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2.2.3-独立重复试验与二项分布


独立重复试验与二项分布

复习回顾
前面我们学习了互斥事件、相互独立事件的意 义,这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些 模型,吻合模型用公式去求概率简便. ⑴ P( A ? B) ? P( A) ? P( B)(当 A与B 互斥时) ; (2) P( AB) ? P ( A) P ( B) (当 A与B 相互独立时) 那么求概率还有什么模型呢?



分析下面的试验,它们有什么共同特点? ⑴ 投掷一个质地均匀骰子投掷 20 次; ⑵某人射击 1 次,击中目标的概率是 0.8, 他射击 10 次; ⑶实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局 就算胜出并停止比赛); 它们共同特点: ⑷一个盒子中装有 5 个球(3 个红球和 1). 每次试验是在同样的条件下重复进行的 ;2个 黑球) ,有放回地依次从中抽取 5 个球; 2). 各次试验中的事件是相互独立的; ⑸生产一种零件,出现次品的概率是 0.04, 3). 每次试验都只有两种结果:发生与不发生; 生产这种零件 4 件. 4). 每次试验某事件发生的概率是相同的 .

n 次独立重复试验: 一般地,在相同条件下,重复做的 n 次试验称 为 n 次独立重复试验.
在 n 次独立重复试验中,记 Ai 是“第 i 次试 验的结果” P( A1 A2 ? An ) = P( A1 ) P( A2 )? P( An )
“相同条件下” 等价于各次试验的结果不会受其他试 验的影响。

判断下列试验是不是独立重复试验: 1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上 ; × 2).某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射 击了10次,其中6次击中; √ 3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次 抽取5个球,恰好抽出4个白球;×

问题:某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.8,现连 续射击 3 次. ⑴第一次命中,后面两次不中的概率; ⑵恰有一次命中的概率; ⑶恰有两次命中的概率.

解: 记事件 “第 i 次击中目标” 为 Ai ,则 A1、A2、A3 相 互独立.且 P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? 0.8 .
⑴第一次命中,后面两次不中的事件即 A 1 A 2 A 3 ∴ P ( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 ) ? ?1 ? P ( A2 )? ? ? ?1 ? P ( A3 )? ? =0.032

⑵恰有一次命中的事件即 A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ∴恰有一次命中的事件的概率 P2 ? 3 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.096

⑶恰有两次命中的事件即 A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ∴恰有两次命中的事件的概率 P3 ? 3 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.384

2、n次独立重复试验的概率公式及结构特点: 如果在1次试验中,事件A出现的概率为p, 则在 n次试验中,A恰好出现 k 次的概率为: 事件 A 发生的概率
k n k

事件 A发生的概率
n? k

Pn ( k ) ? C ? p ? (1 ? p )
实验总次数
事件 A 发生的次数

(其中k = 0,1,2,· · · ,n )

3、二项分布
在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数是X,且在每次试验中事件 A发生的概率是 是(p+q)n展开式第 说说与两点分布的区别和 p,那么事件A恰好发生k次的概率是为 k+1项吗? 联系

k k P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p )n ? k , k ? 0,1, 2, ..., n
于是得到随机变量X的概率分布如下:(q=1-p)

X p

0

1



k
k k n?k Cn p q

… …

n
n n 0 Cn p q

0 0 n 1 1 n ?1 Cn p q Cn pq …

此时我们称随机变量X服从二项分布,
记作: X ~ B( n, p ) 其中p为成功概率.

例1:1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个 交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概 率都是1/3.(1)求这名学生在途中遇到3次红灯的.(2)求这 名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

1 解:记ξ为学生在途中遇到红灯次数,则? ~ B(5, ) 3 (1)遇到3次红灯的概率为: 1 3 2 2 40 P (? ? 3) ? C ( ) ( ) ? 3 3 243
3 5

(2)至少遇到一次红灯的概率为:

2 5 211 P ? ? ? 1? ? 1 ? P ? ? ? 0 ? ? 1 ? ( ) ? . 3 243

运用n次独立重复试验模型解题
练习:某射手每次射击击中目标的概率是0.8. 求这名射 手在10次射击中。 (1)恰有8次击中目标的概率; (2)至少有8次击中目标的概率。

(结果保留两个有效数字)

例 2 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛) . ⑴试求甲打完 5 局才能取胜的概率. ⑵按比赛规则甲获胜的概率.
解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为 1 1 ,乙获胜的概率为 . 2 2 ⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验, 且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜 2 负 ∴甲打完 5 局才能取胜的概率 1 2 1 2 1 3 2 P1 ? C 4 ? ( ) ? ( ) ? ? . 2 2 2 16
王新敞
奎屯 新疆

(2) 记事件 A ? “甲打完 3 局才能取胜” , 事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . 事 件 D = “ 按 比 赛 规 则 甲 获 胜 ”, 则 D ? A ? B ? C ,又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 故 P ( D) ? P ( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B) ? P (C ) 1 3 3 1 ? ? ? ? . 8 16 16 2 1 答:按比赛规则甲获胜的概率为 . 2

练习巩固: 1.每次试验的成功率为 p(0 ? p ? 1) ,重复进行 10 次试验, 其中前 7 次都未成功后 3 次都成功的概率为( C) 3 3 3 3 (A) C10 p (1 ? p)7 (B) C10 p (1 ? p)3 (C) p3 (1 ? p)7 (D) p7 (1 ? p)3 2.某人参加一次考试,若 5 道题答对 4 道题则为及格,已 知他解 1 道题的正确率为 0.6,试求他能及格的概率(保留 2 位小数)。 4 4 5 5

C5 ? 0.6 ? 0.4 ? C5 ? 0.6 ? 0.34

3.某人对一目标进行射击,每次命中率都是 0.25,若使至少 命 中 1 次 的 概 率 不 小 于 0.75 , 至 少 应 射 击 几 次 ? ( lg 2 ? 0.3010, lg 3 ? 0.4771 )

3 .某 人对一 目标 进行射 击,每 次命 中率都是 0.25 ,若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,至 少应射击几次?( lg 2 ? 0.3010, lg 3 ? 0.4771 )
解:设要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,应射击 n 次 记事件 A =“射击一次,击中目标” ,则 P( A) ? 0.25 . ∵射击 n 次相当于 n 次独立重复试验, ∴事件 A 至少发生 1 次的概率为 P ? 1 ? Pn (0) ? 1 ? 0.75n . 3 n 1 n 由题意,令 1 ? 0.75 ≥ 0.75 ,∴ ( ) ≤ , 4 4 1 lg ∴ n ≥ 4 ? 4.82 ,∴ n 至少取 5. 3 lg 4 答:要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75 ,至少应射击 5 次
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

小结
独立重复试验
一般地,在相同条件下,重复做的 n 次试验称 为 n 次独立重复试验.

二项分布 ? ~ B(n, p)
P(? ? k ) ? C p (1 ? p) , k ? 0,1,2,?, n
k n k n? k


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