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基本不等式


3.4.1 基本不等式(1)
【教学目标】
1 学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号 “≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;

2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式; 3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式,并从不

同角度探索不等式 ab ? 过程; 【教学难点】 基本不等式 ab ? 【教学过程】 1.课题导入 基本不等式 ab ?
a?b 的几何背景: 2 a?b 等号成立条件 2
a?b 的证明 2

探究:如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色 的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。 2 合作探究 (1)问题 1:你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? (教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。
系) 提问 2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形.设直角三 角形的长为 a 、 b ,那么正方形的边长为多少?面积为多少呢? 生答: a 2 ? b 2 , a ? b
2 2

提问 3:那 4 个直角三角形的面积和呢? 生答: 2ab 提问 4:好,根据观察 4 个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等 式, a ? b ? 2ab 。什么时候这两部分面积相等呢?
2 2

生答:当直角三角形变成等腰直角三角形,即 a ? b 时,正方形 EFGH 变成一个点,这时有

a 2 ? b 2 ? 2ab
2 2 结论: (板书)一般地,对于任意实数 a 、 b ,我们有 a ? b ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时,

1

等号成立。 提问 5:你能给出它的证明吗? (学生尝试证明后口答,老师板书) 证明: a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b )2 ,当a ? b时, (a ? b )2 ? 0,当a ? b时, (a ? b )2 ? 0, 所以

a 2 ? b 2 ? 2ab

2 2 注意强调 当且仅当 a ? b 时, a ? b ? 2ab

(2)特别地,如果 a ? 0,b ? 0, 用 a和 b 分别代替a、b , 可得a ? b ? 2 ab ,也可写成

ab ?

a ?b (a ? 0, b ? 0) ,引导学生利用不等式的性质推导 2


(板书,请学生上台板演):

a ?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 2 a ?b ? 即证 a ?b ? 要证②,只要证
要证: 要证③,只要证 ( -

?0
)
2

② ③

?0



显然, ④是成立的,当且仅当 a ? b 时, ④的等号成立 (3)观察图形 3.4-3,得到不等式①的几何解释 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ab ?

a?b 2

探究:课本中的“探究” 在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 a?b AB 的弦 DE,连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 ab ? 的几何 2 解释吗? 易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD2=CA·CB 即CD= ab . 这个圆的半径为
a?b ,显然,它大于或等于 CD,即 2

a?b ? ab ,其中当且仅当点 C 与圆心重合,即 a=b 时,等号成立. 2

因此:基本不等式 ab ? 评述:1.如果把

a?b 几何意义是“半径不小于半弦” 2

a?b 看作是正数 a、b 的等差中项, ab 看作是正数 a、b 的等 2 比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
即学即练:
2

1 若 0 ? a ? b 且 a ? b ? 1 ,则下列四个数中最大的是 A.



) D.a

1 2 a?b , 2

B.

a 2 ? b2

C.2ab )

2 a,b 是正数,则 A. C.

ab ,

2ab 三个数的大小顺序是 ( a?b
B. ab ? D.

a?b 2ab ? ab ? 2 a?b

a ? b 2ab ? 2 a?b 2ab a ? b ? a?b 2

2ab a?b ? ab ? a?b 2 答案 B C 例题分析:

ab ?

(1)

x y x y x y ? ?2 ? =2 即 ? ≥2. y x y x y x
(2)x+y≥2 xy >0 x2+y2≥2

x 2 y 2 >0

3 3 x3+y3≥2 x y >

0
2 2 3 3 ∴(x+y) (x2+y2) (x3+y3)≥2 xy ·2 x y ·2 x y =8x3y3

即(x+y) (x2+y2) (x3+y3)≥8x3y3. 变式训练: X>0,当X取何值时X+ 解析:因为X>0, X+

1 有最小值,最小值是多少 x

1 1 ? x =2 ≥2 x x

当且仅当X=

1 时即 x=1 时有最小值 2 x

点评:此题恰好符合基本不等式的用法,1 正 2 定 3 相等 可以具体解释每一项的 意思。 当堂检测: 1.下列叙述中正确的是( ).
3

(A)两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 (B)两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 (C)若两个数的和为常数,则它们的积有最大值 (D)若两个数的积为常数,则它们的和有最小值 12 下面给出的解答中,正确的是( 1 (A)y=x+ ≥2 1 ).

