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3.1变化率与导数


湖 南 省 示 范 性 高 级 中 学

株洲市九方中学高二数学备课组 2010年10月24日

教学目标
? 了解导数概念的实际背景,体会导数的思 想及其内涵 ? 教学重点: ? 导数概念的实际背景,导数的思想及其内 涵

变化率问题
问题1 气球膨胀率

4 3 V (r ) ? ? r 3
问题2
于水面的高度是

r (V ) ?

3

3V 4?

高台跳水运动中,运动员相对

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

引导: 1 这一现象中,哪些量在改变? 2 变量的变化情况? 3 引入气球平均膨胀率的概念
4 3 3 V V (r ) ? ? r ? r (V ) ? 3 3 4? 当空气容量V从0增加1L时,半径增加了 r(1)-r(0)= 0.62 当空气容量V从1加2L时,半径增加了 r(2)-r(1)= 0.16

探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况, 我们把这一思路延伸到函数上,归纳一下得 出函数的平均变化率

r (V2 ) ? r (V1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? V2 ? V1 x2 ? x1

设某个变量 f 随 x 的变化而变化, 从 x 经过 △x , 量 f 的改变量为

?f ? f ( x ? ?x) ? f ( x)
量 f 的平均变化率为

?f f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? ?x ?x

令 ?x ? 0, 则得到f 在x 的(瞬时)变化率:
?f f ( x ? ?x ) ? f ( x ) lim ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x

2. 瞬时速度 平均速度的概念

这段时间内汽车的平均速度为

经过的路程 s 150 v? ? ? ? 54( km / h) 所有的时间 t 10

平均速度反映了汽车在前 10 秒内的快慢程度,为了了 解汽车的性能,还需要知道汽车在某一时刻的速度 — —瞬时速度.

已知物体作变速直线运动,其运动方程为 s=s(t)(s表示位移,t 表示时间),求物体在 t0 时刻的速度.

如图设该物体在时刻 t0 的位置是 s (t0) = OA0 ,在时刻 t0 +?t 的位置是s(t0+?t) =OA1,则从 t0 到 t0 +?t 这段时间内, 物体的 位移是

?s ? OA1 ? OA0 ? s( t 0 ? ?t ) ? s( t 0 )
在时间段( t0+?t)- t0 = ?t 内,物体的平均速度为:

s ( t 0 ? ?t ) ? s ( t 0 ) ?s v? ? t 0 ? ?t ? t 0 ?t

要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物

体在每一时刻运动的快慢程度.如果物体的运动规
律是 s =s(t ),那么物体在时刻t 的瞬时速度v,就是

物体在t 到 t+?t 这段时间内,当 ?t?0 时平均速度


v 的极限.即

?s s ( t ? ?t ) ? s ( t ) v? ? lim ? t ? t ?0 ?t

例 物体作自由落体运动, 1 2 运动方程为: s ? gt ,其中位移 2 单位是m ,时间单位是s , g=9.8m/s2. 求 : (1) 物 体 在 时 间 区 间 [2,2.1]上的平均速度; (2) 物体在时间区间 [2, 2.01] 上的平均速度; (3) 物体在t =2时的瞬时速度.

v?

(1) 将 ?t=0.1代入上式,得

?s 1 ? 2 g ? g?t ?t 2

O s(2) s(2+?t)

v ? 2.05 g ? 20.09( m / s )
(2) 将 ?t=0.01代入上式,得

?s

v ? 2.005 g ? 19.65( m / s ) ( 3) 当 ?t ? 0, 2 ? ?t ? 2
平均速度 v 的极限为: ?s v ? lim v ? lim ? 2 g ? 19.6( m / s ) ? t ?0 ? t ?0 ? t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔?t 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)

s

瞬时速度
要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物

体在每一时刻运动的快慢程度.如果物体的运动规
律是 s =s(t ),那么物体在时刻t 的瞬时速度v,就是

物体在t 到 t+?t 这段时间内,当 ?t?0 时平均速度 v
的极限.即

?s s ( t ? ?t ) ? s ( t ) v? ? lim ? t ? t ?0 ?t
高台跳水 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

