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导数与函数的单调性 省优质课教学设计


《导数与函数的单调性》教学设计
教材分析: 《导数与函数的单调性》是北师大版选修 2-2 第三章 1.1 节的内容,也是高考的重点内容 之一。 本节内容的学习与掌握有助于学生深入的研究函数的性质,尤其借助导数知识求解函数的单调 区间起到推波助澜的作用。 学生已经掌握了基本的求导公式和导数的四则运算规则,对于导数也有了 初步认识,通过本节课的学习,是学生认识到导数可以作为一种工具来进一步研究函数,对于求解较 复杂函数的单调区间是一个捷径。 教学目标: 1.知识与技能: 理解导数与函数单调性的关系,会用导数法确定函数的单调区间,能确定函数的大致图像。 2.过程与方法: (1)通过导数与函数单调性关系的探究过程,体会从特殊到一般、数形结合的思想方法。 (2)通过导数法求单调区间基本步骤的形成,体会算法思想。 3.情感、态度与价值观: 通过导数法求单调区间,体会不同数学知识间的内在联系,体会导数的实用价值。 教学重点:函数单调性的判定和单调区间的求法 教学难点:理解为何将导数与函数单调性联系起来 教法学法: 1、教法:整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则,突出①动--师生互动、共同探索;②导 --教师指导、循序渐进 (1)新课引入--较简单的数学问题引入,帮助学生联想。 (2)理解导数的内涵,组织学生自主探索,获得用函数的导数判断函数单调性的法则。 (3)例题处理--始终从问题出发,层层设疑,让他们在探索中自得知识。 (4)练习--深化对用函数的导数判断函数单调性的法则内涵的理解,巩固新知识。 2、学法: (1)合作学习:引导学生分组讨论,合作交流,共同探讨问题。 (2)自主学习:引导学生动口、动脑、参与数学活动。 (3)探究学习:引导学生发挥主观能动性,主动探索新知。

教学过程

教学环 教师活动 节
复习引入 一、 设置问题,引入新课 学生积极举手发言

学生活动

设计意图

(课件展示) 问题 你能确定函数

f ( x) ? ?2x2 ? 3x, x ? (0, ??)
的单调区间吗? 教师: 回答的非常好。 二次函数的图 像我们非常熟悉。请大家画出其图 像, 指出其单调区间, 另外考虑一下, 有没有需要注意的地方? (教师在黑板上画出函数的图像) 学生 2:x ? (0, 递增 学生 1: 画出该函数的图像, 从 图像上直观获知其单调区间。

教师赞同学生 2 的说法, 强调定义域 教师:还有其他的方法吗?

3 ), f ( x) 单调 4

3 x ? ( , ??), f ( x) 单 调 递 4
减。需要注意函数的定 义域 教师: 对学生 3 的回答给予肯定, 追 问学生 3 函数单调性的定义是什 么? 教师:回答很不错. 我们前面一章学 习的导数 学生 3:利用函数的单调性定 义。 学生 3: 对于函数 学生思考,并积极举手发言

f ?x 1 ? ? f ?x 2 ? 与 0 的大 x1 ? x 2

f ' ( x) 刻画的是 y 在 x 点

小关系。
f ( x) 定义域

的瞬时变化率。 同时, 单调性描述的 是 y 随着 x 的增加而增加,或着 y 随着 x 的增加而减少。两者都是刻 画函数的变化。 那么, 导数与函数的 单调性之间有何关系呢? 揭示并板书课题: 导数与函数的单调 性

内的任意一个子集 A, 如果对于 集合 A 中的任意两个自变量

x1 , x2

, 当 时 都 有 ( 或

追问:如何求函数
f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 36x ? 16

f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x1 ) ? f ( x2 ) )就称在集合 A 的单调区间。

上增加的(或减少的) 。

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

二、

实例分析,探求新知

各个学习小组踊跃进行探究活动。 活动完成后选学生代表到讲台分享 他们的学习成果。 预设: 小组代表 1: 通过这些具体发现导数的正负和函 数 的 单 调 性 有 关 系 。 导 数

(课件展示)