x

x· =2,∴y 有最小值 2 x
4 |sinx|· =4,∴y 有最小值 4 |sinx| 2 ) =(
2

4 (B)y=|sinx|+ ≥2 |sinx| (C)y=x(-2x+3)≤( 当 x=1 时,y 有最大值( 9

x-2x+3

-x+3 2 ) ,又由 x=-2x+3 得 x=1,∴ 2

-1+3 2 ) =1 2 ≤3-2

(D)y=3- x-

x x



9

x

=-3,y 有最大值-3

4 3.已知 x>0,则 x+ +3 的最小值为( (A)4 (B)7

). (D)11 ). (D)是减函数

(C)8

1 4.设函数 f(x)=2x+ -1(x<0) ,则 f(x) (

x

(A)有最大值 1 B 2.D

(B)有最小值 3 B 4 .A

(C)是增函数

基本不等式 第一课时 课前预习学案
一、预习目标

不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;学会推导并掌握基本不 等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理。
二、预习内容 一般地,对于任意实数 a 、 b ,我们有 a ? b ? 2ab ,当
2 2

,等号成立。

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,字母表示: 。 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

4

课内探究学案
教学目标 a 2 ? b 2 ? 2ab ,不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相 等;学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义 教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式 ab ? 过程; 【教学难点】 基本不等式 ab ?
2

a?b 的证明 2

a?b 等号成立条件 2
2

合作探究 1 证; a ? b ? 2ab
2 2 强调:当且仅当 a ? b 时, a ? b ? 2ab

特别地,如果 a ? 0,b ? 0, 用 a和 b 分别代替a、b , 可得a ?b ? 2 ab ,也可写成

ab ?

a ?b (a ? 0, b ? 0) ,引导学生利用不等式的性质推导 2 a?b 2

证明: 结论:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ab ?

探究 2:课本中的“探究”
在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 ab ? 练习 1 若 0 ? a ? b 且 a ? b ?1 , 则 下 列 四 个 数 中 最 大 的 是 ( )

a?b 的几何解释 2

1 2 D.a
A. 2 a,b 是正数,则 A. C.

B.

a 2 ? b2

C . 2ab

a?b , 2

ab ,

2ab 三个数的大小顺序是 ( a?b
B. ab ? D.



a?b 2ab ? ab ? 2 a?b

a ? b 2ab ? 2 a?b 2ab a ? b ? a?b 2

2ab a?b ? ab ? a?b 2 答案 B C 例题分析: 已知 x、y 都是正数,求证:
5

ab ?

(1)

y x ? ≥2; x y
1 有最小值,最小值是多少 x

( 2) X>0,当X取何值时X+
2 2

分析: a ? b ? 2ab ,注意条件 a、b 均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性 质成立的条件),进行变形. 1 正 2 定 3 相等 5 1 变式训练:1 已知 x< ,则函数 f(x)=4x+ 的最大值是多少? 4 4x-5 2 证明: (x+y) (x2+y2) (x3+y3)≥8x3y3. 分析:注意凑位法的使用。 注意基本不等式的用法。 当堂检测: 1.下列叙述中正确的是( ). (A)两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 (B)两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 (C)若两个数的和为常数,则它们的积有最大值 (D)若两个数的积为常数,则它们的和有最小值 2 下面给出的解答中,正确的是( 1 (A)y=x+ ≥2 1 ).

x

x· =2,∴y 有最小值 2 x
4 |sinx|· =4,∴y 有最小值 4 |sinx| 2 ) =(
2

4 (B)y=|sinx|+ ≥2 |sinx| (C)y=x(-2x+3)≤( 当 x=1 时,y 有最大值( 9

x-2x+3

-x+3 2 ) ,又由 x=-2x+3 得 x=1,∴ 2

-1+3 2 ) =1 2 ≤3-2

(D)y=3- x-

x x



9

x

=-3,y 有最大值-3

4 3.已知 x>0,则 x+ +3 的最小值为( (A)4 (B)7

). (D)11 ). (D)是减函数

(C)8

1 4.设函数 f(x)=2x+ -1(x<0) ,则 f(x) (

x

(A)有最大值 答案 1 B

(B)有最小值 2.D 3 B 4.A

(C)是增函数

课后练习与提高
1 已知 x 、y都是正数,求证:

