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2015-2016学年高中数学 第2章 5离散型随机变量的均值与方差课时作业 北师大版选修2-3


2015-2016 学年高中数学 第 2 章 5 离散型随机变量的均值与方差课 时作业 北师大版选修 2-3

一、选择题 1.已知离散型随机变量 X 的分布列为( ) 2 3 10 3 1 10

X P
则 X 的均值 E(X)=( A. C. 3 2 5 2 )

1 3 5

B.2 D.3

[答案] A 3 3 1 3 [解析] E(X)=1× +2× +3× = . 5 10 10 2 2.已知 X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则 n,p 的值分别为( A.100 和 0.8 C.10 和 0.2 [答案] D [解析] 由条件知?
? ?np=8, ?np?1-p?=1.6, ?

)

B.20 和 0.4 D.10 和 0.8

解之得?

? ?n=10, ?p=0.8. ?

3.下列说法中,正确的是(

)

A.离散型随机变量的均值 E(X)反映了 X 取值的概率平均值 B.离散型随机变量的方差 D(X)反映了 X 取值的平均水平 C.离散型随机变量的均值 E(X)反映了 X 取值的平均水平 D.离散型随机变量的方差 D(X)反映了 X 取值的概率平均值 [答案] C [解析] 离散型随机变量 X 的均值反映了离散随机变量取值的平均水平, 随机变量的方 差反映了随机变量取值离于均值的平均程度. 4.已知随机变量 X 的概率分布列是

X P

1 0.4

2 0.2

3 0.4

1

则 D(X)等于( A.0 C.2 [答案] B

) B.0.8 D.1

[解析] 根据方差的计算公式,易求 DX=0.8. 5.甲、乙两名运动员射击命中环数 ξ 、η 的分布列如下: 环数 k 8 0.3 0.2 ) B.乙 D.无法比较 9 0.2 0.4 10 0.5 0.4

P(ξ =k) P(η =k)
其中射击比较稳定的运动员是( A.甲 C.一样 [答案] B

[解析] E(ξ )=9.2,E(η )=9.2=E(ξ ),D(ξ )=0.76,D(η )=0.56<D(ξ ),乙稳 定. 二、填空题 6.(2015·上海理,12)赌博有陷阱,某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有 1、2、3、 4、5 的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(元);随后放回该卡片,再随机 摸取两张,将两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金,若随机变量 ξ 1 和 ξ 2 分 别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则 E(ξ 1)-E(ξ 2)=________(元). [答案] 0.2 [解析] ξ 1 的分布列 ξ
1

1 1 5

2 1 5

3 1 5

4 1 5

5 1 5

P

1 ∴E(ξ 1)= (1+2+?+5)=3 5 ξ 2 的分布列 ξ
2

1.4 2 5 1 5

2.8 3 10 1 10

4.2 1 5

5.6 1 10

P
2 5 3 10

E(ξ 2)=1.4× +2.8× +4.2× +5.6× =2.8
∴E(ξ 1)-E(ξ 2)=0.2. [反思总结] 均值 E(X)是一个实数,由 X 的分布列唯一确定,即 X 作为随机变量是可
2

变的,而 E(X)是不变的,它描述 X 值的取值平均状态. 7.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表:

X=xi P(X=xi)

-1

0

1

2 1 12

a

b

c

若 E(X)=0,D(X)=1,则 a=________,b=________. [答案] 5 1 12 4 1 =1 ①,由均值和方差的计算 12

[解析] 由分布列中概率满足的条件可知 a+b+c+

1 1 5 1 2 2 2 公式可得-a+c+ =0 ②,1 ×a+1 ×c+2 × =1 ③,联立①②③解得 a= ,b= . 6 12 12 4 8.设 l 为平面上过点(0,1)的直线,l 的斜率等可能地取-2 2、- 3、- 5 5 、0、 、 2 2

