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高中数学 第二章 向量的加法教案 北师大版必修4


陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 向量的加法教案 北师 大版必修 4
一、教学目标 知识目标: 理解向量加法的含义, 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两 个向量的和; 掌握向量加法的交换律与结合律,并会用它们进行向量运算. 能力目标:经历向量加法概念、法则的建构过程,感受和体会将实际问题抽象为数学概 念的过程和思想,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的

能力. 情感目标:经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体验探索的乐趣,激发学生的 学习热情.培养学生勇于探索、创新的个性品质. 二.重点难点 重点:向量加法运算的意义和法则. 难点:向量加法法则的理解. 三.教学方法 采用“启发探究”式教学方法,结合多媒体辅助教学. 四.教学过程 Ⅰ.创设情境 直观感知

O

A B

O
斜拉索

塔柱

F1
斜拉桥示意图

F2 F



以杭州湾大桥为整体背景,设计两个问题情境如下: 问题1: 建桥之前如何从嘉兴到达宁波?建桥之后可以从嘉兴直达宁波, 此时的位移与 前面两次位移的结果有何关系?两次位移的结果可称为两次位移的和, 如何用等式来刻画这 三个位移的关系? 问题 2:这是大桥南端的 A 型独塔斜拉桥,其中两根拉索对塔柱的拉力分别为 F 1 、 F2 , 则它们对塔柱的共同作用效果如何?合力 F 可称为力 F 如何用等式来刻画这三 1 与 F2 的和, 个力的关系? 力与位移都是物理中的矢量,既有大小又有方向,若去掉它们的物理属性,就是数学 中的向量.它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——向量的加法(引出课 题) Ⅱ.抽象概括 形成定义 (一)建立数学模型

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? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? 若记 OA ? a, AB ? b 则向量 OB 叫做向量 a 与 b 的和,记为 a ? b ? OA ? AB ? OB .
问题 3:如图所示的三个向量,你们能给出它们所满足的等式吗?—— AB ? BO ? AO , 即向量 AO 为向量 AB 与 BO 的和
??? ? ??? ? ????

????

??? ?

??? ?

O

O

A
(二) 抽象数学概念

A B B

问题 4:由此,你们能概括出一般的两个向量 a 与 b 和的定义吗? 学生活动:在平面内任取一点 O,平移 a 使其起点为点 O,平移 b 使其起点与 a 向量的 终点重合,再连接向量 a 的起点与向量 b 的终点.

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(1)平移的目的是什么?——平移后使得两个向量能在同一个三角形中; (2)平移后两个向量的终点与起点有何关系?——使得第二个向量的终点与第一个向 量的起点重合; (3)和向量又是什么?——连接向量 a 的起点与向量 b 的终点,并指向 b 的终点,得 到的向量 OB 即为向量 a 与 b 的和; (4)借助于几何直观,用自然简洁的语言给出两个向量和的定义 . 和的定义:已知向量 a, b ,在平面内任取一点 O,作 OA ? a, AB ? b ,则向量 OB 叫做向 量 a, b 的和.记作: a ? b .即 a ? b ? OA ? AB ? OB . 向量的加法的定义:求两个向量和的运算叫做向量的加法. 向量加法的法则:和的定义给出了求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. 问题 5:用三角形法则求向量和的过程中要注意什么?——平移两个向量使它们首尾顺 次相连. 问题 6:还可以用什么方法求两个向量的和呢?——向量加法的平行四边形法则. 问题 7:平行四边形法则有何特点?——平移两个向量至共起点. 两种方法求和的结果是一样的,可见,向量加法的三角形法则与平行四边形法则在本 质上是一致的.在具体求和时,应根据情况灵活地选择. (三)尝试运用法则 试一试:如图,已知 a 、 b ,作出 a ? b
? ? ? ? ??? ?

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??? ? ??? ?

