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几何证明选讲【教师版】


人教(A)版选修 4-1《几何证明选讲》综合复习
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作 圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =( ) A. 15? B. 30? C. 45? D. 60? 【解析】由弦切

角定理得 ?DCA ? ?B ? 60? ,又 AD ? l ,故 ?DAC ? 30? , 第 1 题图 故选B. 2.在 Rt ?ABC 中, CD 、 CE 分别是斜边 AB 上的高和中线,是该图中共有 x 个三角形与 ?ABC 相似,则 x ? ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】2 个: ?ACD 和 ?CBD ,故选 C. 3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为 12 cm 和 18 cm 两段,另一弦被分为 3: 8 ,则另一弦的长 为( ) A. 11cm B. 33cm C. 66cm D. 99cm 【解析】设另一弦被分的两段长分别为 3k ,8k (k ? 0) ,由相交弦定理得 3k ? 8k ? 12 ?18 ,解得 k ? 3 ,故所求弦长为 3k ? 8k ? 11k ? 33 cm .故选 B. A AB BC AC 5 ? ? ? ,若 ?ABC 与 4.如图,在 ?ABC 和 ?DBE 中, DB BE DE 3 D B ?DBE 的周长之差为 10cm ,则 ?ABC 的周长为( C ) 25 50 E A. 20 cm B. C. D.25 cm cm cm 第 4 题图 4 3 【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案 D. 22 5. ? O 的割线 PAB 交 ? O 于 A, B 两点,割线 PCD 经过圆心,已知 PA ? 6, PO ? 12, AB ? , 3 则 ? O 的半径为( ) A.4 B. 6 ? 14 C. 6 ? 14 D.8 22 【解析】设 ? O 半径为 r ,由割线定理有 6 ? (6 ? ) ? (12 ? r )(12 ? r ) ,解得 r ? 8 .故选 D. 3 6.如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD ? AB 于点 D , 且 AD ? 3DB ,设 ?COD ? ? ,则 tan 2 A.
1 3

?
2

=(

) D. 3
第 6 题图

B.

1 4

C. 4 ? 2 3

【解析】设半径为 r ,则 AD ?
tan 2

?

3 1 ? 3 r , BD ? r ,由 CD2 ? AD ? BD 得 CD ? r ,从而 ? ? ,故 2 2 3 2

1 ? ,选 A. 2 3

7.在 ?ABC 中, D, E 分别为 AB, AC 上的点,且 DE // BC , ?ADE 的面积是 2cm 2 ,梯形 DBCE 的面积为 6cm 2 ,则 DE : BC 的值为(


)
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A. 1: 3 B. 1 : 2 C. 1 : 3 D. 1 : 4 【解析】 ?ADE ? ?ABC ,利用面积比等于相似比的平方可得答案 B. 8.半径分别为 1 和 2 的两圆外切,作半径为 3 的圆与这两圆均相切,一共可作( )个. A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】一共可作 5 个,其中均外切的 2 个,均内切的 1 个,一外切一内切的 2 个,故选 D. 9.如图甲,四边形 ABCD 是等腰梯形, AB // CD .由 4 个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形, 则四边形 ABCD 中 ? A 度数为 ( )
第 9 题图 A. 30? B. 45? C. 60? D. 75? 【解析】 6?A ? 360? ,从而 ?A ? 60? ,选 A. 10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠 压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑 直径为 10mm,若所用钢珠的直径为 26 mm,则凹坑深度为( ) A.1mm B.2 mm C.3mm D.4 mm 2 2 2 【解析】依题意得 OA ? AM ? OM ,从而 OM ? 12mm , 故 CM ? 13 ? 12 ? 1mm ,选 A. 第 10 题图 ??? 2 ??? 1 ???? ???? 2 ??? ? ? ? ? 1 ??? 11.如图,设 P, Q 为 ?ABC 内的两点,且 AP ? AB ? AC , AQ = AB + AC ,则 ?ABP 5 5 3 4

的面积与 ?ABQ 的面积之比为(
1 A. 5

C

)
Q P A B

4 1 1 B. C. D. 5 4 3 ??? ???? ???? ? ? ???? 2 ??? ???? 1 ???? ? ? 【解析】如图,设 AM ? AB , AN ? AC ,则 AP ? AM ? AN . 5 5 ???? 1 ?ABP AN ? ???? = , 由平行四边形法则知 NP // AB ,所以 5 ?ABC AC

第 11 题图
C

Q N P M B

同理可得

?ABQ 1 ?ABP 4 ? .故 ? ,选 B. ?ABC 4 ?ABQ 5

A

12.如图,用与底面成 30? 角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的 离心率为 ( ) A.
1 2

B.

