以:S△AOB= ×1×e2= . 2 2 7.设 f(x)在 x0 可导,则lim →
x 0

)

)

B.2e2 e2 D. 2

f(x0+x)-f(x0-3x) 等于( x

)

A.4f′(x0) C.3f′(x0) [答案] A [解析] lim →
x 0

B.f′(x0) D.2f′(x0)

f(x0+x)-f(x0-3x) x

=4lim →
x 0

f(x0+x)-f(x0-3x) =4′f(x0). 4x )

8.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a 等于( A.2 B.3

C.4 [答案] D

D.5

[解析] f′(x)=3x2+2ax+3, ∵f(x)在 x=-3 时取得极值, ∴x=-3 是方程 3x2+2ax+3=0 的根, ∴a=5.故选 D. 1 1 x+ ?2+?y+ ?2 的最小值是( 9.若 xy 是正实数,则? ? 2y? ? 2x? A.3 C.4 [答案] C 1 1 x 1 y 1 x+ ?2+?y+ ?2=x2+ + 2+y2+ + 2 [解析] 因为 xy 是正实数,所以? ? 2y? ? 2x? y 4y x 4x 1 ? ?x y? ? 2 1 ? 2 2 =? ?x +4x2?+?y+x?+?y +4y2?≥1+2+1=4,当且仅当 x=y=± 2 时,等号成立.故 选 C. 2 10.复数 z 满足方程?z+1+i?=4,那么复数 z 在复平面内对应的点 P 组成的图形为 7 B. 2 9 D. 2 )

?

?

(

) A.以(1,-1)为圆心,以 4 为半径的圆 B.以(1,-1)为圆心,以 2 为半径的圆 C.以(-1,1)为圆心,以 4 为半径的圆 D.以(-1,1)为圆心,以 2 为半径的圆 [答案] C [解析] 原方程可化为|z+(1-i)|=4,即|z-(-1+i)|=4,表示以(-1,1)为圆心,以 4

为半径的圆.故选 C. 11.已知 f(x)=x3+bx2+cx+d 在区间[-1,2]上是减函数,那么 b+c( 15 A.有最大值 2 15 C.有最小值 2 [答案] B [解析] 由题意 f′(x)=3x2+2bx+c 在[-1,2]上,f′(x)≤0 恒成立.
?f′(-1)≤0 ? 所以? , ?f′(2)≤0 ?

)

15 B.有最大值- 2 15 D.有最小值- 2

? ?2b-c-3≥0 即? , ?4b+c+12≤0 ?

令 b+c=z,b=-c+z,如图

3? A? ?-6,-2?是使得 z 最大的点, 3 15 最大值为 b+c=-6- =- .故应选 B. 2 2 12.已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴相切于点(1,0),则 f(x)的( 4 A.极大值为 ,极小值为 0 27 4 B.极大值为 0,极小值为- 27 5 C.极小值为- ,极大值为 0 27 5 D.极小值为 0,极大值为 27 [答案] A
?f′(1)=0, ? [解析] 由题设条件知? ?f(1)=0. ? ? ?3-2p-q=0, 所以? ? ?1-p-q=0.

)

1? 所以 p=2,q=-1.所以 f(x)=x3-2x2+x,进而可求得 f(1)是极小值,f? ?3?是极大值.故 选 A. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在题中横线上) 13.设 [答案] x 3 y = + (x,y∈R),则 x=____,y=____. 1+i 2-i 1-i 3 5 9 - 5 x(1-i) 3(2+i) y(1+i) = + , (1+i)(1-i) (2-i)(2+i) (1-i)(1+i)

[解析] 由已知得

x x 6 y 3 y? + i. 整理得 - i= + +? 2 2 5 2 ?5 2?

?2=5+2, 所以? x 3 y ?-2=5+2.
14.定积分 [答案] 1 2

x

6

y

?x=5, 解得? 9 ?y=-5.

3

0sintcostdt=________.

