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北京四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理


北京四中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. ) 2 1. (5 分)抛物线 y =﹣8x 的准线方程为() A.x=2 B.x=﹣2 C.y=2
2

D.y=﹣2

2. (5 分)双曲线 A.y=±2x

﹣y

=1 的渐近线方程为() B.y=± x C.y=± x D.y=± x

3. (5 分)已知点 M 的极坐标为 () A. B.

,下列所给四个坐标中能表示点 M 的坐标是

C.

D.

4. (5 分)“m<8”是“方程 A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件



=1 表示双曲线”的() B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. (5 分)若椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点与抛物线 y =8x 的焦点相同,离心率为 ,

2

则此椭圆的方程为() A. + =1 B. + =1

C.

+

=1

D.

+

=1

6. (5 分)设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)两个焦点分别为 F1,F2,若 C 上存在点 P 满足

|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,则椭圆 C 的离心率等于() A. B. C. D.

第 1页 共 1页

7. (5 分)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 则|PA|+|PM|的最小值是() A.5 B. C. 4 D.AD

2



8. (5 分)若有两个焦点 F1,F2 的圆锥曲线上存在点 P,使|PF1|=3|PF2|成立,则称该圆锥曲 线上存在“α”点,现给出四个圆锥曲线:① ﹣ =1 ②x ﹣
2

=1 ③

+

=1



+

=1,其中存在“α”点的圆锥曲线有() B. ①④ C. ②③ D.

A.①③ ②④

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) 2 9. (5 分)抛物线 y =4x 的焦点到准线的距离是. 10. (5 分)命题“?x∈R,x +x﹣8>0”的否定为. 11. (5 分)已知双曲线的中心在原点,焦距为 2 是. ,实轴长为 2,则该双曲线的标准方程
2

12. (5 分)椭圆 的大小为.

+

=1 的焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=,∠F1PF2

13. (5 分)过点(0,﹣4)且与直线 y=4 相切的圆的圆心轨迹方程是.

14. (5 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F,斜率为 1 的直线过 F 且交椭圆于

A、B 两点,若

+

与 =(3,﹣1)共线,则此椭圆的离心率为.

第 2页 共 2页

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分. ) 15. (10 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 C 的两个焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知斜率为 的直线 l 与 C 相切,求直线 l 的方程.
2

,且 C 上一点到

16. (10 分)若抛物线 C:y =2px 的焦点在直线 l:2x+y﹣2=0 上. (1)求抛物线 C 的方程; (2)求直线 l 被抛物线 C 所截的弦长.

17. (10 分)已知椭圆 C:

(a>b>0)的两个焦点分别为 F1,F2,离心率为



且过点 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)M,N,P,Q 是椭圆 C 上的四个不同的点,两条都不和 x 轴垂直的直线 MN 和 PQ 分别过点 F1,F2,且这两条直线互相垂直,求证: 为定值.

一、选择题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. ) 18. (5 分)命题 p:?t∈R,使得直线 x﹣y+t=0 与圆 x +y =1 相交;命题 q:?m>0,双曲 线 ﹣ =1 的离心率为 .
2 2

则下面结论正确的是() A.p 是假命题 B.¬q 是真命题
2

C.p∧q 是假命题

D.p∧q 是真命题

19. (5 分) 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax (a≠0) 的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若△ OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为() 2 2 2 2 A.y =±4x B.y =4x C.y =±8x D.y =8x 20.(5 分)过抛物线 C:y=ax (a>0)的焦点 F 作直线交 C 于 P,Q 两点,若线段 PF 与 2 2 QF 的长度分别为 m,n,则 m +n 的最小值为() A. B.2a
2 2

C. a

2

D.

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. )

第 3页 共 3页

21. (5 分)经过点 A(3,1)作直线 l,它与双曲线 线 l 有条.

