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2016届高三(文)极坐标与参数方程复习2015.12.30


深圳市第三高级中学

2016 届高三(文)极坐标与参数方程复习
一、知识概要:

2015 年 12 月 30 日

1.极坐标 ( ? ,? ) 与直角坐标 ( x, y ) ,极坐标方程与普通方程的相互转换: 转换公式: ? cos? ? x, ? sin ? ? y, ? ? x ? y , tan ? ?
2 2 2

y x

2.参数方程与普通方程的相互转换:消参与设参 3.极坐标方程,参数方程一般都转换为普通直角坐标方程进行处理,主要考查直线与圆 二、典例练习: 1.在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐 标方程为 ? ? 2cos ? , ? ? ?0, ? ? .

? ?

? 2?

(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标.

2.已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为

? 的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最小值. 6

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3.已知动点 P、Q 都在曲线 C : ?

? x ? 2cos t , ( t 为参数)上,对应参数分别为 t =? 与 t =2? ? y ? 2sin t

( 0 ? ? ? 2? ), M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。

4.已知曲线 C1 的参数方程式 ?

? x ? 4 ? 5 cost ( t 为参数)以坐标原点为极点以坐标原点为极 ? y ? 5 ? 5 sin t

点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0 , 0 ? ? ? 2 π )

5.已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为 ?y ? 3sin?

极轴建立坐标系 , 曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 , 正方形 ABCD的顶点都在 C 2 上 , 且

A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, ) . 3
(Ⅰ)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

?

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6.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程

? x ? 2cos ? ( ? 为参数)M 是 C1 上的动 ? y ? 2 ? 2sin ?

??? ?

???? ?

(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

?
3

与 C1 的异于极点的交点

7. 已知直线 C1 ? (Ⅰ)当 ? =

?x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? (t 为参数),C2 ? ( ? 为参数), y ? t sin ? y ? sin ? ? ?

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的参数 方程,并指出它是什么曲线。

8.已知曲线 C 1 : ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数),C 2 : ? ( ? 为参数). ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(Ⅰ)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

? ,Q 为 C 2 上的动点 , 求 PQ 中点 M 到直线 2

? x ? 3 ? 2t , (t 为参数)距离的最小值.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C3 : ? ? y ? ?2 ? t

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t? 2 ? x ? cos? ?x ? 2 9.已知曲线 C1:y= ? (?为参数) ,曲线 C2: ? (t为参数) 。 ? ? y ? sin ? 2 ? y? t ? ? 2

?

2

(Ⅰ)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (Ⅱ)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半 , 分别得到曲线 C1 ' , C2 ' 。写出

C1 ' , C2 ' 的参数方程。 C1 ' 与 C2 ' 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说明理由。

10. ? O1 和 ? O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ?,? ? ?4sin ? . (Ⅰ)把 ? O1 和 ? O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过 ? O1 , ? O2 交点的直线的直角坐标方程.

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2016 届高三(文)极坐标与参数方程复习参考答案
1.解:

2015 年 12 月 30 日

2. 解:(Ⅰ)曲线 C 的参数方程为: ?

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数), ? y ? 3sin ?

直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 (Ⅱ) 在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为 d ?

5 4 cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5

则 | PA |?

d 2 5 4 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ,其中 ? 为锐角,且 tan ? ? . 0 sin 30 5 3 22 5 ; 5

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为

当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, | PA | 取得最小值,最小值为 3.解:

2 5 . 5

4.解: (1)将 ?

? x ? 4 ? 5cos t 2 2 ,消去参数 t,普通方程 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 25 , y ? 5 ? 5sin t ?

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即 C1: x2 ? y 2 ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 , 将?

? x ? p cos? , 代入x2 ? y 2 ? 8x ? 10 y ? 16 ? 0得 ? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ?16 ? 0 ; y ? p sin ? ?
所以 C1 极坐标方程为 ? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ? 16 ? 0 。

(2) C2 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 ,

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, ? x =1, ? x =0, ? 解得 ? 或? ? 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 0 ? y=2, ? y=2. ?
), (2, ) . 4 2 ? 5? 4? 11? ), (2, ), (2, ) 5.解(1)点 A, B, C , D 的极坐标为 (2, ), (2, 3 6 3 6
点 A, B, C , D 的直角坐标为 (1, 3),(? 3,1),(?1, ? 3),( 3, ?1) (2)设 P( x0 , y0 ) ,则 ?
2 2

所以 C1与C2 交点的极坐标为 ( 2,

?

