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第五章振动和波


第五章 0249 如图,劲度系数为 k 的弹簧一端固定在墙上,另一端连接一质量为 M 的容器,容 器可在光滑水平面上运动.当弹簧未变形时容器位于 O 处,今使容器自 O 点左侧 l0 处 从静止开始运动,每经过 O 点一次时,从上方滴管中 滴入一质量为 m 的油滴,求: (1) 容器中滴入 n 滴以后, 容器运动到距 O 点的 M 最远距离; x l0 O (2) 容器滴入第(n+1)滴与第 n 滴的时间间隔. 解: 容器中每滴入一油滴的前后, (1) 水平方向动量值不变, 而且在容器回到 O 点滴入下一油滴前, 水平方向动量的大小与刚滴入上一油滴后的瞬间后 的相同。依此,设容器第一次过 O 点油滴滴入前的速度为 v,刚滴入第个油滴后的速度 为 v′,则有 ① 3分 Mv ? (M ? nm)v ? 系统机械能守恒

由①、②、③、解出

1 2 1 kl0 ? Mv 2 2 2 1 2 1 kx ? ( M ? nm)v ? 2 ? 2 2 x ? M /(M ? nm) l0 ?
?

② ③

2分 2分 2分

(2) 时间间隔( tn+1?tn )应等于第 n 滴油滴入容器后振动系统周期 Tn 的一半. ?

1 ?t n ? t n?1 ? t n ? Tn ? π ( M ? nm) / k ????? ??? 2

3分

0318 一个轻弹簧在 60 N 的拉力作用下可伸长 30 cm.现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它 上面放一小物体,它们的总质量为 4 kg.待其静止后再把物体向下拉 10 cm,然后释放.问: (1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它? (2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离, 则振幅 A 需满足何条件?二者在 何位置开始分离? 解:(1) 小物体受力如图. N 设小物体随振动物体的加速度为 a,按牛顿第二定律有(取向下为正) 1分 mg ? N ? ma

N ? m( g ? a)
当 N = 0,即 a = g 时,小物体开始脱离振动物体,已知 1 分 A = 10 cm, k ? 有 系统最大加速度为
mg

60 N/m 0.3 ? ? k / m ? 50 rad?s-1 a max ? ? 2 A ? 5 m?s-2
g ? a ? ?? 2 x x ? ? g / ? ? ?19.6 cm
2

2分 1分 1分 2分 1分 1分

此值小于 g,故小物体不会离开. (2) 如使 a > g,小物体能脱离振动物体,开始分离的位置由 N = 0 求得

即在平衡位置上方 19.6 cm 处开始分离,由 a max ? ? A ? g ,可得
2

A ? g / ? 2 =19.6 cm.

一定滑轮的半径为 R,转动惯量为 J,其上挂一轻绳,绳的一 端系一质量为 m 的物体,另一端与一固定的轻弹簧相连,如图所 示.设弹簧的劲度系数为 k,绳与滑轮间无滑动,且忽略轴的摩擦 力及空气阻力.现将物体 m 从平衡位置拉下一微小距离后放手, 证明物体作简谐振动,并求出其角频率. 解:取如图 x 坐标,平衡位置为原点 O,向下为正,m N T1 在平衡位置时弹簧已伸长 x0 0321 mg ? kx0 ① 1分 设 m 在 x 位置,分析受力, 这时弹簧伸长 x ? x0

m

T2 ? k ( x ? x0 )
由牛顿第二定律和转动定律列方程:

② ③

1分 2分

T2 Mg T1

mg

m x 0 x

O

mg ? T1 ? ma

T1 R ? T2 R ? J?
a ? R? ? kx a? (J / R2 ) ? m
④ ⑤ 1分 1分 2分 2分 2分

联立解得

由于 x 系数为一负常数,故物体做简谐振动,其角频率为

??

k ? (J / R 2 ) ? m

kR J ? mR 2

2

0327 一轻弹簧,上端固定,下端挂有质量为 m 的重物,其自由振动的周期为 T.今已知振子 离开平衡位置为 x 时,其振动速度为 v,加速度为 a.则下列计算该振子劲度系数的公式中, 错误的是: (A) (C) B 0501 质量为 2 kg 的质点,按方程 x ? 0.2 sin[5t ? (? / 6)] (SI)沿着 x 轴振动.求: (1) t = 0 时,作用于质点的力的大小; (2) 作用于质点的力的最大值和此时质点的位置. 解:(1) t = 0 时, a = 2.5 m/s2 ,| F | = ma = 5 N 2分 (2) | amax | = 5,其时 | sin(5t - ?/6) | = 1 | Fmax | = m| amax | = 10 N x = ±0.2 m(振幅端点) 0580 一长为 l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上, (如图所示) 作 ,
2 2 k ? mv max / xmax .

(B) (D)

k ? mg / x .

k ? 4? 2 m / T 2 .

k ? ma / x .





1分 1分 1分
O

1 2 成一复摆.已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量 J ? ml ,此摆作微小振动 3
的周期为

l

(A)

2? 2?

l . g 2l . 3g

(B)

2? ?

l . 2g l . 3g
[ ]

(C)

(D)

C 0584 二小球悬于同样长度 l 的线上.将第一球沿竖直方向上举到悬点, 而将第二球从平衡位置移开,使悬线和竖直线成一微小角度 ? ,如 图.现将二球同时放开,则何者先到达最低位置? 解:第一球自由落下通过路程 l 需时间

l

?

l

t1 ? 2l / g ? 1.41 l / g
2分 而第二球返回平衡(即最低)位置需时

t 2 ? T / 4 ? 1.57 l / g

3分

t 2 ? t1 ,故第一球先到。
2776 轻质弹簧下挂一个小盘,小盘作简谐振动,平衡位置为原点,位移向下为正,并采用余 弦表示。 小盘处于最低位置时刻有一个小物体不变盘速地粘在盘上, 设新的平衡位置相对原 平衡位置向下移动的距离小于原振幅, 且以小物体与盘相碰为计时零点, 那么以新的平衡位 置为原点时,新的位移表示式的初相在 (A) 0~?/2 之间. (B) ?/2~?之间. (C) ?~3?/2 之间. (D) 3?/2~2?之间. [ ] D 3001 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开, 使摆线与竖直方向成一微小角度? , 然后由 静止放手任其振动,从放手时开始计时.若用余弦函数表示其运动方程,则该单摆振动的初 相为 (A) ?. (B) ?/2. (C) 0 . (D) ?. [ ] C 3002 两个质点各自作简谐振动,它们的振幅相同、周期相同.第一个质点的振动方程为 x1 = Acos(?t + ?).当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时,第二个质点 正在最大正位移处.则第二个质点的振动方程为 (A)

1 x2 ? A cos( t ? ? ? π) . ? 2 3 (C) x 2 ? A cos( t ? ? ? π) . ? 2

(B) (D)

1 x2 ? A cos( t ? ? ? π) . ? 2
x2 ? A cos( t ? ? ? ?) . ?
[ ]

B 3003 轻弹簧上端固定, 下系一质量为 m1 的物体, 稳定后在 m1 下边又系一质量为 m2 的物体, 于是弹簧又伸长了?x.若将 m2 移去,并令其振动,则振动周期为

(A)

T ? 2?

m 2 ?x . m1 g

(B)

T ? 2?
T ? 2?

m1 ?x . m2 g
m 2 ?x . (m1 ? m 2 ) g
[ ]

(C)

T?

1 m1 ?x . 2? m 2 g

(D)

B 3004 劲度系数分别为 k1 和 k2 的两个轻弹簧串联在一起,下面挂着质量为 m 的物体,构成一个竖挂的弹簧振子,则该系统的振动周期为 (A)

k1 k2 m

T ? 2?

m ( k1 ? k 2 ) . 2 k1 k 2 m ( k1 ? k 2 ) . k1 k 2

(B)

T ? 2?

m . ( k1 ? k 2 ) 2m . k1 ? k 2
[ ]

(C) T ? 2?

(D) T ? 2?

C 3006 一劲度系数为 k 的轻弹簧截成三等份,取出其中的两根,将 它们并联,下面挂一质量为 m 的物体,如图所示。则振动系统的 频率为 (A) (C)

? k . ?? 3m ? 3k ?? m


(B)

? k . ?? m
(D)

k m

? 6k . ?? m





D 3007 一质量为 m 的物体挂在劲度系数为 k 的轻弹簧下面,振动角频率为?.若把此弹簧分割 成二等份,将物体 m 挂在分割后的一根弹簧上,则振动角频率是 (A) 2??. (C) (B)

2? .
[ ]

?/ 2.

(D) ? /2.

B 3008 一长度为 l、 劲度系数为 k 的均匀轻弹簧分割成长度分别为 l1 和 l2 的两部分, l1 = n l2, 且 n 为整数. 则相应的劲度系数 k1 和 k2 为 (A) (B) (C)

kn , k 2 ? k (n ? 1) . n ?1 k (n ? 1) k , k2 ? . k1 ? n n ?1 k (n ? 1) , k 2 ? k (n ? 1) . k1 ? n k1 ?

(D)

k1 ?

kn , n ?1

k2 ?

k . n ?1





C 30089 一弹簧振子作简谐振动,振幅为 A,周期为 T,其运动方程用余弦函数表示.若 t = 0 时, (1) 振子在负的最大位移处,则初相为______________________; (2) 振子在平衡位置向正方向运动,则初相为________________; (3) 振子在位移为 A/2 处,且向负方向运动,则初相为______. ? -?? /2 ???. 3010 有两相同的弹簧,其劲度系数均为 k. (1) 把它们串联起来,下面挂一个质量为 m 的重物,此系统作简谐振动的周

1分 2分 2分

期为___________________; (2) 把它们并联起来,下面挂一个质量为 m 的重物,此系统作简谐振动的周

期为___________________________________.

2? 2m / k ?? 2? m / 2k
3013 一单摆的悬线长 l = 1.5 m, 在顶端固定点的竖直下方 0.45 m 处 有一小钉,如图示.设摆动很小,则单摆的左右 两方振幅之比 A1/A2 的近似值为_______________. 0.84 3分 参考解:左右摆动能量相同,应有

2分 2分

0.45 m
小钉

l

1 1 2 2 mA12?12 ? mA2 ? 2 2 2 g / l2 A1 ? 2 l 1.05 ? ? ? 1 ? ? 0.84 A2 ? 1 l2 1.5 g / l1
3014 一物体在光滑水平面上作简谐振动,振幅是 12 cm,在距平衡位置 6 cm 处速度是 24 cm/s,求 (1)周期 T; (2)当速度是 12 cm/s 时的位移. 解:设振动方程为 x ? A cos? t ,则 v ? ? A? sin ? t (1) 在 x = 6 cm,v = 24 cm/s 状态下有

6 ? 12 cos? t

24 ? ?12? sin ? t
解得 ? ? 4 / 3 ,∴ T ? 2? / ? ? 3? / 2 s ? 2.72 s (2) 设对应于 v =12 cm/s 的时刻为 t2,则由 2分

v ? ? A? sin ? t

得 解上式得 相应的位移为

12 ? ?12 ? (4 / 3 ) ? sin ? t 2 , sin ? t 2 ? ?0.1875
2 ? x ? A cos? t 2 ? ? A 1 ? sin ? t 2 ? ?10 .8 cm

3分

3015 在 t = 0 时,周期为 T、振幅为 A 的单摆分别处于图(a)、(b)、 (c)三种状态.若选单摆的平衡位置为坐标的原点,坐标指向正右 方,则单摆作小角度摆动的振动表达式(用余弦函数表示)分别 为 (a) ______________________________; (b) ______________________________; (c) ______________________________.

v0 v0 (a) (b)

v0 = 0 (c)

2?t 1 x ? A c o s ( ? ?) T 2 2?t 1 x ? A c o s ( ? ?) T 2 2?t x ? A c o s ( ? ?) T

2分 2分 1分

3017 一质点沿 x 轴作简谐振动,其角频率? = 10 rad/s.试分别写出以下两种初始状态下的振 动方程: (1) 其初始位移 x0 = 7.5 cm,初始速度 v0 = 75.0 cm/s; (2) 其初始位移 x0 =7.5 cm,初始速度 v0 =-75.0 cm/s. 解:振动方程 x = Acos(?t+?) (1) t = 0 时 x0 =7.5 cm=Acos? v0 =75 cm/s=-Asin? 解上两个方程得 A =10.6 cm 1分 ? = -?/4 1分 ∴ x =10.6?10 2cos[10t-(?/4)] (SI) 1分 (2) t = 0 时 x0 =7.5 cm=Acos? v0 =-75 cm/s=-Asin? 解上两个方程得 A =10.6 cm,? = ?/4 1分 ∴ x =10.6?10 2cos[10t+(?/4)] (SI) 1分 3018 一轻弹簧在 60 N 的拉力下伸长 30 cm.现把质量为 4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并 使之静止 ,再把物体向下拉 10 cm,然 后由静止释放并开始计时.求 (1) 物体的振动方程; (2) 物体在平衡位置上方 5 cm 时弹簧对物体的拉力; (3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方 5 cm 处所需要的最短时间.

解:

k = f/x =200 N/m ,

2分 (1) 选 平 衡 位 置 为 原 点 , x 轴 指 向 下 方 ( 如 图 所 示 ) , 5 cm t = 0 时, x0 = 10Acos??,v0 = 0 = -A?sin?. O 解以上二式得 A = 10 cm,? = 0. 2分 x ∴ 振动方程 x = 0.1 cos(7.07t) (SI) 1分 (2) 物体在平衡位置上方 5 cm 时,弹簧对物体的拉力 f = m(g-a ),而 a = -?2x = 2.5 m/s2 ∴ f =4 (9.8-2.5) N= 29.2 N 3分 (3) 设 t1 时刻物体在平衡位置,此时 x = 0,即 0 = Acos??t1 或 cos??t1 = 0. ∵ 此时物体向上运动, v < 0 ∴ ??t1 = ?/2,?t1= ?/2? = 0.222 s 1分 再设 t2 时物体在平衡位置上方 5 cm 处,此时 x = -5,即 -5 = Acos??t1,cos??t1 =-1/2 ∵ v < 0, ??t2 = 2?/3, t2=2 ?/3? =0.296 s 2分 ? ?t = t1-t2 = (0.296-0.222) s=0.074 s 1分 3021 一木板在水平面上作简谐振动, 振幅是 12 cm, 在距平衡位置 6 cm 处速率是 24 cm/s. 如 果一小物块置于振动木板上, 由于静摩擦力的作用, 小物块和木板一起运动 (振动频率不变) , 当木板运动到最大位移处时, 物块正好开始在木板上滑动, 问物块与木板之间的静摩擦系数 ?为多少? 解:若从正最大位移处开始振动,则振动方程为 ? x ? A cos( t ) , x ? ? A? sin ? t ?

? ? k / m ? 7.07 rad/s

? 在 x ? 6 cm 处, x ? 24 cm/s
∴ 6 =12|cos??t|, 24=|-12???sin???t|, 解以上二式得

? ? 4 / 3 rad/s ?? ? ? A? 2 cos? t , x ?? ? A? 2 x x 木板在最大位移处 ?? 最大,为
?mg ? mA? 2 ? ? A? 2 / g ? 0.0 6 5 3

3分 ① ② ③ 2分 2分 1分

若 mA?2 稍稍大于?mg,则 m 开始在木板上滑动,取 ∴ 3022 一质点在 x 轴上作简谐振动,选取该质点向右运动通过 A 点时作为计时起点( t = 0 ), 经过 2 秒后质点第一次经过 B 点,再经过 2 秒后质点第二次经过 B A B 点,若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率,且 AB = 10 cm ? x v 求: (1) 质点的振动方程; (2) 质点在 A 点处的速率. t = 4s 解:由旋转矢量图和 |vA| = |vB| 可知 T/2 = 4 秒, -1 ? ∴ T = 8 s, ? = (1/8) s , x A B vA O vB vB ???????????????? s-1 3分 (1) 以 AB 的中点为坐标原点,x 轴指向右方. t = 0 时, x ? ?5 cm ? A cos? t = 2 s 时,
?
t=0 t = 2s

x ? 5 cm ? A cos(2? ? ? ) ? ? A sin ?

由上二式解得

tg? = 1 因为在 A 点质点的速度大于零,所以? = -3?/4 或 5?/4(如图)

2分 1分 1分 2分



振动方程 (2) 速率

A ? x / cos? ? 5 2 cm x ? 5 2 ? 10 ?2 c o s?t ? 3? ) (SI) ( 4 4
?2 v ? d x ? ? 5 2? ? 10 sin( ?t ? 3? ) (SI) dt 4 4 4

当 t = 0 时,质点在 A 点

v ? d x ? ? 5 2? ? 10 ? 2 sin(? 3? ) ? 3.93 ? 10 ? 2 m/s dt 4 4

1分

3023 一弹簧振子,当把它水平放置时,它可以作简谐振 动.若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上,试判断下 面哪种情况是正确的: (A) 竖直放置可作简谐振动, 放在光滑斜面上不能作 简谐振动. (B) 竖直放置不能作简谐振动,放在光滑斜面上可作 竖直放置 简谐振动. 放在光滑斜面上 (C) 两种情况都可作简谐振动. (D) 两种情况都不能作简谐振动. [ ] C 3027 在一平板上放一质量为 m =2 kg 的物体,平板在竖直方向作简谐振动,其振动周期为 T =

1 s,振幅 A = 4 cm,求 2

(1) 物体对平板的压力的表达式. (2) 平板以多大的振幅振动时,物体才能离开平板? 解:选平板位于正最大位移处时开始计时,平板的振动方程为 (SI) x ? A cos4?t (1) 对物体有 物对板的压力为

N

?? ? ?16π A cos 4π t x mg ? N ? m?? x
2
2

(SI) ① ② (SI)

1分 1分
mg

N ? mg ? m?? ? mg ? 16 ? A cos 4?t (SI) x F ? ? N ? ?mg ? 16 ? 2 A cos 4?t

?? x

? ?19.6 ? 1.28? 2 cos 4?t
(2) 物体脱离平板时必须 N = 0,由②式得



2分 1分

mg ? 16 ? 2 A cos 4?t ? 0

(SI)

cos 4?t ? ?
若能脱离必须 即

q 16 ? 2 A

1分

cos 4?t ? 1 (SI)

A ? g /(16 ? 2 ) ? 6.21 ? 10 ?2 m

2分

3028 一弹簧振子作简谐振动,总能量为 E1,如果简谐振动振幅增加为原来的两倍,重物的 质量增为原来的四倍,则它的总能量 E2 变为 (A) E1/4. (B) E1/2.

(C) 2E1.

(D) 4 E1 .





D 3029 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能 是总能量的______________. (设平衡位置处势能为零) .当这物块在平衡位置 时,弹簧的长度比原长长?l,这一振动系统的周期为________________________. 3/4 2分

2?

?l / g

2分 x x1 x2 t

3030 两个同周期简谐振动曲线如图所示.x1 的相位比 x2 的相位 (A) 落后?/2. (B) 超前???. (C) 落后??. (D) 超前?. [ ] B

O

3031 已知一质点沿y轴作简谐振动. 其振动方程为 y ? A cos( t ? 3? / 4) .与之对应的振动曲线是 ? [ ] B

y A o ?A y t (A)

y

A
o ?A y t (B)

A
o ?A 3032 已知两个简谐振动的振动曲线如图所示.两 简谐振动的最大速率之比为_________________. 1∶1 2 1 o -1 x(cm) x2 x1 1 2 t (C)

A
o ?A t (D)

3

4

3分

t(s)

-2 3033 一简谐振动用余弦函数表示,其振动曲线如图所示,则 此简谐振动的三个特征量为 A =_____________;? =________________;
10 5

x (cm) t (s)

13

? =_______________.

O 1 4710 -10

10 cm (?/6) rad/s ?/3 3034 已知两个简谐振动曲线如图所示.x1 的相位比 x2 的相位超前_______. O

1分 1分 1分

x

x1 x2

t 3分
x t

3?/4 3035 两个简谐振动方程分别为

x1 ? A c o ? t , x2 ? A cos( t ? 1 ?) s ? 3
在同一坐标上画出两者的 x—t 曲线. x1 曲线见图 x2 曲线见图 2分 2分

O

x A A/2 o ?A

x2

x1 t

3036 已知一简谐振动曲线如图所示,由图确定振子: (1) 在_____________s 时速度为零.
O

x (cm) t (s) 1 2

(2) 在____________ s 时动能最大. (3) 在____________ s 时加速度取正的最大值. 0.5(2n+1) n = 0,1,2,3,… n n = 0,1,2,3,… 0.5(4n+1) n = 0,1,2,3,… 3037 已知三个简谐振动曲线如图所示,则振动方程分别 为: x1 =______________________, x2 = _____________________, x3 =_______________________. 0.1cos?t (SI)

1分 1分 1分

10 0 O -10

x (cm) x2 x3 1

x1 t (s) 2 3

1分 1分 1分

2 0.1 cos(?t ? ?)

0.1 cos(?t ? 1 ?)

(SI) (SI)

3038 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示. 当振子处在位移 为零、速度为-?A、加速度为零和弹性力为零

x A a d O b c f e t

的状态时,应对应于曲线上的________点.当振子处在位移的绝 对值为 A、速度为零、加速度为-??A 和弹性力 为-kA 的状态时,应对应于曲线上的____________点. b,f a,e b,f a,e 3039 两个简谐振动曲线如图所示,则两个简谐振动 的频率之比?1∶?2=__________________,加速度最 大值之比 a1m∶a2m =__________________________, ?A 初始速率之比 v10∶v20=____________________. 2∶1 4∶1 2 ∶ 1 1分 3040 有简谐振动方程为 x = 1?10 2cos(??t+?)(SI),初相分别为?1 = ?/2,?2 = ?,?3 = -?/2 的三个振动.试在同一个坐标上画出上 述三个振动曲线. 曲线(1)见图 曲线(2)见图 曲线(3)见图 1分 1分 1分

-A

2分 2分 2分 2分 x

A
o

1

x1 x2

t

1分 1分

x (cm) t (s) O

1 0 O -1

x (cm) (3)(2) (1) t (s) 1 2 3

3041 一简谐振动曲线如图所示,则由图可确定在 t = 2s 时刻质点的位移为 ____________________,速度为 __________________. 0 1分 3? cm/s 3042
6 t (s) O 1 2 3 4 -6 x (cm)

2分

一个质点作简谐振动,振幅为 A,在起始时

1 刻质点的位移为 A ,且向 x 轴的正方向运动, 2
代 表 此 简 谐 振 动 的 旋 转 矢 量 图 为 [ ] B

? A
(A)

??
x
2

o1 x

A

(B) ?o

1 2

A
??

x

A

?? ? A
(C)

x x

?1A 2
(D)

?1A 2
3043 一个质点作简谐振动,振幅为 A,在起始时

xo

o ? A

x

?? x ??
x

1 刻质点的位移为 A ,且向 x 轴的正方向运动, 2
代表此简谐振动的旋转矢量图为 [ ]

? A
(A)

o1 x

2

A

(B) ?o

1 2

A
??

x

A

?? ? A
(C) xo ?1A 2

x x

?1A 2
(D)

o ? A

x

x2 = 3?10 2 sin(4t - ?/6) = 3?10 2cos(4t - ?/6- ?/2) = 3?10 2cos(4t - 2?/3). 作两振动的旋转矢量图,如图所示. 由图得:合振动的振幅和初相分别为 A = (5-3)cm = 2 cm,? = ?/3. 合振动方程为 x = 2?10 2cos(4t + ?/3) (SI) 解:
-

?? x

图2分 2分 1分

? A1
? A
??? ? O A2 ?????

?

x

?
3045 一质点作简谐振动,其振动方程为 x = 0.24 cos(1 ?t ? 1 ?) (SI),试用旋转矢量法求出

2

3

质点由初始状态(t = 0 的状态)运动到 x = -0.12 m,v < 0 的状态所需最短时间?t. 解:旋转矢量如图所示. 图3分 t ?? ? ?? t=0 由振动方程可得 A ?