﹣y =1 只有一个公共点,这样的直

2

22. (5 分)曲线的极坐标方程 ρ=sinθ﹣cosθ 化为直角坐标方程为. 23. (5 分)抛物线 y=﹣x +3 上存在关于直线 y=x 对称的相异两点 A,B,则|AB|等于.
2

三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分. ) 24. (10 分)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)经过点(1, ) ,离心率为 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 y=k(x﹣1) (k≠0)与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 M 是椭圆 C 的右顶点.直线 AM 与直线 BM 分别与 y 轴交于点 P, Q, 试问以线段 PQ 为直径的圆是否过 x 轴上的定点? 若是,求出定点坐标;若不是,说明理由. 25. (10 分)设椭圆 C1、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,C1 的中心和 C2 的顶点均为原点, 从每条曲线上至少取两个点,将其坐标记录于表中: x 3 ﹣2 4 y ﹣2 0 ﹣4 ﹣

(1)求 C1、C2 的标准方程; (2)设直线 l 与椭圆 C1 交于不同两点 M、N,且 ,请问是否存在这样的直线 l

过抛物线 C2 的焦点 F?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

北京四中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.) 1.(5 分)抛物线 y2=﹣ 8x 的准线方程为() A. x=2 B. x=﹣ 2 C. y=2 D. y=﹣ 2

第 4页 共 4页

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 抛物线 y =﹣8x 的开口向左,2p=8,从而可得抛物线 y =﹣8x 的准线方程. 2 解答: 解:抛物线 y =﹣8x 的开口向左,2p=8, ∴抛物线 y =﹣8x 的准线方程为 x= =2 故选 A. 点评: 本题考查抛物线的性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
2 2 2

2.(5 分)双曲线 A. y=±2x

﹣ y2=1 的渐近线方程为() B. y=± x C. y=± x D. y=± x

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线 可得到. 解答: 解:双曲线 ﹣y =1 的 a=
2

﹣y =1 的 a,b,由双曲线

2



=1 的渐近线方程为 y=

x,即

,b=1,

由双曲线



=1 的渐近线方程为 y=

x,

则所求渐近线方程为 y=±

x.

故选 D. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法,考查运算能力,属于基础 题. 3.(5 分)已知点 M 的极坐标为 () A. B. C. D. ,下列所给四个坐标中能表示点 M 的坐标是

考点: 点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 计算题. 分析: 由于 和 . 是终边相同的角,故点 M 的极坐标 也可表示为

第 5页 共 5页

解答: 解:点 M 的极坐标为 的坐标也可表示为 ,

,由于



是终边相同的角,故点 M

故选 D. 点评: 本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法,是一道基础题.

4.(5 分)“m<8”是“方程 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件



=1 表示双曲线”的() B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;简易逻辑. 分析: 根据双曲线的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答: 解:若方程 ﹣ =1 表示双曲线,

则(m﹣10) (m﹣8)>0,即 m>10 或 m<8. ∴“m<8”是“方程 ﹣ =1 表示双曲线”的充分而不必要条件,

故选:A. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用双曲线的定义求出 m 的取值范围 是解决本题的关键,比较基础.

5.(5 分)若椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心率为

,则此椭圆的方程为()

A.

+

=1

B.

+

=1

C.

+

=1

D.

+

=1

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距 c,根据椭圆的离心率 求得 a,最后根据 a 和 c 的关系求得 b. 2 解答: 解:抛物线 y =8x, 第 6页 共 6页

∴p=4,焦点坐标为(2,0) , ∵椭圆的右焦点与抛物线 y =8x 的焦点相同, 2 2 ∴椭圆的半焦距 c=2,即 a ﹣b =4, ∵e= = , ∴a=4,b= =2 ,
2

∴椭圆的标准方程为

+

=1,

故选:B. 点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程的问题. 同时考查抛物线的方程和性质, 要熟练掌 握椭圆方程中 a,b 和 c 的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余.

6.(5 分)设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)两个焦点分别为 F1,F2,若 C 上存在点 P 满

足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,则椭圆 C 的离心率等于() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 据|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,不妨设|PF1|=4m,|F1F2|=3m,|PF2|=2m,再进行分 类讨论,确定曲线的类型,从而求出曲线 r 的离心率. 解答: 解:根据|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,不妨设|PF1|=4m,|F1F2|=3m,|PF2|=2m, ∴|PF1|+|PF2|=6m>|F1F2|=3m,此时曲线为椭圆,且曲线 r 的离心率等于 = .