6

① 如果积 xy 是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2 p ② 如果和 x ? y 是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值 S

1 4

2

[拓展探究]
1 1 1 2. 设 a, b, c ? (0, ??), 且 a+b+c=1,求证: ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8. a b c 答案:1 略 2 提示可用 a+b+c 换里面的 1 ,然后化简利用基本不等式。

7

§3.4.2 【教学目标】

基本不等式的应用

1 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题;
2 本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出 数量关系进行求解这个中心。 3 能综合运用函数关系,不等式知识解决一些实际问题. 教学重点:正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题 教学难点:注意运用不等式求最大(小)值的条件 教学过程:

一、创设情景,引入课题
提问:前一节课我们已经学习了基本不等式,我们常把

a ?b 叫做正数 a、 b 的算术平均数, 2

把 ab 叫做正数 a、 b 的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。 讲解: 已知 x , y 都是正数, ①如果 xy 是定值 p , 那么当 x ? y 时, 和 x ? y 有最小值 2 p ; ②如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时,积有最大值

1 2 s 4

二、探求新知,质疑答辩,排难解惑
1、 新课讲授
例 1、 (1)用篱笆围一个面积为 100 m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所 用的篱笆最短,最短的篱笆是多少? (2)一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜 园的面积最大。最大面积是多少? 分析: (1)当长和宽的乘积确定时,问周长最短就是求长和宽和的最小值 (2)当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大 解: (1)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y 由 可得 2( x m,则 xy

? 100, 篱笆的长为 2( x ? y )

x ?y ? xy , 2
x ? y ? 2 100

? y ) ? 40

等号当且仅当 x ? y 时成立,此时x ? y ? 10 ,因此,这个矩形的长、宽为 10 m 时, 所用篱笆最短,最短篱笆为 40m (2)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m,则 2( x 积为 xy m 2 , 由

? y )=36, x ? y =18,矩形菜园的面

xy ?

x ? y 18 ? ? 9, 可得 2 2
8

xy ? 81,

可得等号当且仅当 x ? y 时成立,此时x ? y ? 9 点评:此题用到了 如果 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时,和 x ? y 有最小值 2 p ; 如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时,积有最大值 变式训练: 用长为 4 a 的铁丝围成矩形,怎样才能使所围的矩形面积最大? 解:设矩形的长为 x(0 ? x ? 2a) ,则宽为 2a ? x ,矩形面 S ? x(2a ? x) , 且 x ? 0, 2a ? x ? 0 . 由 x(2a ? x) ? 取等号) , 由此可知,当 x ? a 时, S ? x(2a ? x) 有最大值 a .答:将铁丝围成正方形时,
2

1 2 s 4

x ? (2a ? x) ?a. (当且近当 x ? 2a ? x ,即 x ? a 时 2

才能有最大面积 a . 例 2(教材 P89 例 2)某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m ,深为 3m,如果
3

2

池底每 1m 的造价为 150 元,池壁每 1m 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低, 最低总造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数 的最值,其中用到了均值不等式定理。 解:设水池底面一边的长度为 xm ,水池的总造价为 l 元,根据题意,得

2

2

l ? 240000 ? 720 ( x ?

1600 1600 ) ? 240000? 720? 2 x ? x x

? 240000 ? 720 ? 2 ? 40 ? 297600 1600 , 即x ? 40时, l有最小值 2976000 . 当x ? x

因此,当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造价最低,最 低总造价是 297600 元
评述: 此题既是不等式性质在实际中的应用, 应注意数学语言的应用即函数解析式 的建立,又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件。 变题:某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶,它的容积是 ? 立方分米,用来做底的 金属每平方分米价值 3 元,做侧面的金属每平方米价值 2 元,按着怎样的尺寸制造,才 能使圆桶的成本最低。 解:设圆桶的底半径为 r 分米,高为 h 分米,圆桶的成本为 m 元,则

3 2

m ? 3 ?r 2 ? 2 ? 2?rh
求桶成本最低,即是求 m 在 r 、 h 取什么值时最小。将 h ?
9

3 代入 m 的解析式,得 2r 2

m ? 3?r 2 ? 2(2?r )(

3 6? ) ? 3?r 2 ? = 2 r 2r

3?r 2 ?

