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2013届高三理科数学高考专题训练14 推理与证明 Word版含答案]


高考专题训练十四
班级_______ 姓名_______ 时间: 45 分钟

推理与证明
分值: 75 分 总得分________

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小 题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1.依次写出数列 a1=1,a2,a3,?,an(n∈N*)的法则如下:如 果 an-2 为自然数且未写过,则写 an+1=an-2,否则就写 an+1=an +3,则 a6=( A.4 C.6 D.7 ) B.5

解析:根据题中法则,依次逐个代入,得 a2=4,a3=2,a4=0, a5=3,a6=6. 答案:C 2.(2011· 郑州市高中毕业班第一次质量预测)已知 a,b,c∈R+, c a b 若 < < ,则( a+b b+c c+a A.c<a<b C.a<b<c B.b<c<a D.c<b<a )

解析:由已知得 c(b+c)<a(a+b),a(c+a)<b(b+c),即(c-a)(a +b+c)<0, (a-b)(a+b+c)<0.又 a+b+c>0, 因此有 c-a<0, a-b<0, 故 c<a<b,选 A. 答案:A 3 . (2011· 四 川 省 绵 阳 市 高 三 第 二 次 诊 断 性 测 试 ) 记 a = Sin (cos2010° ),b=sin(sin2010° ),c=cos(sin2010° ),d=cos(cos2010° ), 则 a、b、c、d 中最大的是( A.a B.b )

C.c

D.d

解析:注意到 2010° =360° ×5+180° +30° ,因此 sin2010° =- 1 3 π 3 π 1 sin30° =- , cos2010° =- cos30° =- ,- <- <0,- <- 2 2 2 2 2 2
? ? 1? 1 3 π 1 3 3 3? <0,0< < < , cos >cos >0, a=sin?- ?=-sin <0, b=sin?-2? 2 2 2 2 2 2 ? ? 2? ?

1 =-sin 2
? ? 1? 1 3 3? <0,c=cos?-2?=cos >d=cos?- ?=cos >0, 2 2 ? ? 2? ?

因此选 C. 答案:C 4.(2011· 江西师大附中、临川一中高三联考)若实数 a,b,c 成 公差不为 0 的等差数列,则下列不等式不成立的是( A.|b-a+ C.b2>ac 1 |≥2 c-b )

B.a3b+b3c+c3a≥a4+b4+c4

D.|b|-|a|≤|c|-|b| 1 | c-b

解析:设等差数列 a,b,c 的公差为 d(d≠0),则|b-a+ 1 1 =|d+d|=|d|+|d|≥2

?a+c?2 1 ? |d|× =2,因此 A 成立;b2-ac=? |d| ? 2 ?

?a-c?2 -ac= >0,因此 C 成立;由 2b=a+c 得|2b|=|a+c|≤|c|+|a|, 4 即|b|-|a|≤|c|-|b|,因此 D 成立;对于 B,当 a=-1,b=-2,c= -3 时,a3b+b3c+c3a=53,a4+b4+c4=98,此时 B 不成立.综上 所述,选 B. 答案:B 5.(2011· 西安市五校第一次模拟考试)已知“整数对”按如下规

律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3), (3,2),(4,1),?,则第 60 个数对是( A.(7,5) C.(2,10) B.(5,7) D.(10,1) )

解析:依题意,就每组整数对的和相同的分为一组,不难得知每 组整数对的和为 n+1,且每组共有 n 个整数对,这样的前 n 组一共 n?n+1? 10?10+1? 11?11+1? 有 个整数对,注意到 <60< ,因此第 60 个 2 2 2 整数对处于第 11 组(每对整数对的和为 12 的组)的第 5 个位置,结合 题意可知每对整数对的和为 12 的组中的各对数依次为(1,11),(2,10), (3,9),(4,8),(5,7),?,因此第 60 个整数对是(5,7),选 B. 答案:B 6.(2011· 江苏镇江模拟)用反证法证明命题:“三角形的内角中 至少有一个不大于 60 度”时,假设正确的是( A.假设三内角都不大于 60 度 B.假设三内角都大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度 解析:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,即“三 内角都大于 60 度”.故选 B. 答案:B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案 填在题中横线上. 7.(2011· 南昌一模)观察下列等式: 12=1 )

12-22=-3, 12-22+32=6, 12-22+32-42=-10, ?, 由以上等式推测到一个一般的结论:对于 n∈N*, 12-22+32-42+?+(-1)n+1n2=________. 解析:注意到第 n 个等式的左边有 n 项,右边的结果的绝对值 恰好等于左边的各项的所有底数的和,即右边的结果的绝对值等于 1 n?n+1? n2+n +2+3+?+n= = ,注意到右边的结果的符号的规律 2 2 是:当 n 为奇数时,符号为正;当 n 为偶数时,符号为负,因此所 填的结果是(-1) 答案:(-1)
2 n+1n +n

2

.