故选:A. 点评: 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征. 关键是利用圆锥曲线的定义来解决. 属于基 础题, 7.(5 分)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 ,则|PA|+|PM|的最小值是() A. 5 B. C. 4 D. AD

考点: 抛物线的定义. 专题: 计算题. 分析: 先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程,延长 PM 交准线于 H 点推断出 |PA|=|PH|,进而表示出|PM|,问题转化为求 PF|+|PA|的最小值,由三角形两边长大于第三边 第 7页 共 7页

可知, |PF|+|PA|≥|FA|, 直线 FA 与 抛物线交于 P0 点, 可得 P0, 分析出当 P 重合于 P0 时, |PF|+|PA| 可取得最小值,进而求得|FA|,则|PA|+|PM|的最小值可得. 解答: 解: 依题意可知焦点 F ( , 0) , 准线 x=﹣ , 延长 PM 交准线于 H 点. 则|PF|=|PH|. |PM|=|PH|﹣ =|PF|﹣ , |PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣ ,我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可. 由三角形两边长大于第三边可知,|PF|+|PA|≥|FA|,① 设直线 FA 与 抛物线交于 P0 点,可计算得 P0 (3, ) ,另一交点(﹣ , 当 P 重合于 P0 时,|PF|+|PA|可取得最小值,可得|FA|= 则所求为|PM|+|PA|= 故选 B. = . . )舍去.

点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质. 考查了考生分析问题的能力, 数形结合的思想 的运用. 8.(5 分)若有两个焦点 F1,F2 的圆锥曲线上存在点 P,使|PF1|=3|PF2|成立,则称该圆锥

曲线上存在“α”点,现给出四个圆锥曲线:①

﹣ =1 ②x2﹣ =1 ③

+

=1



+

=1,其中存在“α”点的圆锥曲线有() B. ①④ C. ②③ D. ②④

A. ①③

考点: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 计算题;阅读型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 分别求出曲线①②③④的焦点坐标,设出 P(x,y) ,运用两点的距离公式化简 整理得到 P 的轨迹方程,联立曲线方程,消去 y,解关于 x 的方程,注意曲线的范围,判断 即可得到. 第 8页 共 8页

解答: 解:对于①,


2

=1 的焦点 F1(﹣4,0) ,F2(4,0) ,设 P(x,y) ,
2 2 2

则由|PF1|=3|PF2|可得(x+4) +y =9,化简得 x +y ﹣10x+16=0, 2 2 2 代入双曲线的方程,消去 y,得 3x ﹣(10x﹣16﹣x )=12,即为 2x ﹣5x+2=0,解得 x=2 或 , 由双曲线的范围可得 x≥2,故存在 P,则①正确; 对于②,x ﹣ 10x+16=0, 代入双曲线的方程,消去 y,得 15x ﹣(10x﹣16﹣x )=15,即为 16x ﹣10x+1=0,解得 x= 或 , 由双曲线的范围为 x≥1,故不存在点 P,则②不正确; 对于③, + =1 的焦点 F1(﹣
2 2 2 2 2 2

=1 的焦点 F1(﹣4,0) ,F2(4,0) ,则 P(x,y)的轨迹方程为 x +y ﹣

2

2

,0) ,F2(
2

,0) ,设 P(x,y) ,
2

则由|PF1|=3|PF2|可得(x+

) +y =9, 化简得 x +y ﹣
2

x+2=0, >9,

代入椭圆方程,消去 y 得 2x ﹣

x+81=0,可得判别式大于 0,两根之积为

由椭圆的范围可得|x|≤3,故不存在 P,则③不正确; 对于④, + =1 的焦点 F1(﹣2
2 2

,0) ,F2(2
2 2

,0) ,设 P(x,y) , x+8=0, 或 ,

则由|PF1|=3|PF2|可得(x+2
2

) +y =9,化简得 x +y ﹣5 x+36=0,可得 x=6

代入椭圆方程,消去 y 得 2x ﹣15 由椭圆的范围可得|x|

,即有 x=

成立,故存在 P,则④正确.

故选 B. 点评: 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质, 考查轨迹方程的求法, 注意联立方程求解时, 别忽视圆锥曲线的范围,具有一定的运算量,属于中档题和易错题. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) 9.(5 分)抛物线 y2=4x 的焦点到准线的距离是 2.

考点: 抛物 线的简单性质. 专题: 计算题.

第 9页 共 9页

分析: 根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程, 进而利用点到直线的距离 求得焦点到准线的距离. 解答: 解:根据题意可知焦点 F(1,0) ,准线方程 x=﹣1, ∴焦点到准线的距离是 1+1=2 故答案为 2. 点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了学生对抛物线标准方程的理解和运 用.属基础题. 10.(5 分)命题“?x∈R,x2+x﹣ 8>0”的否定为?x∈R,x2+x﹣ 8≤0.