Δt -0.1 -12.61
v

Δt 0.1 -13.59

-0.01 -0.001
-0.0001

-13.051 -13.0951
-13.009951

0.01 0.001
0.0001

-13.149 -13.1049
-13.10049

-0.00001 -13.099951

0.00001 -13.100049

高台跳水 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

?h h(t ? ?t ) ? h(t ) v? ? ?t ?t
h(2 ? ?t ) ? h(2) v(2) ? lim ?t ?0 ?t ? lim(?4.9?t ? 13.1) ? ?13.1
?t ?0

导数的概念 一般地,函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变
化率是

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f lim ? lim ?x ?0 ?x ? 0 ?x ?x

我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数, 记为 f ?( x0 ) 或

y?

x ? xo

,即

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

导数的概念
设函数

y = f(x) 在点 x=x0 的附近有定义,当自变量 x

在 x0 处取得增量 △x ( 点 x0 +△x 仍在该定义内)时, 相 应地函数 y 取得增量 △y = f (x0 +△x)- f (x0 ),若△y与 △x之比当 △x→0的极限存在,则称函数 y = f(x)在点 x0 处 可导 ,并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数, 记为

f ?( x0 )

。 若这个极 限不存在,则 称在点x0 处不 可导。

即 f ?( x0 ) ? lim 也可记作

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

y?

x ? xo

V (t0 ) ? S ?(t0 ), K切 ? f ?( x0 )

说明:
(1)函数 f ( x) 在点 x0 处可导,是指 ?x ? 0 时,

?y ?y 有极限.如果 不存在极限,就说函数在 ?x ?x
点 x0 处不可导,或说无导数.
(2) ?x 是自变量x在

x0 处的改变量, ?x ? 0 ,而

?y 是函数值的改变量,可以是零.

由导数的定义可知,求函数 y ? f ( x) 在 x0 处的 导数的步骤: (1)求函数的增量: ?f ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? (2)求平均变化率: ; ?x ?x ?f lim . (3)取极限,得导数: f ?( x0 ) ? ? x ?0 ?x

V (t0 ) ? S ?(t0 ),

K切 ? f ?( x0 )

例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 xh 时,原油的温度(单位:℃)为

f ( x) ? x ? 7 x ? 15 (0 ? x ? 8).
2

计算第2 h和第6 h,原油温度的瞬时变化率,
并说明它们的意义。

例:

高台跳水运动中,

t

秒 ( s ) 时运动员相

对于水面的高度是 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10

(单位: m ),求运动员在 t ? 1s 时的瞬时
速度,并解释此时的运动状态;在t ? 0.5s 呢?

?h h(1 ? ?t ) ? h(1) ? ? ? ?t ?t ? 4.9(?t ? 1) 2 ? 6.5(?t ? 1) ? 10 ? ?? 4.9 ? 12 ? 6.5 ? 1 ? 10? ?t ? ?4.9?t ? 3.3 ?h / ? h ?1? ? lim ?lim ( ? 4.9?t ? 3.3 ) ? ?3.3 ?t ? 0 ?t ?t ?0 / / ? h ?1? ? ?3.3 同理,h (0.5) ? 1.6
h (0.5) ? 1.6m / s 这说明运动员在t ? 1s附近,正以大约 3.3m / s

运动员在 t ? 1s 时的瞬时速度为 h / (1) ? ?3.3m / s , /
t ? 0.5s t ? 0.5s

的速率 下落 。 上升

1.6m / s

1.你能借助函数 f ( x)的图象说说平均变化率
f ?x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) 表示什么吗?请在函数 ?x

图象中画出来.

2.在 ?x ? 0 的过程中, 割线AB的的变化情况 你能描述一下吗? 请在函数图象中画出来.

