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人教版高中数学必修一第三章知识点总结


第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的 横坐标。

即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 3、函数零点的求法: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找 ○ 出零点. 4、基本初等函数的零点: ①正比例函数 y ? kx(k ? 0) 仅有一个零点。

k (k ? 0) 没有零点。 x ③一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 仅有一个零点。
②反比例函数 y ? ④二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . (1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两 个零点. (2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两相等实根,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一 个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. ⑤指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 没有零点。 ⑥对数函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 仅有一个零点 1. ⑦幂函数 y ? x? ,当 n ? 0 时,仅有一个零点 0,当 n ? 0 时,没有零点。 5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数) ,函数先把 f ? x ? 转化成 f ? x ? ? 0 ,再把复杂的函数 拆分成两个我们常见的函数 y1 , y2 (基本初等函数) ,这另个函数图像的交点个数就是函数 f ? x ? 零点的个数。 6、选择题判断区间 ? a, b ? 上是否含有零点,只需满足 f ? a ? f ? b ? ? 0 。 ②在区间 ? a, b ? 上单调。 8、函数零点的性质: 从“数”的角度看:即是使 f ( x) ? 0 的实数; 从“形”的角度看:即是函数 f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标; 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点; 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点. 9、二分法的定义 对于在区间 [a , b ] 上连续不断,且满足 f (a) ? f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断地把函数 f ( x) 的零点所在 的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 10、给定精确度 ε ,用二分法求函数 f ( x) 零点近似值的步骤: (1)确定区间 [a , b ] ,验证 f (a ) ? f (b) ? 0 ,给定精度 ? ; (2)求区间 (a , b) 的中点 (3)计算 ①若 ②若 ③若 7、 确定零点在某区间 ? a, b ? 个数是唯一的条件是:① f ? x ? 在区间上连续, 且 f ? a ? f ?b? ? 0

x1



f ( x1 )



f ( x1 ) 0 = ,则 x1 就是函数的零点; f ( a ) ? f ( x1 ) 0 b x1
< ,则令 =

(此时零点

x0 ? (a, x1 )

) ;

x f ( x1 ) ? f (b) 0 x ? ( x1 , b) < ,则令 a = 1 (此时零点 0 ) ; (4)判断是否达到精度 ? ;即若 | a ? b |? ? ,则得到

零点值 a (或 b ) ;否则重复步骤(2)~(4) .

1

11、二分法的条件 f ( a ) · f (b) ? 0 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。 12、解决应用题的一般程序: ① 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; ② 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; ③ 解模:求解数学模型,得出数学结论; ④ 还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义. 13、函数的模型 收集数据

画散点图

际 不 符 合 实

选择函数模型

求函数模型

检验 符合实际 用函数模型解释实际问题 14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型: 一次函数模型: f ( x) ? kx ? b(k ? 0); 二次函数模型: g ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0);
2

2 幂函数模型: h( x) ? ax ? b(a ? 0);

1

指数函数模型: l ( x) ? ab ? c ( a ? 0, b >0, b ? 1 ) 利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型 2.4.1 函数的零点 测试题 一、选择题
x

4 1.函数f(x)=x- x 的零点是(
A.0 B.1 C.2 D.无数个
3 2



2.函数f(x)= x ? 2 x ? x ? 2 的零点是( ) A. 1,2,3 B.-1,1,2 C.0,1,2 D.-1,1,-2 3.若函数f(X)在[0,4]上的图像是连续的,且方程f(x)=0在(0,4)内仅有一个实数根, 则发f(0) ? f(4)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法判断 4.若函数f(x)=m x +8mx+21,当f(x)<0时-7<x<-1,则实数m的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
2

x ?1 5.f(x)= x ,方程f(4x)=x的根是(
A.-2 B.2 C.-0.5 D.0.5



1 1 f ( ).f (? ) ? 0 2 6.设函数)f(x)= x ? bx ? c 在[-1,1]上为增函数,且 2 ,则方程 f(x)在[-1,1]内
3

A .可能有 3 个实数根 C. 有唯一的实数根

B .可能有 2 个实数根 D .没有实数根 ( )

3 7.设 f(x) = - 5x ? 2x ? 1 ,则在下列区间中,使函数 f(x)有零点的区间是

2

A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0] 8.给出下列三个函数的图象;07 徐州三练) 3.方程 2x+x-4=O 的解所在区间为 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 9.已知函数 y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程 f(x)=c(c 为常数)的解的情况( A.有且只有一个解 B.至少有一个解 C.至多有一个解 D.可能无解,可能有一个或多个解 二、填空题:

)

2 10 . 关 于 x 的 方 程 2 k x - 2 x - 3 k = 0 的 两 根 一 个 大 于 1 , 一 个 小 于 1 , 则 实 数 的 取 值 范 围 .