考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 2 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题.所以,命题“?x∈R,x +x﹣8>0”的否定为: 2 ?x∈R,x +x﹣8≤0. 2 故答案为:?x∈R,x +x﹣8≤0. 点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.

11.(5 分)已知双曲线的中心在原点,焦距为 2 是 x2﹣ y2=1 或 y2﹣ x2=1.

,实轴长为 2,则该双曲线的标准方程

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由已知得 解答: 解:由已知得 ∴b= =1,
2 2

,由此能求出双曲线方程. ,解得 a=1,c= ,

∴当焦点在 x 轴时,双曲线方程为 x ﹣y =1. 2 2 当焦点在 y 轴时,双曲线方程为 y ﹣x =1. 2 2 2 2 故答案为:x ﹣y =1 或 y ﹣x =1. 点评: 本题考查双曲线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线简单性质 的合理运用.

12.(5 分)椭圆

+

=1 的焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=2,∠

F1PF2 的大小为 120°.

第 10 页 共 10 页

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 第一问用定义法,由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,易得|PF2|;第二问如图所示:角所 在三角形三边已求得,用余弦定理求解. 解答: 解:∵|PF1|+|PF2|=2a=6, ∴|PF2|=6﹣|PF1|=2. 在△ F1PF2 中, cos∠F1PF2 = = =﹣ ,

∴∠F1PF2=120°. 故答案为:2;120° 点评: 本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,这类题是常考类型,难度不大, 考查灵活,特别是对曲线的定义和性质考查的很到位. 13.(5 分)过点(0,﹣ 4)且与直线 y=4 相切的圆的圆心轨迹方程是 x2=﹣ 16y.

考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先设出动圆圆心的坐标,根据题意可知圆心到定点(0,﹣4)到直线 y=4 的距离 都等于半径,进而利用抛物线的定义可求得 x 和 y 的关系式. 解答: 解:设动圆圆心坐标为(x,y) ∵动圆过定点(0,﹣4)且与直线 y=4 相切, ∴圆心到定点(0,﹣4)到直线 y=4 的距离都等于半径, ∴根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹方程是 x =﹣16y 2 故答案为:x =﹣16y 点评: 本题考查轨迹方程,利用抛物线的定义来求轨迹方程是关键.
2

14.(5 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F,斜率为 1 的直线过 F 且交椭圆

于 A、B 两点,若

+

与 =(3,﹣ 1)共线,则此椭圆的离心率为



第 11 页 共 11 页

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 直线与椭圆方程联立用未达定理的 A、B 两点坐标的关系,据向量共线的条件得椭 圆中 a,b,c 的关系,从而求得椭圆的离心率. 解答: 解:设椭圆方程为 ,则直线 AB 的方程为 y=x﹣c,代入椭圆方程的

, 化简得(a +b )x ﹣2a cx+a c ﹣a b =0. 令 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2= ,x1x2= ,
2 2 2 2 2 2 2 2



+

=(x1+x2,y1+y2) ,与 =(3,﹣1)共线

∴3(y1+y2)+(x1+x2)=0,又 y1=x1﹣c,y2=x2﹣c, ∴3(x1+x2﹣2c)+(x1+ x2)=0, ∴x1+x2= c,


2 2

= c

∴a =3b . ∴c= 故离心率 e= = 故答案为: . =a, .

点评: 考查向量 共线为圆锥曲线提供已知条件;处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方 法是直线与圆锥曲线方程联立用韦达定理. 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分.) 15.(10 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 C 的两个焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知斜率为 的直线 l 与 C 相切,求直线 l 的方程. ,且 C 上一点到

考点: 椭圆的简单性质. 第 12 页 共 12 页

专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设椭圆 C 的标准方程为 ,由离心率公式和 a,bc 的关系和椭圆的

定义,得到方程组,解得 a,b,即可得到椭圆方程;

(2)设直线为 y=

,则由题意得

,根据直线与曲线相切得△ =0,求得直线.

解答: 解: (1)设椭圆 C 的标准方程为

,由题意

解得 a=2,b=1.

所以椭圆 C 的标准方程

(2)设直线为 y=
2 2

,则由题意得

得 2x +4mx+4m ﹣4=0 2 2 △ =16m ﹣8(4m ﹣4)=0 解得 m= 故直线方程为 .