?

? x0 ? 2cos? (?为参数) ? y0 ? 3sin?
2 2

t ? PA ? PB ? PC ? PD ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 40 ? 56 ? 20sin 2 ? ?[56,76]

?x ? 2cos ?, ? X Y ?2 6.解:(I)设 P(x,y),则由条件知 M( , ).由于 M 点在 C1 上,所以 ? 2 2 ? y ? 2 ? 2sin ? ? ?2
即?

? x ? 4 cos? ? ? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? ,从而 C 2 的参数方程为 ? ? y ? 4 ? 4sin ? ? y ? 4 ? 4 sin ? ?

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
3

, 。所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 .

?
3

??
7.解:(Ⅰ)当 联立方程组 ?

?
3 时, C 的普通方程为 y ? 3( x ?1) , C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1。 2 1

? y ? 3( x ? 1) ?
2 2 ? ?x ? y ? 1

? ,解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) ? ,

?1 ?2 ?

3? ?。 2 ? ?

(Ⅱ) C1 的普通方程为 x sin ? ? y cos ? ? sin ? ? 0 。

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A 点坐标为 sin 2 ? ,? cos? ? sin ?

?

?

1 ? x ? sin 2 ? ? ? 2 故当 ? 变化时,P 点轨迹的参数方程为: ? ??为参数 ? ? y ? ? 1 sin ? cos ? ? ? 2

1? 1 ? 2 ?x? ? ? y ? 1 ? 4? 16 。故 P 点轨迹是圆心为 ? 1 , P 点轨迹的普通方程为 ? ? 0 ? ,半径为 4 的圆。 ?4 ?
8.解:(Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 :
2 2

2

x2 y 2 ? ? 1. 64 9

C1 为圆心是( ?4,3) ,半径是 1 的圆.
C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.
(Ⅱ)当 t ?

? 3 时, P(?4, 4).Q(8cos ? ,3sin ? ), 故M ( ?2 ? 4 cos ? , 2 ? sin ? ). 2 2
5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | . 5

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0, M 到C3的距离d ?
从而当 cos ? ?

4 3 8 5 ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 . 5 5 5

9.解:(Ⅰ) C1 是圆, C2 是直线.

C1 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1,圆心 C1 (0, 0) ,半径 r ? 1 . ? ?
C2 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 .

x ? cos ? (? 为参数) ? y ? sin ?

因为圆心 C1 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 1 ,所以 C2 与 C1 只有一个公共点. (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为

? ? x ? cos ?, ?x ? ? ? ? C C1? : ? ? ( 为参数) ; : 1 ? 2 y ? sin ? ? ?y ? ? 2 ? ?
化为普通方程为: C1? : x ? 4 y ? 1 , C 2? : y ?
2 2

2 t ? 2, 2 (t 为参数). 2 t 4
1 2 2 x? ,联立消元得 2 x ? 2 2 x ? 1 ? 0 , 2 2

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其判别式 ? ? (2 2)2 ? 4 ? 2 ?1 ? 0 ,所以压缩后的直线 C 2? 与椭圆 C1? 仍然只有一个公共点, 和 C1 与 C2 公共点个数相同. 10.解:以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单 位. (Ⅰ) x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,由 ? ? 4cos ? 得 ? 2 ? 4? cos? . 所以 x 2 ? y 2 ? 4 x .即 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 为 ? O1 的直角坐标方程. 同理 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 为 ? O2 的直角坐标方程.
2 2 ? ? x ? y ? 4 x ? 0, ? x1 ? 0,? x2 ? 2 (Ⅱ)由 ? 2 解得 ? . ? 2 ? ? y1 ? 0, ? y2 ? ?2 ?x ? y ? 4 y ? 0

0) 和 (2, ? 2) .过交点的直线的直角坐标方程为 y ? ? x 即 ? O1 , ? O2 交于点 (0,


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