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第56届IMO试题解答


2 0 1 5年第 9期 

1 9  

第 5 6届 I MO 试 题 解 答 
中图分 类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 : 1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 5 ) 0 9- 0 0 1 9一o 5  

1 . 对 于 平 面上 一 个有 限点

集 . s , 若对 J s   中任意 两个 不 同的点 A 、  , 均存 在 S中一 点 
C , 满足 A C= B C , 则称 点集 S为“ 平衡 的” ; 若 

5 . 设 R为全体 实数 的集合. 求 所有 的 函   数f : R_ +R, 满足对任意实数 x , y , 均有 
+   + Y ) )+   )  

对 s中任意 三个不 同的点 A 、  、 c , 均 不存 在  S中一点 P, 满足 P A= P B= P C , 则称 点 集 . s  
为“ 无 中心 的” .  

=  +  

+ Y ) + y f ( x ) .  

6 . 整数序列 a , , a   , …满足  ( 1 ) 对每个整数 _ 『 ≥1 , 有1 ≤口   ≤ 2   0 1 5 ;   ( 2 ) 对任意整数 1 ≤| j } < Z , 有k +   ≠Z +  .  

( 1 ) 证明: 对 每个 整数 砣≥ 3 , 均存在一个 
由n 个点构成 的平衡 点集 ;  

证明: 存在两个正整数 6 、 Ⅳ, 使得对所有 
满足 n > m≥Ⅳ 的整数 m、 n , 均有 

( 2 ) 确定 所有 的整数 n 13 > , 使 得存 在 一 
个由 n 个点构成 的平衡且无 中心的点集.   2 . 确定 所 有 三元 正 整 数数 组 ( a , b , C ) ,  

l   。 ∑( a j 一 6 ) l ≤ 1   0 0 7   .  
=m +1     。

使得 a b — c 、 b c 一 0 、 c a—b中的每个 数 均为 2  
的方 幂 ( 2的方 幂是 指形 如 2 “ ( n∈ N) 的整  数) .   3 . 在锐角△ A B C中 , A B> A C . 设 , 为其 

参 考 答 案 
1 . ( 1 ) 对 于奇数 n 13 > , 考虑 正 n边形 的  n 个顶点构成 的点集 S .  

外接 圆 , 日为垂心 , F为 由顶 点  处所 引高 的 
垂足 ,   为边 B C的 中点 , Q 、 K为 圆 厂 上 的 

下面说 明 : 点集  为平衡 的.   事实 上 , 点 集 S中所 有 点 在 一 圆周 厂   上. 对于 S中任意两个 不 同点 A 、 曰, 点A 、  分 
圆周 厂为两段 圆弧 , 其 中一段 圆弧 内部有 奇 

点, 使 得  H Q A=   H K Q= 9 0 。 . 若点 A 、  、  
C 、 K 、 Q互 不 相 同, 且按此顺序排 列在圆 ,   上, 证明: △K Q H 的外接 圆与△ F K M 的外接 
圆相 切 .  

数个点集 S中的点 , 其 中一点 C为这段 圆弧 
的中点 , 满足 A C=B C .  

对于偶数 帕; 4 , 考虑如下构 图: 设 圆 厂 的 

4 . 已知 oD为△ A B C的外 接 圆 , 以 A为  圆心 的一个 圆 j 『 1 与线 段 B C交于 D、 E两 点 ,  

圆心为 0 , 在o   0上取非常靠近的 k : 詈一 1  
二 

使得点  、 D、 E、 C互不相 同 , 且按此顺序排列  在直线 B C上. 设 , 、 G为 oD与 圆 厂 的两 个 

个点 。 ,   : , …, 4   , 使得这些点均落在 圆心角 

为3 0 。 的一段 圆弧上 , 将这 k 个点绕 圆心 D顺 
时针旋转 6 0 。 , 又得到 k 个点 ,  。 ,  , …,  , 将 

交点 , 且使得点 4 、 F 、 曰 、 c 、 G按此顺序排列在  o0上. 设 K为 △ B D F的外接 圆与线 段 A B  
的另一个交点 ,   为△ C G E的外 接 圆与线 段 

点A , 绕 0逆时针旋转 6 o 。 , 得到点 A   . 令 
S ={ 0 , A 1 , A 2 , …, A   ,  1 ,   2 , …,   ,  } .  
则点集 S含有  个不 同的点.  