点评: 本题主要考查椭圆方程的求法,和直线与圆锥曲线的综合问题,属于中档题目. 16.(10 分)若抛物线 C:y2=2px 的焦点在直线 l:2x+y﹣ 2=0 上. (1)求抛物线 C 的方程; (2)求直线 l 被抛物线 C 所截的弦长. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)求出抛物线的焦点坐标,代入即可求得 p=2,进而得到抛物线的方程; (2)联立直线和抛物线方程,运用韦达定理,结合抛物线的定义,即可求得弦长. 解答: 解: (1)抛物线 C:y =2px 的焦点为( ,0) , 由题意可得,p﹣2=0,解得 p=2, 2 即有抛物线方程为 y =4x; 2 (2)由直线 2x+y﹣2=0 和抛物线 y =4x, 2 消去 y,可得 x ﹣3x+1=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 即有 x1+x2=3, 第 13 页 共 13 页
2

由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=3+2=5. 则直线 l 被抛物线 C 所截的弦长为 5. 点评: 本题考查抛物线的定义、方程和性质,主要考查定义法的运用,同时考查直线方程 和抛物线方程联立,运用韦达定理,属于中档题.

17.(10 分)已知椭圆 C:

(a>b>0)的两个焦点分别为 F1,F2,离心率为

,且过点



(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)M,N,P,Q 是椭圆 C 上的四个不同的 点,两条都不和 x 轴垂直的直线 MN 和 PQ 分 别过点 F1,F2,且这两条直线互相垂直,求证: 为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由离心率为 ,即
2

可得 a =2b ,从而 C:
2

2

2

,再把点

代入椭圆方程即可求得 b ,进而得到 a . (Ⅱ)由(Ⅰ)写出焦点 F1,F2 的坐标,设直线 MN 的方程为 y=k(x+2) ,由直线 MN 与 直线 PQ 互相垂直得直线 PQ 的方程为 ,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) .联

立直线 MN 与椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方程,由韦达定理及弦长公式可用 k 表示|MN|, 同理可表示出|PQ|,计算即可得到 为定值.

解答: (Ⅰ)解:由已知 所以 a =2b . 所以 C:
2 2

,得



,即 x +2y =2b .

2

2

2

因为椭圆 C 过点 得 b =4,a =8. 所以椭圆 C 的方程为
2 2

,所以





(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知椭圆 C 的焦点坐标为 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) . 根据题意,可设直线 MN 的方程为 y=k(x+ 2) , 由于直线 MN 与直线 PQ 互相垂直,则直线 PQ 的方程为 .

第 14 页 共 14 页

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) . 由方程组 消 y 得(2k +1)x +8k x+8k ﹣8=0.
2 2 2 2







所以|MN|=

=

=



同理可得|PQ|=



所以

=

=



点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及椭圆方程的求解, 韦达定理及弦长公式是解 决该类题目的基础,应熟练掌握. 一、选择题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.) 18.(5 分)命题 p:?t∈R,使得直线 x﹣ y+t=0 与圆 x2+y2=1 相交;命题 q:?m>0,双 曲线 ﹣ =1 的离心率为 .

则下面结论正确的是() A. p 是假命题 B. ¬ q 是真命题

C. p∧q 是假命题

D. p∧q 是真命题

考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据直线与圆的位置关系判断出命题 p 的真假,根据双曲线的性质判断出命题 q 的真假,进而得到答案. 解答: 解:由
2

得:2x +2tx+t ﹣1=0,

2

2

△ =﹣4t +8,?t∈R,使得判别式△ ≥0, 故命题 p 是真命题; ∵双曲线 ∴c= ∴e= = m, ,故命题 q 为真命题. ﹣ =1 中 a=b=|m|=m,

第 15 页 共 15 页

故 p∧q 是真命题, 故选:D. 点评: 本题考查了直线与圆的位置关系以及双曲线的性质, 考查了复合命题的判断, 是一 道基础题. 19.(5 分)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为() A. y2=±4x B. y2=4x C. y2=±8x D. y2=8x