3 1 15.设各项均为正数的数列{an}满足 a1=2,an=(an+1)2an+2(n∈N*),若 a2= ,则猜想 4

a2008 的值为______. [答案] 2(-2)2007 3 3 - - [解析] 因为 a1=2, a2=2 2, 故 a3=a1(a2)- =24, a4=a2(a3)- =2 8.因此有 a1=2(- 2 2 2)0,a2=2(-2)1,a3=2(-2)2,a4=2(-2)3,于是可猜想 a2008=2(-2)2007. 16.(2009· 陕西理,16)设曲线 y=xn 1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标


为 xn,令 an=lgxn,则 a1+a2+…+a99 的值为________. [答案] -2 [解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质. ∵k=y′|x=1=n+1, ∴切线 l:y-1=(n+1)(x-1), n n 令 y=0,xn= ,∴an=lg , n+1 n+1 1 2 99 ∴原式=lg +lg +…+lg 2 3 100 1 2 99 1 =lg × ×…× =lg =-2. 2 3 100 100 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2x-1 17.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)= x .求证:对于任意不小于 3 的正整数 n 都有 2 +1 f(n)> n 成立. n+1

2n-1 n n 2 1 * [解析] 要证 f(n)> (n∈N 且 n≥3),只需证 n > ,即证 1- n >1- , n+1 2 +1 n+1 2 +1 n+ 1 也就是说明 2n-1>2n. 下面用数学归纳法来证明 2n-1>2n(n∈N*,且 n≥3).

①当 n=3 时,左边=7,右边=6,左边>右边,不等式成立. ②假设当 n=k(k∈N*,且 k≥3)时不等式成立,即 2k-1>2k,则当 n=k+1 时,2k 1-1


=2· 2k-1=2(2k-1)+1>2· 2k+1=2(k+1)+2k-1>2(k+1), 故当 n=k+1 时, 不等式也成立. 综上所述,当 n∈N*且 n≥3 时,2n-1>2n 成立. 所以 f(n)> n (n∈N*且 n≥3)成立. n+1


1 2 n 1 [说明] 对于 2n-1>2n,还可以用二项式定理证明.由 2n=C0 n+Cn+Cn+…+Cn ,有 1 n 1 2 3 n 2 n n 2 3 n 2 n 2n-C0 n=Cn+Cn +(Cn+Cn+…+Cn +Cn),即 2 -1=2n+(Cn+Cn+…+Cn +Cn),当
- - -

3 n 2 n n n≥3 时,C2 n+Cn+…+Cn +Cn>0.所以 2 -1>2n.


18.(本题满分 12 分)一艘渔艇停泊在距岸 9km 处,今需派人送信给距渔艇 3 34km 处 的海岸渔站,如果送信人步行每小时 5km,船速每小时 4km,问应在何处登岸再步行可以 使抵达渔站的时间最省? [解析] 如图,设 BC 为海岸线,A 为渔艇停泊处,C 为渔站,D 为海岸上一点,

∵AB=9,AC=3 34, BC= AC2-AB2=15, 设 CD=x,由 A 到 C 所需时间为 T, 1 1 则 T= x+ (15-x)2+81(0≤x≤15), 5 4 15-x 1 T′= - . 5 4 (15-x)2-81 令 T′=0,解得 x=3. 3 34 x<3 时,T′<0,x>3 时,T′>0,因此在 x=3 处取得极小值.又 T(0)= ,T(15)= 4 21 87 ,T(3)= ,比较可知 T(3)最小. 4 20 答:在距渔站 3km 登岸可使抵达渔站的时间最省. 19.(本题满分 12 分)求同时满足下列条件的所有复数 z: (1)z+ 10 10 是实数,且 1<z+ ≤6. z z

(2)z 的实部和虚部都是整数. [解析] 设 z=a+bi(a,b∈R,且 a2+b2≠0).

10(a-bi) 10 10 则 z+ =a+bi+ =a+bi+ 2 z a+bi a +b2 10 10 =a?1+a2+b2?+b?1-a2+b2?i.

?

?

?

?