? ? π , ?? ? 1 ? 3 2 ? ?t ? ?? / ? ? 0.667 s
3046

1

1分 1分

x (m) ???? -0.24-0.12 O 0.12 0.24

A ????

一简谐振动的旋转矢量图如图所示,振幅矢量长 2 cm,则该简谐振动的初相为____________.振动方程 为______________________________. ?/4

t=t

?
?t O

t =0

?

???

x

1分

x ? 2 ? 10 c o s?( ? ? / 4) (SI) t 2分 3047 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动.在振动过程中,每当第一个物体经过位

?2

移为 A / 2 的位置向平衡位置运动时,第二个物体也经过此位置,但向远离平衡位置的方 向运动.试利用旋转矢量法求它们的相位差. 解:依题意画出旋转矢量图. 3分 ?? 由图可知两简谐振动的位相差为 3050 两个同方向的简谐振动曲线如图所示.合振动的振幅 为_______________________________,合振动的振动方程 为________________________________. |A1 – A2| 1分

1 ?. 2

2分
O

A

A/

2

x
· A x ?? A2 A1 O

x1(t) T x2(t)

t

-A1 -A2

x ? A2 ? A1 c o s2(? t ? 1 ?) T 2
3051 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为 x1 = 4?10 2cos2? (t ? )
-

2分

1 8

(SI),

x2 = 3?10 2cos2? (t ? )
-

1 4

(SI)

求合振动方程. 解:由题意
x1 = 4?10 2cos (2?t ? ? )

4 x2 =3?10 2cos (2?t ? ? ) 2

(SI) (SI)

按合成振动公式代入已知量,可得合振幅及初相为

A ? 4 2 ? 3 2 ? 24 cos(? / 2 ? ? / 4) ? 10 ?2 m
= 6.48?10 2 m
-

2分 2分 1分

? ? arctg
合振动方程为

4 sin(? / 4) ? 3 sin(? / 2) =1.12 rad 4 cos(? / 4) ? 3 cos(? / 2)
-

x = 6.48?10 2 cos(2?t+1.12) (SI)

3052 两个同方向简谐振动的振动方程分别为

x1 ? 5 ? 10 ?2 cos( t ? 10

3 ?) 4

(SI),

1 x2 ? 6 ? 10 ?2 cos( t ? ?) 10 4

(SI)

求合振动方程. 解:依合振动的振幅及初相公式可得

A?

3 1 2 A12 ? A2 ? 2 A1 A2 c o s ? ? 5 2 ? 6 2 ? 2 ? 5 ? 6 ? cos( ? ? ?) ? 10 ?2 m ? 4 4 ?2 2分 ? 7.81 ? 10 m 5 s i n3( / 4) ? 6 s i n?(/ 4) ? = 84.8°=1.48 rad 2分 ? ?arctg 5 c o s3? / 4) ? 6 c o s?(/ 4) ( x ? 7.81 ? 10 ?2 cos( t ? 1.48) (SI) 10 则所求的合成振动方程为 1分

3053 如图所示,一质量为 m 的滑块,两边分别与劲度系数为 k1 和 k2 的轻弹簧联接,两弹簧 的另外两端分别固定在墙上.滑块 m 可在光滑的水平面上滑动,0 点为系统平衡位置.将滑

块 m 向右移动到 x0,自静止释放,并从释放时开始计时.取坐标如图所示,则其振动方程 为: (A) (B)

k1 ? k 2 t] . m k1 k 2 x ? x 0 cos[ t]. m ( k1 ? k 2 ) x ? x0 cos[ x ? x0 cos[ k1 ? k 2 t ? ?] . m k1 k 2 x ? x0 cos[ t ? ?] . m ( k1 ? k 2 )
m t] . k1 ? k 2

k1
m

k2

0 x0

x

(C) (D)

(E) A 3054

x ? x0 cos[





一简谐振动的振动曲线如图所示.求振动方程. 解:(1) 设振动方程为 x ? A cos( t ? ? ) ? 由曲线可知 A = 10 cm , t = 0, x0 ? ?5 ? 10 cos? , 解上面两式,可得

x (cm) 10 O -5 -10 2 t (s)

v 0 ? ?10? sin ? ? 0
? = 2?/3

2分 由图可知质点由位移为 x0 = -5 cm 和 v 0 < 0 的状态到 x = 0 和 v > 0 的状态所需时间 t = 2 s, 代入振动方程得 (SI) 0 ? 10 c o s2? ? 2? / 3) ( 则有 2? ? 2? / 3 ? 3? / 2 ,∴ ? = 5 ?/12 故所求振动方程为 x ? 0.1cos(5?t / 12 ? 2? / 3) 3057 三个简谐振动方程分别为 (SI) 2分 1分

x1 ? A c o ?t ? s (

1 7 ?) , x2 ? A cos( t ? ?) 和 ? 2 6

x3 ? A cos( t ? ?

11 ?) 画 出它们 的 6
1 12 T

旋转矢量图,并在同一坐标上画出 它们的振动曲线. 解:?2-?1 = ?3-?2=2?/3 旋转矢量图见图 2分 振动曲线见图 3分

5 12

T

x
1 π
7 π 6
1 T 12

??
11 π 6
1x2 T 12

x1 A
12

x2 T

x1

x3 t

x1

2

x3

??

?? -A

TT 42

3T 4

T

3253 一质点作简谐振动,周期为 T.当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时,从二分之一最大 位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12. (B) T /8.

T 4

(C) T /6.

(D) T /4.





C 3254 一质点作简谐振动,周期为 T.质点由平衡位置向 x 轴正方向运动时,由平衡位置到二 分之一最大位移这段路程所需要的时间为 (A) T /4. (B) T /6 (C) T /8 (D) T /12 [ ] D 3255 如图所示,在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为 m 的物体,再用此弹簧改系一质量为 4m 的物体,最后 将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为 m 的物体,则这三个系统的周期值之比为 (A) 1∶2∶ 1 / 2 . (C) 1∶2∶ (B) 1∶

1 ∶2 . 2
1∶2∶

m

m

4m

1 . 2

(D)

1/4 . [ ] C 3256 图(a)、(b)、(c)为三个不同的简谐振动系统.组成各系 统的各弹簧的原长、各弹簧的劲度系数及重物质量均相 同.(a)、(b)、(c)三个振动系统的?2(?为固有角频率)值 之比为 (A) 2∶1∶

k k k m k m k m

1 . 2

(B) 1∶2∶4 . (D) 1∶1∶2 . [ ]

(C) 2∶2∶1 . B 3260

(a)

(b)

(c)

质量 M = 1.2 kg 的物体,挂在一个轻弹簧上振动.用秒表测得此系统在 45 s 内振动了 90 次.若在此弹簧上再加挂质量 m = 0.6 kg 的物体,而弹簧所受的力未 超过弹性限度.则该系统新的振动周期为_________________. 0.61 s 3264 一质点作简谐振动,其振动方程为

3分

1 1 x ? 6.0 ? 10 ?2 cos( ?t ? ?) 3 4

(SI)

(1) 当 x 值为多大时,系统的势能为总能量的一半? (2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少? 解:(1) 势能 由题意,

WP ?

1 2 kx 2

总能量

E?

1 2 kA 2
2分

A 1 2 ? ?4.24 ? 10 ? 2 m kx ? kA2 / 4 , x ? ? 2 2
T = 2?/? = 6 s

(2) 周期

从平衡位置运动到 x ? ? ∴

A 2

?的最短时间 ?t 为 T/8.
?t = 0.75 s.

3分

3265 在一轻弹簧下端悬挂 m0 = 100 g 砝码时, 弹簧伸长 8 cm. 现在这根弹簧下端悬挂 m = 250 g 的物体,构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动 4 cm,并给以向上的 21 cm/s 的初速 度(令这时 t = 0) .选 x 轴向下, 求振动方程的数值式. 解: k = m 0g / ? l ?

0.1 ? 9.8 N/m ? 12.25 N/m 0.08 12.25 ?1 ? ? k /m ? s ? 7 s ?1 0.25

2分 2分 3分

O

21 2 ) cm ? 5 cm 7 tg ? ? ?v 0 /( x0? ) ? ?(?21) /(4 ? 7) ? 3 / 4 ,? = 0.64 rad x ? 0.05 cos(7t ? 0.64) (SI)
2 2 A ? x0 ? v 0 / ? 2 ? 4 2 ? (

x
1分

3268 一系统作简谐振动, 周期为 T,以余弦函数表达振动时,初相为零.在

0≤t≤ T 范围内,系统在 t =________________时刻动能和势能相等. T/8,3T/8 (只答一个的给 2 分) 4 分 3269 一作简谐振动的振动系统,振子质量为 2 kg,系统振动频率为 1000 Hz,振 幅为 0.5 cm,则其振动能量为______________. 9.90?102 J 3270 一简谐振动曲线如图所示.则振动周期是 (A) 2.62 s. (B) 2.40 s. (C) 2.20 s. (D) 2.00 s. [ ] B 3271 一简谐振子的振动曲线如图所示,则以余弦函数 表示的振动方程为 ______________________________________.

1 2

3分

x (cm) 4 2 O t (s) 1

x (m) 0.04 t (s) O -0.04 1 2

x ? 0.04 c o s?( ? 1 ?) t 2

3分 3273 一弹簧振子沿 x 轴作简谐振动(弹簧为原长时振动物体的位置取作 x 轴原点) .已知振 动物体最大位移为 xm = 0.4 m 最大恢复力为 Fm = 0.8 N,最大速度为 vm = 0.8? m/s,又知 t = 0 的初位移为+0.2 m,且初速度与所选 x 轴方向相反.

(1) 求振动能量; (2) 求此振动的表达式. 解:(1) 由题意

(2) 由 t = 0, 可得 则振动方程为

Fm ? kA, A ? xm , k ? Fm / x m . 1 2 1 E ? kxm ? Fm xm ? 0.16 J 2 2 v v ? ? m ? m ? 2? rad /s A xm x0 ? A c o ? =0.2 m, v 0 ? ? A? sin ? ? 0 s

3分 2分

? ? 1?
3
1 x ? 0.4 cos(2?t ? ?) 3
k1 k2 m

2分 1分

3379 如图所示,质量为 m 的物体由劲度系数为 k1 和 k2 的两个轻 弹簧连接在水平光滑导轨上作微小振动,则该系统的振动频率为

k1 ? k 2 . m 1 k1 ? k 2 (C) ? ? . 2? mk 1 k 2
(A)

? ? 2?

1 k1 ? k 2 . 2? m k1 k 2 1 (D) ? ? . 2 ? m ( k1 ? k 2 )
(B)

??





B 3380 如图所示,质量为 m 的物体由劲度系数为 k1 和 k2 的两个 轻弹簧连接,在水平光滑导轨上作微小振动,则系统的振动频 率为

k1 m

k2

k1 ? k 2 1 k1 ? k 2 . (B) ? ? . m 2? m k1 k 2 1 k1 ? k 2 1 (C) ? ? . (D) ? ? . 2? mk 1 k 2 2 ? m ( k1 ? k 2 )
(B)

? ? 2?





B 3381 如图所示,质量为 m 的物体,由劲度系数为 k1 和 k2 的两 个轻弹簧连接到固定端,在水平光滑导轨上作微小振动,其振 动频率为

k1

k2
m

k1 ? k 2 1 k1 ? k 2 . (B) ? ? . m 2? m k1 k 2 1 k1 ? k 2 1 (C) ? ? . (D) ? ? . 2? mk 1 k 2 2 ? m ( k1 ? k 2 )
(C)

? ? 2?





D 3382 在两个相同的弹簧下各悬一物体,两物体的质量比为 4∶1,则二者作简谐振 动的周期之比为_______________________. 2∶1

3分

3383 用 40N的力拉一轻弹簧,可使其伸长 20 cm.此弹簧下应挂__________kg 的物体,才 能使弹簧振子作简谐振动的周期 T = 0.2? s. 2.0 3分 3384 一台摆钟每天快 1 分 27 秒, 其等效摆长 l = 0.995 m,摆锤可上、 下移动以调节其周期. 假 如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑, 则应将摆锤向下移动多少距离, 才能 使钟走得准确? 解:钟摆周期的相对误差?T / T =钟的相对误差??t / t 2分 等效单摆的周期

T ? 2? l / g ,设重力加速度 g 不变,则有

2分 1分

2d?T / T =d?l / l 令??T = dT,?l = dl,并考虑到?T / T = ?t / t,则摆锤向下移动的距离
?l = 2l??t / t = 2 ? 0.995 ?

87 mm = 2.00 mm 86400
3分

即摆锤应向下移 2.00 mm,才能使钟走得准确.

3385 一台摆钟每天慢 2 分 10 秒, 其等效摆长 l = 0.995 m, 摆锤可上下移动以调节其周期. 假 如将此摆当作质量集中在摆锤中心的单摆来估算, 则应将摆锤向上移动多少距离, 才能使钟 走得准确? 解:钟摆周期的相对误差?T / T =钟的相对误差??t / t 2分 等效单摆的周期

T ? 2? l / g ,设重力加速度 g 不变,则有

2分 1分

2d?T / T =d?l / l 令??T = dT,?l = dl,并考虑到?T / T = ?t / t,则摆锤应向上移动的距离
?l = 2l??t / t = 2 ? 0.995 ?

130 mm = 2.99 mm 86400
3分

即摆锤应向上移 2.99 mm,才能使钟走得准确. 3390 一质点作简谐振动,速度最大值 vm = 5 cm/s,振幅 A = 2 cm.若令速度具有 正最大值的那一时刻为 t = 0,则振动表达式为_________________________.

x ? 2 ? 10 ?2 c o s t / 2 ? 1 ?) 5( 2

(SI)

3分

3391 在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球,弹簧被拉长 l0 = 1.2 cm 而平衡.再经拉动后,该小 球在竖直方向作振幅为 A = 2 cm 的振动,试证此振动为简谐振动;选小球在正最大位移处 开始计时,写出此振动的数值表达式. 解:设小球的质量为 m,则弹簧的劲度系数 k ? mg / l 0 . kl0 k(l0+x) 选平衡位置为原点,向下为正方向.小球在 x 处时,根 l0 据牛顿第二定律得 x mg ? k (l 0 ? x) ? m d 2 x / d t 2 mg x 将 k ? mg / l 0 代入整理后得 mg

d 2 x /d t 2 ? gx / l 0 ? 0
∴ 此振动为简谐振动,其角频率为. 3分 2分

? ? g / l 0 ? 28.58 ? 9.1? 设振动表达式为 x ? A cos( t ? ? ) ? ?2 由题意: t = 0 时,x0 = A= 2 ? 10 m,v0 = 0,
解得 ∴

? = 0
?2

1分 2分

x ? 2 ? 10 cos(9.1?t )

3393 当质点以频率??作简谐振动时,它的动能的变化频率为 (A) 4 ?. (B) 2?? . (C) ??. (D)

1 ?. 2





B 3396 一质点作简谐振动.其运动速度与时间的曲线如图所 v (m/s) 示.若质点的振动规律用余弦函数描述,则其初相应为 vm 1 2vm (A) ?/6. (B) 5?/6. (C) -5?/6. t (s) O (D) -?/6. (E) -2?/3. [ ] C 3397 已知一个简谐振动的振幅 A = 2 cm,角频率? = 4? s 1 , 以余弦函数表达运动规律时的 1 初相 ? ? π .试画出位移和时间的关系曲线(振动曲线) . 2 答案见图 3分 x (m) 3398 0.02 t (s) 一质点作简谐振动.其振动曲线如图所示.根据此
O 4 x 0.25 2 0.5 t (s)

图,它的周期 T =___________,用余弦函数描述时初相

O -2

? =_________________.
3.43 s -2?/3 3399 已知两简谐振动曲线如图所示,则这两个简谐振动 方程(余弦形式)分别为
0 6

3分 2分
x (10 3m) xa 2 1 xb 3 4 t (s)
-

________________________________________和 __________________________________________.

-6

xa ? 6 ? 10 ?3 c o s?( ? ?) t

(SI) (SI)

2分 2分

xb ? 6 ? 10 ?3 c o s1(?t ? 1 ?) 2 2
3400

试在下图中画出简谐振子的动能,振动势能和机械能随时间 t 而变的三条曲线(设 t = 0 时物体经过平衡位置) . 动能曲线见图 2分

E
E
机械能 势能

t 0 T T 为简谐振动的周期 T/2

动能

t

0
势能曲线见图 机械能曲线见图

T/2

T
2分 1分

3401 两个同方向同频率的简谐振动,其振动表达式分别为:

x1 ? 6 ? 10 ?2 c o s t ? 1 ?) 5( 2

(SI) ,

x2 ? 2 ? 10 ?2 c o s?(? 5t )

(SI)

它们的合振动的振辐为_____________,初相为____________. 4?10 2 m

2分 2分

1? 2

3552 一个弹簧振子和一个单摆(只考虑小幅度摆动) ,在地面上的固有振动周期分别为 T1 和 T2.将它们拿到月球上去,相应的周期分别为 T1? 和 T2? .则有

T1? ? T1 且 T2? ? T2 . (C) T1? ? T1 且 T2? ? T2 .
(A)

T1? ? T1 且 T2? ? T2 . (D) T1? ? T1 且 T2? ? T2 .
(B)





D 3553 无阻尼自由简谐振动的周期和频率由__________________________决定.对 于给定的简谐振动系统,其振辐、初相由______________决定. 振动系统本身性质 1分 初始条件 2分 3554 一弹簧振子,弹簧的劲度系数为 k,重物的质量为 m,则此系统的固有振动 周期为______________________.

2?
3555

m k

3分

一质点按如下规律沿 x 轴作简谐振动: x ? 0.1cos( ?t ? 8

2 ?) 3

(SI).

求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值. 解:周期 T ? 2? / ? ? 0.25 s,

1分

振幅 初相

A = 0.1 m, ??= 2?/3, vmax = ??A = 0.8? m/s ( = 2.5 m/s ), amax = ??2A = 6.4?? m/s2 ( =63 m/s2 ).
-

1分 1分 1分 1分

3556 一物体作余弦振动,振幅为 15?10 2 m,角频率为 6? s 1,初相为 0.5??,则 振动方程为 x = ________________________(SI).

15 ? 10 ?2 c o s6( t ? 1 ?) ? 2

3分

3557 一质点沿 x 轴作简谐振动,振动范围的中心点为 x 轴的原点.已知周期为 T,振幅为 A. (1) 若 t = 0 时质点过 x = 0 处且朝 x 轴正方向运动,则振动方程为 x =_____________________________. (2) 若 t = 0 时质点处于 x ?

1 A 处且向 x 轴负方向运动,则振动方程为 2

x =_____________________________.

A c o s2(?t ? 1 ?) T 2 A c o s2(?t ? 1 ?) T 3
3558 一质量为 0.20 kg 的质点作简谐振动,其振动方程为

2分 2分

x ? 0.6 cos(5t ? 1 ?) 2

(SI).

求:(1) 质点的初速度; (2) 质点在正向最大位移一半处所受的力. 解:(1) t0 = 0 , (2)

v?

dx ? ? ?3.0 sin(5t ? ) dt 2
v0 = 3.0 m/s.
2

(SI) 2分

F ? ma ? ?m? x 1 F = -1.5 N. x ? A 时, 2

(无负号扣 1 分)3 分

3560 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时,弹性力在半个周期内所作的功为 (A) kA2. (C) (1/4)kA2. D 3561 (B)

1 2 kA . 2
[ ]

(D) 0.

质量为 m 物体和一个轻弹簧组成弹簧振子,其固有振动周期为 T. 当它作振 幅为 A 自由简谐振动时,其振动能量 E = ____________.
2? 2 mA 2 / T 2

3分

3562 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. 若这两个简谐振动可叠加, 则合成的余弦振动 x 的初相为 x2 (A) 3 ? . (B) ? . A/2 2 t (C) B 3566 图中所示为两个简谐振动的振动曲线.若以余弦函数表 示这两个振动的合成结果,则合振动的方程为
x (m) 0.08 O -0.04 1 x1 2 x 2 t (s)

1?. 2

(D) 0.





O -A x1

x ? x1 ? x2 ? ________________(SI)

0.04 cos(?t ? 1 ?) 2
3567

(其中振幅 1 分,角频率 1 分,初相 1 分) 3 分

图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动. 旋转矢量的长度为 0.04 m, 旋转角速度? = 4? rad/s.此简谐振动以余弦函数表 示的振动方程为 x =__________________________(SI).

O (t = 0)

x

??

0.04 c o s4( ? 1 ?) ?t 2
3568

(振幅、角频率、初相各 1 分) 3 分

一质点作简谐振动的角频率为? 、振幅为 A.当 t = 0 时质点位于 x ? 正方向运动.试画出此振动的旋转矢量图. 见图 (其中初相 2 分)3 分

1 A 处,且向 x 2

? ? 5? 3
A
0 ?

x

??

3569 如图所示的是两个简谐振动的振动曲线,它们合 成的余弦振动的初相为__________________.
A O 2 4 x x1 x2 t (s)

?1A 2

? 1?或 3? 2 2
3570 一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动:

3分

1 x1 ? 0.05 c o s4( t ? ?) (SI) , ? 3
合成振动的振幅为__________________m. 0.02

2 x2 ? 0.03 c o s4( t ? ?) ? 3

(SI)

3分

3816 一质点沿 x 轴以 x = 0 为平衡位置作简谐振动,频率为 0.25 Hz.t = 0 时 x = ?0.37 cm 而速度等于零,则振幅是_____________________,振动的数值表 达式为______________________________. 0.37 cm

1分 (SI) 2分

1 x ? 0.37 ? 10 ?2 c o s (?t ? ?) 2
3817

一简谐振动的表达式为 x ? A cos(3t ? ? ) ,已知 t = 0 时的初位移为 0.04 m,初速度为 0.09 m/s,则振幅 A =_____________ ,初相? =________________. 0.05 m 2分 -0.205?(或-36.9°) 2分 3818 两个弹簧振子的周期都是 0.4 s, 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动,经过 0.5 s 后,第二个振子才从正方向的端点开始运动,则这两振动的相 位差为____________. ? 3分 3819 两质点沿水平 x 轴线作相同频率和相同振幅的简谐振动,平衡位置都在坐标原点.它 们总是沿相反方向经过同一个点,其位移 x 的绝对值为振幅的一半,则 它们之间的相位差为______________.

? 2? / 3
3820

3分

将质量为 0.2 kg 的物体,系于劲度系数 k = 19 N/m 的竖直悬挂的弹簧的下端.假定在 弹簧不变形的位置将物体由静止释放,然后物体作简谐振动,则振动 频率为__________,振幅为____________. 1.55 Hz 2分 0.103 m 3821 一弹簧振子系统具有 1.0 J 的振动能量,0.10 m 的振幅和 1.0 m/s 的最大速率,

2分

则弹簧的劲度系数为___________,振子的振动频率为_________. 2?102 N/m 2分 1.6 Hz 2分 3822 一物体放在水平木板上,这木板以? = 2 Hz 的频率沿水平直线作简谐运动,物体和水平 木板之间的静摩擦系数?s = 0.50,求物体在木板上不滑动时的最大振幅 Amax. 解:设物体在水平木板上不滑动.