(1) f ( x) ? 2 x ? 5 (2) f ( x ) ? ?3x ? 4 (3) f ( x) ? 2
x

1 (4) f ( x) ? ) ( x 2 (5) f ( x) ? log 3 x (6) f ( x ) ? log 1 x
2

(7) f ( x ) ? x 2

f ' ( x) ? 0 时,函数单调递增;导


f ' ( x) ? 0 ,函数单调递减。我

1、 分别对每个函数求导,并判 断函数的单调性。 2、 观察、分析各个函数的导数 与单调性有什么关系,并抽象概括出 这种关系。 3、 这种关系能不能推广到一般? 请利用相关知识给出解释。

们是通过作函数图像在每一点处的 切线,并观察切线的切率得到这一 结论的。 小组代表 2:我们也得到了导数的 正负和函数的单调性有关系,和他 们那组的结论一样。但是我们对于 结论的解释是从导数的定义和函数 的单调性定义入手,分析讨论的得 到 。 若

(教师参与到学生的探究学习中) 教师:小组代表 1 的回答不错,解释 的非常形象直观;小组代表 2 的回答 更从本质上揭示了导数与函数的单 调性的关系。导数刻画函数在一点的 瞬时变化率不仅包含上升下降趋势, 而且能够度量处上升下降的快慢。可 以说,用导数刻画函数的变化情况比 函数的单调性刻画函数的变化情况 更加精确细致。 同时, 请大家认识到, 他们均是刻画的局部变化。

f ' ( x1 ) ? lim
x2 ? x1

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,得 x2 ? x1

到 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 与 x2 ? x1 同号, 也 就是 x2 ? x1 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) 。 这满足单调增函数的定义。同理,

f ' ( x1 ) ? lim
x2 ? x1

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?0 x2 ? x1

得到 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 与 x2 ? x1 异号, 也就是 x2 ? x1 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) 。 这满足单调减函数的定义。

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

三、

抽象概括,提取精华

通过以上,我们可以得到一个什么结 论? 师生共同总结: (课件展示) 如果在某个区间内,函数 y ? f ( x) 的导数

学生积极参与总结

f ' ( x) ? 0 ,则在这个区间

内,函数 y ? f ( x) 是递增的; 如果在某个区间内,函数 y ? f ( x) 的导数

f ' ( x) ? 0 ,则在这个区间

内,函数 y ? f ( x) 是递减的; 四、 例题展示,利用新知

(课件展示) 例 求函数 各组进行学习竞赛,分别到前台展 示自己的求解过程,分享自己的学 习成果。

f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 36x ? 16 的单调
区间,并画出这个函数的草图。 请各个学习小组分别解答,完成进行 展台展示。 教师:通过这个问题,你认为如何去 求解函数的单调区间呢? 教师对学生 4 的回答给予肯定。

学 生 4: 求 导 数

f ' ( x) , 然 后 解

f ' ( x) ? 0 或者 f ' ( x) ? 0
学生思考 教师:需要注意什么? 学生 5:注意函数的定义域。 学生 6:注意单调区间的表示,因 教师:回答的不错。 我们研究函数的单 调性是在定义域下研究的。那还有没 有其他要注意的? 教师:很好,注意单调区间的表示。 为单调性研究的函数的局部性质。

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

五、

动手实践,巩固新知

学生代表到黑板板书 学生互评 (预设)指出求解单调区间时应该 注意函数的定义域和单调区间的表 示。

(课件展示) 求下列函数的单调区间

(1) f ( x) ? x ln x (2) f ( x) ? x ? 3 x

教师参与到学习小组的求解中。

六、

学习总结

学生积极发言

(课件展示) 1、 这节课我们学习的什么? 2、有需要注意的地方吗? 七、 作业布置

1、 必做题: 练习 1 P59 (2) P62 , 习题 A 1(3) 2、 探究题:命题“如果在某个 区间内, 函数 y ? f ( x) 的导 数

f ' ( x) ? 0 ,则在这个区

间内, 函数 y ? f ( x) 是递增 的。 的逆命题成立吗?为什 ” 么?

六、板书设计
导数与函数的单调性

1、 导数与函数的单调 性之间的关系 2、例题解析

3、 导数法求函数的单调区间的 步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求出函数的导数; 4、学生合作学习 (3)由得函数的单调递增区 间;得函数的单调递减区; (4)注意单调区间的表示。

5、小结 6、作业

七、教学反思


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