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2016上海电影艺术职业学院自主招生数学模拟试题及答案


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2016 上海电影艺术职业学院自主招生语文模拟试题及答案
一、选择题:本大题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.复数 z1 ? 2 ? i, z 2 ? 1 ? i ,则 z1 ? z 2 在复平面内的对应点位于 ( ) B. 第二象限 C. 第三象限 D.

第四象限 ( )

A.第一象限

2. 设全集为 R , A ? ?x | x ? 3或x ? 5?, B ? ?x | ?3 ? x ? 3? ,则 A. C R A ? B ? R C. CR A ? CR B ? R 3.在 ?ABC 中, sin 2 A ? ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B. A ? C R B ? R D. A ? B ? R

1 ? 是 A ? 15 的 2

? 1 x ( ? ), x ? ?? 1,0? 4. 若函数 f ( x) ? ? 4 ,则 f (log4 3) ? x ?4 , x ? ?0,1? ?
( A. )

1 3

B. 3

C.

1 4

D. 4

5.两个平面 ? 与 ? 相交但不垂直,直线 m 在平面 ? 内,则在平面 ? 内 ( ) A.一定存在与直线 m 平行的直线 B.一定不存在与直线 m 平行的直线 C.一定存在与直线 m 垂直的直线 D.不一定存在与直线 m 垂直的直线

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? 1 ? 6.若 ? ? x?3 ? ? 的展开式中存在常数项,则 n 的值可以是 x? ?
( ) B.11 C.12 D. 14
n

A. 10

7. 函数 y ? f ( x) 的定义域是 ?? ?,??? ,若对于任意的正数 a ,函数

g ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x) 都是其定义域上的增函数,则函数 y ? f ( x) 的图象可能是(

)

A.

B.

C.

D.

8. 设函数 f ( x) 在定义域 D 上满足 f ? ? ? ?1 , f ( x) ? 0 ,且当 x, y ? D 时,

?1? ?2?

2 xn 1 ? x? y ? f ( x) ? f ( y ) ? f ? ? . 若数列 ?xn ? 中, x1 ? 2 , xn?1 ? 1 ? x 2 ( xn ? D , n ? 1 ? xy ?
n ? N ? ).则数列 ? f ( xn )? 的通项公式为
( A. )

f (x n)= 2n-1

B.

f (x n)=-2n-1

C. f (x n)=-3n+1

D.f (x n)=3n

第Ⅱ卷(共 110 分)
题号 一 1--8 分数 9 1 0 二 1 1 1 2 1 3 1 4 5 1 三 16 7 1 8 1 9 1 0 2 总分

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二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上。

? x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? 1) ? 9.已知函数 f ( x) ? ? ,在 x ? 1 处连续,则实数 a 的值为. x ?1 ( x ? 1 ) ? ? ax ? 1
10.已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则 为. 11.设向量 a ? (1,0),b ? (sin? , cos? ),0 ? ? ? ? , 则 a ? b 的最大值为 _________. 12.某考生打算从 7 所重点大学中选 3 所填在第一档次的 3 个志愿栏内,其中 A 校定 为第一志愿,再从 5 所一般大学中选 3 所填在第二档次的 3 个志愿栏内,其中

a1 ? a3 ? a9 的值 a 2 ? a 4 ? a10

B、C 校必选,且 B 在 C 前,问此考生共有种不同的填表方法(用数字作答).

13.已知点 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上除顶点外的任意一点, F1、F2 分别为左、右焦 a2 b2

点, c 为半焦距, ?PF 1 F2 的内切圆与 F1 F2 切于点 M ,则 F 1 M ? F2 M ? .