C A的另一个交 点. 若直 线 F K与 G L不相 同 ,  
且交于点  , 证 明: 点  在直线 A O上.  

下面说 明 : 点集 S 为平衡 的.  

中 等 数 学 

事 实上 , 对点集 S中任意两个不 同点 、   曰, 若A 、  均在o0上 , 则 D到 、 曰的距离相  等; 若 、 曰之 一与 点 D重合 , 则 由上述 构造  方法 , 知总存在另一点 C∈ S , 使得△ A B C为 

【 情形 1 】 a , b 、 c 中有两个数相等.  
不 妨 设 a=b .   于是 , 0 c —b =口 ( C 一1 ) 为 2的方 幂 .  

这表 明, a与 c 一1均为 2的方幂.   设 a= 2   , C =1 + 2 ‘ ( s ≥1 ,   ≥O ) .   则a b— c =2  一 2 ‘ 一1为 2的方幂.  

正三角形. 因此 , 点 C到  、   的距离也相等.   ( 2 ) 所求 n 为所有大于或等于 3的奇数.  
当n 为大 于或等 于 3的奇数 时 , 取. s 为 


若t > O , 则2  一 2   一 1 为奇数 , 只可能 
2  一 2 ‘ 一1=1   2 ‘ -2 ( mo d   4 )  
=   t= 1 j  s= 1 .  

个 由正 n边形 的 n个顶 点所 构成 的点集 ,  

( 1 ) 中已经说 明 . S为平衡 的. 由于 . s中任 意 
三个不 同点的外 心为这 个正 n边形 的中心 ,  

此时, a=b= 2 , c= 3 .  

它不在 J s 中, 因此 , 点集 S也为无 中心的.  

若t = 0 , 则  一 2 为2 的方幂 , 只可能 s = 1 .  
此时 , a=b =c = 2 .  

对于大 于或 等于 4的偶 数 n , 不存 在 平  衡且无 中心的点集.   假设 n个 点 的集合 . s 为 平衡 的. 对于 J s  

容易验证( 2 , 2 , 2 ) 、 ( 2 , 2 , 3 ) 均满足要求 .  

【 情形 2 】 a , b 、 c 互不相同.  
不妨设 2 ≤0<b <c .  

中的任意一个 二元 子集 {  , 曰} , 存 在 s中一 
点到 A 、   的距离 相 等 , 取定 这 样 一个 点 , 称  为{  ,  } 的关联 点.   点集 s的二元子集共有 c  个 , 每个二元 
子集均确定一个关联点 , 据抽屉原理 , 知点集 

由题意 , 知存 在非负整数 、  、  , 使得 
b c —a= 2   ,  
口 c—b=2 卢
,  

① 

②  ③ 

a b — c = 2   .  
显然 ,  > 卢>y ≥O .  

S中有 一个 点 P, 其 至少 为  c   =  ( n一1 )  
,   二 

个二元子集 的关联点.  

对 a的大小再分两种情形讨论.  
( 1 ) a= 2 .  
二  

由于n 为偶数, 则 P至少为 S的詈个二 
元子集 的关联点.  

先证 明  = 0 .  

假如  > 0 , 由式 ③ 知 c 为偶 数 , 由式 ② 
知b 也为偶数 , 于是 , 式①左边 
b c —g -2 ( m o d   4 ) ,  

因为以 P为关 联 点 的二 元 子 集 中的 两  点均不 为 P, 所以, 这 个二元 子集 中的点 均 
二 

但2   兰 O ( m o d   4 ) , 矛盾.  
从而 ,  = 0 .  

为. s \ { P} 中的点.  

由于  × 2=n> n一1 , 其 中有 两 个二 元 
二 

故式③ 为 C = 2 b 一 1 .   由式②得 3 6 — 2= 2 卢 , 模3 知/ 3 为偶数.   若 p= 2 , 则b = 2= a , 不成立.   若  = 4 , 则b = 6 , c = 1 1 .   容易验证 ( 2 , 6 , 1 1 ) 满足要求.  
1  

子 集有共 同元素 , 记为{ A , B} 和{ A , C } , 则 
PA =PB =PC.  