竖直方向: 水平方向: 且 又有 由①②③得 再由此式和④得

N ? mg ? 0 f x ? ?ma
fx ? ?s N

① ② ③ ④ 2分
2 2

a ? ?? 2 A cos( t ? ? ) ? a max ? ? s mg / m ? ? s g
Amax ? ? s g / ? ? ? s g /(4? ? )
2

2分 1分

= 0.031 m

3824 有一轻弹簧,当下端挂一个质量 m1 = 10 g 的物体而平衡时,伸长量为 4.9 cm.用 这个弹簧和质量 m2 = 16 g 的物体组成一弹簧振子.取平衡位置为原点,向上为 x 轴的正方 向.将 m2 从平衡位置向下拉 2 cm 后,给予向上的初速度 v0 = 5 cm/s 并开始计时,试求 m2 的振动周期和振动的数值表达式. 解:设弹簧的原长为 l,悬挂 m1 后伸长?l,则 k??l = m1g, k?= m1g/ ?l = 2 N/m 1 分取下 m1 挂 上 m2 后, t = 0 时,

? ? k / m2 ? 11.2 rad/s T ? 2? / ? =0.56 s ?2 x0 ? ?2 ? 10 m ? A cos?
v 0 ? 5 ? 10 ?2 m/s ? ? A? sin ?
A?
2 x0 ? (v 0 / ? ) 2 m ? 2.05 ? 10 ?2 m

2分 1分

解得

2分 2分 2分

? ? tg ?1 (?v 0 / ?x0 ) ? 180°+12.6°=3.36 rad
或 3825 有一单摆,摆长为 l = 100 cm,开始观察时( t = 0 ),摆球正好过 x0 = -6 cm 处,并以 v0 = 20 cm/s 的速度沿 x 轴正向运动,若单摆运动近似看成简谐振动.试求 (1) 振动频率; (2) 振幅和初相. 解:(1) (2) t = 0 时, 也可取 ? = -2.92 rad 振动表达式为 x = 2.05?10 2cos(11.2t-2.92) (SI) -2 x = 2.05?10 cos(11.2t+3.36) (SI)

? ? g / l ? 3.13 rad/s ? ? ? /(2?) ? 0.5 Hz
x0 = -6 cm= Acos? v0 = 20 cm/s= -A? sin? 由上二式解得 A = 8.8 cm ? = 180°+46.8°= 226.8°= 3.96 rad (或-2.33 rad)

1分

2分 2分

3827 质量 m = 10 g 的小球与轻弹簧组成的振动系统,按 x ? 0.5 cos( ?t ? 1 ?) 的规律作自 8

3

由振动,式中 t 以秒作单位,x 以厘米为单位,求 (1) 振动的角频率、周期、振幅和初相; (2) 振动的速度、加速度的数值表达式; (3) 振动的能量 E; (4) 平均动能和平均势能. 解:(1) A = 0.5 cm;? = 8? s 1;T = 2?/? = (1/4) s;? = ?/3 (2)

2分

1 ? v ? x ? ?4? ? 10 ?2 sin(8?t ? ?) 3

(SI)

(3) (4) 平均动能

a ? ?? ? ?32? 2 ? 10 ?2 cos(8?t ? 1 ?) (SI) x 3 1 2 1 E ? E K ? E P ? kA ? m? 2 A 2 =7.90?10-5 J 2 2 T 1 E K ? (1 / T ) ? mv 2 d t 2 0
1 1 ? (1 / T ) ? m(?4? ? 10 ? 2 ) 2 sin 2 (8?t ? ?) d t 2 3 0
= 3.95?10 5 J =
-

2分 3分

T

1 E 2
3分

同理

EP ?

1 E = 3.95?10-5 J 2

3828 一质量 m = 0.25 kg 的物体, 在弹簧的力作用下沿 x 轴运动, 平衡位置在原点. 弹簧的劲 度系数 k = 25 N?m 1. (1) 求振动的周期 T 和角频率?. (2) 如果振幅 A =15 cm,t = 0 时物体位于 x = 7.5 cm 处,且物体沿 x 轴反向运动,求初 速 v0 及初相?. (3) 写出振动的数值表达式. 解:(1)

? ? k / m ? 10 s ?1 T ? 2? / ? ? 0.63 s
A?
2 x 0 ? (v 0 / ? ) 2 ???? 2 v 0 ? ?? A 2 ? x0 ? ?1.3 m/s

1分 1分

(2) A = 15 cm,在 t = 0 时,x0 = 7.5 cm,v 0 < 0 由 得

2分 2分

? ? tg ?1 (?v 0 / ?x0 ) ? ? 或 4?/3
∵ x0 > 0 ,∴ (3)

1 3

?? ?
1 x ? 15 ? 10 ?2 cos( t ? ?) 10 3
(SI) 2分

1 3

3829 一质量为 10 g 的物体作简谐振动, 其振幅为 2 cm, 频率为 4 Hz, = 0 时位移为 -2 cm, t 初速度为零.求 (1) 振动表达式; (2) t = (1/4) s 时物体所受的作用力. 解:(1) t = 0 时,x0 = -2 cm = -A , 故. 初相 ? = ??, ? = 2????????? s 1

x ? 2 ? 10 cos(8?t ? ?) ? (2) t = (1/4) s 时,物体所受的作用力

?2

(SI)

3分 2分

F ? ?m? 2 x ? 0.126 N

3834 一物体质量为 0.25 kg,在弹性力作用下作简谐振动,弹簧的劲度系数 k = 25 N?m 1, 如果起始振动时具有势能 0.06 J 和动能 0.02 J,求

(1) 振幅; (2) 动能恰等于势能时的位移; (3) 经过平衡位置时物体的速度. 解:(1)

E ? EK ? E p ?

1 2 kA 2 A ? [2( E K ? E p ) / k ]1 / 2 = 0.08 m

3分

(2)

1 2 1 kx ? mv 2 2 2 2 2 m? x ? m? 2 A 2 sin 2 (?t ? ? )
x 2 ? A 2 sin 2 (?t ? ? ) ? A 2 [1 ? cos2 (?t ? ? )] ? A 2 ? x 2

2 x 2 ? A2 , x ? ? A / 2 ? ?0.0566 m
(3) 过平衡点时,x = 0,此时动能等于总能量

3分

E ? EK ? E p ?

1 mv 2 2 v ? [2( E K ? E p ) / m]1 / 2 ? ?0.8 m/s

2分

3835 在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g 的物体, 当物体处于平衡状态时, 再对物体 加一拉力使弹簧伸长,然后从静止状态将物体释放.已知物体在 32 s 内完成 48 次振动,振 幅为 5 cm. (1) 上述的外加拉力是多大? (2) 当物体在平衡位置以下 1 cm 处时,此振动系统的动能和势能各是多少? 解一:(1) 取平衡位置为原点,向下为 x 正方向.设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为?l, 则有 mg ? k?l , 加拉力 F 后弹簧又伸长 x0,则

F ? mg ? k (?l ? x0 ) ? 0
解得 由题意,t = 0 时 v 0 = 0;x = x0 ? 又由题给物体振动周期 T ? ∴ F= kx0 则 2分

A?

x ? (v 0 / ? ) ? x0
2 0 2

2分

32 2? 2 s, 可得角频率 ? ? , k ? m? 48 T 2 2 F ? kA ? (4? m / T ) A ? 0.444 N
2 2 2 2

1分 2分 2分 1分 2分 2分 1分 2分 2分 1分

(2) 平衡位置以下 1 cm 处: v ? (2? / T ) ( A ? x )

EK ? Ep ?

1 mv 2 ? 1.07 ? 10 ?2 J 2

1 2 1 kx ? (4? 2 m / T 2 ) x 2 = 4.44?10-4 J 2 2

解二:(1) 从静止释放,显然拉长量等于振幅 A(5 cm) ,

F ? kA k ? m? 2 ? 4m? 2? 2 ,? = 1.5 Hz
F = 0.444 N

∴ (2) 总能量

E?

1 2 1 kA ? FA ? 1.11 ? 10 ?2 J 2 2
?2

当 x = 1 cm 时,x = A/5,Ep 占总能量的 1/25,EK 占 24/25. ∴

E K ? (24 / 25) E ? 1.07 ? 10
E p ? E / 25 ? 4.44 ? 10
?4

J,

J

3836 在一竖直轻弹簧下端悬挂质量 m = 5 g 的小球,弹簧伸长?l = 1 cm 而平衡.经推动后, 该小球在竖直方向作振幅为 A = 4 cm 的振动,求 (1) 小球的振动周期; (2) 振动能量. 解:(1)

T ? 2? / ? ? 2? m / k ? 2? m /( g / ?l ) = 0.201 s 1 1 (2) E ? kA2 ? (mg / ?l ) A 2 = 3.92?10-3 J 2 2

3分 2分

3837 两个同方向同频率的简谐振动

1 1 x1 ? 3 ? 10 ?2 c o s (t ? ?) , x2 ? 4 ? 10 ?2 cos( t ? ?) ? ? 3 6

(SI)

它们的合振幅是________________. 5?10 2 m 3838 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,其表达式分别为

3分

x1 ? 4 ? 10 ?2 c o s2( ? 1 ?) , t 6

x2 ? 3 ? 10 ?2 cos(2t ? 5 ?) (SI) 6

则其合成振动的振幅为___________,初相为_______________. 1?10 2 m 2分 ?/6 2分 3839 两个同方向的简谐振动,周期相同,振幅分别为 A1 = 0.05 m 和 A2 = 0.07 m,它们合成 为一个振幅为 A = 0.09 m 的简谐振动.则这两个分振动的相位差为 ___________rad. 1.47 5178 一质点沿 x 轴作简谐振动,振动方程为 x ? 4 ? 10
?2

3分

1 cos(2?t ? ?) 3

(SI).

从 t = 0 时刻起,到质点位置在 x = -2 cm 处,且向 x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) (D)

1 s 8 1 s 3

(B) (E)

1 s 6 1 s 2

(C)

1 s 4
[ ]

E 5179 一弹簧振子, 重物的质量为 m, 弹簧的劲度系数为 k, 该振子作振幅为 A 的简谐振动. 当 重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时,开始计时.则其振动方程为: (A) (C) (E) B

x ? Acos( k / m t ? 1 ?) 2 x ? Acos( m / k t ? 1 π) 2 x ? Acos k / m t

(B) (D)

x ? A cos( k / m t ? 1 ?) 2 x ? A cos( m / k t ? 1 ?) 2
[ ]

5180 一劲度系数为 k 的轻弹簧,下端挂一质量为 m 的物体,系统的振动周期为 T1.若将此 弹簧截去一半的长度,下端挂一质量为 (A) 2 T1 (D) T1 /2 (B) T1 (E) T1 /4

1 m 的物体,则系统振动周期 T2 等于 2 (C) T1 / 2
[ ]

D 5181 一质点作简谐振动,已知振动频率为 f,则振动动能的变化频率是 (A) 4f . (B) 2 f . (C) f . (D) f / 2 . (E) f /4 [ ] B 5182 一弹簧振子作简谐振动,当位移为振幅的一半时,其动能为总能量的 (A) 1/4. (D) 3/4. (B) 1/2. (E) (C)

1/ 2 .
[ ]

3 /2.

D 5183 一弹簧振子作简谐振动,当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的 1/4 时,其动能为振 动总能量的 (A) 7/16. (B) 9/16. (C) 11/16. (D) 13/16. (E) 15/16. [ ] E 5184 用余弦函数描述一简谐振 x x 动.已知振幅为 A,周期为 T,

1 初相 ? ? ? ? ,则振动曲线 3
为: [ A、 ]

A
1 2 A

A

o

T 2

t

1 2 A

o
T 2

t (B) x

?

1 2 A

?
x (A)

1 2 A

A
1 2 A

?

o
1 2 A

t
T 2

1 2 A

?
(C)

o
1 2 A

T 2

t (D)

-A

5185 用余弦函数描述一简谐振子的振动.若其速度~时间 (v~t)关系曲线如图所示,则振动的初相位为 (A) ?/6. (B) ?/3. (C) ?/2. (D) 2?/3. (E) 5?/6. [ ] A 5186

v (m/s) O t (s)

? vm
1 2

- vm

已知某简谐振动的振动曲线如图所示,位移的单位为厘米, 时间单位为秒.则此简谐振动的振动方程为:

x (cm) O -1 -2 t (s) 1

x ? 2 cos(2 ?t ? 2 ?) . 3 3 2 ?t ? 2 ?) . (B) x ? 2 cos( 3 3 4(?t ? 2 ?) . (C) x ? 2c o s 3 3 4(?t ? 2 ?) . (D) x ? 2c o s 3 3 4 ?t ? 1 ?) . (E) x ? 2 cos( 3 4
(A) C 5187





一竖直悬挂的弹簧振子,自然平衡时弹簧的伸长量为 x0,此振子自由振动的 周期 T = ____________________________.

2? x0 / g ??
5188 一物体作简谐振动,其振动方程为 x ? 0.04 cos( ?t ?

3分

5 3

1 ?) 2

(SI) .

(1) 此简谐振动的周期 T =__________________; (2) 当 t = 0.6 s 时,物体的速度 v =__________________. 1.2 s -20.9 cm/s 5189 一物体同时参与两个同方向的简谐振动:

1分 2分

x1 ? 0.04 c o s2( t ? 1 ?) (SI), ? 2

x2 ? 0.03 cos(2?t ? ?)

(SI)

求此物体的振动方程. 解:设合成运动(简谐振动)的振动方程为 则
2 2 1 2 2

x ? A cos( t ? ? ) ?


A ? A ? A ? 2 A1 A2 cos( 2 ? ?1 ) ? 以 A1 = 4 cm,A2 = 3 cm, ? 2 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? 代入①式,得 2 2
A ? 4 2 ? 3 2 cm ? 5 cm A sin ?1 ? A2 sin ? 2 ? ? arctg 1 A1 cos?1 ? A2 cos? 2


2分 ② 2分 1分



x ? 0.05 cos(2?t ? 2.22)

≈127°≈2.22 rad

(SI)

5190 一质点同时参与了三个简谐振动,它们的振动方程分别为

1 5 ? x1 ? A c o s (t ? ?) , x 2 ? A cos( t ? ?) , x3 ? A cos( t ? ?) ? ? 3 3

其合成运动的运动方程为 x = ______________. 0 3分 5191 一物体作简谐振动,其速度最大值 vm = 3?10 2 m/s,其振幅 A = 2?10 2 m.若 t = 0 时, 物体位于平衡位置且向 x 轴的负方向运动. 求: (1) 振动周期 T; (2) 加速度的最大值 am ; (3) 振动方程的数值式. 解: (1) vm = ?A ∴? = vm / A =1.5 s 1 ∴ T = 2?/????4.19 s 3分 -2 2 2 (2) am = ? A = vm ?? = 4.5?10 m/s 2分 (3)

1 ?? ? 2
x = 0.02 cos( .5t ? 1

1 ?) 2

(SI)

3分

5192 在竖直面内半径为 R 的一段光滑圆弧形轨道上,放一小物体,使其静止于 轨道的最低处. 然后轻碰一下此物体, 使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动. 试 证: (1) 此物体作简谐振动; (2) 此简谐振动的周期

O R

T ? 2? R / g ??
O

证:(1) 当小物体偏离圆弧形轨道最低点??角时,其受力如图 Ft ? ?mg sin? 所示.切向分力 ① 2分 ∵??角很小,∴ 牛顿第二定律给出 即 sin???≈?

?

N

Ft ? ma t
? mg? ? m d 2 ( R? ) / d t 2



? Ft

? mg

d 2 ? /d t 2 ? ? g? / R ? ?? 2?
将③式和简谐振动微分方程比较可知,物体作简谐振动. (2) 由③知 周期 5311



3分 1分 2分

? ? g/R
T ? 2? / ? ? 2? R / g ???

一质点作简谐振动,已知振动周期为 T,则其振动动能变化的周期是 (A) T/4. (B) T / 2 . (C) T. (D) 2 T. (E) 4T. [ ] B 5312 一质点在 x 轴上作简谐振动, 振辐 A = 4 cm, 周期 T = 2 s, 其平衡位置取作坐标原点. 若 t = 0 时刻质点第一次通过 x = -2 cm 处,且向 x 轴负方向运动,则质点第二次通过 x = -2 cm 处的时刻为 (A) 1 s. (B) (2/3) s. (C) (4/3) s. (D) 2 s. [ ] B 5314

一质点同时参与了两个同方向的简谐振动,它们的振动方程分别为

x1 ? 0.05 c o s (t ? ?

1 ?) 4

(SI),

x2 ? 0.05 cos( t ? ?

9 ?) 12

(SI)

其合成运动的运动方程为 x = __________________________. 5315 两个同方向同频率的简谐振动, 其合振动的振幅为 20 cm, 与第一个简谐振动的相位差 为? –?1 = ?/6.若第一个简谐振动的振幅为 10 3 cm = 17.3 cm,则第 二个简谐振动的振幅为___________________ cm,第一、二两个简谐振动的相位 差?1 ???2 为____________. 10

2分 2分

?
5501

1 ? 2

一物体作简谐振动,振动方程为 x ? A cos( t ? 1 ?) .在 t = T/4(T 为周期)时 ?

4

刻,物体的加速度为 (A) (C)

1 2 A? 2 . 2 1 ? 3 A? 2 . 2 ?

(B) (D)

1 2 A? 2 . 2 1 3 A? 2 . 2





B 5502 一质点作简谐振动,振动方程为 x ? A cos( t ? ? ) ,当时间 t = T/2(T 为周期)时,质 ? 点的速度为 (A) ? A? sin ? . (B) A? sin ? . (C)

? A? cos? .

(D)

A? cos? .





B 5503 一质量为 m 的质点在力 F = -?2x 的作用下沿 x 轴运动. 求其运动 的周期. 解:将 F = -?2x 与 F = -kx 比较,知质点作简谐振动, k = 2 ?. 1分 又

m 0

F

x

??

k ? ? m m 2? T? ?2 m

3分 1分

?

5504 一物体作简谐振动,振动方程为 x ? A cos( t ? ? t = T/8(T 为振动周期)时刻的动能之比为: (A) 1:4. (B) 1:2. (C) 1:1. (D) 2:1. (E) 4:1. D 5505

1 ?) .则该物体在 t = 0 时刻的动能与 2
[ ]

一质点作简谐振动,其振动方程为 x ? A cos( t ? ? ) .在求质点的振动动能时,得出 ? 下面 5 个表达式: (1) (3) (5)

1 m? 2 A 2 sin 2 (?t ? ? ) . 2 1 2 kA sin(?t ? ? ) . 2 2? 2 mA 2 sin 2 (?t ? ? ) 2 T

(2) (4)

1 m? 2 A 2 cos2 (?t ? ? ) . 2 1 2 kA cos2 (?t ? ? ) . 2

其中 m 是质点的质量,k 是弹簧的劲度系数,T 是振动的周期.这些表达式中 (A) (1),(4)是对的. (B) (2),(4)是对的. (C) (1),(5)是对的. (D) (3),(5)是对的. (E) (2),(5)是对的. [ ] C 5506 一物体质量 m = 2 kg,受到的作用力为 F = -8x (SI).若该物体偏 F m 离坐标原点 O 的最大位移为 A = 0.10 m, 则物体动能的最大值为多少? 解:由物体受力 F = -8x 可知物体作简谐振动,且和 F = -kx 比较, O A 知 k = 8 N/m,则 ? 2 ? k / m ? 4 (rad/s)2 2分 简谐振动动能最大值为

x

E Km ?

1 m? 2 A 2 2
= 0.04 J.

2分 1分

5507 图中三条曲线分别表示简谐振动中的位移 x,速度 v,和加速 x, v, a 度 a.下列说法中哪一个是正确的? 2 1 3 (A) 曲线 3,1,2 分别表示 x,v,a 曲线; O (B) 曲线 2,1,3 分别表示 x,v,a 曲线; (C) 曲线 1,3,2 分别表示 x,v,a 曲线; (D) 曲线 2,3,1 分别表示 x,v,a 曲线; (E) 曲线 1,2,3 分别表示 x,v,a 曲线. [ ] E 5511 如图,有一水平弹簧振子,弹簧的劲度系数 k = 24 N/m, m F 重物的质量 m = 6 kg, 重物静止在平衡位置上. 设以一水平恒 力 F = 10 N 向左作用于物体(不计摩擦) ,使之由平衡位置 向左运动了 0.05 m 时撤去力 F.当重物运动到左方最远位置 O 时开始计时,求物体的运动方程. 解:设物体的运动方程为 x ? A c o s (t ? ? ) . ? 恒外力所做的功即为弹簧振子的能量: F?0.05 = 0.5 J. 当物体运动到左方最远位置时,弹簧的最大弹性势能为 0.5 J,即:

t

x

2分 2分

1 2 kA ? 0.5 J, ∴ A = 0.204 m. 2
A 即振幅.

? = 2 rad/s. 按题目所述时刻计时,初相为? = ?.∴ 物体运动方程为

? 2 ? k / m ? 4 (rad/s)2

2分 2分

x ? 0.204 c o s2( ? ?) t

(SI).

2分

0347 一艘船在 25 m 高的桅杆上装有一天线, 不断发射某种波长的无线电波, 已知波长在 2 4 m 范围内,在高出海平面 150 m 的悬崖顶上有一接收站能收到这无线电波.但当那艘船 驶至离悬崖底部 2 km 时,接收站就收不到无线电波.设海平面完全反射这无线电波,求所 用无线电波的波长. 解:据题意作下图,S 和 OP 分别表示船和悬崖,S′为 P 船上天线.考虑由 S′发出的 S?P 波①与经海平面反射 的 S?MP②两列波在 P 点的干涉.当发生相消干涉时接 收站收不到讯号,注意到反射波②在反射时有相位突变 S′ ? ,整个情况和光学的洛埃镜类似.当不计相移? 时, a ?? 两波的波程差 ?? M

OP 150 ? ? 2a sin? ? 2a ? 2 ? 25 ? m 2000 SO
= 3.75 m

S S″ 2asin?

2 km

O

5分 计入相移??,则当 ? = k??时,接收信号最弱。当 k = 1 时,?=3.75 m,这值在 2 - 4 m 范围 内,满足本题要求. ∴ ? =3.75 m. 3分 0414 一微波探测器位于湖岸水面以上 0.5 m 处,一发射波长 21 cm 的单色微波的射电星从地 平线上缓慢升起, 探测器将相继指出信号强度的极大值和极小值. 当接收到第一个极大值时, 射电星位于湖面以上什么角度? 解:如图,P 为探测器,射电星直接发射到 P 点的波①与经过湖面反射有相位突变?的波② 在 P 点相干叠加,波程差为

? ? O ?P ? DP ? ? ?
= ?k = ?

1 2

h h ? ? cos 2? ? sin? sin? 2
5分

(取 k = 1)

h(1 ? cos 2? ) ?
∵ ∴

1 ? sin? 2



D ??

cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ?

?

② O′

?

P h

1 2h sin? ? ? 2
sin? ? ? /(4h) ? 0.105
? = 6°
3分

2196 在电磁波传播的空间(或各向同性介质)中,任一点的 E 和 H 的方向及波 传播方向之间的关系是:_____________________________________________ ____________________________________________________________.

?

?

三者相互垂直,成右手关系,即 E ? H 的方向为波传播的方向. 2197

?

?

3分

请按频率递增的顺序,写出比可见光频率高的电磁波谱的名称__________ ; _______________; _______________ . 紫外 1分 X 射线 1分 ??射线. 1分 2748 一同轴电缆,内外导体间充满了相对介电常数?r = 2.25、相对磁导率?r = 1 的介质(聚 乙烯) ,电缆损耗可以忽略不计.讯号在此电缆中传播的速度为 ____________________________________. 3058 在下面几种说法中,正确的说法是: (A) 波源不动时,波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的. (B) 波源振动的速度与波速相同. (C) 在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后(按差值不大于?计). (D) 在波传播方向上的任一质点的振动相位总是比波源的相位超前.(按差值不大于? 计) [ ] C 3059 一个余弦横波以速度 u 沿 x 轴正向传播, 时刻波形曲线如 t y 图所示.试分别指出图中 A,B,C 各质点在 u A B x 该时刻的运动方向.A_____________;B _____________ ;C ______________ . 向下 ; 向上 向上 3060 一个沿 x 轴正向传播的平面简谐波 (用余弦函数表示) t = 在 0 时的波形曲线如图所示. (1) 在 x = 0,和 x = 2,x = 3 各点的振动初相各是多少? (2) 画出 t = T / 4 时的波形曲线.
O C

各2分 1分

y 3 4 O 1 2
y x O 1 2 3 4 t=T/4 时的波形曲线

x

1 解:(1) x = 0 点 ?0 ? ? ; 2 1 x = 2 点 ?2 ? ? ? ; 2 x =3 点 ? 3 ? ? ;
(2) 如图所示. 3061

1分 1分 1分 2分

一声波在空气中的波长是 0.25 m,传播速度是 340 m/s,当它进入另一介质时, 波长变成了 0.37 m,它在该介质中传播速度为______________. 503 m/s 3062 已知波源的振动周期为 4.00?10 2 s,波的传播速度为 300 m/s,波沿 x 轴正 方向传播,则位于 x1 = 10.0 m 和 x2 = 16.0 m 的两质点振动相位差为__________. ? 3063 一平面简谐波沿 x 轴正方向传播,波速 y (m) u = 100 m/s,t = 0 时刻的波形曲线如图所示. 0.2
x (m)

3分

3分

可知波长? = ____________; 振幅 A = __________;

O 0.2 -0.2

0.6

1.0

频率? = ____________. 0.8 m 2分 0.2 m 1分 125 Hz 2分 3065 频率为 500 Hz 的波,其波速为 350 m/s,相位差为 2?/3 的两点间距离为 ________________________. 0.233 m 3066 机械波的表达式为 y = 0.03cos6?(t + 0.01x ) (SI) ,则 (A) 其振幅为 3 m. (B) 其周期为 s .