14.已知函数 f(x)的定义域为[-2,+∞),部分对应值如下表, f ?( x ) 为 f (x)的导函数, 函数 y ? f ?( x) 的图象如右图所示,若两正数 a,b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 值范围是 . -2

b?3 的取 a?3

y
0 -1 4 1

x f(x)

-2 1

O

x

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 4 cos
2

C 7 ? cos 2C ? , 2 2

a ? b ? 5, c ? 7 ,(I)求角 C 的大小;(II)求 ?ABC 的面积.

16.(本小题 12 分) 某次演唱比赛,需要加试综合素质测试,每位参赛选手需回答三个问题,组委会为 每位选手都备有 10 道不同的题目可供选择,其中有 6 道艺术类题目,2 道文学类题 目,2 道体育类题目。测试时,每位选手从给定的 10 道题中不放回地随机抽取三次, 每次抽取一道题,回答完该题后,再抽取下一道题目作答. (I)求某选手在三次抽取中,只有第一次抽到的是艺术类题目的概率; (II)求某选手抽到体育类题目数 ? 的分布列和数学期望 E? .

17.(本小题 14 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ? 棱 B1B 的中点. (I)证明: A1D ? 平面ADC ; (II)求异面直线 A1C 与 C1D 所成角的大小;

1 AA1 ? a , ?BAC ? 90? ,D 为 2
A1 C1 B1

D A C B

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(III)求平面 A1CD与平面ABC 所成二面角的大小(仅考虑 锐角情况).

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln(e x ? 1) ? ax (a ? 0) . (I)若函数 y ? f ( x) 的导函数是奇函数,求 a 的值; (II)求函数 y ? f ( x) 的单调区间.

19.(本小题满分 14 分) 已知 F1、F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,其左准线与 x 轴相 a2 b2

交于点 N,并且满足, F1 F2 ? 2NF1 , | F1 F2 |? 2. (1)求此椭圆的方程;(2)设

??? ? ??? ? 1 1 A、B 是这个椭圆上的两点,并且满足 NA ? ? NB, 当? ? [ , ] 时,求直线 AB 的斜 5 3

率的取值范围.

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20.(本小题满分 14 分)
? 已知数列 {an }(n ? N ),满足a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3, a4 ? 4, a5 ? 5.当n ? 5 时, 2 2 an?1 ? a1a2 ?an ? 1.若数列 {bn }(n ? N ? )满足bn ? a1a2 ?an ? a12 ? a2 ? ? ? an .

(Ⅰ)求 b5 ; (Ⅱ)求证: 当n ? 5时, bn?1 ? bn ? ?1 ;
2 2 2 (Ⅲ)求证:仅存在两个正整数 m ,使得 a1a2 ?am ? a1 ? a2 ? ? ? am .

参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.D 2.B 3.A 4 .B 5. C 6.A 7.A 8.B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 3 10.

13 16

11.2

12.270

13. b

2

14. ? , ?

?3 7? ?5 3?

三、解答题 15.(本小题 13 分) 解:① 4

1 ? cos C 7 ? 2 cos 2 C ? 1 ? 2 2

?

?

--------------------------

4分

4 cos2 C ? 4 cosC ? 1 ? 0
cos C ? C? 1 ,0 ? C ? ? 2
-------------------------6分

?
3

--------------------------- 7 分

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? 7?

2

? a 2 ? b 2 ? 2ab ?
2

1 2

---------------------------- 9 分

7 ? ?a ? b? ? 3ab
3ab ? 18, ab ? 6
------------------------11 分

s?

1 1 3 3 3 absin C ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

-------------------------- 13 分

16.(本小题 12 分) 解:(1)从 10 道不同的题目中不放回的随机抽取三次,每次只抽取 1 道题,抽 法总数为 C10C9C8 ,只有第一次抽到艺术类题目的抽法总数为 C6C4C3
1 1 1 1 1 1

?P ?

1 1 1 C6 C4C3 1 ? …………………………………………………………………(4 分) 1 1 1 C10C9C8 10

(2)抽到体育类题目数的可能取值为 0,1,2 则 P(? ? 0) ?
1 1 1 C8 C7C6 7 ? 1 1 1 C10C9C8 15

P(? ? 1) ?