从而, 点集 S不是无 中心的.   2 . 若 a=1 , 则b — C 与c — b 均 为 2的方 
幂, 这不可能.  
于是 , a 12 > .  

若   ≥ 6 , 则b = ÷( 2 芦 + 2 ) .  
J 

代人式①得 
9× 2  = 9 ( b c —a )= 9 b ( 2 b一1 )一l 8  


类似地 , b 12 > , c 12 > .   下面分两种情形讨论.  

( 3 6— 2 ) ( 6 6 +1 )一1 6  

2 0 1 5年第 9期 


2 1  

2 卢 ( 2   + 5 ) 一1 6 .  

④ 

由于 0 [ > / 3 >6 1 , 故2   1   9× 2   . 但式④ 仅被 
2  整除 , 不被 2   整除, 矛盾.  
( 2 ) a >3 I .  

①+ ②、 ①一 ②分别得 
( 口+b ) ( c 一1 )= 2  + 2 卢 ,   ( b 一0 ) ( c+1 )= 2  一 2 卢 .   由于 C一1与 c +1中有一个 不为 4的倍 

数, 故2 卢  I ( a+ b ) 或2 卢  I ( b 一 0 ) .  
由2 卢=   一b ≥3 c —b> 2 c , 知 
b<c<2 a ~.  
图 1  

从而, 0<b—a< 2 卢 ~.  

从而 ,   为 

的中点.  

因此 , 2 卢  I ( b 一 口 ) 不成立.   故2   B - 1   l ( 口+ b ) , 且 由于 口+ b < 2 b < 2 卢 ,  
只能 口+ b= 2 8 ~.  

延长 A F, 与 圆 厂交于点 E .  

由于  E上 A E, 故A   E / / B C .  
于是 , M F为 A  H A   E的中位线 , F为 H E  
的 中点.   设直线 A   E与 Q K交 于点 尺 .  

代人式②得  0 c —b =2 卢= 2 ( 0+b )  
j 口 ( c一 2 )= 3 b .  

根据 圆幂定理得 
R K?  Q=R E? R A   .  

若0 > I 4 , 则 
bI >5  

注意到 , A 剧r ( Q的外接 圆 ,   、 △H E A   的  外接 圆  分别是 以 硼 、 H A   为直 径 的圆 , 这  两个 圆外切于点 丑 而  为这两 个 圆 的等 幂  点, 于是 , 点 R在 这 两个 圆的根 轴上 , 即R H  
为这两圆的公切线.  

口 ( C 一 2 ) > I 4 ( c 一 2 ) >4 1 ( b 一 1 ) > 3 b ,  
矛盾.  

故口 = 3 , C 一 2= b .  
因此 , b =2 8 ~一 3 , C =2 8 ~ 一1 .  

故R I - I 上A   9 .  
设直线 MF与 H R交于点  则 S为 H R的  中点.  

代人式③得  2 . y = a b—c = 3 ( 2 卢 一  一 3 )一( 2 8 一  一1 )  
=2 8—8
. 

由于A R H K为直角三角形 , S为斜边 R H  

从而,  = 4 , b =5 , c = 7 .  

容 易验证 ( 3 , 5 , 7 ) 也满 足条件.   综上, 满 足条件 的三元正整 数组 共有 1 6  
个, 为( 2 , 2 , 2 ) , ( 2 , 2 , 3 ) 的三种排列 , ( 2 , 6 , 1 1 )   的六种 排列 , ( 3 , 5 , 7 ) 的六种排列.  

的中点 , 故S H= S K .  
再由S H为圆  的切线 , 知  也为圆  的切 线.  

在R t △S H M 中, 由刀 F为斜边 E 的高, 知 
s F. s M =S H2=S K2
. 

3 . 如图 1 , 延长 q H, 与圆 ,交 于点 A   .   由  A Q H= 9 0 。 , 知  为 圆 , 的直径.  

故S K也为A  K MF的外接 圆的切线.   于是 , S K与 A  K Q 日的外接 圆与 A  F K M  的外接 圆均切 于点  处.  
因此 , 这两个 圆也在点  处相切.  