3分

1 3

(C) 其波速为 10 m/s. (D) 波沿 x 轴正向传播. [ ] B 3067 一平面简谐波的表达式为 y ? 0.1cos(3?t ? ?x ? ?) (SI) ,t = 0 时的波形曲线如图 所示,则 (A) O 点的振幅为-0.1 m. (B) 波长为 3 m. y (m) (C) a、b 两点间相位差为 (D) 波速为 9 m/s .

1 ? . 2
[ ]

0.1 O -0.1 a b

u

x (m)

C 3068 已知一平面简谐波的表达式为 y ? A cos(at ? bx) (a、b 为正值常量) ,则 (A) 波的频率为 a. (B) 波的传播速度为 b/a. (C) 波长为 ? / b. (D) 波的周期为 2? / a . [ ] D 3069

一沿 x 轴负方向传播的平面简谐波在 t = 2 s 时的波形 曲线如图所示,则原点 O 的振动方程为 (A) (B) (C) (D)

y (m) 0.5 O -1 1 2 3 u

1 y ? 0.50 cos (πt ? π) , (SI). 2 1 1 y ? 0.50 cos ( πt ? π) , (SI). 2 2 1 1 y ? 0.50 cos ( πt ? π) , (SI). 2 2 1 1 y ? 0.50 cos ( πt ? π) , (SI). 4 2

x (m)





C 3070 如图所示,有一平面简谐波沿 x 轴负方向传播,坐标原点 O 的振 ? 动规律为 y ? A cos( t ? ? 0 ) ) ,则 B 点的振动方程为

y u x O |x| B

y ? A cos[ t ? ( x / u ) ? ? 0 ] . ? (B) y ? A cos?[t ? ( x / u)] . ? (C) y ? A cos{ [t ? ( x / u )] ? ? 0 } .
(A) (D)

y ? A cos{ [t ? ( x / u )] ? ? 0 } . ?





D 3071 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t'时波形曲线如图所示.则坐标原点 O 的振动方程为 u ? y (A) y ? a cos[ (t ? t ?) ? ] . u a b 2 (B) (C) (D) (D) 参考解:由图 令波的表达式为 在 t = t?, 由图,这时 x = 0 处 初相 可得 故x=0处 3072

u ? y ? a cos[2? (t ? t ?) ? ] . b 2 u ? y ? a cos[? (t ? t ?) ? ] . b 2 u ? y ? a cos[? (t ? t ?) ? ] . b 2

O b

x





? ? 2b ,

??

u

?

?

u 2b

x y ? a cos[2?(?t ? ) ? ? ]

?

x y ? a cos[2?(?t ? ? ) ? ? ]

?

2??t ? ? ? ? ?
? 2

? 2

? ? ? ? 2??t ?
?u ? y ? a cos[2??t ? ? ] ? a cos[ (t ? t ?) ? ] b 2

? 如图所示, 一平面简谐波沿 x 轴正向传播, 已知 P 点的振动方程为 y ? A cos( t ? ? 0 ) ,
则波的表达式为 ? (A) y ? A cos{ [t ? ( x ? l ) / u ] ? ? 0 } . (B) (C) (D)

y u l O
[ ]

y ? A cos{ [t ? ( x / u )] ? ? 0 } . ? y ? A cos? (t ? x / u) . y ? A cos{ [t ? ( x ? l ) / u] ? ? 0 } . ?

P

x

A 3073 如图,一平面简谐波以波速 u 沿 x 轴正方向传播,O 为坐标原点.已知 P 点的振动方程 为 y ? A cos?t ,则 (A) O 点的振动方程为 y ? A cos? (t ? l / u ) . (B) 波的表达式为 y ? A cos?[t ? (l / u ) ? (l / u)] . (C) 波的表达式为 y ? A cos?[t ? (l / u) ? ( x / u)] . (D) C 3074 一平面简谐波的表达式为 y ? A cos? (t ? x / u ) ? A cos( t ? ?x / u) 其中 x / u ? 表示_____________________________;?x / u 表示________________________; y 表示______________________________. 波从坐标原点传至 x 处所需时间 x 处质点比原点处质点滞后的振动相位 t 时刻 x 处质点的振动位移 3075 一平面简谐波的表达式为 y ? 0.025 cos( t ? 0.37 x) 125 C 点的振动方程为 y ? A cos? (t ? 3l / u) . [

y u P O


l

C 2l x

2分 2分 1分 (SI),其角频率

? =__________________________,波速 u =______________________,波
长? = _________________. 125 rad/s 338 m/s 17.0 m 3076 图为 t = T / 4 时一平面简谐波的波形曲线, 则其波的表达 式为 ______________________________________________.
O -0.10

1分 2分 2分
y (m)

u=330 m/s

1 2 3 4

x (m)

y ? 0.10 cos[ ?(t ? x / 330 ) ? ?] 165

(SI)

3分 3077 一 平 面 简 谐 波 沿 x 轴 负 方 向 传 播 . 已 知 x = -1 m 处 质 点 的 振 动 方 程 为 y ? A c o s (t ? ? ) ,若波速为 u,则此波的表达式为 ?

_________________________________________________________.

y ? A c o s?[t ? (1 ? x) / u] ? ?} (SI) {
3078 一平面简谐波沿 x 轴正向传播,其振幅为 A,频率为? ,波 速为 u.设 t = t'时刻的波形曲线如图所示.求 (1) x = 0 处质点振动方程; (2) 该波的表达式. 解:(1) 设 x = 0 处质点的振动方程为 y ? A c o s2( ?t ? ? ) ? 由图可知, = t' t 时

3分

y u O t=t′ x

y ? A cos(2??t ? ? ? ) ? 0
1分 1分 2分 1分 3分

d y / d t ? ?2??A sin(2??t ? ? ? ) ? 0 1 所以 2??t ? ? ? ? ? / 2 , ? ? ? ? 2??t ? 2 1 x = 0 处的振动方程为 y ? A cos[2?? (t ? t ?) ? ?] 2 1 (2) 该波的表达式为 y ? A cos[2?? (t ? t ? ? x / u ) ? ?] 2
3079 一列平面简谐波在媒质中以波速 u = 5 m/s 沿 x 轴正向传 播,原点 O 处质元的振动曲线如图所示. (1) 求解并画出 x = 25 m 处质元的振动曲线. (2) 求解并画出 t = 3 s 时的波形曲线. 解:(1) 原点 O 处质元的振动方程为
y (cm) 2 2 O 4 t (s)

1 1 y ? 2 ? 10 ?2 cos( ?t ? ?) , (SI) 2 2
2分 波的表达式为

1 1 y ? 2 ? 10 ?2 c o s (?(t ? x / 5) ? ?) , (SI) 2 2

2分

x = 25 m 处质元的振动方程为

1 y ? 2 ? 10 ?2 cos( ?t ? 3?) , (SI) 2
振动曲线见图 (a) (2) t = 3 s 时的波形曲线方程 2分 2分 2分

y ? 2 ? 10 ?2 cos(? ? ?x / 10) , (SI)
波形曲线见图
y (m)
2?10-2 y (m) u 5 10 15 20 25 x (m)

O 1 2 3 4 -2?10-2

t (s)

O

(a)

(b)

3080 已知一平面简谐波的表达式为 y ? 0.25 cos( t ? 0.37 x) 125

(SI)

(1) (2) (3) 解:(1)

分别求 x1 = 10 m,x2 = 25 m 两点处质点的振动方程; 求 x1,x2 两点间的振动相位差; 求 x1 点在 t = 4 s 时的振动位移. x1 = 10 m 的振动方程为

y x ?10 ? 0.25 cos( t ? 3.7) 125
x2 = 25 m 的振动方程为

(SI) (SI)

1分 1分 1分 2分

y x ?25 ? 0.25 cos( t ? 9.25) 125

(2) x2 与 x1 两点间相位差 ? ?? = ?2 - ?1 = -5.55 rad (3) x1 点在 t = 4 s 时的振动位移 y = 0.25cos(125?4-3.7) m= 0.249 m 3081 一横波方程为 y ? A cos

2?

?

(ut ? x) , 式中 A = 0.01 m,? = 0.2 m,u = 25 m/s,求 t =

0.1 s 时在 x = 2 m 处质点振动的位移、速度、加速度. 解:

y ? A cos 2?
v? dy dt

ut ? x

?
?

= -0.01 m

1分

? ?A
x ? 2 , t ? 0. 1

2?u

sin(2?

ut ? x

?

)?0

2分 2分

a?

d2 y 2?u 2 ut ? x ? ? A( ) cos(2? ) = 6.17?103 m/s2 2 ? ? dt

3082 如图,一平面波在介质中以波速 u = 20 m/s 沿 x 轴负方向传播,已知 A 点的振动方程为 (SI). (1) 以 A 点为坐标原点写出波的表达式; (2) 以距 A 点 5 m 处的 B 点为坐标原点,写出波的表达式. 解:(1) 坐标为 x 点的振动相位为

y ? 3 ? 10 ?2 c o s ?t 4

u B A x
2分 2分 2分 2分

?t ? ? ? 4?[t ? ( x / u)] ? 4?[t ? ( x / u)] ? 4?[t ? ( x / 20)]
y ? 3 ? 10 cos 4?[t ? ( x / 20)] 波的表达式为 (2) 以 B 点为坐标原点,则坐标为 x 点的振动相位为
?2

(SI)

波的表达式为

x?5 ] (SI) 20 x y ? 3 ? 10 ?2 cos[4?(t ? ) ? ?] (SI) 20

?t ? ? ? ? 4?[t ?

3083 一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播.设波沿着 x 轴正向传播, 弹簧中某圈的最大位移为 3.0 cm,振动频率为 25 Hz,弹簧中相邻两疏部中心的距离为 24 cm.当 t = 0 时,在 x = 0 处质元的位移为零并向 x 轴正向运动.试写出该波的表达式. 解:由题 ? = 24 cm, u = ?? = 24?25 cm/s=600 cm/s 2分 A = 3.0 cm, ? = 2?? = 50 ?/s 2分 ? ? y0 = Acos? = 0, y 0 ? ? A? s i n ? 0

? ?? ?

1 2

2分

1 y ? 3.0 ? 10 ?2 cos[50 ?(t ? x / 6) ? ?] 2

(SI)

2分

3084 一平面简谐波沿 x 轴正向传播,其振幅和角频率分别为 A 和? , 波速为 u,设 t = 0 时的波形曲线如图所示. (1) 写出此波的表达式. (2) 求距 O 点分别为? / 8 和 3? / 8 两处质点的振动方程. (3) 求距 O 点分别为? / 8 和 3? / 8 两处质点在 t = 0 时的振动速度. 解:(1) 以 O 点为坐标原点.由图可知,该点振动初始条件为 y0 ? A c o ? ? 0 , v 0 ? ? A? s i n ? 0 s ? 所以 波的表达式为 (2)

y u O x

??

1 ? 2 1 y ? A c o s [t ? (?x / u ) ? ?] ? 2
4分

x ? ? / 8 处振动方程为
1 ? y ? A cos[ t ? (2?? / 8? ) ? ?] ? A cos( t ? ? / 4) ? 2
1分

x ? 3? / 8 的振动方程为
y ? A cos[ t ? 2? ?

(3)

1 ? ? ?] ? A cos( t ? ? / 4) ? 2 1 d y /d t ? ??A sin(?t ? 2?x / ? ? ?) 2 1 d y /d t ? ??A sin[(?2?? / 8? ) ? ?] ? ? 2 A? / 2 2

3? / 8

1分

t = 0, x ? ? / 8 处质点振动速度 1分

t = 0, x ? 3? / 8 处质点振动速度

1 d y /d t ? ??A sin[(?2? ? 3? / 8? ) ? ?] ? 2 A? / 2 2
3085 在弹性媒质中有一沿 x 轴正向传播的平面波,其表达式为 y ? 0.01 cos(4t ? ?x ?

1分

1 ?) 2

(SI).若在 x = 5.00 m 处有一媒质分界面,且在分界面处反射波相位突变?,设反射波的强度 不变,试写出反射波的表达式. 解:反射波在 x 点引起的振动相位为

?t ? ? ? 4t ? ?(5 ? 5 ? x) ? ? ? ?
1 ? 4t ? ?x ? ? ? 10 ? 2
反射波表达式为 3分

1 2

O

x

5 x (m)

y ? 0.01 cos(4t ? ?x ?
或 3086

1 ? ? 10 ?) (SI) 2
(SI)

2分

y ? 0.01 cos(4t ? ?x ?

1 ?) 2

一平面简谐波沿 x 轴正向传播, 波的振幅 A = 10 cm, 波的角频率? = 7? rad/s.当 t = 1.0 s 时,x = 10 cm 处的 a 质点正通过其平衡位置向 y 轴负方向运动,而 x = 20 cm 处的 b 质点正 通过 y = 5.0 cm 点向 y 轴正方向运动.设该波波长? >10 cm,求该平面波的表达式. 解:设平面简谐波的波长为?,坐标原点处质点振动初相为?,则该列平面简谐波的表达式 可写成 2分 y ? 0.1cos(7?t ? 2?x / ? ? ? ) (SI) t=1s时 y ? 0.1cos[7? ? 2?(0.1 / ? ) ? ? ] ? 0 因此时 a 质点向 y 轴负方向运动,故

7? ? 2?(0.1 / ? ) ? ? ?

1 ? 2



2分

而此时,b 质点正通过 y = 0.05 m 处向 y 轴正方向运动,应有



y ? 0.1cos[7? ? 2?(0.2 / ? ) ? ? ] ? 0.05 1 7? ? 2?(0.2 / ? ) ? ? ? ? ? 3



2分 1分 1分 2分

由①、②两式联立得 ∴ 该平面简谐波的表达式为

? ? ?17? / 3
y ? 0.1cos[7?t ?

?? = 0.24 m



?x 17 ? ?] (SI) 0.12 3 ?x 1 y ? 0.1cos[7?t ? ? ?] (SI) 0.12 3

3087 一平面简谐波在弹性媒质中传播,在某一瞬时,媒质中某质元正处于平衡位置,此时它 的能量是 (A) 动能为零,势能最大. (B) 动能为零,势能为零. (C) 动能最大,势能最大. (D) 动能最大,势能为零. [ ] C 3088 一平面简谐波在弹性媒质中传播时, 某一时刻媒质中某质元在负的最大位移处, 则它的 能量是 (A) 动能为零,势能最大. (B) 动能为零,势能为零. (C) 动能最大,势能最大. (D) 动能最大,势能为零. [ ] B 3089 一平面简谐波在弹性媒质中传播,在媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中 (A) 它的势能转换成动能. (B) 它的动能转换成势能. (C) 它从相邻的一段媒质质元获得能量,其能量逐渐增加. (D) 它把自己的能量传给相邻的一段媒质质元,其能量逐渐减小. [ ]

C 3090 一平面简谐波在弹性媒质中传播,在媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中: (A) 它的动能转换成势能. (B) 它的势能转换成动能. (C) 它从相邻的一段质元获得能量其能量逐渐增大.

(D) 它把自己的能量传给相邻的一段质元,其能量逐渐减小. [ D 3091



一个波源位于 O 点,以 O 为圆心作两个同心球面,它们的半径分别为 R1 和 R2 ,在两个球面上分别取相等的面积?S1 和?S2 ,则通过它们的平均能流之比
P1 /P2 ? ___________________.
2 R2 / R12

?
A 波线 B

3分 3092 如图所示,在平面波传播方向上有一障碍物 AB,根据惠 更斯原理,定性地绘出波绕过障碍物传播的情况.

?

波阵面

波阵面 波线

答案见图

子波源、波阵面、波线各 3 分占 1 分

A 波线 B

3093 如图所示,波源 S1 和 S2 发出的波在 P 点相遇,P 点距 波源 S1 和 S2 的距离分别为 3??和 10?????3 ,??为两列波在介质中的 波长,若 P 点的合振幅总是极大值,则两波在 P 点的振动频率___________,波源 S1?的相位比 S2?的相位领
S1

子波源
3? P S2 10??3

先_________________. 相同. 1分 2?/3 . 2分 3094 如图所示, 两相干波源 S1 与 S2 相距 3?/4,?为波长.设两波在 S1 S2 连线上传播时,它 们的振幅都是 A,并且不随距离变化.已知在该直线上在 S1 左侧各点的合成波强度为其中 一个波强度的 4 倍, S1 S2 则两波源应满足的相位条件是_________________________.

(3/4)?

S1 的相位比 S2 的相位超前?/2 3097

3分

如图所示,S1,S2 为两平面简谐波相干波源.S2 的相位比 S1 的 相位超前?/4 ,波长? = 8.00 m,r1 = 12.0 m,r2 = 14.0 m,S1 在 P 点 引起的振动振幅为 0.30 m,S2 在 P 点引起的振动振幅为 0.20 m,求 P 点的合振幅. 解: ?? ? ? 2 ? ?1 ?
2 1 2 2

S1

r1 P

2?

?

(r2 ? r1 ) ?
1/ 2

? 2?r2 2?r1 ? ? ? ??/ 4 4 ? ?

S2

r2

2分

A ? ( A ? A ? 2 A1 A2 cos ?? )

? 0.464 m

3分

3099 如图所示,两相干波源在 x 轴上的位置为 S1 和 S2,其间距离为 d = 30 m,S1 位于坐标原点 O.设波只沿 x 轴正负方向传播,单独传 播时强度保持不变.x1 = 9 m 和 x2 = 12 m 处的两点是相邻的两个因 干涉而静止的点.求两波的波长和两波源间最小相位差. 解:设 S1 和 S2 的振动相位分别为??1 和??2.在 x1 点两波引起的振动 相位差

O x1 x2 S1 S2 d

x

[? 2 ? 2?


d ? x1

?

] ? [?1 ? 2?

x1

(? 2 ? ?1 ) ? 2? [? 2 ? 2? d ? x2

d ? 2 x1

?

] ? (2K ? 1)?

?
x2

? (2 K ? 1)?



2分

在 x2 点两波引起的振动相位差

?

] ? [?1 ? 2?

即 ②-①得

(? 2 ? ?1 ) ? 2?

d ? 2 x2

?

] ? (2K ? 3)?
? (2 K ? 3)?
② 3分

由①

4?( x2 ? x1 ) / ? ? 2? ? ? 2( x2 ? x1 ) ? 6 m d ? 2 x1 ? 2 ? ?1 ? (2 K ? 1)? ? 2? ? (2 K ? 5)?

?

2分 2分 1分

当 K = -2、-3 时相位差最小

? 2 ? ?1 ? ??

?

3100 一驻波中相邻两波节的距离为 d = 5.00 cm,质元的振动频率为? =1.00?103 Hz,求形成 该驻波的两个相干行波的传播速度 u 和波长? . 解: 波长 ? = 2d = 0.10 m 2分 波速 u = ?? = 100 m/s 3分 3101 在驻波中,两个相邻波节间各质点的振动 (A) 振幅相同,相位相同. (B) 振幅不同,相位相同. (C) 振幅相同,相位不同. (D) 振幅不同,相位不同. [ ] B 3105 两列波在一根很长的弦线上传播,其表达式为 y1 = 6.0?10 2cos?(x - 40t) /2 (SI) y2 = 6.0?10 2cos?(x + 40t) /2 (SI)

则合成波的表达式为__________________________________________________; 在 x = 0 至 x = 10.0 m 内波节的位置是_____________________________________ __________________________________;波腹的位置是______________________ __________________________________.

1 (SI) y ? 12.0 ? 10 ?2 cos( ?x) cos 20 ?t 2 x ? (2n ? 1) m, 即 x = 1 m,3 m,5 m,7 m,9 m x ? 2n m,即 x = 0 m,2 m,4 m,6 m,8 m,10 m
3106 在固定端 x = 0 处反射的反射波表达式是 y 2 ? A cos 2?(?t ? x / ? ) . 设反射波无 能量损失,那么入射波的表达式是 y1 = ________________________;形成的驻 波的表达式是 y = ________________________________________.

2分 2分 1分

A c o s2[ (?t ? x / ? ) ? ?] ?

3分 2分

1 1 2 A c o s2( x / ? ? ?) c o s2( ?t ? ?) ? ? 2 2
3107 如果入射波的表达式是 y1 ? A cos 2?(

t x ? ) ,在 x = 0 处发生反射后形成驻波,反射 T ?

点为波腹.设反射后波的强度不变,则反射波的表达式 y2 = ___________________________________________; 在 x = 2? /3 处质点合振动 的振幅等于______________________.

t x A cos 2?( ? ) T ?
A 3108 两波在一很长的弦线上传播,其表达式分别为:

3分 2分

1 y1 ? 4.00 ? 10 ?2 cos ?(4 x ? 24t ) (SI) 3 1 y 2 ? 4.00 ? 10 ?2 cos ?(4 x ? 24t ) (SI) 3
求: (1) 两波的频率、波长、波速; (2) 两波叠加后的节点位置; (3) 叠加后振幅最大的那些点的位置. 解:(1) 与波动的标准表达式 y ? A cos 2?(?t ? x / ? ) 对比可得: ? = 4 Hz, ? = 1.50 m, 波速 u = ?? = 6.00 m/s (2) 节点位置

各1分 1分

1 4?x / 3 ? ?(n? ? ?) 2

(3) 波腹位置 3109

1 x ? ?3(n ? ) m , n = 0,1,2,3, … 2 4?x / 3 ? ?n? x ? ?3n / 4 m , n = 0,1,2,3, … x

3分 2分

设入射波的表达式为 y1 ? A cos 2?(

t ? ) ,在 x = 0 处发生反射,反射点为一固定 ? T

端.设反射时无能量损失,求 (1) 反射波的表达式; (2) 合成的驻波的表达式; (3) 波腹和波节的位置. 解:(1) 反射点是固定端,所以反射有相位突变?,且反射波振幅为 A,因此反 射波的表达式为 y 2 ? A cos[2?( x / ? ? t / T ) ? ?] (2) 驻波的表达式是 y ? y1 ? y 2

3分

1 1 ? 2 A cos(2?x / ? ? ?) cos(2?t / T ? ?) 2 2 1 (3) 波腹位置: 2?x / ? ? ? ? n? , 2 1 1 n = 1, 2, 3, 4,… x ? ( n ? )? , 2 2 1 1 波节位置: 2?x / ? ? ? ? n? ? ? 2 2 1 x ? n? , n = 1, 2, 3, 4,… 2
3110

3分 2分

2分

s s ? 一弦上的驻波表达式为 y ? 3.00 ? 10 ( c o1.6?x) c o 5 5 0 t (SI). (1) 若将此驻波看作传播方向相反的两列波叠加而成,求两波的振幅及波速; (2) 求相邻波节之间的距离; (3) 求 t = t0 = 3.00?10 3 s 时,位于 x = x0 = 0.625 m 处质点的振动速度. y ? 3.00 ? 10 ?2 cos1.6?x cos550 ?t 与驻波表达式 y ? 2 A cos(2?x / ? ) cos(2??t ) 相对比可知:
解:(1) 将 A = 1.50?10 2 m, ? = 1.25 m, ? = 275 Hz 波速 u = ?? = 343.8 m/s
-

?2

5分 2分 3分

(2) 相邻波节点之间距离 (3) 3111

?x ?
?y ?t

1 ? = 0.625 m 2

v?