2 2 11 .若 函数 f( x) = x - ax -b 的两 个零 点时 2和 3, 则函 数g (x )= b x -ax-1的零 点 . 三、解答题

12.已知函数f(x)=2(m-1) x -4mx+2m-1 (1)m为何值时,函数图像与x轴有一个公共点. (2)如果函数的一个零点为2,求m的值. 13.已知二次函数 f(x)=a x +bx(a,b是常数且a ? 0)满足条件:f(2)=0.方程有等根 (1)求 f(x)的解析式; (2)问:是否存在实数m,n使得f(x)定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n] ,如存在,求出 m,n的值;如不存在,说明理由. 第三章检测题 一、选择题 1、下列函数有 2 个零点的是( )
2

2

A、 y ? 4 x ? 5x ?10
2

B、 y ? 3x ? 10 D、 y ? 4 x ? 4 x ? 1
2

C、 y ? ? x ? 3x ? 5
2
2

2、用二分法计算 3x ? 3x ? 8 ? 0 在 x ? (1, 2) 内的根的过程中得:

f (1) ? 0 , f (1.5) ? 0 , f (1.25) ? 0 ,则方程的根落在区间(
A、 (1,1.5) B、 (1.5, 2) C、 (1,1.25) D、 (1.25,1.5)



3、一商店把货物按标价的九折出售,仍可获利 20%,若该货物的进价为每件 21 元,则 每件的标价应为( ) A、27.27 元 B、28 元 C、29.17 元 D、30 元 4、某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%) ,仍可获利 10%(相对进 货价) ,则该家具的进货价是( ) A、108 元 B、105 元 C、106 元 D、118 元 5、若方程 a ? x ? a ? 0 有两个解,则实数 a 的取值范围是(
x



A、 (1, ??)

D、 ? 6、给右图的容器甲注水,下面图像中哪一个图像可以大致刻画容器中水的高度与时间的 函数关系: ( )
水高 水高

B、 (0,1)

C、 (0, ??)

A 0 A C 0 7、方程 A、0
时间 水高 时间

B 0
水高 时间

B

D 0
时间

容器甲

x ?1 ? 2

x

根的个数为( ) B、1 C、2

D、3

3

8、假设银行 1 年定期的年利率为 2%,某人为观看 2008 年的奥运会,从 2001 年元旦开始在银行存款 1 万元, 存期 1 年,第二年元旦再把 1 万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存 1 年定期存款,以后每年元旦都这 样存款,则到 2007 年年底,这个人的银行存款共有(精确到 0.01) ( ) A、7.14 万元 B、7.58 万元 C、7.56 万元 D、7.50 万元 二、填空题 9、函数 f ( x) ? ( x ?1)( x ? 2) ( x ? 2 x ? 3) 的零点是
2 2 2

(必须写全所有的零点) 。 。

f ( x) ?
10、若 系式为 y =

11、若镭经过 100 年,质量便比原来减少 4.24%,设质量为 1 的镭经过 x 年后剩留量为 y ,则 y 与 x 的函数关 。 12、已知函数 f ( x ) 的图象是连续不断的,有如下 x, f ( x) 对应值表: x -2 -1 0 1 2 5 6 f ( x) -10 3 2 -7 -18 -3 38 则函数 f ( x ) 在区间 有零点。 三、解答题 13、有一块长为 20cm,宽为 12cm 的矩形铁皮,将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形,然后折成一个无 盖的盒子,写出这个盒子的体积 V 与边长 x 的函数关系式,并讨论这个函数的定义域。 14、某地兴修水利挖渠,其渠道的横截面为等腰梯形,腰与水平线的夹角为 60°,设横截面周长为定值 m,问 渠道深 h 为多少时,可使其流量最大? 15、某厂生产一种新型的电子产品,为此更新专用设备和请专家设计共花去了 200000 元,生产每件电子产品的 直接成本为 300 元,每件电子产品的售价为 500 元,产量 x 对总成本 C、单位成本 P、销售收入 R 以及利润 L 之间存在什么样的函数关系?表示了什么实际含义? 16、写一段小作文来说明下图中的图象所对应的函数的实际意义

x ?1 x ,则方程 f (4 x) ? x 的根为

y
5

0

5

10

15

20

x

17、纳税是每个公民应尽的义务,从事经营活动的有关部门必须向政府税务部门交纳一定的营业税。某地区税 务部门对餐饮业的征收标准如下表 每月的营业额 征税情况 1000 元以下 (包括 1000 300 元 元) 1000 元以下 (包括 1000 元) 部分征收 300 超过 1000 元 元, 超过部分的税率为 4% (1)写出每月征收的税金 y(元)与营业额 x(元)之间的函数关系式; (2)某饭店 5 月份的营业额是 35000 元,这个月该饭店应缴纳税金多少? 18、WAP 手机上网每月使用量在 500 分钟以下(包括 500 分钟)按 30 元记费,超过 500 分钟按 0.15 元/分钟记 费。假如上网时间过短,在 1 分钟以下不记费,1 分钟以上(包括 1 分钟)按 0.5 元/分钟记费。WAP 手机上网 不收通话费和漫游费。 (1)小周 12 月份用 WAP 手机上网 20 小时,要付多少上网费? (2)小周 10 月份付了 90 元上网费,那么他这个月用手机上网多少小时? (3)你会选择 WAP 手机上网吗?你是用那一种方式上网的?

4


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