2 n+1n +n

2

8.(2011· 东北三省四市教研联合体等值模拟诊断)设 S、V 分别 表示面积和体积,如△ABC 面积用 S△ABC 表示,三棱锥 O-ABC 的 → |· → 体积用 VO-ABC 表示. 对于命题: 如果 O 是线段 AB 上一点, 则|OB OA → |· → =0.将它类比到平面的情形是:若 O 是△ABC 内一点,有 +|OA OB → +S△ · → → =0.将它类比到空间的情形应该是: S△OBC· OA OC OCA OB+S△OBA· 若 O 是三棱锥 A-BCD 内一点, 则有___________________________ _________. 解析:由类比思想可得结论. → +V - · → → +V - · → 答案:VO-BCD· OA OC O ACD OB+VO-ABD· O ABC OD=0 1 1 9.(2011· 山东威海模拟)用数学归纳法证明不等式 1+ + +? 2 4

1 127 + n-1> (n∈N*)成立,其初始值至少应取________. 64 2 1 2n 127 1 1 1 解析:1+ + + ?+ n-1= > ,整理得 2n>128,解得 2 4 1 64 2 1- 2 1- n>7,故原不等式的初始值至少应为 8. 答案:8 10. (2011· 辽宁沈阳模拟)用数学归纳法证明: (n+1)+(n+2)+? +(n+n)= n?3n+1? (n∈N*)的第二步中,当 n=k+1 时等式左边与 n 2

=k 时的等式左边的差等于________. 解析:当 n=k 时,等式左边为(k+1)+(k+2)+?+(k+k),当 n=k+1 时,等式左边为(k+2)+(k+3)+?+(k+1+k+1),所以其 差为 3k+2. 答案:3k+2 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 11.(12 分)已知正数数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4an-2Sn=1, 数列{bn}满足 bn=2log1 an,n∈N*.
2

(1)求函数{an}的通项公式 an 与{bn}的前 n 项和 Tn; bn (2)设数列{a }的前 n 项和为 Un,求证:0<Un≤4.
n

1 解:(1)易得 a1= . 2 当 n≥2 时,4an-2Sn=1, 4an-1-2Sn-1=1, ① ②

①-②得 2an-4an-1=0?an=2an-1, ∴ an =2(n≥2), an-1

1 ∴数列{an}是以 a1= 为首项,2 为公比的等比数列, 2 1 ∴an=2n-2,a1= 也适合此式,故 an=2n-2. 2 从而 bn=4-2n,其前 n 项和 Tn=-n2+3n. bn 4-2n (2)证明:∵{an}为等比数列、{bn}为等差数列,a = n-2 . 2 n 6-2n 4-2n 2 0 -2 ∴Un= + + +?+ n-3 + n-2 , 1 1 2 2 2 2 6-2n 4-2n 1 2 0 -2 Un= + + 2 +?+ n-2 + n-1 , 2 1 2 2 2 2 4-2n 1 2 2 2 2 ③-④得 Un=4- - - 2-?- n-2- n-1 , 2 1 2 2 2 2 4n ∴Un= n-1. 2 易知 U1=U2=4,当 n≥3 时,Un-Un-1= ∴当 n≥3 时,数列{Un}是递减数列, ∴0<Un≤U3=3. 综上,0<Un≤4. 12.(13 分)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比数列(n∈N*).求 a2,a3,a4 及 b2, b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论.
2 解:由条件得 2bn=an+an+1,an +1=bnbn+1,





2-n <0, 2 n -3

由此可得 a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25. 猜测 an=n(n+1),bn=(n+1)2,n∈N*. 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由已知 a1=2,b1=4 可得结论成立. ②假设当 n=k(k≥2 且 k∈N*)时,结论成立,即 ak=k(k+1),bk=(k+1)2, 那么当 n=k+1 时, ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2), a2 ?k+1?2?k+2?2 k+ 1 bk+1= b = =(k+2)2. 2 ?k+1? k 所以当 n=k+1 时,结论也成立. 由①②可知,an=n(n+1),bn=(n+1)2 对一切 n∈N*都成立.


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