? ?46 .2 m/s
x0 , t 0

如图所示, 一平面简谐波沿 x 轴正方向传播, 为波密媒质 BC 的反射面.波由 P 点反射, OP = 3? /4, DP = ? /6.在 t = 0 时,O 处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动.求 D 点处 入射波与反射波的合振动方程. (设入射波和反射波的振幅皆为 A,频率为?. ) 解:选 O 点为坐标原点,设入射波表达式为

入射 O D 反射

B x P C

y1 ? A c o s2[ (?t ? x / ? ) ? ? ] ?
则反射波的表达式是 合成波表达式(驻波)为

2分

y 2 ? A cos[2?(?t ?

OP ? DP ? x

y ? 2 A cos(2?x / ? ) cos(2??t ? ? ) 在 t = 0 时,x = 0 处的质点 y0 = 0, (?y 0 / ?t ) ? 0 , 1 故得 ?? ? 2
因此,D 点处的合成振动方程是

?

) ? ? ? ?]

2分 2分

2分

y ? 2 A cos(2?
3125

3? / 4 ? ? / 6

?

? ) cos(2??t ? ) ? 3 A sin 2??t 2

2分

电磁波的 E 矢量与 H 矢量的方向互相____________,相位__________. 垂直 2分 相同 2分 3126 在真空中沿着 z 轴的正方向传播的平面电磁波,O 点处电场强度为

?

?

E x ? 900 cos(2??t ? ? / 6) ,则 O 点处磁场强度为___________________________.
(真空介电常量 ??0 = 8.85?10 12 F/m,真空磁导率 ??0 =4??10 7 H/m) 3127 在真空中沿着 z 轴负方向传播的平面电磁波, 点处电场强度为 O x 1 E x ? 300 cos(2??t ? ?) (SI),则 O 点处磁场强度
-

3

z

为_____________________________________.在图上表示出电场强 度,磁场强度和传播速度之间的相互关系.

O y
? Ex
x

H y ? ?0.7 9 6 o s2( ?t ? ? / 3) A/m. c ?
图2分

3分
? c

? Hy
z O

3132 一 平 面 简 谐 波 沿 Ox 轴 正 向 传 播 , 波 动 表 达 式 为

y

y ? A cos[ (t ? x / u) ? ? / 4] ,则 x1 = L1 处质点的振动方程是 ?
__________________________________;x2 = -L2 处质点的振动和 x1 = L1 处质点的振动的相位差为?2 - ?1 =__________________.

y1 ? A c o s [(t ? L1 / u) ? ? / 4] ; ? ? ( L1 ? L2 ) u
3133 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播,波长为?.若如图 P1 点处 质点的振动方程为 y1 ? A cos(2??t ? ? ) ,则 P2 点处 质点的振动方程为_________________________________;
L1 P1 O

1分 2分

L2 P2 x

与 P1 点处质点振动状态相同的那些点的位置是___________________________.

y 2 ? A c o s2[ (?t ? ?

L1 ? L2

x ? ? L1 ? k?
3134

?

) ? ?]

3分 2分
y L P O x

( k = ? 1,? 2,…)

如图所示,一平面简谐波沿 Ox 轴负方向传播,波长为? ,

1 若 P 处质点的振动方程是 y P ? A cos(2??t ? ?) , 2
则该波的表达式是_______________________________;

P 处质点____________________________时刻的振动状态与 O 处质点 t1 时刻的振动状态相 同.

y ? A c o s2[ (?t ? ?
t1 ?
3135

x?L

? )? ] ? 2
t1 ? L /(?? )
也可以]

3分 2分

L

??

?

k

?

, k = 0,?1,?2, … [只写

如图所示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图,该简谐波的表达式是 ____________________________________________;P
A y (m) u P

处质点的振动方程是____________________________. (该波的振幅 A、波速 u 与波长? 为已知量)

0

u x ? y ? A c o s2[ (t ? 2 ? ) ? ] ? ? u 2 ? y P ? A c o s2[ (t ? 2) ? ] ? ? 2 u
3136 一平面余弦波沿 Ox 轴正方向传播,波动表达式为 y ? A cos[2?(

x (m)

3分 2分

t x ? ) ? ?] , T ?

则 x = -??处质点的振动方程是____________________________________;若以 x = ?处为新 的坐标轴原点,且此坐标轴指向与波的传播方向相反,则对此新的坐标 轴,该波的波动表达式是_______________________________________________.

y1 ? A c o s2[ t / T ? ? ] ? y 2 ? A c o s2[ (t / T ? x / ? ) ? ? ] ?
3137 如 图 , 一 平 面 简 谐 波 沿 Ox 轴 传 播 , 波 动 表 达 式 为 y ? A c o s [ (?t ? x / ? ) ? ? ] (SI),求 2? (1) P 处质点的振动方程; (2) 该质点的速度表达式与加速度表达式. 解:(1) 振动方程
P L O

2分 3分

x

y P ? A cos{2?[?t ? (? L) / ? ] ? ?}

? A cos[2?(?t ? L / ? ) ? ? ]

2分

(2) 速度表达式 加速度表达式

v P ? ?2?? A sin[2?(?t ? L / ? ) ? ? ]
a P ? ?4? 2? 2 A c o s2[ (?t ? L / ? ) ? ? ] ?

2分 1分

3138 某质点作简谐振动,周期为 2 s,振幅为 0.06 m,t = 0 时刻,质点恰好处在负向最大位 移处,求 (1) 该质点的振动方程; (2) 此振动以波速 u = 2 m/s 沿 x 轴正方向传播时, 形成的一维简谐波的波动表达式, 以 ( 该质点的平衡位置为坐标原点) ; (3) 该波的波长. 解:(1) 振动方程

2?t y 0 ? 0.06 cos( ? ?) ? 0.06 cos(?t ? ?) (SI) 2 (2) 波动表达式 y ? 0.06 c o s (t ? x / u) ? ?] ?[ 1 ? 0.06 c o s?[ t ? x) ? ?] (SI) ( 2 (3) 波长 ? ? uT ? 4 m

3分 3分

2分

3139 如图所示,一平面简谐波沿 Ox 轴的负方向传播,波速大小为 u,若 P 处介质质点的振 动方程为 y P ? A cos( t ? ? ) ,求 ? (1) O 处质点的振动方程; (2) 该波的波动表达式; (3) 与 P 处质点振动状态相同的那些点的位置. 解:(1) O 处质点的振动方程为 (2) 波动表达式为 (3) 3140 如图所示,一平面简谐波沿 Ox 轴正向传播,波速大小为 u,若 P 处质点的振动方程为

L P O

u x

x = -L ? k

L y 0 ? A c o s [(t ? ) ? ? ] ? u x?L y ? A c o s [(t ? ? ) ? ?] u 2 ?u

2分 2分 1分

?

( k = 1,2,3,…)

y P ? A cos( t ? ? ) ,求 ?
(1) O 处质点的振动方程; (2) 该波的波动表达式; (3) 与 P 处质点振动状态相同的那些质点的位置. 解:(1) O 处质点振动方程

L P O

u x

L y 0 ? A c o s [(t ? ) ? ? ] ? u
2分

(2) 波动表达式 (3) 3141

y ? A cos[ (t ? ? x ? L?x ? L?k 2?u

x?L ) ? ?] u

2分 1分

?

(k = 0,1,2,3,…)

图示一平面简谐波在 t = 0 时刻的波形图,求 (1) 该波的波动表达式; (2) P 处质点的振动方程. 解:(1) O 处质点,t = 0 时

y (m)

u = 0.08 m/s x (m) 0.60

y0 ? A cos? ? 0 v 0 ? ? A? sin ? ? 0
所以 又 故波动表达式为

O

P 0.20 0.40



-0.04

? ?? ?
T ? ? / u ? (0.40/ 0.08) s= 5 s t x ? y ? 0.04 c o s2[ ( ? ? ) ? ] (SI) 5 0.4 2

1 2

2分 2分 4分

(2) P 处质点的振动方程为

t 0.2 ? 3? y P ? 0.04 cos[2?( ? ) ? ] ? 0.04 cos(0.4?t ? ) (SI) 5 0.4 2 2
3142 图示一平面余弦波在 t = 0 时刻与 t = 2 s 时刻的波形图.已知 波速为 u,求 (1) 坐标原点处介质质点的振动方程; (2) 该波的波动表达式. 解:(1) 比较 t = 0 时刻波形图与 t = 2 s 时刻波形图,可知此波向 左传播.在 t = 0 时刻,O 处质点 0 ? Ac o? , s

2分

y (m) A
A 2

t=0 80 160 t=2 s 20

x (m)

O

0 ? v 0 ? ? A? s i n , ?
故 又 t = 2 s,O 处质点位移为 所以 为 (2) 波速 波长 波动表达式

? ?? ?
1 A / 2 ? A cos(4?? ? ?) 2 1 1 ? ? ? 4?? ? ? , ? = 1/16 Hz 4 2 1 y 0 ? A c o s?( / 8 ? ?) (SI) t 2
u = 20 /2 m/s = 10 m/s ? = u??? = 160 m

1 2

2分

2 分振动方程 1分 2分 3分

t x 1 y ? A cos[2?( ? ) ? ?] (SI) 16 160 2
y (m)

3143 如图所示为一平面简谐波在 t = 0 时刻的波形图,设此简谐 波的频率为 250 Hz,且此时质点 P 的运动方向向下,求 (1) 该波的表达式; (2) 在距原点 O 为 100 m 处质点的振动方程与振动速度表达 式. 解:(1) 由 P 点的运动方向,可判定该波向左传播. 原点 O 处质点,t = 0 时 所以

2A / 2
O -A 100

P x (m)

2 A / 2 ? A cos? , v 0 ? ? A? sin ? ? 0 ? ? ?/ 4

O 处振动方程为

y 0 ? A cos(500 ?t ? y ? A c o s2[ (2 5 0 ? ? t

由图可判定波长? = 200 m,故波动表达式为

1 ?) 4

(SI)

3分

x 1 ) ? ?] 200 4 5 ?) 4

(SI)

2分

(2) 距 O 点 100 m 处质点的振动方程是

y1 ? A cos(500 ?t ?
振动速度表达式是

1分

v ? ?500 ?A cos(500 ?t ?

5 ?) (SI) 4
yP (m)

2分

3144 一平面简谐波沿 Ox 轴的负方向传播,波长为??,P 处质点 的振动规律如图所示. (1) 求 P 处质点的振动方程; (2) 求此波的波动表达式; (3) 若图中 d ? 1 ? , 求坐标原点 O 处质点的振动方程.

0 -A

1

t (s)

2

d
O

解:(1) 由振动曲线可知,P 处质点振动方程为

P

x

1 y P ? A cos[(2?t / 4) ? ?] ? A cos( ?t ? ?) 2
(SI) (2) 3分 3分 2分

t x?d y ? A c o s ?( ? 2[ ) ? ?] (SI) 4 ? (3) O 处质点的振动方程 y0 ? A cos(1 ?t ) 2
波动表达式为
y (m) 0.1 u P 100

3145 如图所示为一平面简谐波在 t = 0 时刻的波形图,该波的 波速 u = 200 m/s,则 P 处质点的振动曲线为
yP (m)
0.1 0.1

yP (m)





O

x (m)

0

2 yP (m)

(A)

t (s) 0

0.5

(B)

t (s)

yP (m)
0.1

0.1

0

0.5

(C)

t (s) 0

1 (D)

t (s)

C 3146 如图为一平面简谐波在 t = 0 时刻的波形图, 已知波速 u = 20 m/s.试画出 P 处质点与 Q 处质点的振动曲线,然后写出相应的 振动方程.

y (m) 0.20 O u PQ 20 40

x (m)

解:(1)波的周期 T = ? / u =( 40/20) s= 2 s. 2分 P 处 Q 处质点振动周期与波的周期相等, P 处质点的振动 故 曲线如图(a) 振动方程为: 2分

y (m)
0.20

1 y (m)

2

(a) t (s) (b)

y P ? 0.20 cos(?t ? 1 ?) (SI) 2
(2) Q 处质点的振动曲线如图(b),振动 方程为 y Q ? 0.20 cos(?t ? ?) (SI) 或 3147 2分

2分

0

0 0.5

1.5 t (s)

yQ ? 0.20 cos(?t ? ?)

(SI)

2分

-0.20

一平面简谐波沿 Ox 正方向传播,波动表达式为 y ? 0.10 cos[2?( ? ) ? 该波在 t = 0.5 s 时刻的波形图是
y (m) 0.10 2 O y (m) 2 O -0.10 x (m) O (C) -0.10 x (m) O (A) y (m) 2 x (m) (D) 0.10 2 x (m) (B) y (m)

t 2

x 4

? ] 2

(SI),





B

3149 一平面简谐波沿 x 轴正方向传播,= 0 时刻的波形图如图所示, t S 则 P 处质点的振动在 t = 0 时刻的旋转矢量图是 [ ] A O ? A (A) (B) P O′ S S ? O′ A ? ? ? (D) A (C) ? A A ? O′ S S O′ ?

u x

3150 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播,t = 0 时刻的波形图如图所示,则 P 处介质质点的 振动方程是 (A) (B) (C)

1 y P ? 0.10 cos(4?t ? ?) (SI). 3 1 y P ? 0.10 cos(4?t ? ?) (SI). 3 1 y P ? 0.10 c o s2( t ? ?) (SI). ? 3

y (m) 0.1 0.05 O 5m u =20 m/s

P

x (m)

(D) A 3151

1 y P ? 0.10 cos(2?t ? ?) 6

(SI).





图中画出一向右传播的简谐波在 t 时刻的波形图,BC 为波 密介质的反射面,波由 P 点反射,则反射波在 t 时刻的波形图为 [ ]
y y
O -A

y B P x C

O -A

P (A)

x

O -A (B)

P x

B

y
O -A (C) P

y x
O -A (D) P

x

3152 图中画出一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图, 则平衡 位置在 P 点的质点的振动方程是 (A) (B) (C) (D) C 3153 一平面简谐波沿 Ox 轴传播,波动表达式为

y (m) 0.01 0.005 O P 100 u =200 m/s

1 y P ? 0.01 cos[?(t ? 2) ? ?] 3 1 y P ? 0.01 cos[?(t ? 2) ? ?] 3 1 y P ? 0.01 cos[2?(t ? 2) ? ?] 3 1 y P ? 0.01 cos[2?(t ? 2) ? ?] 3

(SI). (SI). (SI). (SI).

x (m)





y ? A c o s2[ (?t ? x / ? ) ? ? ] , ?

则 x1 = L 处介质质点振动的初相是_____________________________________; 与 x1 处质点振动状态相同的其它质点的位置是____________________________; 与 x1 处质 点速度大小相同,但方向相反的其它各质点的位置是 __________________________________________________________________.

? 2?L / ? ? ? ( k = 1,2,3,…) L ? k? ( k = 0, 1,2,…) L ? 1 (2k ? 1)? 2

1分 2分 2分

3154 一驻波表达式为 y ? 2 A cos(2?x / ? ) cos?t ,则 x ? ?

1 ? 处质点的振动方程是 2

___________________________________________;该质点的振动速度表达式是

______________________________________.

y1 ? ?2 A c o ? t s v ? 2 As i n t ?



y1 ? 2 A c o s (t ? ?) ?

2分 2分

3156 一简谐波沿 Ox 轴正方向传播,图中所示为该波 t 时刻的波形 图.欲沿 Ox 轴形成驻波,且使坐标原点 O 处出现波节,试在另 一图上画出需要叠加的另一简谐波 t 时刻的波形图.

y A

u x

O y x O

见图

3分
A

y

u x

O

3158 在均匀介质中,有两列余弦波沿 Ox 轴传播,波动表达式分别为 y1 ? A cos[2?(?t ? x / ? )] 与 y 2 ? 2 A cos[2?(?t ? x / ? )] ,试求 Ox 轴上合振幅最 大与合振幅最小的那些点的位置. 解:(1) 设振幅最大的合振幅为 Amax ,有
2 Amax ? (2 A) 2 ? A 2 ? 2 A ? 2 A cos ?? 式中 ? ?? ? 4?x / ? , 又因为 c o s ? ? c o s ?x / ? ? 1 时,合振幅最大,故 ? 4 4?x / ? ? ?2k? 1 合振幅最大的点 ( k = 0,1,2,…) x ? ? k? 2

4分

(2) 设合振幅最小处的合振幅为 Amin ?,有 因为 cos ?? ? ?1 时合振幅最小 且 故 ?
??
2 Amin ? (2 A) 2 ? A 2 ? 2 A ? 2 A cos ??

? 4?x / ? 4?x / ? ? ?(2k ? 1)? 合振幅最小的点 x ? ?(2k ? 1)? / 4

( k = 0,1,2,…)

4分

3159 两列余弦波沿 Ox 轴传播,波动表达式分别为



1 y1 ? 0.06 cos[ ?(0.02 x ? 8.0t )] (SI) 2 1 y 2 ? 0.06 cos[ ?(0.02 x ? 8.0t )] (SI), 2

试确定 Ox 轴上合振幅为 0.06 m 的那些点的位置. 解:把两波写成 y1 ? A1 cos[ ?(0.02 x ? 8.0t )] ? A1 cos[ ?(8.0t ? 0.02 x)]

1 2

1 2

1 y 2 ? A2 cos[ ?(8.0t ? 0.02 x)] 2
并令 A1 = A2 = A = 0.06 m,则对于所求的点有
2 2分 A 2 ? A12 ? A2 ? 2 A1 A2 cos ?? 1 cos ?? ? ? 2 ? ?? ? 0.02?x 或 0.02?x ? ?(2k? ? 2? / 3) 2分 0.02?x ? ? (2k? ? 2? / 3 ) x ? ?50(2k ? 2 / 3) m ( k = 0,1,2,…) 1分 x ? ?50(2k ? 2 / 3) m

可得 由 可得? 故 或

3286 在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是 I1 / I2 = 4,则两列波的振幅之比是 (A) A1 / A2 = 16. (B) A1 / A2 = 4. (C) A1 / A2 = 2. (D) A1 / A2 = 1 /4. [ ] C 3287 当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时,下述各结论哪个是正确的? (A) 媒质质元的振动动能增大时,其弹性势能减小,总机械能守恒. (B) 媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化,但二者的相位不相同. (C) 媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同, 但二者的数值不相等. (D) 媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大. [ ] D 3288 当机械波在媒质中传播时,一媒质质元的最大变形量发生在 (A) 媒质质元离开其平衡位置最大位移处. (B) 媒质质元离开其平衡位置( 2A / 2 )处(A 是振动振幅). (C) 媒质质元在其平衡位置处. (D) 媒质质元离开其平衡位置

1 . A 处(A 是振动振幅) 2





C 3289 图示一平面简谐机械波在 t 时刻的波形曲线.若此时 A 点处 y 媒质质元的振动动能在增大,则 (A) A 点处质元的弹性势能在减小. B O A (B) 波沿 x 轴负方向传播. (C) B 点处质元的振动动能在减小. (D) 各 点 的 波 的 能 量 密 度 都 不 随 时 间 变 化. [ ] B 3291 一平面简谐机械波在媒质中传播时,若一媒质质元在 t 时刻的总机械能是

x

10 J,则在 (t ? T ) (T 为波的周期)时刻该媒质质元的振动动能是___________. 5J 3分 3292 在同一媒质中两列频率相同的平面简谐波的强度之比 I1 / I2 = 16,则这两列 波的振幅之比是 A1 / A2 = ____________________. 4 3分 3293 ? 一列强度为 I 的平面简谐波通过一面积为 S 的平面,波速 u 与该平面的法线

? n 0 的夹角为? ,则通过该平面的能流是______________________________.
I S cos? 3分 3294 在截面积为 S 的圆管中,有一列平面简谐波在传播,其波的表达式为 y ? A cos[ t ? 2?( x / ? )] ,管中波的平均能量密度是 w,则通过截面积 S 的平均能 ? 流是____________________________________.

??
2?

Sw

3分

3285 如图所示,S1 和 S2 为两相干波源,它们的振动方向均垂直于 图面,发出波长为? 的简谐波,P 点是两列波相遇区域中的一点, 已知 S1 P ? 2? , S 2 P ? 2.2? ,两列波在 P 点发生相消干涉.若

S1 P

S2 S1 的振动方程为 y1 ? A cos(2?t ? 1 ?) ,则 S2 的振动方程为 2 1 (A) y 2 ? A cos(2?t ? ?) . (B) y 2 ? A cos(2?t ? ?) . 2 1 (C) y 2 ? A cos(2?t ? ?) . (D) y 2 ? 2 A cos(2?t ? 0.1?) . [ 2



D 3301 如图所示,S1 和 S2 为同相位的两相干波源,相距为 L,P 点距 S1 为 r;波源 S1 在 P 点引起的振动振幅为 A1,波源 S2 在 P 点引起的 振动振幅为 A2,两波波长都是? ,则 P 点 的 振 幅 A = _________________________________________________________. ?
2 A12 ? A2 ? 2 A1 A2 cos(2?

L S1 r P S2

L ? 2r

?

)

3分

3305 如图所示,原点 O 是波源,振动方向垂直于纸面,波 长是? .AB 为波的反射平面,反射时无相位突变?.O 点 位于 A 点的正上方, AO ? h .Ox 轴平行于 AB.求 Ox 轴
A

O x h B

上干涉加强点的坐标(限于 x ≥ 0) . 解:沿 Ox 轴传播的波与从 AB 面上 P 点反射来的波在坐标 x 处相遇,两波的波 程差为 代入干涉加强的条件,有:

? ? 2 ( x / 2) 2 ? h 2 ? x
2 ( x / 2) 2 ? h 2 ? x ? k? , k = 1,2,…

2分 1分

x 2 ? 4h 2 ? x 2 ? k 2 ?2 ? 2 xk? 2 xk? ? 4h 2 ? k 2 ?2 4h 2 ? k 2 ? 2 . 2分 x? 2k?
k = 1,2,3,…,< 2 h /?.
2 2 2

O h A

x x

(当 x = 0 时,由 4h ? k ? 可得 k = 2 h /?. ) 3308 在波长为? 的驻波中,两个相邻波腹之间的距离为 (A) ??/4. (B) ??/2. (C) 3??/4. (D) ??. B 3309 在波长为???的驻波中两个相邻波节之间的距离为 (A) ??. (B) 3??/4. (C) ??/2. (D) ??/4. C 3310 在弦线上有一简谐波,其表达式是

B









y1 ? 2.0 ? 10 ?2 cos[2?(

t x ? ? ) ? ] (SI) 0.02 20 3

为了在此弦线上形成驻波,并且在 x = 0 处为一波节,此弦线上还应有一简谐波,其表达式 为: (A) (B) (C) (D) C 3311 在弦线上有一简谐波,其表达式为

t x ? ? ) ? ] (SI). 0.02 20 3 t x 2? y 2 ? 2.0 ? 10 ?2 cos[2?( ? ) ? ] (SI). 0.02 20 3 t x 4? y 2 ? 2.0 ? 10 ?2 cos[2?( ? ) ? ] (SI). 0.02 20 3 t x ? y 2 ? 2.0 ? 10 ?2 cos[2?( ? ) ? ] (SI). 0.02 20 3 y 2 ? 2.0 ? 10 ?2 cos[2?(





y1 ? 2.0 ? 10 ?2 cos[ ?(t ? 100

x 4? )? ] 20 3
x ? )? ] 20 3

(SI)

为了在此弦线上形成驻波,并且在 x = 0 处为一波腹,此弦线上还应有一简 谐波,其表达式为: (A)

y 2 ? 2.0 ? 10 ?2 cos[ ?(t ? 100

(SI).