10 10 由(1)知 z+ 是实数,且 1<z+ ≤6, z z 10 ∴b?1-a2+b2?=0,即 b=0 或 a2+b2=10.

?

?

10 又 1<a?1+a2+b2?≤6,(*)

?

?

10 当 b=0 时,(*)化为 1<a+ ≤6 无解. a 当 a2+b2=10 时,(*)化为 1<2a≤6, 1 ∴ <a≤3. 2 由题中条件(2)知 a=1,2,3. ∴相应的 b=± 3,± 6(舍),± 1. 因此,复数 z 为:1± 3i 或 3± i. 20.(本题满分 12 分)(2010· 全国Ⅰ理,20)已知函数 f(x)=(x+1)lnx-x+1. (1)若 xf′(x)≤x2+ax+1,求 a 的取值范围; (2)证明:(x-1)f(x)≥0. [分析] 本小题主要考查函数、 导数、 不等式证明等知识, 通过运用导数知识解决函数、 不等式问题, 考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力, 同时也考查了函 数与方程思想、化归与转化思想.(1)转化为求函数的最值问题求解.(2)利用完全归纳分析 因式的符号,再判断乘积即可. x+1 1 [解析] (1)f′(x)= +lnx-1=lnx+ ,xf′(x)=xlnx+1, x x 则题设 xf′(x)≤x2+ax+1 等价于 lnx-x≤a, 1 令 g(x)=lnx-x,则 g′(x)= -1, x 所以 0<x<1 时,g′(x)>0,x>1 时,g′(x)<0,可知 x=1 是 g(x)的最大值点,g(x)max= g(1)=-1,所以 a 的取值范围为[-1,+∞). (2)由(1)知,g(x)≤g(1)=-1,即 lnx-x+1≤0 当 0<x<1 时,f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+(lnx-x+1)≤0; 1 ? x≥1 时,f(x)=lnx+(xlnx-x+1)=lnx+x? ?lnx+x-1? 1 1 ? =lnx-x? ?lnx-x+1?≥0,所以(x-1)f(x)≥0.

21.(本题满分 12 分)已知数列{an}满足 a1=a,an+1= (1)求 a2,a3,a4; (2)猜测数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明. [解析] (1)由 an+1=

1 (n∈N*). 2-an

2-a 1 1 1 1 1 ,可得 a2= = ,a = = = ,a = 1 2-an 2-a1 2-a 3 2-a2 3-2a 4 2- 2-a

1 = 2-a3

3-2a 1 = . 2-a 4-3a 2- 3-2a

(n-1)-(n-2)a (2)猜测 an= (n∈N*). n-(n-1)a 下面用数学归纳法证明: (1-1)-(1-2)a ①当 n=1 时,左边=a1=a,右边= =a,猜测成立. 1-(1-1)a ②假设当 n=k(k∈N*)时猜测成立, (k-1)-(k-2)a 即 ak= . k-(k-1)a 1 则当 n=k+1 时,ak+1= = 2-ak 1 (k-1)-(k-2)a 2- k-(k-1)a

= =

k(k-1)a 2[k-(k-1)a]-[(k-1)-(k-2)a] k-(k-1)a . (k+1)-ka

故当 n=k+1 时,猜测也成立. 由①,②可知,对任意 n∈N*都有 (n-1)-(n-2)a an= 成立. n-(n-1)a 22.(本题满分 14 分)(2009· 北京文,18)设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点. [分析] 考查利用导数研究函数的单调性,极值点的性质,以及分类讨论思想. [解析] (1)f′(x)=3x2-3a. 因为曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,
? ? ?f′(2)=0, ?3(4-a)=0, 所以? 即? 解得 a=4,b=24. ?f(2)=8. ? ? ?8-6a+b=8.

(2)f′(x)=3(x2-a)(a≠0).

当 a<0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数 f(x)没有极值点. 当 a>0 时,由 f′(x)=0 得 x=± a. 当 x∈(-∞,- a)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(- a, a)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈( a,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时 x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f(x)的极小值点.


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