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b a b

a b

a

a

b

向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的, 反映了三角形法则具有广泛的 适用性. Ⅲ.类比猜想 探究性质

问题 8:加法其实我们并不陌生,从小就开始学习数、字母、式的加法,实数的加法有 哪些运算性质?向量的加法是否也满足类似的性质?如果满足,具体形式是什么? 实数的加法 向量的加法

a?0? a
性 质

a ? ( ?a) ? 0

a?b ?b?a

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

? ? ? ? a?b ? b?a

? ? ? a ? (?a) ? 0

? ? ? a?0 ? a

交换律的验证让学生通过画图自己验证,结合律的验证师生借助于多媒体共同完成. 研究结果表明:向量的加法也满足交换律和结合律,这与数的加法是一致的.有了交 换律与结合律,向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行,从而丰富了向量加法 的内涵. Ⅳ.数学运用 深化认识

例 1.如图,O 为正六边形 A1A2A3A4A5A6 的中心,作出下列向量:
??? ? ???? ? (1) OA1 ? OA3

A5
A6
O

A4
A3

(2) OA3 ? A6 A5

???? ? ?????

????? ? ????? ? (3) A2 A3 ? A6 A5

????? ????? ? ????? ? (4) A1 A3 ? A4 A6 ? A3 A4

????? ????? ? ????? ? ????? ? ????? ? (5) A 1A 2 ? A 2A 3 ? A 3A 4 ? A 4A 5 ? A 5A 6

A1

A2

推广 1: A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ?? ? An ?1 An

????? ????? ? ????? ?

??????? ????? ? A1 An
??????? ????? ?

推广 2: A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ??? An ?1 An ? An A1 ? 0 并以北京 08 奥运圣火的传递提供了现实原型. 最后我们再回到这座宏伟壮观的大桥来解决这样一个实际问题: 例 2.已知桥是南北方向,受落潮影响,海水以 12.5km/h 的速度向东流,现有一艘工

????? ????? ? ????? ?

作艇,在海面上航行检查桥墩的状况,已知艇的速度是 25km/h,若艇要沿着与桥平行的方 向由南向北航行,则艇的航向如何确定?

北 东

D
V船 V实 V水
图 1

C

D
V船 V实

C
V船 V水
图 2

A

B

A

B

??? ? 分析:首先将实际问题数学化,把三个速度分别用向量来表示:如图,设 AB 表示水流速度,

???? ???? AD 表 示 游 艇 的 速 度 , 那 谁 是 游 艇 的 实 际 速 度 ? AC , 三 个 向 量 应 满 足 什 么 关 系 ?

???? ??? ? ???? AC ? AB ? AD .
??? ? ???? ???? 解:如图,设 AB 表示水流速度, AD 表示游艇的速度, AC 表示游艇的实际速度,因

???? ??? ? ???? 为 AC ? AB ? AD ,所以四边形 ABCD 为平行四边形.
在 Rt ?ACD 中,

?ACD ? 900

???? ??? ? ???? | DC |?| AB |? 12.5 , | AD |? 25 ,
所以 ?CAD ? 30 答
0

若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行,其航向应为北偏西 30 . 拓展延伸

0

Ⅴ.回顾反思 一、课时小结:

1、同学们想一想:本节课你有些什么收获呢? 知识内容:向量加法的定义、二个运算法则以及二个运算律. 留给你印象最深的是什么?作为课堂的延伸,你课后还想作些什么探究? 本节课我们从物理原型抽象出数学模型, 在此基础上去研究数学模型, 最后应用到生活 实践中去.再一次告诉我们,数学源于生活,又服务于生活.

物理原型

数学模型

应用模型

研究模型

2、马克思说过:一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到完善的地步. 我们今天 所学习的向量的加法为研究物理的相关问题提供了一种数学工具, 随着对向量研究的逐步深 入,向量作为一种新的数学工具被越来越广泛的应用. 二、拓展延伸: (1)作业:P79 习题 2.2 的 1,2,3 (2)拓展探究:请同学们课后完成下面的拓展探究题:向量和的模与模的和之间有什么关 系?( a, b 是任意两个向量,则 a ? b 与 a ? b 之间有什么关系? 并根据自己感兴趣的话 题进行拓展探究.

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