(B) (C) (D)

y 2 ? 2.0 ? 10 ?2 cos[ ?(t ? 100

x 4? ) ? ] (SI). 20 3 x ? y 2 ? 2.0 ? 10 ?2 cos[ ?(t ? ) ? ] (SI). 100 20 3 x 4? y 2 ? 2.0 ? 10 ?2 cos[ ?(t ? ) ? ] (SI). 100 20 3





D 3312 若在弦线上的驻波表达式是 的行波为: (A)

则形成该驻波的两个反向进行 y ? 0.20 sin 2?x cos 20?t .

1 y1 ? 0.10 cos[2?(10t ? x) ? ?] 2 1 y 2 ? 0.10 cos[2?(10t ? x) ? ?] (SI). 2 (B) y1 ? 0.10 cos[2?(10t ? x) ? 0.50?] y 2 ? 0.10 cos[2?(10t ? x) ? 0.75?] (SI). 1 (C) y1 ? 0.10 cos[2?(10t ? x) ? ?] 2 1 y 2 ? 0.10 cos[2?(10t ? x) ? ?] (SI). 2 (D) y1 ? 0.10 cos[2?(10t ? x) ? 0.75?] y 2 ? 0.10 cos[2?(10t ? x) ? 0.75?] (SI).
C 3313 设入射波的表达式为 y1 ? A cos 2?(?t ?





x

?

) .波在 x = 0 处发生反射,反射点

为固定端,则形成的驻波表达式为____________________________________.

1 1 ? ?] c o s2( ?t ? ?) ? ? 2 2 x 1 1 y ? 2 A cos[2? ? ?] cos(2??t ? ?) ? 2 2 x 1 或 y ? 2 A c o s2[ ? ? ?] c o s2( ?t ) . ? ? 2 y ? 2 A c o s2[ ?
3314 设反射波的表达式是

x



3分

y 2 ? 0.15 c o s [ 0 (t ? 10 ?

x 1 ) ? ?] 200 2

(SI)

波在 x = 0 处发生反射,反射点为自由端,则形成的驻波的表达式为 _______________________________________.

1 1 y ? 0.30 c o s (?x) c o s ( 0 t ? ?) 10 ? 2 2
y 2 ? A cos[2?(?t ? x / ? ) ? ? / 2]

(SI)

3分

3315 设平面简谐波沿 x 轴传播时在 x = 0 处发生反射,反射波的表达式为

已知反射点为一自由端,则由入射波和反射波形成的驻波的波节位置的坐标为 ______________________________________.

1 1 x ? (k ? ) ? ,k = 0,1,2,3,… 2 2
3316

3分

设入射波的表达式为 y1 ? A c o s2[ (?t ? x / ? ) ? ?] ,波在 x = 0 处发生反射,反射 ? 点为一固定端,则入射波和反射波合成的驻波的波腹位置所在处的坐标 为______________________________________.

1 1 x ? (k ? ) ? ,k = 1,2,3,… 2 2
3317

3分

一弦上的驻波表达式为 y ? 0.1cos(?x) cos( ?t ) (SI).形成该驻波的两个反向传播的 90 行波的波长为________________,频率为__________________. 2m 45 Hz 3318 一弦上的驻波表达式为 y ? 2.0 ? 10
?2

2分 2分

cos15 x cos1500 t

(SI).形成该驻波的两个反

向传播的行波的波速为__________________. 100 m/s 3330 图示一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图,波的振幅为 0.2 m,周期为 4 s,则图中 P 点处质点的振动方程 为___________________________.

3分
y (m) A O P
传播方向

x (m)

1 1 y P ? 0.2 c o s (?t ? ?) 2 2
3分 3331 一波长为 ? 的简谐波沿 Ox 轴正方向传播,在 x ?

1 ? 的 P 处质点的振动方程是 2

3 1 sin ?t ? cos?t ) ? 10 ? 2 (SI) 求该简谐波的表达式. 2 2 ? 解:用旋转矢量解此题,如图可得 A 为代表 P 点振动的旋转矢量. 1 y P ? ( 3 sin ? t ? cos?t ) ? 10 ?2 2 1 1 ? ( 3 cos( t ? ?) ? cos( t ? ?)] ? 10 ?2 ? ? 2 2 ? 1 ? 10 ?2 cos( t ? 4? / 3) (SI). ? 3分 yP ? (
波的表达式为:

1/2

4?/3 ? -?/2

?

? A
?

3/2
?

4 x??/2 y ? 1 ? 10 ?2 cos[ t ? ? ? 2? ? ] 3 ?

? 1 ? 10 ?2 cos( t ? 2? ?
3332

1 ? ?) ? 3

x

(SI)

2分

如图所示, 一简谐波向 x 轴正向传播, 波速 u = 500 m/s , x0 = 1 m, P 点 的 振 动 方 程 为

y (m) u P O x0
y (m) 0.03 1 -2 -1 O P -0.03 2 x (m) u

1 y ? 0.03 cos(500 ? t ? ? ) ?(SI). 2
(1) 按图所示坐标系, 写出相应的波的表达式; (2) 在图上画出 t = 0 时刻的波形曲线. 解:(1) ? ? u /? ? (500 / 250 )m ? 2 m 波的表达式

x (m)

y( x, t ) ? 0.03 c o s [0 0 t ? 1 ? ? ( x ? 1)2? / ? ] 5 ? 2 ? 0.03 cos[500 ?t ? 1 ? ? ( x ? 1)2? / 2] 2 ? 0.03 cos(500 ?t ? 1 ? ? ?x) (SI) 2
(2) t = 0 时刻的波形曲线

3分

y( x,0) ? 0.03 cos(1 ? ? ?x) ? 0.03 sin ?x 2
3333 一简谐波沿 Ox 轴正方向传播, 波长? = 4 m, 周期 T = 4 s,已知 x = 0 处质点的振动曲线如图所示. (1) 写出 x = 0 处质点的振动方程; (2) 写出波的表达式; (3) 画出 t = 1 s 时刻的波形曲线. 解:(1)

(SI)

2分

y (10?2 m)
2
2 /2

2 4 t (s)

0 - 2

1 1 y 0 ? 2 ? 10 ?2 cos( ?t ? ?) 2 3
?2

(SI) 3分
2

y (10-2 m) u -4/3-1/3 11/3 4 O 2/3 5/3 8/3 ? 6/2

(2)

1 1 1 y ? 2 ? 10 cos[2?( t ? x) ? ?] 4 4 3

(SI) 2分

x (m)

(3) t = 1 s 时,波形表达式:

1 5 y ? 2 ? 10 ?2 cos( ?x ? ?) 2 6
故有如图的曲线. 3335 一简谐波,振动周期 T ?

(SI) 3分

1 s,波长? = 10 m,振幅 A = 0.1 m.当 t = 0 时,波源振动 2

的位移恰好为正方向的最大值.若坐标原点和波源重合,且波沿 Ox 轴正方向传播,求: (1) 此波的表达式; (2) t1 = T /4 时刻,x1 = ? /4 处质点的位移; (3) t2 = T /2 时刻,x1 = ? /4 处质点的振动速度. 解:(1) (2)

y ? 0.1cos(4?t ?

2 1 ?x) ? 0.1cos 4?(t ? x) 10 20

(SI)

3分

t1 = T /4 = (1 /8) s,x1 = ? /4 = (10 /4) m 处质点的位移

(3) 振速

y1 ? 0.1cos 4?(T / 4 ? ? / 80) 1 ? 0.1cos 4?(1 / 8 ? ) ? 0.1m 8 ?y v? ? ?0.4? sin 4?(t ? x / 20) . ?t

2分

1 t 2 ? T ? (1 / 4) s,在 x1 = ? /4 = (10 /4) m 处质点的振速 2 1 v 2 ? ?0.4? sin(? ? ?) ? ?1.26 m/s 2
3336 如图所示, 两列波长均为? 的相干简谐波分别通过图中的 O1 和 O2 点,通过 O1 点的简谐波在 M1 M2 平面反射后,与通过 O2 点的简谐波在 P 点相遇.假定波在 M1 M2 平面反射时有相位突变 ?.O1 和 O2 两点的振动方程为 y10 = Acos(?t) 和 y20 = Acos(?t),
M1 O1 m

3分

M2

O1 m ? mP ? 8? , O2 P ? 3? (??为波长) ,求: (1) 两列波分别在 P 点引起的振动的方程; (2) P 点的合振动方程.假定两列波在传播或反射过程中均 ( 不衰减)
且 解:(1)

P O2

y1 ? A cos[?t ? ? ?

2?

?

(8? )] ? A cos(?t ? ?)

2分 2分

y 2 ? A cos[?t ?
(2)

2?

y ? y1 ? y 2 ? A c o s?( ? ?) ? A c o s?( ) t t ? ? A cos ?t ? A cos(?t ) ? 0

?

(3? )] ? A cos(?t )

1分

3337 图(a)示一简谐波在 t = 0 和 t = T / 4(T 为周期)时的波形图,试在图(b)上画出 P 处质点 的振动曲线. y y
A t=0 t=T/4 P x (a) O -A

t 0

(b)

答案见图

3分

y A 0 T/2 T t

图示一简谐波在 t = 0 时刻的波形图, 波速 u = 200 m/s, 则图中 O 点的振动加速度的表达式为 (A) (B) (C)

1 a ? 0.4? 2 cos(?t ? ?) (SI). 2 3 a ? 0.4? 2 cos(?t ? ?) (SI). 2 2 a ? ?0.4? cos(2?t ? ?) (SI).
3338

y (m) 0.1 O 100 u x (m) 200

(D)

a ? ?0.4? 2 cos(2?t ?

1 ?) 2

(SI) [ ]

D 3339 一角频率为? 的简谐波沿 x 轴的正方向传播,t = 0 时刻的波 形如图所示.则 t = 0 时刻,x 轴上各质点的振动速度 v 与 x 坐标的 关系图应为:
v (m/s) v (m/s) v (m/s) O 1 (B) x (m) ??A 1 (C) v (m/s)
y (m) A O 1 u t=0 2 x (m)

?A
O

1 (A)

?A
x (m) O

?A
x (m) O 1 (D) x (m)

[ D 3340 一简谐波沿 Ox 轴正方向传播,t = 0 时刻波形曲线如图所示.已 知周期为 2 s,则 P 点处质点的振动速度 v 与时间 t 的关系曲线为:
v v 1 2 t (s) (A)
A y u P



v 0.5 1 (B)

v

O

x

?A
0 0.5

?A
0

?A 2 0 2 0 0.5 1 2 t (s)??A 0.5 1 t (s) t (s) (C) (D)





A 3341 图示一简谐波在 t = 0 时刻的波形图,波速 u = 200 m/s,则 P 处质点的振动速度表达式 为 (A) v ? ?0.2? cos(2?t ? ?) (SI). y (m) (SI). v ? ?0.2? cos(?t ? ?) (C) v ? 0.2? cos(2?t ? ? / 2) (SI). (D) v ? 0.2? cos(?t ? 3? / 2) (SI). (B) [ A 3342 一平面简谐波 (机械波) x 轴正方向传播, 沿 波动表达式为 y ? 0.2 cos(?t ? 则 x = -3 m 处 媒 质 质 点 的 振 动 加 速 度 ________________________________________. a

A P O

100

u
200

x (m)

1 ?x) 2

(SI),

的 表 达 式 为 3分

3 a ? ?0.2? 2 c o s?( ? ?x) t 2
3343

(SI)

图示一简谐波在 t = 0 时刻与 t = T /4 时刻(T 为周 期)的波形图,则 x1 处质点的振动方程为

y A t=0 x1 t=T/4 x

___________________________.

2? ? y x1 ? A cos( t ? ) T 2

O -A

或写成 y x1 ? A sin(2?t / T ) 3分

3344 一简谐波沿 Ox 轴负方向传播,x 轴上 P1 点处的振动方程为

?

1 y P 1 ? 0.04 cos( t ? π) π 2

(SI) .x 轴上 P2 点的坐标减去 P1 点的坐标等于 3? /4(??

为波长) ,则 P2 点的振动方程为_______________________________.

y P2 ? 0.04 c o s?( ? ?) t

(SI)

3分

3407 横波以波速 u 沿 x 轴负方向传播.t 时刻波形曲线如图.则该时刻 (A) A 点振动速度大于零. (B) B 点静止不动. (C) C 点向下运动. (D) D 点振动速度小于零.

y u A O B C D x

[ ] D 3408 图示一沿 x 轴正向传播的平面简谐波在 t = 0 时刻的波形.若振动以余弦函数表示,且 此题各点振动初相取???到?之间的值,则 (A) O 点的初相为 ? 0 ? ?

(B) 1 点的初相为 ?1 ? 0 .

1 ?. 2
O
[ ]

y

u 1 2 3 4 x

(C) 2 点的初相为 ? 2 ? 0 . (D) 3 点的初相为 ? 3 ? 0 .

B 3409 一简谐波沿 x 轴正方向传播,t = T /4 时的波形曲线如图所示.若振动以余弦函数表示, 且此题各点振动的初相取?? 到??之间的值,则 (A) O 点的初相为 ? 0 ? 0 . y u 1 (B) 1 点的初相为 ?1 ? ? ? . 2 1 O 2 3 4 x (C) 2 点的初相为 ? 2 ? ? . (D) 3 点的初相为 ?3 ? ?

1 ?. 2





D 3410 一横波沿绳子传播,其波的表达式为 y ? 0.05 c o s ( 0 t ? 2?x) 10 ? (1) 求此波的振幅、波速、频率和波长.

(SI)

(2) 求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度. (3) 求 x1 = 0.2 m 处和 x2 = 0.7 m 处二质点振动的相位差. 解 : (1) 已 知 波 的 表 达 式 为 y ? 0.05 cos( ?t ? 2?x) 100

与 标 准 形 式 各1分 1分 2分 2分 2分

y ? A cos(2??t ? 2?x / ? )

(2)

v max

比较得 A = 0.05 m, ? = 50 Hz, ? = 1.0 m u = ?? = 50 m/s ? (?y / ?t ) max ? 2??A ? 15.7 m /s
??

a m a x ? (? 2 y / ?t 2 ) m a x ? 4? 2? 2 A ? 4.93 ? 10 3 m/s2
(3) 3411

? 2?( x2 ? x1 ) / ? ? ? ,二振动反相

若一平面简谐波的表达式为 y ? A cos(Bt ? Cx) ,式中 A、B、C 为正值常量,则 (A) 波速为 C. (B) 周期为 1/B. (C) 波长为 2? /C. (D) 角频率为 2? /B. [ ] C 3412 一平面简谐波沿 x 轴负方向传播.已知 y ? A cos( t ? ? 0 ) .若波速为 u,则此波的表达式为 ? (A) (B) (C) (D)

x = x0 处 质 点 的 振 动 方 程 为

y ? A cos{ [t ? ( x0 ? x) / u ] ? ? 0 } . ? y ? A cos{ [t ? ( x ? x0 ) / u ] ? ? 0 } . ? y ? A cos{ t ? [( x0 ? x) / u ] ? ? 0 } . ? y ? A cos{ t ? [( x0 ? x) / u ] ? ? 0 } . ?
[ ]

A 3413 下列函数 f (x, t)可表示弹性介质中的一维波动,式中 A、a 和 b 是正的常量.其中哪个 函数表示沿 x 轴负向传播的行波? (A) f ( x, t ) ? A cos(ax ? bt) . (B) f ( x, t ) ? A cos(ax ? bt) . (C)

f ( x, t ) ? A cos ax ? cosbt .

(D)

f ( x, t ) ? A sin ax ? sin bt . [



A 3415 一平面简谐波,沿 x 轴负方向传播.角频率为? ,波速为 u.设 t = T /4 时刻的波形如 图所示,则该波的表达式为: (A) (B) (B) (C) D 3417 已知 14℃时的空气中声速为 340 m/s.人可以听到频率为 20 Hz 至 20000 Hz 范围内的 声波.可以引起听觉的声波在空气中波长的范围约为 ______________________________. 17 m 到 1.7?10 2 m

y ? A cos? (t ? xu) .

1 y ? A cos[ (t ? x / u ) ? ?] . ? 2 y ? A cos[ (t ? x / u)] . ?
y ? A cos[ (t ? x / u) ? ?] . ?

y A O -A
[ ]

u x

3分

3418 频率为 100 Hz 的波,其波速为 250 m/s.在同一条波线上,相距为 0.5 m 的 两点的相位差为________________. 2? /5 3420 一 简 谐 波 沿 BP 方 向 传 播 , 它 在 B 点 引 起 的 振 动 方 程 为

3分

y1 ? A1 cos 2?t .另一简谐波沿 CP 方向传播,它在 C 点引起的振动 方程为 y 2 ? A2 cos(2?t ? ? ) .P 点与 B 点相距 0.40 m,与 C 点相距
0.5 m(如图) .波速均为 u = 0.20 m/s.则两波 在 P 点的相位差为______________________. 0 3421

C B

P

3分

已知一平面简谐波的表达式为 y ? A cos(Dt ? Ex) ,式中 A、D、E 为正值常量,则在 传播方向上相距为 a 的两点的相位差为______________. aE 3分 3423 一列平面简谐波沿 x 轴正向无衰减地传播,波的振幅为 2?10 3 m,周期为 0.01 s,波 速为 400 m/s. 当 t = 0 时 x 轴原点处的质元正通过平衡位置向 y 轴正方 向运动,则该简谐波的表达式为____________________.

1 1 y ? 2 ? 10 ?3 c o s2(0 0 t ? ?x ? ?) ? 2 2
3424

(SI)

3分

一沿 x 轴正方向传播的平面简谐波,频率为? ,振 幅为 A, 已知 t = t0 时刻的波形曲线如图所示, x = 0 点 则 的振动方程为 _________________________________________.

y (m) u A P O -A x (m)

y ? A c o s2[ ? (t ? t 0 ) ? 1 ?] ? 2
3分 3425 在简谐波的一条射线上,相距 0.2 m 两点的振动相位差为? /6.又知振动周 期为 0.4 s,则波长为_________________,波速为________________. 2.4 m 6.0 m/s 3426 一声纳装置向海水中发出超声波,其波的表达式为

2分 2分

y ? 1.2 ? 10 ?3 cos(3.14 ? 10 5 t ? 220 x)

(SI)

则此波的频率? = _________________ ,波长? = __________________, 海水中 声速 u = __________________. 5.0 ?104 Hz 1分 -2 2.86?10 m 2分 3 1.43?10 m/s 2分 3428 一平面简谐波,频率为 300 Hz,波速为 340 m/s,在截面面积为 3.00?10 2 m2 的管内空 气中传播,若在 10 s 内通过截面的能量为 2.70?10 2 J,求 (1) 通过截面的平均能流; (2) 波的平均能流密度; (3) 波的平均能量密度. 解:(1) 1分 P ? W / t ? 2.70?10-3 J/s -2 2 (2) 2分 I ? P / S ? 9.00?10 J /(s?m ) ? (3) I ? w?u ? ? 2分 w ? I / u ? 2.65?10-4 J/m3 3431 如图所示,一列平面波入射到两种介质的分界面上.AB B 为 t 时刻的波前.波从 B 点传播到 C 点需用时间?.已知波在 C 介质 1 中的速度 u1 大于波在介质 2 中的速度 u2. 试根据惠更斯 介质 1 A 介质 2 原理定性地画出 t + ???时刻波在介质 2 中的波前. DC 为 t + ???时刻波在介质 2 中的波前 3分
B
介质 1 介质 2

A u2? D

u1? C

3433 如图所示,两列波长为? 的相干波在 P 点相遇.波在 S1 点振 动的初相是??1,S1 到 P 点的距离是 r1;波在 S2 点的初相是??2,S2 到 P 点的距离是 r2,以 k 代表零或正、负整数,则 P 点是干涉极大的条件为: (A) r2 ? r1 ? k? . S1 r1 P (B) ? ? ? ? 2k? . (C)

? 2 ? ?1 ? 2?(r2 ? r1 ) / ? ? 2k? . (D) ? 2 ? ?1 ? 2?(r1 ? r2 ) / ? ? 2k? .
[ ]

2

1

S2

r2

D 3434 两相干波源 S1 和 S2 相距? /4, ??为波长) 1 的相位比 S2 的相 ( ,S

?/4
P S1 S2

1 位超前 ? ,在 S1,S2 的连线上,S1 外侧各点(例如 P 点)两波引 2
起的两谐振动的相位差是: (A) 0. C 3435 (B)

1 ?. 2

(C) ?.

(D)

3 ?. 2





设 P 点距两波源 S1 和 S2 的距离相等,若 P 点的振幅保持为零,则由 S1 和 S2 分别发出

的两列简谐波在 P 点引起的两个简谐振动应满足什么条件? 答 : 两 个 简谐 振 动 应满足 振 动 方 向相 同 , 振动频 率 相 等 ,振 幅 相 等,相 位 差 为 ?. 5分 3436 图中 A、B 是两个相干的点波源,它们的振动相位差为?(反 P 相) A、 相距 30 cm, . B 观察点 P 和 B 点相距 40 cm, PB? AB . 且 若 发自 A、B 的两波在 P 点处最大限度地互相削弱,求波长最长能是 多少. 解:在 P 最大限度地减弱,即二振动反相.现二波源是反相的相干 波源,故要 求 因 传 播 路 径 不 同 而 引 起 的 相 位 差 等 于 ??2k? ( k = 1 , 2,…) . 2分 由图 ∴ 3437 如图所示,两列相干波在 P 点相遇.一列波在 B 点引起的振动是
40 cm A 30 cm

B

AP ? 50 cm. ∴

2? (50-40) /? = 2k?, ? = 10/k cm,当 k = 1 时,?max = 10 cm
B C

3分
P

y10 ? 3 ? 10 ?3 cos 2?t (SI) ; 另 一 列 波 在 C 点 引 起 的 振 动 是

y 20 ? 3 ? 10 ?3 cos(2?t ? 1 ?) (SI); 令 BP ? 0.45 m,CP ? 0.30 m,两 2

波的传播速度 u = 0.20 m/s,不考虑传播途中振幅的减小,求 P 点的合振动的振动方程. 解:第一列波在 P 点引起的振动的振动方程是:

1 y1 ? 3 ? 10 ?3 cos(2?t ? ?) , (SI) 2
第二列波在 P 点引起的振动的振动方程是:

2分

1 y 2 ? 3 ? 10 ?3 cos(2?t ? ?) , (SI) 2
P 点的合振动的振动方程是:

2分

1 y ? y1 ? y 2 ? 6 ? 10 ?3 cos(2?t ? ?) , (SI) 2
3441 设沿弦线传播的一入射波的表达式为
y

1分

y1 ? A cos[ t ? 2? ] , ?

x

?

B O L

x

波在 x = L 处(B 点)发生反射,反射点为自由端(如图) .设波在传 播和反射过程中振幅不变,则反射波的表达式是

y2 = ______________________________________________________.

A c o s [t ? 2? ?

x

?

L ? 4? ]

?

3分

3442 设沿弦线传播的一入射波的表达式为

y B O L x

t x y1 ? A cos[2? ( ? ) ? ? ] , T ?
波在 x = L 处(B 点)发生反射,反射点为固定端(如图) .设波在 传播和反射过程中振幅不变,则反射波的表达式为 y2 = ________________________________.

A cos[2?(

t x 2L t x 2L ? ) ? (? ? ? ? 2? )] 或 A cos[2?( ? ) ? (? ? ? ? 2? )] T ? ? T ? ?

3 分

3445 沿弦线传播的一入射波在 x = L 处(B 点)发生反射,反射点 为自由端(如图) .设波在传播和反射过程中振幅不变,且反射波 的表达式为 y 2 ? A cos 2?(?t ?
y B O L x

x

?

) , 则入射

波的表达式为 y1 = ______________________________.