3.1.1

导数的几何意义 y y ? f ( x) T
P 0

x0 xn

x

f ( xn ) ? f ( x0 ) kn ? xn ? x0

y

y ? f ( x)
T P

o

?

f ( x 0 ??x) ? f ( x 0 ) k ? lim ?x ?0 ?x ? f ?( x 0 )
x

x0

即 kPT ? tan ? ? f ?( x 0 )

函数y ? f ( x)在点x0处的导数f ?( x0 )在几何上表示 曲线y ? f ( x)在点M ( x0 , f ( x0 ))处的切线的斜率。
曲线y ? f ( x)在点M ( x0 , f ( x0 ))处
的切线方程为

y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 )

y

l1
A

圆的切线定义并不适
用于一般的曲线。

通过逼近的方法,将
l2

割线趋于的确定位置的

B

直线定义为切线(交点
x 可能不惟一)适用于各

C

种曲线。所以,这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。

P

P

P

根据导数的几何意义,在点P附近,曲线可以 用在点P处的切线近似代替 。 大多数函数曲线就一小范围来看,大致可 看作直线,所以,某点附近的曲线可以用过此 点的切线近似代替,即“以直代曲” (以简 单的对象刻画复杂的对象)

1.在函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的
/

图像上,(1)用图形来体现导数 h (1) ? ?3.3 ,

h (0.5) ? 1.6 的几何意义.
/
h

O

0 .5

1 .0

t

(2)请描述,比较曲线分别在t 0 , t1 , t 2 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在 t 3 , t 4 附近呢?
h

O

t3

t4

t0

t1

t2

t

(2)请描述,比较曲线分别在t 0 , t1 , t 2 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在

t 3 , t 4 附近呢?

附近:瞬时 增(减): 变化率(正或负) 即:瞬时变化率(导数) =切线的斜率 增(减)快慢: 即:导数 的绝多值的大小 切线的倾斜程度 =切线斜率的绝对值的 (陡峭程度) 大小 画切线(数形结合,以直代曲) 以简单对象刻画复杂的对象

(2) 曲线在 t 0 时,切线平行于x轴,曲线在
h / (t1 ), h / (t 2 ) ? 0 曲线在 t1 , t 2 处切线 l1 , l 2 的斜率 小于 0 大于 l 3 , l 4 h / (t 3 ), h / (t 4 ) ? 0 t3 , t 4

t 0 附近比较平坦,几乎没有升降.

在 t1 , t 2 附近,曲线 下降 ,函数在 t1 , t 2
t3 , t 4

附近单调 递减
递增

上升

t3 , t 4

如图,切线 l 2 的倾斜程度大于切线 l1 的 l4 倾斜程度, l 3
这说明曲线在 t 2 附近比在 t1附近 下降 t3 得迅速. 上升 t4

2.如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t) (单位:mg/ml)随时间t(单位:min) 变化的函数图像,根据图像,估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8(min)时,血管中 药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1)

血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度

函数f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示
曲线在该点处的切线的斜率. (数形结合,以直代曲)

以简单对象刻画复杂的对象

t

0.2

0.4

0.6

0.8

药物浓度的 瞬时变化率

0 .3

0

? 0 .5

? 1 .4

抽象概括: 导函数 f / ( x) 的概念:
f ?x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) f ?x0 ? ? lim ?x ?0 ?x f ? x ? ?x ? ? f ( x) / f ? x ? ? lim ?x ?0 ?x
/

/ 是确定的数 f ( x0 ) f ( x) 是
/

x

的函数

小结:
1.函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数 f / ?x0 ? 的几何意义,就是函数 f ( x) 的图像在点
A?x0 , f ( x0 )? 处的切线AD的斜率(数形结合) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) / f ( x0 ) ? lim =切线 AD的斜率 ?x ?0 ?x

2.利用导数的几何意义解释实际生活问题, 体会“数形结合”,“以直代曲”的数学 思想方法。

以简单对象刻画复杂的对象
/ f 3.导函数(简称导数) ( x) ? lim ?x ? 0

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ?x


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