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3.2.2直线的两点式方程教案


张喜林制

3. 2.2 直线的两点式方程

【教学目标】 (1)掌握直线方程的两点的 形式特点及适用范围; (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 【教学重难点】 重点:直线方程两点式。 难点:两点式推导过 程的理解。 【教学过程】

(一)情景导入、展示目标。
思考 1:由一个点和斜率可以确定一 条

直线,还有别的条件可以确定一条直线吗?

问题: 已知直线 l 过 A(3,-5)和 B(-2,5),求直线 l 的方程 解:∵直线 l 过点 A(3,-5)和 B(-2,5)

? kl ?

5 ? ?? 5? ? ?2 ?2?3

将 A(3,-5) ,k=-2 代入点斜式,得 y-(-5) =-2 ( x-3 ) 即 2x + y -1 = 0

(二)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情 况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。

(三) 合作探究、精讲点拨。
思考 2:设直线 l 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中 x1≠x2,y1≠y2,则直线 l 斜率是什么?结合点斜式直线 l 的方程如何? 直线方程的两点式 y ? y1

y2 ? y1

?

x ? x1 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) x2 ? x1

经过直线上两点 P1(x1,y1), P2(x2,y2)(其中 x1≠x2, y1≠y2 )的直线方程叫做直 线的两点式方程,简称两点式。

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小试身手: 写出过下列两点直线的 两点式方程: (1) P1(2,1),P2(0, ?3); (2)A(0,5), B(5,0)

讨论:1、两点式适用范围是什么? 答:当直线没有斜率或斜率为 0 时,不能用 2、若点 P 中有 x1 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 ) 什么? 例 1:求过 A(2,1), B(3, ?3) 两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式. 分析:直接代入两点式方程 解:

? x2 ,或 y1 ? y2 ,此时这两点的直线方程是

y ? (?3) x ? 3 ? 1 ? (?3) 2 ? 3

点斜式(y-1)=-4(x-2)

练习 :教材 P97 面 1 题 例 2:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0) ,与 y 轴的交点为 B(0,b) ,其中 a≠0,b ≠0 求 l 的方程 解析:说明(1)直线与 x 轴的交点(a,0)的横坐标 a 叫做直线在 x 轴的截距,此时直线 在 y 轴的截距是 b;

当直线 l 不经过原点时,其方程可以化为 其中

x y ? ? 1 ⑵, 方程⑵称 为直线的截距式方程, a b

直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b .

点评:截距式适用于横、纵截距都存在且都不为 0 的直线 变式:1.求过点 P(2, 3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程。 上题中改为求截距的绝对值相等的直线方程,结果如何?

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例 3:已知三角形的三个顶点 A(-5,0) ,B(3,-3) ,C(0,2)求 BC 所在直线的方 程,以及该边上中线所在直线的方程。 解:将 B,C 两点代入两点式,得

y ? (?3) x ? 3 ? 2 ? (?3) 0 ? 3

整理,得:5x+3y-6=0,这就是直线 BC 的方程。

x1 ? x 2 ? x ? ? ? 2 设 BC 的中点为 M(x,y) ,由中点坐标公式 ? ,得 y ? y 1 2 ?y ? ? 2 ?
3?0 ?3? 2 3 1 , ) ,即 M( ,? ) 2 2 2 2 y?0 x?5 中线 AM 所在的直线方程为: ,整理,得:x+13y+5=0 ? 1 3 ? ?0 ?5 2 2
M( 点评:其中考察了线段中点坐标公式,非常的常用,引起重视。

变式:求过点 P(2, 3),并且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距 2 倍的直线的方程。

(四)反馈测试
导学案当堂检测

㈤总 结反思、共同提高
我们已经学习了直线的两点式方程,那么,直线方程之间的区别与联系是什么?在下 一节课我们一起学习直线方程的最后一种形式。这节课后大家可以先预习这一部分,并完 成本节的课后练习及课后延伸拓展作业。 【板书设计】

一、直线的两点式方程的定义,形式 二、探究问题 三、典例 例一 例二 例三 (学生爬黑板展示变式练习)
【作业布置】 导学案课后练习与提高

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3.2.1 直线的两点式方程导学案

课前预习学案
一、 预习目标
通过预习同学们知道点斜式和两点式之间有很密切的联系, 用点斜式来解决两点确定一 条直线这个问题。如何得到的呢?特殊化后又得到另一种形式,截距式。明确他们的适用 范围?

二、 预习内容
思考 1:由一个点和斜率可以确定一条直线,还有别的条件可以确定一条直线吗?

问题: 已知直线 l 过 A(3,-5)和 B(-2,5),求直线 l 的方程 解:

上述直线方程在 x 轴,y 轴上的 截距分别是什么? 讨论回答

三、提出疑惑 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标
(1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围; (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 学习重点:直线方程两点式。 学习难点:两点式推导过程的理解。

二、学习过程(自主学习、合作探究、精讲点拨、有效训练)
思考 2:设 直线 l 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中 x1≠x2,y1≠y2,则直线 l
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斜率是什么?结合点斜式直线 l 的方程如何?

小试身手: 写出过下列两点直线的 两点式方程: (1) P1(2,1),P2(0, ?3); (2)A(0,5), B(5,0)

讨论:1、两点式适用 范围是什么? 答: 2、若点 P 中有 x1 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 ) 什么? 例 1:求过 A(2,1), B(3, ?3) 两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式.

? x2 ,或 y1 ? y2 ,此时这两点的直线方程是

练习:教材 P97 面 1 题 例 2:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0) ,与 y 轴的交点为 B(0,b) ,其中 a≠0,b ≠0 求 l 的方程 解析: 说 明(1)直线与 x 轴的交点(a,0)的横坐标 a 叫做直线在 x 轴的截距, 此时直线在 y 轴的截距是 b;

解:

变式:1.求过点 P(2, 3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程。 上题中改为求截距的绝对值相等的直线方程,结果如何? 2.求过点 P(2, 3),并且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距 2 倍的直线的方程。

例 3:已知三角形的三个顶点 A(-5,0) ,B(3,-3) ,C(0,2)求 BC 所在直线的方
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程,以及该边上中线所在直线的方程。

反思总结
直线的两点式是怎么来的,它的适用范围是什么? 经过特殊化后得到截距式,它的几何意义是什么。什么是截距。

当堂检测
1.

下 列 四 个 命 题 中 的 真题 命是 ( ) A.经 过 定 点0P (x0 ,y 0 )的 直 线 都 可 以 用 方 程 y? y 0 ? k(x ? x 0 )表 示 ; B.经 过 任 意 两 个 不 同 P1(x1,y 1 ), P2(x2 ,y 2 )的 点 的 直 线 都 可 以 用 方 程 (y ?y 1 )(x2 ? x1 ) ? (x ? x 1 )(y2 ? y 1 )表 示 ; x y C.不 经 过 原 点 的 直 线 都 可 以 用 方 程 ? ? 1表 示 ; a b D.经 过 定 点 的 直 线 都 可 以 用 y? kx ? b表 示 .

2 .求经过点 P(-5,4),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.

3.已知直线 l 经过点 P(1,2),并且点 A(2,3)和点 B(4,-5)到直线 l 的距离相等,求 直线 l 的方程.

4 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?

课后练习与提高
1、已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M 是 BC 边上 的中点。 (1)求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长(3)求 AB 边的高所在直线 方程。

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