A cos 2?(? t ?
3446

x

?

L ?2 )

?

3分

沿弦线传播的一入射波在 x = L 处(B 点)发生反射,反射点 为固定端(如图) ,设波在传播和反射过程中振幅不变,且反射波 的表达式为 y 2 ? A cos( t ? 2? ) ,则入射 ?

y B O L x

x

?

波的表达式是 y1 = _____________________________.

A c o s (t ? 2? ?
3449

2L ? x

?

? ?)

3分

由振动频率为 400 Hz 的音叉在两端固定拉紧的弦线上建立驻波. 这个驻波共有三个波 腹,其振幅为 0.30 cm.波在弦上的速度为 320 m/s. (1) 求此弦线的长度. (2) 若以弦线中点为坐标原点,试写出弦线上驻波的表达式. 解:(1)

?? = u
∴ (2) 弦的中点是波腹,故

1 L ? 3? ? 2 3 u 3 320 ? ? ? 1.20 m 2 ? 2 400 m
(SI)

1分

L?

2分

y ? 3.0 ? 10 ?3 cos(2?x / 0.8) cos(800 ?t ? ? )
式中的? 可由初始条件来选择. 3456

2分

电磁波在媒质中传播速度的大小是由媒质的____________________决定的. 介电常数? 和磁导率? 3457 电磁波的电场强度 E 、磁场强度 H 和传播速度 u 的关系是: (A) 三者互相垂直,而 E 和 H 位相相差

3分

?

?

?

?

?

(B) 三者互相垂直,而且 E 、 H 、 u 构成右旋直角坐标系.

?

?

?

1 ?. 2

[ ] B 3458 在真空中沿着 x 轴正方向传播的平面电磁波,其电场强度波的表达式是 E z ? E0 c o s ?(?t ? x / ? ) ,则磁场强度波的表达式是: 2 (A) (B) (C) (D)

? ? ? ? ? ? (D) 三者中 E 和 H 可以是任意方向的,但都必须与 u 垂直.
(C) 三者中 E 和 H 是同方向的,但都与 u 垂直.

H y ? ? 0 / ? 0 E0 cos 2?(?t ? x / ? ) . H z ? ? 0 / ? 0 E0 cos 2?(?t ? x / ? ) . H y ? ? ? 0 / ? 0 E 0 cos 2?(?t ? x / ? ) . H y ? ? ? 0 / ? 0 E 0 cos 2?(?t ? x / ? ) .
[ ]

C 3459 在真空中沿着 z 轴负方向传播的平面电磁波,其磁场强度波的表达式为 H x ? ? H 0 cos? (t ? z / c) ,则电场强度波的表达式为: (A) (B) (C) (D) C 3460 广播电台的发射频率为? = 640 kHz.已知电磁波在真空中传播的速率为 c = 3?108 m/s,则这种电磁波的波长为___________________. 4.69?102 m 3461 在真空中一平面电磁波的电场强度波的表达式为:

E y ? ? 0 / ? 0 H 0 cos? (t ? z / c) . E x ? ? 0 / ? 0 H 0 cos? (t ? z / c) . E y ? ? ? 0 / ? 0 H 0 cos? (t ? z / c) . E y ? ? ? 0 / ? 0 H 0 cos? (t ? z / c) .
[ ]

3分

E y ? 6.0 ? 10 ?2 cos[2? ? 10 8 (t ?

x )] 3 ? 10 8

(SI)

则该平面电磁波的频率是_________________. ? = 108 Hz 3462 在真空中一平面电磁波的电场强度波的表达式为:

3分

E y ? 6.0 ? 10 ?2 cos[2? ? 10 8 (t ?

x )] 3 ? 10 8

(SI)

则该平面电磁波的波长是____________________. 3m 3463 在真空中传播的平面电磁波,在空间某点的磁场强度为

3分

1 H ? 1.20 cos(2??t ? ) 3

(SI)

则在该点的电场强度为____________________________________________. (真空介电常量??0=8.85?10 12 F/m,真空磁导率 ???=4??10 7 H/m)

1 452 c o s2( ?t ? ?) ? 3
3464

(SI)

3分

在真空中沿着 x 轴正方向传播的平面电磁波,其电场强度波的表达式为 E y ? 600 cos 2?? (t ? x / c) (SI),则磁场强度波的表达式是 ______________________________________________________. (真空介电常量 ??0 = 8.85?10 12 F/m,真空磁导率 ??0 =4??10 7 H/m)

H z ? 1.59 c o s ?? (t ? x / c) (SI) 2
3465 在真空中沿着 x 轴负方向传播的平面电磁波,其电场强度的波的表达式为 (SI),则磁场强度波的表达式是

3分

E y ? 800 cos 2?? (t ? x / c)

________________________________________________________. (真空介电常量 ??0 = 8.85?10 12 F/m,真空磁导率 ??0 =4??10 7 H/m)

H z ? ?2.12 c o s ?? (t ? x / c) 2
3466

(SI)

3分

在真空中沿着 z 轴正方向传播的平面电磁波的磁场强度波的表达式为 H x ? 2.00 cos[ (t ? z / c) ? ?] (SI),则它的电场强度波的表达式为 ? ____________________________________________________. (真空介电常量 ??0 = 8.85?10 12 F/m,真空磁导率 ??0 =4??10 7 H/m)

E y ? ?754 c o s [(t ? z / c) ? ?] (SI) ?
3467 在真空中沿着负 z 方向传播的平面电磁波的磁场强度为

3分

H x ? 1.50 cos 2?(?t ? z / ? )

(SI),则它的电场强度为 Ey = ____________________.
-

(真空介电常量??0 = 8.85?10 12 F/m,真空磁导率 ??0 =4??10 7 H/m) 5 6 5 o s ?(?t ? z / ? ) (SI) c 2 3468 真空中一简谐平面电磁波的电场强度振幅为 Em = 1.20?10 2 V/m 该电磁波 的强度为_________________________. (真空介电常量 ??0 = 8.85?10 12 F/m,真空磁导率 ??0 =4??10 7 H/m) 1.91?10 7 W?m 2 3469 在地球上测得来自太阳的辐射的强度 S ? 1.4 kW/m2.太阳到地球的距离约 为 1.50?1011 m.由此估算,太阳每秒钟辐射的总能量为__________________. 4.0?1026 J 3470
-

3分

3分

3分

一广播电台的平均辐射功率为 20 kW.假定辐射的能量均匀分布在以电台为球心的球 面上.那么,距离电台为 10 km 处电磁波的平均辐射强度为 __________________________. 1.59?10 5 W?m 2 3476 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播,波的表达式为 y ? A cos 2?(?t ? x / ? ) , 平面简谐波沿 Ox 轴负方向传播,波的表达式为 y ? 2 A cos 2?(?t ? x / ? ) 求:(1) x = ? /4 处介质质点的合振动方程; (2) x = ? /4 处介质质点的速度表达式. 解:(1) x = ? /4 处

3分 而另一

1 1 y1 ? A c o s2( ?t ? ?) , y 2 ? 2 A cos(2??t ? ?) ? 2 2 ∵ y1,y2 反相 ∴ 合振动振幅 As ? 2 A ? A ? A , 且合振动的初相? 和 y2 的 1 初相一样为 ? . 2 1 合振动方程 y ? A cos(2??t ? ?) 2 1 (2) x = ? /4 处质点的速度 v ? d y /d t ? ?2??A sin(2??t ? ?) 2 3分 ? 2??A cos(2??t ? ?)
3477 如图所示,三个频率相同,振动方向相同(垂直纸面)的简谐波, 在传播过程中在 O 点相遇;若三个简谐波各自单独在 S1、S2 和 S3 的振 动 方 程 分 别 为

2分

4分 1分

1 y1 ? A c o?st ? ?) , y 2 ? A cos? t 和 ( 2

O

1 y3 ? 2 A cos( t ? ?) ;且 S 2 O ? 4? , S1O ? S 3 O ? 5? (? 为波 ? 2

S1

S2

S3

长) ,求 O 点的合振动方程. (设传播过程中各波振幅不变) 解:每一波传播的距离都是波长的整数倍,所以三个波在 O 点的振动方程可写成

1 y1 ? A1 cos( t ? ?) ? 2 y 2 ? A2 cos?t 1 y3 ? A3 cos( t ? ?) ? 2 其中 A1 ? A2 ? A , A3 ? 2 A .
在 O 点,三个振动叠加.利用振幅矢量图及多边形加法(如 图)可得合振动方程

? A1

? A2

O ??/4
2A

? A3

y

2分 3分

1 y ? 2 A cos( t ? ?) ? 4
3479

在简谐波传播过程中,沿传播方向相距为 1 ? (??为波长)的两点的振动速度必定

2

(A) 大小相同,而方向相反. (C) 大小不同,方向相同. A

(B) 大小和方向均相同. (D) 大小不同,而方向相反. [



3483 一简谐横波沿 Ox 轴传播.若 Ox 轴上 P1 和 P2 两点相距? /8(其中? 为该波的波长) , 则在波的传播过程中,这两点振动速度的 (A) 方向总是相同. (B) 方向总是相反. (C) 方向有时相同,有时相反. (D) 大小总是不相等. [ ] C 3487 一驻波表达式为 y ? A cos 2?x cos100 ?t (SI). 位于 x1 = (1 /8) m 处的质元 P1 与位于 x2 = (3 /8) m 处的质元 P2 的振动相位差为_______________. ? 3分 3488 一驻波表达式为 y ? A cos 2?x cos100 ?t . 位于 x1 = 3 /8 m 的质元 P1 与位于 x2 = 5 /8 m 处的质元 P2 的振动相位差为_____________________________. 0 3分 3571

? 一平面简谐波沿 x 轴正方向传播.已知 x = 0 处的振动方程为 y ? cos( t ? ? 0 ) ,波速
为 u . 坐 标 为 x1 和 x2 的 两 点 的 振 动 初 相 位 分 别 记 为 ??1 和 ??2 , 则 相 位 差 ??1 - ??2 =_________________. (x1 和 x2 写反了扣 1 分)3 分 ? ( x2 ? x1 ) / u 3572 已知一平面简谐波的波长? = 1 m,振幅 A = 0.1 m,周期 T = 0.5 s.选波的传播方向为 x 轴正方向,并以振动初相为零的点为 x 轴原点,则波动表达式为 y = _____________________________________(SI).

0.1c o s4( t ? 2?x) ?
3573 一平面简谐波沿 x 轴负方向传播.已知 x = b 处质点的振动方程为 y ? A cos( t ? ? 0 ) ,波速为 u,则波的表达式为: ? (A) (C)

3分

b?x ? ?0 ] . u x ?b y ? A c o s?[t ? { ] ? ?0 } . u y ? A c o s [t ? ?

(B) (D)

y ? A cos{ [t ? ?

b? x ] ? ?0 } . u b?x y ? A cos{ [t ? ? ] ? ?0 } . u
[ ]

C 3574 一平面简谐波,其振幅为 A,频率为? .波沿 x 轴正方向传播.设 t = t0 时刻波形如图 所示.则 x = 0 处质点的振动方程为 (A) (B) (C)

1 y ? A cos[2?? (t ? t 0 ) ? ?] . 2 1 y ? A cos[2?? (t ? t 0 ) ? ?] . 2 1 y ? A cos[2?? (t ? t 0 ) ? ?] . 2

y u O t=t0 x

(D)

y ? A cos[2?? (t ? t 0 ) ? ?] .





B 3575 一平面简谐波,波速 u = 5 m/s,t = 3 s 时波形曲线如图,则 x = 0 处质点的振动方程为 (A) (B) (C) (D) A 3576 已知一平面简谐波的表达式为 A cos(at ? bx) , (a、b 均为正值常量) ,则波沿 x 轴传 播的速度为___________________. a /b 3578 一简谐波的频率为 5?104 Hz,波速为 1.5?103 m/s.在传播路径上相距 5?10 3 m 的两点之间的振动相位差为_______________. ? /3 3580
-

1 1 y ? 2 ? 10 ?2 cos( ?t ? ?) (SI). 2 2 ?2 y ? 2 ? 10 cos(?t ? ?) (SI). 1 1 y ? 2 ? 10 ?2 cos( ?t ? ?) (SI). 2 2 3 y ? 2 ? 10 ?2 cos(?t ? ?) (SI). 2

y (m) u O 5 10 15 20 25 -2?10-2 x (m)





3分

3分

已知一平面简谐波的表达式为 y ? A cos(bt ? dx) , (b、d 为正值常量) ,则此波的频 率? = __________,波长? = __________. b / 2? 2? / d 3587 两 个 相 干 点 波 源 S1 和 S2 , 它 们 的 振 动 方 程 分 别 是

2分 2分

y1 ? A cos( t ? ?

1 ?) 和 2

1 y 2 ? A c o s (t ? ?) .波从 S1 传到 P 点经过的路程等于 2 个波长,波从 S2 传到 P 点的路 ? 2
程等于 7 / 2 个波长.设两波波速相同,在传播过程中振幅不衰减,则两 波传到 P 点的振动的合振幅为__________________________. 2A 3588

3分

? ? 两相干波源 S1 和 S2 的振动方程分别是 y1 ? A cos( t ? ? ) 和 y 2 ? A cos( t ? ? ) . S1 距 P 点 3 个波长,S2 距 P 点 4.5 个波长.设波传播过程中振幅不变,则两波同
时传到 P 点时的合振幅是________________. 0 3589 3分

两相干波源 S1 和 S2 的振动方程分别是 y1 ? A cos?t 和 y 2 ? A cos( t ? ? 点 3 个波长,S2 距 P 点 21/4 个波长.两波在 P 点引起的两个振动的相位差 是____________. 0 3591 沿着相反方向传播的两列相干波,其表达式为 y1 ? A c o s ?(?t ? x / ? ) 和 y 2 ? A c o s ?(?t ? x / ? ) . 2 2 在叠加后形成的驻波中,各处简谐振动的振幅是 (A) A. (B) 2A. (C) 2 A cos(2?x / ? ) . (D) | 2 A cos(2?x / ? ) | . [ D 3592 沿着相反方向传播的两列相干波,其表达式为 y1 ? A c o s ?(?t ? x / ? ) 和 y 2 ? A c o s ?(?t ? x / ? ) . 2 2 叠加后形成的驻波中,波节的位置坐标为 (A) (C)

1 ?) .S1 距 P 2

3分



x ? ?k? .
1 x ? ? (2k ? 1)? . 2

(B) (D)

1 x ? ? k? . 2
x ? ?(2k ? 1)? / 4 .


其中的 k = 0,1,2,3, …. [ D 3593 有两列沿相反方向传播的相干波,其表达式为 y1 ? A c o s ?(?t ? x / ? ) 和 y 2 ? A c o s ?(?t ? x / ? ) . 2 2 叠加后形成驻波,其波腹位置的坐标为: (A) x =±k?. (C) (B) (D)

1 x ? ? (2k ? 1)? . 2
x ? ?(2k ? 1)? / 4 .

1 x ? ? k? . 2

其中的 k = 0,1,2,3, …. [ ] C 3594 简谐驻波中,在同一个波节两侧距该波节的距离相同的两个媒质元的振动相 位差是________________. ? 3595

3分

一 驻波 的表 达式为 y ? 2 A cos(2?x / ? ) cos(2??t ) . 两个 相邻 波腹之 间的距 离是 ___________________.

1 ? 2
3597

3分

在弦线上有一驻波,其表达式为 y ? 2 A cos(2?x / ? ) cos(2??t ) , 的距离是_______________.

两个相邻波节之间

1 ? 2
3598 电磁波在自由空间传播时,电场强度 E 和磁场强度 H (A) 在垂直于传播方向的同一条直线上. (B) 朝互相垂直的两个方向传播. (C) 互相垂直,且都垂直于传播方向. (D) 有相位差 C 3600

3分

?

?

1 ?. 2





电磁波在真空中的传播速度是_________________(m/s)(写三位有效数字) . 8 3.00?10 3分 3603 一平面简谐波的表达式为 y ? A c o s ?(?t ? x / ? ) . t = 1 /??时刻, 1 = 3? /4 与 x2 = 在 x 2 ? /4 二点处质元速度之比是 (A) -1. A 3607 一简谐波沿 x 轴正方向传播.x1 与 x2 两点处的振动曲线如 图(a)和(b)所示.已知 x2 > x1 且 x2 - x1 < ?(?为波长) ,则波从 x1 点传到 x2 点所用时间为 ___________________(用波的周期 T 表示) .
y2 A T/4 t (b) y1 A T/2 0 t (a)

(B)

1 . 3

(C) 1.

(D) 3





3T /4 3分 3608 一简谐波沿 x 轴正方向传播.x1 和 x2 两点处的振动曲 线分别如图(a)和(b)所示.已知 x2 .> x1 且 x2 - x1 < ?(?为波 长) ,则 x2 点的相位比 x1 点的相位滞后 ___________________.
y1

0

t 0 y2 t 0

(a)

(b)

3 ? 2
3609 一简谐波沿 x 轴正方向传播.x1 和 x2 两点处的振动速 度与时间的关系曲线分别如图(a)和(b).已知 | x2 - x1 | < ?,则 x1 和 x2 两点间的距离是 ___________________ (用波长? 表示) .
v1 t 0 v2 (a)

3分

1? 2
3分

t 0

(b)

3610 一简谐波沿 x 轴正方向传播, 1 与 x2 两点处的振动曲线 x y1 分别如图(a)和(b)所示, 已知 x2 > x1 且 x2 - x1 < ? ?为波长) ( , 则这两点的距离为__________________(用波长?表示) . 0 3?/ 4 y2 3分
0

t

(a)

t

(b)

3841 把一根十分长的绳子拉成水平,用手握其一端.维持拉力恒定,使绳端在垂直于绳子的 方向上作简谐振动,则 (A) 振动频率越高,波长越长. (B) 振动频率越低,波长越长. (C) 振动频率越高,波速越大. (D) 振动频率越低,波速越大. [ ]

B 3842 一横波沿绳子传播时, 波的表达式为 y ? 0.05 cos(4?x ? 10?t ) (SI),则 (A) 其波长为 0.5 m. (B) 波速为 5 m/s. (C) 波速为 25 m/s. (D) 频率为 2 Hz. [ ] A 3847 图为沿 x 轴负方向传播的平面简谐波在 t = 0 时刻的波形.若 y 波的表达式以余弦函数表示,则 O 点处质点振动的初相为 (A) 0. (C) ? . [ ] (B)

1 ?. 2
(D)

u O

x

3 ?. 2
D 3850

已知一平面简谐波沿 x 轴正向传播, 振动周期 T = 0.5 s, ? = 10 m, 波长 振幅 A = 0.1 m. 当 t = 0 时波源振动的位移恰好为正的最大值.若波源处为原点.则沿

波传播方向距离波源为

1 1 ? 处的振动方程为 y = __________________.当 t ? T 2 2

时.x = ? /4 处质点的振动速度为______________________. 0.1cos(4?t - ?) (SI) -1.26 m/s 参考解: 波的表达式:

2分 2分

y ? A c o s ?( 2

t x 2 ? ) ? 0.1c o s ?(2t ? 0.1x) T ?

2 x ? 1 ? ? 5 m 处的振动方程: y ? 0.1c o s (4?t ? ?) (SI) 2 各处质点振动速度 v ? ?0.4? sin(4?t ? 0.2?x) x ? ? / 4 ? 2.5 m , t ? T / 2 ? 0.25 s ,v = -1.26 m/s
3852 一横波的表达式是 y ? 0.02 sin 2?(100t ? 0.4?)

(SI), 则振幅是________,波长是

_________,频率是__________,波的传播速度是______________. 2 cm 2.5 cm 100 Hz 250 cm/s 3853

1分 1分 1分 2分

一平面简谐波.波速为 6.0 m/s,振动周期为 0.1 s,则波长为___________.在波的传 播方向上,有两质点(其间距离小于波长)的振动相位差为 5? /6,则此 两质点相距___________. 0.6 m 0.25 m 3856 已知某平面简谐波的波源的振动方程为 y ? 0.06 sin

2分 2分

1 ?t (SI),波速为 2 m/s.则 2

在波传播前方离波源 5 m 处质点的振动方程为_______________________.

1 5 y ? 0.06 s i n ( ?t ? ?) 2 4
3857 图为一种声波干涉仪,声波从入口 E 进入仪器,分 BC 两 路在管中传播至喇叭口 A 汇合传出,弯管 C 可以移动以改变管 路长度,当它渐渐移动时从喇叭口发出的声音周期性地增强或 减弱,设 C 管每移动 10 cm,声音减弱一次,则该声波的频率为 (空气中声速为 340 m/s) ________________________. 1.7?103 Hz

3分

E B A
3分

C

参考解:两路声波干涉减弱条件是:

? ? ECA ? EBA ? (2k ? 1)?
当 C 管移动 x = 10 cm = 0.1 m 时,再次出现减弱,波程差为

1 2



? ? ? ? ? 2 x ? [2(k ? 1) ? 1]?
②-①得 故 3859

? ? 2x ? ? u / ? ? u /(2 x) ? 1.7?103 Hz

1 2



一点波源发出均匀球面波,发射功率为 4 W.不计媒质对波的吸收,则距离 波源为 2 m 处的强度是__________________. 0.08 W/m2 参考解:∵?

3分

∴? 3860 一振幅为 10 cm,波长为 200 cm 的简谐横波,沿着一条很长的水平的绷紧弦从左向右行 进,波速为 100 cm/s.取弦上一点为坐标原点,x 轴指向右方,在 t = 0 时原点处质点从平 衡位置开始向位移负方向运动.求以 SI 单位表示的波动表达式(用余弦函数)及弦上任一 点的最大振动速度. 解: 1分 ? ? u / ? ? 0.5 Hz ? ? 2?? = ? s-1 x = 0 处的初相 ? 0 ? (A = 0.1 m)

S ? 4?r ? P S ? P / 4?r 2 ? 0.08 W/m2
2

1 ? ,角波数 k ? 2? / ? ? ? m-1 ,波动表达式为 2 1 y ? 0.1c o s?( ? ?x ? ?) t 2 ?y v ( x, t ) ? ? ? A? sin(?t ? kx ? ? 0 ) ?t

2分 1分

速度最大值为: vmax = 0.314 m/s 1分 3861 ‘ 一振幅为 10 cm,波长为 200 cm 的一维余弦波.沿 x 轴正向传播,波速为 100 cm/s, 在 t = 0 时原点处质点在平衡位置向正位移方向运动.求 (1) 原点处质点的振动方程. (2) 在 x = 150 cm 处质点的振动方程. 解:(1) 振动方程: 初始条件:

y ? A cos( t ? ? 0 ) ?
-1

A = 10 cm,

? = 2?? =?? s ,? = u / ? = 0.5 Hz
y(0, 0) = 0

? y(0,0) ? 0
故得原点振动方程:



?0 ? ? ?
2分

1 2

1 y ? 0.10 cos(?t ? ?) (SI) 2 3 (2) x = 150 cm 处相位比原点落后 ? , 所以 2 1 3 y ? 0.10 cos(?t ? ? ? ?) ? 0.10 cos(?t ? 2?) 2 2 也可写成 y ? 0.10 cos ?t (SI)

(SI)

3分

3862 一横波的表达式是 y ? 2 sin 2?(t / 0.01 ? x / 30) 其中 x 和 y 的单位是厘米、t 的单位是秒,此波的波长是_________cm,波速是_____________m/s. 30 30 3863 已知平面简谐波的表达式为 y ? A cos(Bt ? Cx) 式中 A、B、C 为正值常量, 此波的波长是_________,波速是_____________.在波传播方向上相距为 d 的两 点的振动相位差是____________________. 2? /C 1分 B /C 2分 Cd 2分 3864 一简谐波沿 x 轴负方向传播,波速为 1 m/s,在 x 轴上某质点的振动频率为 1 Hz、振幅 为 0.01 m.t = 0 时该质点恰好在正向最大位移处.若以该质点的平衡位置为 x 轴的原点.求 此一维简谐波的表达式. 解: A = 0.01 m,? = u /? = 1 m,T = 1 s 1分 x = 0 处, ??0 = 0 2分 波表达式为 y ? 0.01 cos 2?(t / T ? x / ? )

2分 2分

? 0.01 cos 2?(t ? x)
5193
y A O -A 1 u x 2 3

(SI)

2分

一横波沿 x 轴负方向传播,若 t 时刻波形曲线如图所示,则在 t + T /4 时刻 x 轴上的 1、 2、3 三点的振动位移分别是 (A) A,0,-A. (B) -A,0,A. (C) 0,A,0. (D) 0,-A,0. [ ] B 5194 某时刻驻波波形曲线如图所示,则 a、b 两点振动的相 位差是 (A) 0 (C) ?. C 5185 (B)

y A O1 a

1 ? 2
[ ]

(D) 5?/4.