由于A   上A B , 故A  / / C H .   类似地 , A   C / / B H .  
于是 , 四边形 B A   C H为平行 四边形.  

中 等 数 学 

4 . 如图 2 .  

下面分两种情形讨论.  

【 情形 1   0 ) ≠O .   考虑 e ( o , y ) , 有 
Y ) )+  0 )=  Y )+ r f ( o ) .  

若  为 的不动 点 , 在上式 中令 y= Y o ,  
得 Y o=1 .  

于是 ,  +   +1 )=1 .  

从而,  

) = 2一  对所有实数 成立.  

易验证  ) = 2一  为满足条件 的函数.  

【 情形 2 】  0 ) = O .  
分别考虑 P (  + 1 , 0 ) 、 P ( 1 , ) , ) , 有 
+   + 1 )+1 )- - X+   +1 ) +1 ,(  

1 +  y + 1 ) ) +  ) , )  

I 奎 l   2  

= 1 +  y +1 )+   1 ) .   ③  在式① 中令  =一 1 , 有  一 1 ) =一1 .  

由于 A F= A G , 而A O为  F A G的内角平  分线 , 故点 F 、 G关于直线 A O对称.  

再在式③ 中令 y =一 1 , 有  1 )= 1 .   于是 , 式③ 可改写为 
1 +   + 1 ) ) +  y )  

要证 明点  在 直线 A O上 , 只需证明 
AFK =   AG L.  

= 1 +  y + 1 ) + Y .  

④ 

首先 , 注意到 ,  
A  =   DFG +   一   D腿  

由D 、 F 、 G 、 E , A 、 F 、 B 、 G , D 、 B 、 F 、 K分别  四点共 圆得 
DFC ,=   CEG.  

若Y o 、 Y 。 + 1 均为厂的不动点, 在式④ 中   令 Y= Y o , 知  + 2 也为 厂的不动点.   从而 , 由式 ① 、 ②, 知 对 任 意 的 实 数  ,  
+   +1 )+ 2均为厂的不动点 , 即  +   +1 )+ 2 )=  +   +1 )+ 2 .  

/ G F A=   G B A.  
DFK =   DBK.  

在上式 中将  用  一 2代替得 
j r (  +  


一 1 ) ) =  + / . (  一 1 ) .   1 ) ) =  f ( x - 1 )f ( x ) - f ( - x ) .  

故  A F K=   C E G+   G B A一   D B K  
:  

考虑 P (  , 一 1 ) , 有  从上 面两式 知 f ( 一  ) =- f (  ) , 即  为  奇 函数.   考虑 P ( 一 1 , 一 Y ) , 并利用厂 ( 一 1 ) =一 1 , 有 


CEG 一  

CBG.  

再由C 、 E 、  、 G , C 、 曰 、  、 G分 别 四点 共 
圆得 
C EG =  
C BG =  

C L C , .  
C AG.  

1 +  一 Y一 1 ) ) +  Y )  

故  A F K=   C L G一   C A G=   A G L .  

= 一1+   一Y一1 )+  

5 . 将题 中等式记为 e ( x , Y ) .   设 为满 足条件 的一个 函数.  
考虑 P (  , 1 ) , 有 

再由  为奇 函数 , 上式可改写为 


f ( 1 +  y + 1 ) ) +  y )  

=一1- f ( y+1 )+ y .  

+ 厂 (  + 1 ) ) =  +   +1 ) . Q )   于是 , 对任 意实 数 ,  + 厂 (   +1 ) 均 为  的不动点.  

将上式与式④ 相加 , 知f ( Y )= Y对所 有 
实数 Y 成立.   容易验证  ) =  为满足条件 的函数.  

2 0 1 5年第 9期 

2 3  

综上, 满足条件的函数为 
. (  )=  和/ I (  )= 2一   .   6 . 设s  : n+ 口   .   由条件知 
+1≤ s  ≤ 凡+2   01 5,  

再将 s , =   + 口   代人化简有 
1=n+ 1  

∑ i = ∑口 , +  (  ) + o - ( c   ) .  
J   l  

对任意 见 > m≥Ⅳ, 在上式 中用 m代替 n ,   并将两式作差得 
‘。n +1  

且s 1 , s 2 , …互不相 同.  