考点: 抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据抛物线方程表示出 F 的坐标,进而根据点斜式表示出直线 l 的方程,求得 A 的坐标,进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得 a,则抛物线的方程可 得. 解答: 解:抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F 坐标为 则直线 l 的方程为 它与 y 轴的交点为 A 所以△ OAF 的面积为 解得 a=±8. 所以抛物线方程为 y =±8x, 故选 C. 点评: 本题主要考查了抛物线的标准方程, 点斜式求直线方程等. 考查学生的数形结合的 思想的运用和基础知识的灵活运用. 20.(5 分)过抛物线 C:y=ax2(a>0)的焦点 F 作直线交 C 于 P,Q 两点,若线段 PF 与 QF 的长度分别为 m,n,则 m2+n2 的最小值为() A. B. 2a2 C. a2 D.
2 2



, , ,

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 不等式的解法及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出抛物线的焦点和准线方程,设出直线 PQ 的方程,代入抛物线方程,运用韦达 定理,结合抛物线的定义,求得 m,n 的式子,以及 m+n,mn 的关系式,运用配方,即可 得到最小值. 解答: 解:抛物线 C:y=ax (a>0)的焦点 F(0,
2

) ,准线方程为 y=﹣



第 16 页 共 16 页

设 PQ 直线方程是 y=kx+ 则 x1,x2 是方程 ax ﹣kx﹣
2

, 的两根,
2 2

可设 x1>0,x2<0,P(x1,ax1 ) ,Q(x2,ax2 ) , x1+x2= ,x1x2=﹣ ,
2

由抛物线的定义可得 m=ax1 + m+n=a(x1+x2) ﹣2ax1x2+ mn=a x1 x2 +
2 2 2 2 2

,n=ax2 + =
2

2



+ ,

+ (x1 +x2 )

=

+

+ ×

=



则 m +n =(m+n) ﹣2mn= = ≥ ,

2

2

2



当且仅当 k=0,取得最小值,且为



故选:D. 点评: 本题考查抛物线的定义、方程和性质,主要考查直线和抛物线方程联立,运用韦达 定理,具有一定的运算量,属于中档题和易错题.

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.) 21.(5 分)经过点 A(3,1)作直线 l,它与双曲线 的直线 l 有 2 条.
考点: 专题: 分析: 解答: 意; 双曲 线的简单性质. 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分为两类考虑:直线的斜率不存在;与渐近线平行的直线,即可得到结论. 解:①当直线 l 的斜率不存在时,直线的方程为 x=3,直线与双曲线相切,满足题 x,

﹣ y2=1 只有一个公共点,这样

②因为 a=3,b=1,所以双曲线的渐近线方程为 y=

则 A 在渐近线 y= x 上,可作出一条与渐近线 y=﹣ x 平行的直线,即与双曲线只有一个交 点; 故满足条件的直线共有 2 条. 故答案为:2. 第 17 页 共 17 页

点评: 本题考查了直线与双曲线有一个公共点的情况,做题时极容易丢平行渐近线的情 况,做题时一定要细心.属于基础题型.

22.(5 分)曲线的极坐标方程ρ=sinθ﹣ cosθ化为直角坐标方程为 x2+y2+x﹣ y=0.

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 2 2 2 分析: 直接利用 x +y =ρ ,ρsinθ=y,ρcosθ=x 把曲线的极坐标方程转化成直角坐标方程. 解答: 解:由于曲线的极坐标方程 ρ=sinθ﹣cosθ, 2 所以:ρ =ρsinθ﹣ρcosθ 2 2 2 由于:x +y =ρ ,ρsinθ=y,ρcosθ=x 2 2 所以曲线的直角坐标方程为:x +y =y﹣x 2 2 即:x +y +x﹣y=0 2 2 故答案为:x +y +x﹣y=0 点评: 本题考查的知识要点:曲线的极坐标方程与直角坐标 方程的转化,属于基础题型. 23.(5 分)抛物线 y=﹣ x2+3 上存在关于直线 y=x 对称的相异两点 A,B,则|AB|等于 3 .

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 AB 的方程为 y=x+b, 代入抛物线 y=﹣x +3 化简利用根与系数的关系可得 x 1+x2= ﹣1,x1?x2=b﹣3,根据 AB 的中点(﹣ ,﹣ +b) 在直线 x+y=0 上,求出 b 值,由 |AB|= ? 求得结果.
2

解答: 解:由题意可得,可设 AB 的方程为 y=x+b, 代入抛物线 y=﹣x +3 化简可得 x +x+b﹣3=0, ∴x1+x2=﹣1,x1?x2=b﹣3, 故 AB 的中点为(﹣ ,﹣ +b) , 根据中点在直线 x+y=0 上, ∴﹣ +(﹣ +b)=0, ∴b=1,故 x1?x2=﹣2, ∴|AB|= ? =3 ,
2 2

故答案为:3 . 点评: 本题考查直线和圆的位置关系,一元二次方程根与系数的关系,弦长公式的应用, 求得 x1+x2=﹣1,x1?x2=﹣2,是解题的关键.