3、2 2,用 X 表示坐标原点到 l 的距离,则随机变量 X 的均值 E(X)=________. [答案] 4 7 1

[解析] 设 l 的方程为 y=kx+1,则点(0,0)到直线的距离 X=

k2+1

,将 k=-2 2、

- 3、-

5 5 1 1 2 2 1 1 、0、 、 3、2 2分别代入,求得 X 分别为 、 、 、1、 、 、 ,由于 k 2 2 3 2 3 3 2 3

取值是等可能的,故 X 的概率分布列为

X P
4 由上表可求得 E(X)= . 7 三、解答题

1 3 2 7

1 2 2 7

2 3 2 7

1 1 7

9.一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1、2、3、4;白色卡 片 3 张, 编号分别为 2、 3、 4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率; (2)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列和均 值. [解析] (1)设“取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片”为事件 A,则

P(A)=

C2C5+C2C5 6 = . 4 C7 7
3

1 3

2 2

6 所以,取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率为 . 7 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.

P(X=1)= 4= ,P(X=2)= 4= ,
C5 2 C6 4 P(X=3)= 4= ,P(X=4)= 4= . C7 7 C7 7 所以随机变量 X 的分布列是
3 3

C3 1 C7 35

3

C4 C7

3

4 35

X P

1 1 35

2 4 35

3 2 7

4 4 7

1 4 2 4 17 随机变量 X 的均值 E(X)=1× +2× +3× +4× = . 35 35 7 7 5 3 10.现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 ,命中得 1 分,没有命 4 2 中得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分, 3 该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率; (2)求该射手的总得分 X 的分布列及均值 E(X). 3 1 2 1 1 1 2 7 [解析] (1)P= ·( ) + ·C2· · = ; 4 3 4 3 3 36 (2)X=0、1、2、3、4、5

P(X=0)= ·( )2= ,P(X=1)= ·( )2= ,P(X=2)= C1 2 · = ,
2 2 P(X=3)= C1 2· · = ,P(X=4)= ·( ) = ,P(X=5)= ·( ) = .

1 4 3 4

1 3

1 36

3 4

1 3

1 12 1 8

1 1 2 1 4 3 3 9 3 4 2 3 1 3

1 2 1 3 3 3

1 4

2 3

∴X 的分布列为

X P
1 36 1 12

0 1 36 1 9

1 1 12 1 3

2 1 9 1 9

3 1 3 1 41 3 12

4 1 9 5 12

5 1 3

E(X)=0× +1× +2× +3× +4× +5× = =3 .

一、选择题 2 1.设离散型随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,且 P(ξ =0)= ,则 D(ξ )=( 3 )

4

A. C.

1 3 1 9

2 B. 3 2 D. 9

[答案] D 2 1 [解析] 由题意知 ξ 服从两点分布,且 P(ξ =1)=1- = ,故 D(ξ )=P(ξ =1)[1 3 3 1 2 2 -P(ξ =1)]= × = . 3 3 9 2.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过 搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)=( )

A. C.

126 125 168 125

6 B. 5 7 D. 5

[答案] B 27 54 [解析] P(X=0)= ,P(X=1)= , 125 125

P(X=2)=

36 8 ,P(X=3)= , 125 125

27 54 36 8 150 6 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = = . 125 125 125 125 125 5 3.签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的 6 支签,从中任意取 3 支,设 X 为这 3 支签的 号码之中最大的一个.则 X 的均值为( A.5 C.5.8 [答案] B [解析] 由题意可知,X 可以取 3、4、5、6, ) B.5.25 D.4.6

P(X=3)= 3= ;P(X=4)= 3= ;
5

1 1 C6 20

C3 C6

2

3 20

P(X=5)= 3= ;P(X=6)= 3= ,
1 3 3 1 ∴EX=3× +4× +5× +6× =5.25. 20 20 10 2 4.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为

C4 3 C6 10

2

C5 C6

2

1 2

d(a,b∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 1(不计其他得分情况),则 ab 的最大值为
( ) A. C. 1 48 1 12 1 B. 24 1 D. 6