记 S={ s l , s 2 , …} .   首先说明 : 集合 M = Z+ \ s为有限集 , 且 
1 ≤ l   I ≤2   0 1 5 .  

∑i 一∑ i = ∑  +   (  ) 一   ( c m ) .  
I   m +1   J   m +1  

两边减去 ( n— m) b , 并化简得 

∑( 0 f 一 6 )  


显然 , l∈  

若集合  中 有 多 于 2   0 1 5个 元 素 , 设  m1 <1 7 1 , 2<… <m 2 o l 6 均 属 于  , 取 一 整 数  n > m 2   o l 6 . 则  { s 1 , s 2 , …, s   } c{ 1 , 2 , …, n+ 2   0 1 5 } ,   { m 1 , r n 2 , …,  o l 6 } c{ 1 , 2 , …, n + 2   0 1 5 } .   由集合  的定义 知  { s 1 , s 2 , …, s   } 与{ m l , m 2 , …, m 2   0 l 6 }   不相交 , 而 n+ 2   0 1 6> 乃+ 2   0 1 5 , 矛盾.   因此 ,   为有 限集 , 且 1 ≤I   MI ≤2   0 1 5 .   令b =l   MI , 任取整数 Ⅳ> m l t x   下面证 明这样选取 的 6 、 Ⅳ满 足要求.   显然 , 6 、 Ⅳ均为正整数 , 且前 面证 明 了  
1≤ b≤ 2   01 5.  

( 2   0 1 5— 6 ) ( n一 , n ) +  (   )- - O ' (  ) . (  

由式②及 I C   I = 2   0 1 5— 6 , 知 

∑ i  ̄ o - ( c   ) ≤∑ i  

(   + 1   o 0 9 一   ) ( 2   0 1 5 — 6 )  ̄ o - ( C   )   ≤ ( n + 1   0 o 8 + 鲁 ) ( 2   0 1 5 — 6 ) .  
上述不等式将 n 换成 m也成立.  

回到式③ , 利用上 面的不等式估计 (  )  
与  ( C   ) 的上下界 , 有 

J   m +1  

∑( 口 , 一 6 )  

≤( 2   0 1 5一b ) ( n—m)+  





①  前面 已说明 { s 。 , s : , …, s   } 与  为 { 1 , 2 ,   凡 + 2   0 1 5 } 的两个 不相交 的子集.   设C   为剩余 部分 , 则I   C   I = 2   0 1 5 — 6 .  


对任意整数 n >N, I 有如下分拆  { 1 , 2 , …,  + 2   0 1 5 }   { s l , s 2 , …, s   } u  u   c   .  

( m + 1   o 0 8 +   ) ( 2   o 1 5 — 6 ) 一  

( n + l   o o 9 一   ) ( 2   0 1 5 — 6 )  


( 2   0 1 5一 b ) ( b 一 1 ) ≤1   0 0 7   ,  

对_ 『 ≥n+1 , 有 
+a j > n + 1+ 1 = n + 2  ̄ .  

及  ∑ ( 口 , 一 6 )  
J   m +1  

≥( 2   0 1 5一b ) ( n一 , 扎 )+  

若C   不为空集 , 一定有 乃+ 2 <m  ̄ i n   c n , 否  则, m i n   C   不在 集合 S中, 也不 在集合  中 ,   矛盾. 故 

(  l 0 0 9 一   ) ( 2   0 1 5 — 6 ) 一  
( n + 1   o 0 8 +   ) ( 2   o 1 5 — 6 )  
= 一

C   {  + 2 , n+ 3 , …,  + 2   0 1 5 } ,   ②  这对 C   为空集 ( 即b = 2   0 1 5 ) 自然也成立.   计算式①两边 的所有元素之 和, 用  (  )   表示有 限集合  的所有元 素之和 , 有 

( 2   0 1 5一b ) ( b一1 ) ≥ 一1   0 0 7   .  

结合 以上两个不等式得 

∑ i = ∑ +  (  ) +  ( c   ) ,  

I ,  (  ) f  0 0 7   ?  
( 熊 斌 提供 )  


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