第 18 页 共 18 页

三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分.) 24.(10 分)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)经过点(1, ),离心率为 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 y=k(x﹣ 1)(k≠0)与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 M 是椭圆 C 的右顶点.直线 AM 与直线 BM 分别与 y 轴交于点 P,Q,试问以线段 PQ 为直径的圆是否过 x 轴上的定点? 若是,求出定点坐标;若不是,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由椭圆 C: + =1(a>b>0)经过点(1, ) ,离心率为 ,建立方

程组,即可求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 y=k(x﹣1) (k≠0)代入椭圆方程,求出 P,Q 的坐标,利用以线段 PQ 为直径 的圆过 x 轴上的定点 N(x0,0) ,则等价于 =0 恒成立,即可得出结论.

解答: 解: (Ⅰ)由题意得

,解得 a=2,b=1.

所以椭圆 C 的方程是



…(4 分)

(Ⅱ)以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点. 2 2 2 2 直线 y=k(x﹣1) (k≠0)代入椭圆可得(1+4k )x ﹣8k x+4k ﹣4=0. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则有 x1+x2= ,x1x2= .

又因为点 M 是椭圆 C 的右顶点,所以点 M(2,0) . 由题意可知直线 AM 的方程为 y= (x﹣2) ,故点 P(0,﹣ ) .

直线 BM 的方程为 y=

(x﹣2) ,故点 Q(0,﹣

) .

若以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 N(x0,0) ,则等价于 又因为 =(x0, ) , =(x0, ) ,

=0 恒成立.

所以

?

=x0 +

2

?

=0 恒成立. 第 19 页 共 19 页

又因为(x1﹣2) (x2﹣2)=x1x2﹣2(x1+x2)+4=



y1y2=k(x1﹣1) (x2﹣1)=



所以 x0 +

2

?

=

﹣3=﹣0.

解得 x0= . 故以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点( ,0) . …(14 分) 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查恒过定点问题,综合 性强. 25.(10 分)设椭圆 C1、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,C1 的中心和 C2 的顶点均为原点,从 每条曲线上至少取两个点,将其坐标记录于表中: x y 3 ﹣ 2 ﹣ 2 0 4 ﹣ 4 ﹣

(1)求 C1、C2 的标准方程; (2)设直线 l 与椭圆 C1 交于不同两点 M、N,且 ,请问是否存在这样的直线 l 过

抛物线 C2 的焦点 F?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)设抛物线 C2:y =2px(p≠0) ,由题意知 C2:y =4x(2 分) .设
2 2

, 把点 (﹣2, 0) (



) 代入得

解得



由此可知 C1 的方程. (2)假设存在这样的直线 l 过抛物线焦点 F(1,0) ,设其方程为 x﹣1=my,设 M(x1,y1) , N(x2,y2) ,由 .得 x1x2+y1y2=0.由 消去 x,得(m +4)y +2my﹣
2 2

3=0,然后由根的判别式和根与系数的关系可知假设成立,即存在直线 l 过抛物线焦点 Fl 的 方程为:2x±y﹣2=0. 第 20 页 共 20 页

解答: 解: (1)设抛物线 C2:y =2px(p≠0) ,则有 据此验证 5 个点知只有(3,

2


2

) 、 (4,﹣4)在统一抛物线上,易求 C2:y =4x(2 分)



, 把点 (﹣2, 0) (



) 代入得

解得

∴C1 方程为

(5 分)

(2)假设存在这样的直线 l 过抛物线焦点 F(1,0) 设其方程为 x﹣1=my,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 由 .得 x1x2+y1y2=0(*) (7 分)



消去 x,得(m +4)y +2my﹣3=0,△ =16m +48>0

2

2

2




2

x1x2=(1+my1) (1+my2)=1+m(y1+y2)+m y1y2; = ②(9 分)

将①②代入(*)式,得 解得 (11 分) ,

∴假设成立,即存在直线 l 过抛物线焦点 Fl 的方程为:2x±y﹣2=0(12 分) 点评: 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.

第 21 页 共 21 页


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