[答案] B [解析] 由 已 知 得 3a + 2b + 0×c = 1 , 即 3a + 2b = 1 , 所 以 ab =

1 1 3a+2b 2 1 1 2 1 1 1 1 ·3a·2b≤ ·( ) = ×( ) = , 当且仅当 3a=2b= , 即 a= , b= 时取“等号”, 6 6 2 6 2 24 2 6 4 故选 B. 二、填空题 5.(2014·浙北名校联盟联考)一袋中装有分别标记着 1、2、3 数字的 3 个小球,每次从 袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同), 现连续取 3 次球, 若每次取出一个球后放 回袋中, 记 3 次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为 X、 Y, 设 ξ =Y-X, 则 E(ξ ) =________. [答案] 4 3

[解析] 由题意知 ξ 的取值为 0、1、2,ξ =0,表示 X=Y,ξ =1 表示 X=1,Y=2; 或 X=2,Y=3;ξ =2 表示 X=1,Y=3. 3 1 2×2×3 4 ∴P(ξ =0)= 3= ,P(ξ =1)= = , 3 3 9 3 9 2×3+A3 4 P(ξ =2)= = , 3 3 9 1 4 4 4 ∴E(ξ )=0× +1× +2× = . 9 9 9 3 6.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: ξ 7 8 0.1 9 0.3 10
3

P

x

y

已知 ξ 的均值 E(ξ )=8.9,则 y 的值为________. [答案] 0.4

6

?x+0.1+0.3+y=1, ? [解析] 依题意得? ?7x+0.8+2.7+10y=8.9, ?

?x+y=0.6, ? 即? ?7x+10y=5.4, ?

由此解得 y=

0.4. 三、解答题 7.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为

X、Y,X 和 Y 的分布列如下: X P
0 6 10 1 1 10 2 3 10

Y P

0 5 10

1 3 10

2 2 10

试对这两名工人的技术水平进行比较. [解析] 工人甲生产出次品数 X 的均值和方差分别为:

E(X)=0× +1× +2× =0.7, D(X)=(0-0.7)2× +(1-0.7)2× +(2-0.7)2× =0.81;
工人乙生产出次品数 Y 的均值和方差分别为: 6 10 1 10 3 10

6 10

1 10

3 10

E(Y)=0× +1× +2× =0.7, D(Y)=(0-0.7)2× +(1-0.7)2× +(2-0.7)2× =0.61.
由 E(X)=E(Y)知,两人生产出次品的均值相同,技术水平相当,但 D(X)>D(Y),可见乙 的技术比较稳定. 8.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市 购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3 5 10 3 10 2 10

5 10

3 10

2 10

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x、y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与均值; (2)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该 顾客结

7

算前的等候时间不超过 ...2.5 分钟的概率. (注:将频率视为概率) [解析] (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体, 所收集的 100 位顾客一次购物的结 算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,将频率视为概率得

P(X=1)= P(X=2)=

15 3 30 3 = ,P(X=1.5)= = , 100 20 100 10 25 1 = , 100 4 20 1 10 1 = ,P(X=3)= = . 100 5 100 10

P(X=2.5)=

X 的分布列为 X P X 的均值为 E(X)=1× +1.5× +2× +2.5× +3× =1.9.
(2)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”,Xi(i=1,2)为该顾客前 面第 i 位顾客的结算时间,则 3 20 3 10 1 4 1 5 1 10 1 3 20 1.5 3 10 2 1 4 2.5 1 5 3 1 10

P(A)=P(X1=1 且 X2=1)+P(X1=1 且 X2=1.5)+P(X1=1.5 且 X2=1).
由于各顾客的结算相互独立,且 X1,X2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以

P(A) = P(X1 =1)×P(X2 = 1) + P(X1 =1)×P(X2 = 1.5) + P(X1 =1.5)×P(X2 = 1) =
3 3 3 3 9 + × + × = . 20 10 10 20 80 故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 9 . 80

3 3 × 20 20

8


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