3? 3? 3? 3? ? ? 33 (3?r 2 ) ? ? ? 9? r r r r
2

3? 3? 3? ? ? 时,取“=”号。 r r r 3 ∴当 r ? 1(分米) , h ? (分米)时,圆桶的成本最低为 9 ? (元) 。 2
当且仅当 3?r ? 点评:分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解,

归纳整理,整体认识 1.求最值常用的不等式: a ? b ? 2 ab , ab ? (
a?b 2 ) , a 2 ? b2 ? 2ab . 2

2.注意点:一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小. 3.建立不等式模型解决实际问题

当堂检测:
1 下列函数中,最小值为 4 的是: ( A. y ? x ? ) B. y ? sin x ? D.

4 x

4 (0 ? x ? ? ) sin x

C. y ? ex ? 4e? x

y ? log 3 x ? 4log x 3

2. 设 x, y ? R, 且x ? y ? 5, 则3x ? 3y 的最小值是( A. 10 B. 6 3 . C. 4 6

) D. 18 3

3 函数 y ? x 1 ? x 2 的最大值为

4 建造一个容积为 18m3, 深为 2m 的长方形无盖水池, 如果池底和池壁每 m2 的造价为 200 元和 150 元,那么池的最低造价为 元.

5 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉 6 吨,每吨面粉的价格为 1800 元,面 粉的保管等其它费用为平均每吨每天 3 元,购面粉每次需支付运费 900 元.求该厂多少 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?

答案:1C

2D

3

1 2

4 3600 5 x ? 10 时, y 有最小值 10989 ,

基本不等式的应用 课前预习学案
一、预习目标 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题
10

二、预习内容 1 如果 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时,和 x ? y 有最 2 如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时,积有最 3 若 x ? ?1 ,则 x =_____时, x ?

1 有最小值,最小值为_____. x ?1

4.若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是_____. 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标 1 用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题. 2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心. 教学重点:正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题 教学难点:注意运用不等式求最大(小)值的条件 二、学习过程 例题分析: 例 1、 (1)用篱笆围一个面积为 100 m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所 用的篱笆最短,最短的篱笆是多少? (2)一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜 园的面积最大。最大面积是多少? 分析: (1)当长和宽的乘积确定时,问周长最短就是求长和宽和的最小值 (2)当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大 解: 变式训练:1 用长为 4 a 的铁丝围成矩形,怎样才能使所围的矩形面积最大? 2 一份印刷品的排版面积(矩形)为 A 它的两边都留有宽为 a 的空白,顶部和底 部都留有宽为 b 的空白,如何选择纸张的尺寸,才能使用纸量最少? 变式训练 答案 1 x ? a 时面积最大。 2 此时纸张长和宽分别是

Aa ? 2a 和 b

Ab ? 2b . a
例 2: )某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m ,深为 3m,如果池底每 2 2 1m 的造价为 150 元,池壁每 1m 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总 造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数 的最值,其中用到了均值不等式定理。 答案:底面一边长为 40 时,总造价最低 2976000。 变式训练:建造一个容积为 18m3, 深为 2m 的长方形无盖水池,如果池底和池壁每 m2 的造
3

11

价为 200 元和 150 元,那么池的最低造价为 答案:3600 当堂检测:1 若 x, y 是正数,且 A.最大值 16
1 4 ? ? 1 ,则 xy 有 x y

元.

(3 C.最小值 16



B.最小值

1 16

D.最大值

1 16

2 已知 x ? 0, y ? 0 且满足

2 8 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值.4 x y

A.16 B20. C.14 D.18 3 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉 6 吨,每吨面粉的价格为 1800 元,面粉的保管等其它费用为平均每吨每天 3 元,购面粉每次需支付运费 900 元.求该厂多 少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? 答案:1 C 2 D 3 x ? 10 时, y 有最小值 10989 ,

课后复习学案
1 已知 x>0,y>0,且 3x+4y=12,求 lgx+lgy 的最大值及此时 x、y 的值. 2 广东省潮州金中 08-09 学年高三上学期期中考试)某种汽车的购车费用是 10 万元, 每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元,年维修费用第一年是 0.2 万元,以 后逐年递增 0.2 万元。问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多 少?

3 某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与车库到车站的距离成反比,而每 月库存货物的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距车站 10 公里处建仓 库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和 最小,仓库应建在离车站多少公里处?

12


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