1 1 1 1 C3 C2C8C7 7 ? 1 1 1 C10C9C8 15 1 1 1 C8 C3C2 1 ? ……………………………………………………………(8 分) 1 1 1 C10C9C8 15

P(? ? 2) ?

所以 ? 的分布列为:……………………………………………………………………(10 分)

?
P

0

1

2

7 15

7 15

1 15

从而有 E? ? 0 ?

7 7 1 3 ? 1? ? 2 ? ? …………………………………………(12 分) 15 15 15 5

17.(本小题 14 分)

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(I)证:? ?A1B1D和?ABD 都为等腰直角三角形

? ?A1DB1 ? ?ADB ? 45? ? ?A1DA ? 90? ,即 A1D ? AD ……………………………………………
又? (2 分)

CA ? AB ? CA ? 平面 A1 ABB1 ? ?? ? ? CA ? A1 D CA ? A1 A? A1 D ? 平面 A1 ABB1 ?
(4 分)

? A1D ? 平面ADC …………………………………………………………
(II)解:连 AC1 交 A1C 于 E 点,取 AD 中点 F,连 EF、CF,则 EF // C1D

? ?CEF 是异面直线 A1C 与 C1D 所成的角(或补角)…………………(5 分)

1 3 1 5 6 EF ? C1D ? a , CE ? A1C ? a , CF ? CA2 ? AF 2 ? a 2 2 2 2 2
在 ?CEF 中, cos?CEF ?

CE 2 ? EF 2 ? CF 2 15 ? …………………(8 分) 2CE ? EF 15

? ?CEF ? arccos

15 15 15 ……………………(9 分) 15

则异面直线 A1C 与 C1D 所成角的大小为 arccos (III)解:延长 A1D 与 AB 延长线交于 G 点,连接 CG 过 A 作 AH ? CG于H点 ,连 A1H ,

? A1 A ? 平面ABC ,? A1H ? CG (三垂线定理) A1 ? CG ? A 的平面角,即所求二面角的平面角…(10 分) 则 ?A1HA是二面角
在直角三角形 ACG 中,? AC ? a, AG ? 2a

? CG ? 5a,? AH ?

AC ? AG 2 5 ? a ………………………………(11 分) CG 5
A1 A ? 5 …………………… (13 分) AH

在直角三角形 A1 AH 中, tan ?A1HA ?

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??A1HA ? arctan 5 ,
即所求的二面角的大小为 arctan 5 ……………………………………… (14 分)

(18)(本小题共 13 分) 解:(I) f ?( x) ?
ex ? a, -------------------------(2 分) ex ?1
1 1 ? a ? 0 ,? a ? ---(4 分) 2 2

? f ?( x ) 是奇函数,? f ?(0) ?
(II) f ?( x) ?

ex (1 ? a )e x ? a ? a ? , ex ? 1 ex ? 1

①当 a ? 1 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,

? f ( x) 为 R 上的单调减函数;------------------------------(7 分)
②当 0 ? a ? 1 时,由 f ?( x) ? 0 得 (1 ? a)e x ? a ? 0

? ex ?

a a ? x ? ln ----(10 分) 1? a 1? a

? 当 x ? (ln

a ,?? ) 时, f ( x) 单调递增; 1? a a ) 时, f ( x) 单调递减;-------------(12 分) 1? a

当 x ? ( ?? , ln

综上:当 a ? 1 时, f ( x) 为 R 上的单调减函数; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (ln 在 ( ?? , ln
a ,?? ) 上单调递增; 1? a

a ) 上单调递减.-------------------(14 分) 1? a

19.(本小题共 14 分)

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解:(1)由于 F1 F2 ? 2NF1 , | F1 F2 |? 2 ,

?2c ?| F1 F2 |? 2, ? 2 ?a ? ? ? 1 ?| NF1 |? 1, (3 分) c ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ……………………………………
解得 ?
2 ? x2 ?a ? 2 ? y 2 ? 1. ,从而所求椭圆的方程为 2 ?b ? 1 2 ……………… ?

