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2.1.3 函数的最值学案


第五课时 函数的最值
【学习导航】

若 y ? f ( x) 是减函数,则 ymax ?



知识网络
函数最值概念 函数最值 函数最值与图像 函数最值求法

ymin ?
【精典范例】



一.根据函数图像写单调区间和最值:

例 1:如图为函数 y ? f ( x) , x ?? ?4,7? 的图 象,指出它的最大值、最小值及单调区间.

学习要求
1.了解函数的最大值与最小值概念; 2.理解函数的最大值和最小值的几何 意义; 3.能求一些常见函数的最值和值域.

自学评价
1.函数最值的定义: 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为

A.
若 存 在 定 值 x0 ? A , 使 得 对 于 任 意 二.求函数最值: 例 2:求下列函数的最小值: (1) y ? x ? 2x ;
2

x ? A ,有

恒成立,则称

f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的 最 大 值 , 记 为
ym a ? x f (x ) ; 0
若存在定值 x0 ? A ,使得对于任意

1 , x ??1,3? . x 4x ? 3 , x ? ?0,2? (3) f ? x ? ? x ?1
(2) f ( x) ?

x ? A ,有

恒成立,则称 f ( x0 ) 为

y ? f ( x) 的最小值,记为 ymin ? f ( x0 ) ;
2.单调性与最值: 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? a, b? , 若 y ? f ( x) 是 增 函 数 , 则

ymax ?

,ymin ?



我们可以利用函数的草图, 如果函数在区 间 [ a, c] 上是图像连续的,且在 [ a, b] 是单调递 增的,在 [b, c] 上是单调递减的,则该函数在区 间 [ a, c] 上的最大值一定是在 x ? b 处取得;同 理,若函数在区间 [ a, c] 上是图像连续的,且在

追踪训练一
1. 函 数 f ( x)? 是 ,最大值是

?2 x ? x ?2的 最 小 值


在 [b, c] 上是单调递增的, [a, b] 是单调递减的, 则 该 函 数 在 区 间 [ a, c ] 上 的 最 小 值 一 定 是 在 x ? b 处取得.

追踪训练二
1.函数 f ( x) ?

2. 求下列函数的最值: (1) f ( x) ? x4 ? 1, x ?{?1,0,1, 2} ; (2) f ( x) ? 3x ? 5, x ?[3,6]

1 的最大值是 1 ? x(1 ? x)

2. y=x+ x ? 1 的最小值为 3. 函 数 f ( x)? a2x ? 2 a ? x 1( ? a 在 0 )区 间

4 ,则 a ? ___ [? 3 , 2 ] 上的最大值为
4. 函 数 f ( x) ? ? 为 .

(? ?x ? 3 x

0 )

2 ?5 ? x ( x ? 0)

的 最 大 值

5 . 已 知 二 次 函 数 f ( x)? a2x ? 2 a ? 在 x1

【选修延伸】 含参数问题的最值: 例3: 求 f ( x) ? x 2 ? 2ax , x ? [0, 4) 的最
小值.

??3, 2? 上有最大值 4,求实数 a 的值.

思维点拔:
一、利用单调性写函数的最值?


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