?/2

?b
x

-A

(1) 一列波长为? 的平面简谐波沿 x 轴正方向传播.已知在

1 x ? ? 处振动的方程为 y = Acos??t,则该平面简谐波 2
的表达式为______________________________________. (2) 如果在上述波的波线上 x = L( L ?

波疏 媒质

波密 媒质

O

L

x

1 ? )处放一如图所示 2

反射面

的反射面,且假设反射波的振幅为 A' ,则反射波的表达式为 _______________________________________ (x≤L).

y ? A c o s (t ? ? ? 2?x / ? ) ? y ? ? A? c o s (t ? 4?L / ? ? 2?x / ? ) ?

2分 3分

5196 一球面波在各向同性均匀介质中传播,已知波源的功率为 100 W,若介质不 吸收能量,则距波源 10 m 处的波的平均能流密度为_______________________. 7.96?10 2 W/m2 5197 频率为? = 5?107 Hz 的电磁波在真空中波长为_______________m,在折射 率为 n = 1.5 的媒质中波长为______________m. 6 4 5198 已知一驻波在 t 时刻各点振动到最大位移处, y 其波形如图(A)所示,一行波在 t 时刻的波形如 a b 图(B)所示. 试分别在图(A)、 图(B)上注明所示的 c a、b、c、d 四点此时的运动速度的方向(设为 0 横波) . 图A 3分 y 图B 2分 图A
a b 0 c d x

3分

2分 2分
y
图A d x 0

a c

b u

图B d x

y a 0 c b u 图B d x

5199 有一沿 x 轴正方向传播的平面简谐波,其波速 u = 400 m/s,频率? = 500 Hz. (1) 某时刻 t,波线上 x1 处的相位为??1,x2 处的相位为??2,试写出 x2 - x1 与? 2 - ? 1 的关 系式,并计算出当 x2 - x1 = 0.12 m 时? 2 - ? 1 的值. ? (2) 波线上某定点 x 在 t1 时刻的相位为 ?1? ,在 t2 时刻的相位为 ? 2 , 试写出 t2 - t1 与 解:该波波长 ? = u /? = 0.8 m (1) x2 点与 x1 点的相位差为

? ? ? 2 ? ?1? 的关系式,并计算出 t2 - t1 = 10?3 s 时 ? 2 ? ?1? 的值.

? (? 2 ? ?1 ) ? 2?( x2 ? x1 ) / ? ? 2 ? ?1 ? ?2?( x2 ? x1 ) / ?

3分

当 x2 ? x1 ? 0.12 m 时

? 2 ? ?1 ? ?0.3? rad
? 2 ? ? ?1? ? 2?(t 2 ? t1 ) / T ? 2?? (t 2 ? t1 )
? 2 ? ? ? 1? ? ? rad

1分

(2) 同一点 x,时间差 t 2 ? t1 ,相应的相位差

3分 1分

当 t 2 ? t1 ? 10 5200

?3

s 时,

已知波长为??的平面简谐波沿 x 轴负方向传播.x = ? /4 处质点的振动方程为

y ? A cos

2?

?

? ut

(SI)

(1) 写出该平面简谐波的表达式.. (2) 画出 t = T 时刻的波形图. 解:(1) 如图 A,取波线上任一点 P,其坐标设为 x,由 波 的 传播 特性 , P 点 的振 动 落后 于 ? /4 处质 点的 振 动. 2分 该波的表达式为

u O P x y (m)
? .A ? 4
3? 4

图A

???

x u t=T 图B

2?ut 2? ? y ? A cos[ ? ( ? x)] ? ? 4 2?ut ? 2? ? A cos( ? ? x) (SI) 3 分 ? 2 ?
(2) t = T 时的波形和 t = 0 时波形一样. t = 0 时

?

3? 4

O ?
4

?

x (m)

-A

y ? A cos(?

2? ? ? 2? ? x) ? A cos( x ? ) 2 ? ? 2

2分 3分

按上述方程画的波形图见图 B. 5201 一平面简谐波在介质中以速度 u = 20 m/s 自 左向右传播.已知在传播路径上的某点 A 的振 动方程为

y u x A D

y u x O A D

y ? 0.3 cos(4?t ? ?)

(SI)

另一点 D 在 A 点右方 9 米处. (1) 若取 x 轴方向向左, 并以 A 为坐标原点, 试写出波的表达式,并求出 D 点的振动方程. (2) 若取 x 轴方向向右,以 A 点左方 5 米处的 O 点为 x 轴原点,再写出波的表达式及 D 点的振动方程. 解:该波波速 u = 20 m/s,角频率 ? = 4? s 1 y -1 图A 则 k = 2???????????u = ???5? m . u (1) 任取一点 P(图 A) ,可得波的表达式为

y ? 0.3 cos(4?t ? ? ? kx) y ? 0.3 cos(4?t ? ? ? ?x / 5)

x

(SI) 3 分

以 xD = -9 m 代入上式有

y ? 0.3 cos(4?t ? ? ? 9? / 5) ? 0.3 cos(4?t ? 14? / 5) (SI)

Py A 图B x l O

u

D x

1分

A PD

(2) 任取一点 P(图 B) ,可得波的表达式为

y ? 0.3 cos[4?t ? ? ? ?( x ? l ) / 5] 以 l = 5 m 代入, 有 y ? 0.3 cos(4?t ? ?x / 5)

3分

以 xD = 14 m 代入上式, 有 y D ? 0.3 cos(4?t ? 14 ? / 5) 此式与(1) 结果相同. 5202 一列横波在绳索上传播,其表达式为

(SI)

1分

y1 ? 0.05 cos[2?(

t x ? )] 0.05 4

(SI)

(1) 现有另一列横波(振幅也是 0.05 m)与上述已知横波在绳索上形成驻波.设这一 横波在 x = 0 处与已知横波同位相,写出该波的表达式. (2) 写出绳索上的驻波表达式;求出各波节的位置坐标;并写出离原点最近的四个波 节的坐标数值. 解:(1) 由形成驻波的条件.可知待求波的频率和波长均与已知波相同,传播方向为 x 轴的 负方向.又知 x = 0 处待求波与已知波同相位,∴待求波的表达式为

y 2 ? 0.05 cos[2?(
(2) 驻波表达式 ∴ 波节位置由下式求出.

y ? y1 ? y 2

t x ? )] 0.05 4

3分

1 y ? 0.10 cos( ?x) cos(40 ?t ) (SI) 2 1 ?x / 2 ? ?(2k ? 1) k = 0,±1,±2,… 2
x = 2k + 1 k = 0,±1,±2,…

2分

∴ 离原点最近的四个波节的坐标是

2分 1分

x = 1 m、-1 m、3 m、-3 m. 5203 图 A 表示 t = 0 时的余弦波的波形图,波沿 x 轴正 向传播; B 为一余弦振动曲线. 则图 A 中所表示的 x 图 = 0 处振动的初相位与图 B 所表示的振动的初相位 (A) 均为零. (B) 均为
y A O u

y

1 ? 2

x

0

t

1 (C) 均为 ? ? 2 1 1 ?与? ?. 2 2
(E) 依次分别为 ?

图A

图B

(D)

依次分别为

1 1 ?与 ?. 2 2





D 5204 一平面余弦波在 t = 0 时刻的波形曲线如图所示,则 O 点的振 动初相??为: (A) 0. (C) ? D 5205 (B)

y u x O

1? 2 (D) 3 ? (或 ? 1 ? ) [ 2 2



一简谐波沿 x 轴正方向传播. 已知 x = 0 点的振动曲线如图, 试在它下面的图中画出 t = T 时的波形曲线.

y t 0 T/2

y

???
O

?

x

答案见图 3分 y u t =T 注:根据波动的相位传播规律,考虑下列三个相位的传播: x 1.x = 0 点 t = 0 时刻的相位,在 t = T 时刻传到 x = ?处. ?? ?/2 2. = 0 点在 t = T / 4 时刻的相位, t = T 时刻传到 x = (3 /4)?? O x 在 点. 3.x = 0 点在 t = (3 /4)T 时刻的相位,在 t = T 时刻传到 x = ? /4 点. 5206 沿 x 轴负方向传播的平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波 y (m) 形曲线如图所示,设波速 u = 0.5 m/s. 求:原点 O 的振 u t=2s 0.5 动方程. 解: 由图, = 2 m, 又 ∵u = 0.5 m/s, ? = 1 /4 Hz, ? ∴ O 1 2 x (m) 3分 T = 4 s.题图中 t = 2 s = T .t = 0 时,波形比题图中的

1 2

1 波形倒退 ? ,见图. 2


2分
-1

0.5 0

y (m) u 1 2

t=0 x (m)

此时 O 点位移 y0 = 0(过平衡位置)且朝 y 轴负方向运动,

1 ?? ? 2
2分



1 1 y ? 0.5 cos( ?t ? ?) 2 2

(SI)

3分

5317 一平面简谐波表达式为 y ? ?0.05 sin ?(t ? 2 x) u (m/s)及波线上各点振动的振幅 A (m)依次为 (A) (C)

(SI),则该波的频率 ? (Hz), 波速

1 , 1 ,-0.05. 2 2 1 , 1 ,0.05. 2 2

(B)

1 ,1,-0.05. 2
[ ]

(D) 2,2,0.05.

C 5318 设某时刻一横波波形曲线如图所示. (1) 试分别用矢量符号表示图中 A,B,C,D,E,F,G,H, I 等质点在该时刻的运动方向;
A

y B C D E F

波速

u x G H I

(2) 画出四分之一周期后的波形曲线. 答案见图 图(1) 图(2)

2分 2分
A

y B C D

波速

y

u H x I
图(1)

x

E O G F y u

x

5319 已 知 一 平 面 简 谐 波 的 表 达 式 为 y ? A cos ?(4t ? 2 x) (SI). (1) 求该波的波长? ,频率??和波速 u 的值; (2) 写出 t = 4.2 s 时刻各波峰位置的坐标表达式,并求出此时离坐标原点最近的那个波 峰的位置; (3) 求 t = 4.2 s 时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻 t. 解:这是一个向 x 轴负方向传播的波. (1) 由波数 k = 2? / ? 得波长 ? = 2? / k = 1 m 1分 由 ? = 2?? 得频率 ? = ? / 2? = 2 Hz 1分 波速 u = ?? = 2 m/s 1分 (2) 波峰的位置,即 y = A 的位置. 由 cos ?(4t ? 2 x) ? 1

O

图(2)

?(4t ? 2 x) ? 2k? ( k = 0,±1,±2,…) 解上式,有 x ? k ? 2t . 当 t = 4.2 s 时, x ? (k ? 8.4) m.


2分 所谓离坐标原点最近,即| x |最小的波峰.在上式中取 k = 8,可得 x = -0.4 的波峰离坐标原点最近. 2分 (3) 设该波峰由原点传播到 x = -0.4 m 处所需的时间为?t, 则 ? ?t = | ?x | /u = | ?x | / (??? ) = 0.2 s 1分 ∴ 该波峰经过原点的时刻 t=4s 2分 5320 一列机械横波在 t 时刻的波形曲线如图所示,则该时刻能 波速 u, 时刻 t y 量为最大值的媒质质元的位置是: d o' (A) o' ,b,d,f. (B) a,c,e,g. a g x (C) o' ,d. (D) b,f. c e O [ ] f b B 5321 S1 和 S2 是波长均为? 的两个相干波的波源,相距 3? /4,S1 的相位比 S2 超前

1 ? .若两 2

波单独传播时,在过 S1 和 S2 的直线上各点的强度相同,不随距离变化,且两波的强度都是 I0,则在 S1、S2 连线上 S1 外侧和 S2 外侧各点,合成波的强度分别是 (A) 4I0,4I0. (B) 0,0. (C) 0,4I0 . (D) 4I0,0. [ ] D 5322

相干波源 S1 和 S1,相距 11 m,S1 的相位比 S2 超前

1 ? .这两个相干波在 S1 、S2 连线 2

和延长线上传播时可看成两等幅的平面余弦波, 它们的频率都等于 100 Hz, 波速都等于 400 m/s.试求在 S1、S2 的连线上及延长线上,因干涉而静止不动的各点位置. 解:取 S1、S2 连线及延长线为 x 轴,向右为正,以 S1 为坐标原点.令 S1 S 2 ? l . (1) 先考虑 x < 0 的各点干涉情况.取 P 点如图.从 S1、S2 分别传播来的两波在 P 点的 相位差为

?1 ? ? 2 ? ?10 ?

2?

?

| x | ?[? 20 ? 2?

2?

?

(l ? | x |)]

? ?10 ? ? 20 ? ? ?10 ? ?20 ?

2? ?l = 6 ? u 2?

?

l

P O P′ S1 l

Q S2 x (m)

∴ x < 0 各点干涉加强. (2) 再考虑 x > l 各点的干涉情况.取 Q 点如图.则从 S1、S2 分别传播的两波在 Q 点的 相位差为

?1 ? ? 2 ? ?10 ?

2?

?

x ? [? 20 ?

? ?10 ? ? 20 ?

2?

?

( x ? l )] 2? ?l = 5 ? u

?

l ? ?10 ? ? 20 ?

∴ x > l 各点为干涉静止点. 4分 (3) 最后考虑 0≤x≤11 m 范围内各点的干涉情况.取 P′点如图.从 S1、S2 分别传播来 的两波在 P′点的相位差为

?1 ? ? 2 ? ?10 ?

2?

?

x ? [? 20 ?

2?

? ?10 ? ? 20 ?
由干涉静止的条件可得

2? 2? ? 11? ?x ? ?l ? ? ?x ? u ? 2 2

?

(l ? x)] ? ?10 ? ? 20 ?

4?

?

x?

2?

?

l
3分

? 11? ? ?x ? ? (2k ? 1)? 2 2


( k = 0,±1,±2,…)

3分

x = 5-2k ( -3≤k≤2 ) 即 x = 1,3,5,7,9,11 m 为干涉静止点. 2分 综上分析.干涉静止点的坐标是 x = 1,3,5,7,9,11 m 及 x >11 m 各点. 5513 频率为 100 Hz,传播速度为 300 m/s 的平面简谐波,波线上距离小于波长的两点振动 的相位差为 ? ,则此两点相距 (A) 2.86 m. (C) 0.5 m. C 5514 A,B 是简谐波波线上距离小于波长的两点.已知,B 点振动的相位比 A 点落后 ? , 波长为? = 3 m,则 A,B 两点相距 L = ________________m. 0.5 5515 (B) 2.19 m. (D) 0.25 m. [ ]

1 3

1 3

3分

A,B 是简谐波波线上的两点.已知,B 点振动的相位比 A 点落后 ? ,A、B 两点相距

1 3

0.5 m,波的频率为 100 Hz,则该波的波长 ? = _____________m, 波速 u = ____________________m/s. 3 2分 300 2分 5516 平面简谐波沿 x 轴正方向传播,振幅为 2 cm,频率为 50 Hz,波速为 200 m/s.在 t = 0 时,x = 0 处的质点正在平衡位置向 y 轴正方向运动,求 x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及 该点在 t = 2 s 时的振动速度.

y0 ? A c o s (t ? ? ) , ? 1 已知 t = 0 时,y0 = 0,且 v0 > 0 ∴ ? ? ? ? 2
解:设 x = 0 处质点振动的表达式为 ∴

1 y 0 ? A cos(2??t ? ? ) ? 2 ? 10 ?2 cos( ?t ? ?) 100 2

(SI)

2分

由波的传播概念,可得该平面简谐波的表达式为

1 1 y0 ? A c o s2( ?t ? ? ? 2??x / u ) ? 2 ? 10 ?2 cos( ?t ? ? ? ?x) ? 100 2 2
x = 4 m 处的质点在 t 时刻的位移

(SI)

2分

1 y ? 2 ? 10 ?2 cos( ?t ? ?) 100 2
该质点在 t = 2 s 时的振动速度为

(SI)

1分 2分 1分

1 v ? ?2 ? 10 ?2 ? 100 ? sin(200? ? ?) 2
= 6.28 m/s

5517 S1,S2 为振动频率、振动方向均相同的两个点波源,振动方向垂直纸面,两者相距 (?为波长)如图.已知 S1 的初相为

3 ? 2

1 ?. 2

M S1 N S2 C

(1) 若使射线 S2C 上各点由两列波引起的振动均干涉相 消,则 S2 的初相应为________________________. (2) 若使 S1 S2 连线的中垂线 MN 上各点由两列波引起的 振动均干涉相消,则 S2 的初位相应为_______________________. 2k?? + ? /2, k = 0,±1,±2,… 2分 2k?? +3 ? /2,k = 0,±1,±2,… 2分 5518’ 如图,一角频率为? ,振幅为 A 的平面简谐波沿 x 轴正方向传播,设在 t = 0 时该波在 原点 O 处引起的振动使媒质元由平衡位置向 y 轴的负方向运动.M 是垂直于 x 轴的波密媒 质反射面.已知 OO'= 7 ? /4,PO'= ? /4(?为该波波长) ;设反射 y M 波不衰减,求: (1) 入射波与反射波的表达式;; O′ (2) P 点的振动方程. O P x 解:设 O 处振动方程为

y0 ? A cos( t ? ? ) ?

SA

当 t = 0 时, ∴ 故入射波表达式为

y0 = 0,v0 < 0,∴ ? ?

1 ? 2
2分 2分

1 ?) 2 ? 2? y ? A cos( t ? ? ? x) 2 ? y 0 ? A cos( t ? ? ? 2? 7 ? ? ? ? ) ? A cos( t ? ?) 2 ? 4

在 O′处入射波引起的振动方程为

y1 ? A cos( t ? ?

由于 M 是波密媒质反射面,所以 O′处反射波振动有一个相位的突变?. ? ∴ y1 ? A cos( t ? ? ? ?) ? A cos?t ? 反射波表达式

2分

y ? ? A cos[ t ? ?

2?

合成波为

将 P 点坐标

? x? ] ? 2 2? ? 2? ? y ? y ? y ? ? A cos[ t ? ? x ? ] ? A cos[ t ? ? x? ] ? 2 ? 2 2? ? ? 2 A cos x cos( t ? ) ? ? 2 7 1 3 代入上述方程得 P 点的振动方程 x? ?? ?? ? 4 4 2 ? y ? ?2 A cos( t ? ) ? 2 ? A cos[ t ? ? x

?

(OO ? ? x)] ? A cos[ t ? ? 2?

2? 7 ( ? ? x)] ? 4

2分

2分

2分

5519 在绳上传播的入射波表达式为 y1 ? A cos( t ? 2? ?

?

) ,入射波在 x = 0 处绳端反射,反

射端为自由端.设反射波不衰减,求驻波表达式. s 解:入射波在 x = 0 处引起的振动方程为 y10 ? A c o ?t ,由于反射端为自由端,所以反 射波在 O 点的振动方程为 ∴反射波为 合成的驻波方程为

y 20 ? A c o ?t s

2分

x y 2 ? A cos( t ? 2? ) ?

?

3分

x x y ? y1 ? y 2 ? A cos( t ? 2? ) ? A cos( t ? 2? ) ? ?

?

?

? 2 A cos(2? ) cos? t

x

?

3分

5520 在绳上传播的入射波表达式为 y1 ? A cos( t ? 2? ?

x

?

) ,入射波在 x = 0 处反射,反射端

为固定端.设反射波不衰减,求驻波表达式. s 解:入射波在 x = 0 处引起的振动方程为 y10 ? A c o ?t ,由于反射端为固定端,∴反射波 在 x = 0 处的振动方程为

y 20 ? A cos( t ? ?) ?

∴反射波为

y 20 ? A c o s (t ? ?) ? x y 2 ? A cos( t ? ? ? 2? ) ?


2分

?

或 驻波表达式为

x y 2 ? A cos( t ? ? ? 2? ) ?
y ? y1 ? y 2

?

3分

x x ? A cos( t ? 2? ) ? A cos( t ? ? ? 2? ) ? ?

?

?



1 1 ? 2 A cos(2? ? ?) cos( t ? ?) ? ? 2 2 x 1 1 y ? 2 A cos(2? ? ?) cos( t ? ?) ? ? 2 2

x

3分

5523 设声波在媒质中的传播速度为 u,声源的频率为?S.若声源 S 不动,而接收器 R 相对于 媒质以速度 vR 沿着 S、R 连线向着声源 S 运动,则位于 S、R 连线中点的质点 P 的振动频率 为 (A) ?S. (C) A 5524 已知 t ? 振动曲线. (B)

u ?S . u ?vR

u ?vR ?S . u u (D) ?S . u ?v R





1 T 时刻(T 为周期)的波形曲线如图,波速为 u.试在下图作出原点 O 的 2
y (cm)

y (cm) u=16 m/s 1 O 123
? 2 /2

0.5T

T t (s)

x (cm) y (cm)
3分

0

-1

答案如图.

y (cm)
1

2/2

0.125T -1

0.5 T

T

O
3112

t (s)

一机车汽笛频率为 750 Hz,机车以时速 90 公里远离静止的观察者.观察者听到的声音 的频率是(设空气中声速为 340 m/s) . (A) 810 Hz. (B) 699 Hz. (C) 805 Hz. (D) 695 Hz. [ ] B 3113 正在报警的警钟,每隔 0.5 秒钟响一声,有一人在以 72 km/h 的速度向警钟所在地驶去

的火车里,这个人在 1 分钟内听到的响声是(设声音在空气中的传播速度是 340 m/s) . (A) 113 次. (B) 120 次. (C) 127 次. (D) 128 次. [ ] C 3115 一列火车以 20 m/s 的速度行驶,若机车汽笛的频率为 600 Hz,一静止观测 者在机车前和机车后所听到的声音频率分别为___________________________和 _________________(设空气中声速为 340 m/s) . 637.5 Hz 2分 566.7 Hz 2分 3116 一静止的报警器,其频率为 1000 Hz,有一汽车以 79.2 km 的时速驶向和背 离报警器时,坐在汽车里的人听到报警声的频率分别是___________________和 _______________(设空气中声速为 340 m/s) . 1065 Hz 2分 935 Hz 2分 3321 一辆机车以 30 m/s 的速度驶近一位静止的观察者,如果机车的汽笛的频率为 550 Hz, 此观察者听到的声音频率是(空气中声速为 330 m/s) (A) 605 Hz. (B) 600 Hz. (C) 504 Hz. (D) 500 Hz. [ ] A 3322 一辆汽车以 25 m/s 的速度远离一辆静止的正在鸣笛的机车. 机车汽笛的频率为 600 Hz, 汽车中的乘客听到机车鸣笛声音的频率是(已知空气中的声速为 330 m/s) (A) 550 Hz. (B) 558 Hz. (C) 645 Hz. (D) 649 Hz. [ ] B 5877 相对于空气为静止的声源的振动频率为?S,接收器 R 以 vR 速率远离声源,设声波在空 气中的传播速度为 u,那么接收器接收到的声波频率?R = _______________________________.

u ?v R ?S u
5878

3分

一声源的振动频率为?S,相对于空气以 vS 的速率运动,在其运动方向上有一相对于空 气为静止的接收器 R.设声波在空气中的传播速度为 u,则接收器 R

接收到的声波频率?R = _______________________________.

u ?S u ?v S

3分


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