(5 分)

(2)? NA ? ? NB, ? A, B, N 三点共线,而点 N 的坐标为(-2,0). 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 其中 k 为直线 AB 的斜率,依条件知 k≠0.

? y ? k ( x ? 2), 1 ? 2 2 由 ? x2 消去 x 得 ( y ? 2) ? 2 y ? 2 , 2 k ? ? y ?1 ?2


2k 2 ? 1 2 4 y ? y ? 2 ? 0. (6 分) k k2 ………………………………

? 4 2 2k 2 ? 1 ? 0, ?? ? ( ) ? 8 ? 根据条件可知 ? k k2 ?k ? 0. ?
解得 0 ?| k |?

2 . 2 …………………………………………………………

(7 分)

4k ? y1 ? y 2 ? 2 , ? ? 2k ? 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则根据韦达定理,得 ? 2 ? y y ? 2k . 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?
又由 NA ? ? NB, 得( x1 ? 2, y1 ) ? ? ( x2 ? 2, y2 )

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? x1 ? 2 ? ? ( x2 ? 2), ?? ? y1 ? ?y 2 .
(1 ? ? ) 2

4k ? (1 ? ? ) y 2 ? 2 , ? ? 2k ? 1 从而 ? 2 ??y 2 ? 2k . 2 ? 2k 2 ? 1 ?
8
(10 分)

消去 y 2 得

?
(1 ? ? ) 2

?

. 2k ? 1 …………………………………………
2

令 ? (? ) ?

?

1 1 1 1 , ? ? [ , ], 任取 ? ?1 ? ?2 ? ,则 5 3 5 3

? (?1 ) ? ? (?2 ) ?
? (?1 ? ?2 )(1 ?

(1 ? ?1 ) 2

?1

?

(1 ? ?2 ) 2

?2

1

?1?2

) ? 0.

1 1 ? ? (? )是区间[ , ] 上的减函数,…………………………………………(12 分) 5 3
从而 ? ( ) ? ? (? ) ? ? ( ) , 即

1 3

1 5

16 36 ? ? (? ) ? , 3 5 16 8 36 ? 2 ? , 3 2k ? 1 5

?

解得 ?

1 2 2 1 2 ?k?? 或 ? k ? , 适合0 ?| k |? . 2 6 6 2 2 1 2 2 2 1 ]?[ , ]. 6 6 2
(14 分)

因此直线 AB 的斜率的取值范围是 [? ,?

20.(本小题满分 14 分) (I)解:b5=1× 2× 3× 4× 5-12-22-32-42-52=65.…………………………4 分
2 2 2 ? ? ? an ? an (II)证明: bn?1 ? a1a2 ?an an?1 ? a12 ? a2 ?1

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2 2 ? ? ? an ? (a1a2 ?an ? 1) 2 = a1a2 ?an (a1a2 ?an ? 1) ? a12 ? a2
2 2 = a1a2 ?an ? a12 ? a2 ? ? ? an ? 1 ? bn ? 1(n ? 5)

? bn?1 ? bn ? ?1(n ? 5) .…………………………………………9 分
(III)解:易算出 b1=0,b2≠0,b3≠0, b4≠0,…………………………………………11 分 当 n≥5 时,bn+1=bn-1,这表明{bn}从第 5 项开始,构成一个以 b5=65 为首项, 公差为-1 的等差数列. 由 bm=b5+(m-5)× (-1)=65-m+5=0,解出 m=70.…………………………13 分
2 2 2 因此,满足 a1a2…am= a1 ? a2 ? ? ? am 的正整数只有两个;

m=70 或 m=1.……………………………………………………………………14 分


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