3 3

C.

3 2

D.非上述结论
第 12 题图

【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,考虑椭 1 圆所在平面与底面成 30? 角,则离心率 e ? sin 30? ? .故选 A. 2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的 截面形状是________【解析】圆;圆或椭圆. 14.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=720,⊙O 过 A、 两点且与 BC 相切于点 B,与 AC 交 B
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A

于点 D,连结 BD,若 BC= 5 ? 1 ,则 AC= 【解析】由已知得 BD ? AD ? BC ,
O? D B C

BC 2 ? CD ? AC ? ( AC ? BC)?AC ,解得 AC ? 2 .
15.如图, AB 为 ? O 的直径,弦 AC 、 BD 交于点 P ,
第 14 题图

若 AB ? 3, CD ? 1 ,则 sin ?APD = AD 【解析】连结 AD ,则 sin ?APD ? ,又 ?CDP ? ?BAP , 第 15 题图 AP PD CD 1 ? ? , 从而 cos ?APD R PA BA 3 30 1 2 2 所以 sin ?APD ? 1 ? ( )2 ? . 135 3 3 180 16.如图为一物体的轴截面图,则图中 R 的值 第 16 题图 是 30 【解析】由图可得 R 2 ? ( ) 2 ? (180 ? 135 ? R) 2 ,解得 R ? 25 . 2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 如图: EB, EC 是 ? O 的两条切线, B, C 是切点, A, D 是 ? O 上两点,如果 ?E ? 46?, ?DCF ? 32? ,试求 ? A 的度数. 【解析】连结 OB, OC , AC ,根据弦切角定理,可得 1 ?A ? ?BAC ? ?CAD ? (180? ? ?E ) ? ?DCF ? 67? ? 32? ? 99? . 第 17 题图 2 18.(本小题满分 12 分) E 如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P , F B E 为⊙O 上一点, ? ? ? , DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2 BP ? 4 , A AE AC 求 PF 的长度. 【解析】连结 OC , OD, OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件 ? ? ? 可得 ?CDE ? ?AOC ,又 ?CDE ? ?P ? ?PFD , AE AC
O C D

P

第 18 题图
E

PF PD ?AOC ? ?P ? ?C ,从而 ?PFD ? ?C ,故 ?PFD ? ?PCO ,∴ ? , F B PC PO A O D PC ? PD 12 C ? ?3. 由割线定理知 PC ? PD ? PA ? PB ? 12 ,故 PF ? PO 4 19.(本小题满分 12 分) E 已知:如右图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC, D A AB=DC,过点 D 作 AC 的平行线 DE,交 BA 的延长线于 点 E.求证:(1)△ABC≌△DCB (2)DE·DC=AE·BD. B 【解析】证明:(1) ∵四边形 ABCD 是等腰梯形,∴AC=DB 第 19 题图 ∵AB=DC,BC=CB,∴△ABC≌△BCD (2)∵△ABC≌△BCD,∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB ∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC
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P

C

3

∵ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC ∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB ∴△ADE∽△CBD ∴DE:BD=AE:CD, ∴DE·DC=AE·BD. 20.(本小题满分 12 分) 如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,P 为 AD 上一点,CF∥AB,BP 延长线交 AC、CF 于 E、F,求证: PB 2 =PE?PF. 【解析】连结 PC ,易证 PC ? PB, ?ABP ? ?ACP ∵ CF // AB ∴ ?F ? ?ABP ,从而 ?F ? ?ACP 又 ?EPC 为 ?CPE 与 ?FPC 的公共角, CP PE 解答用图 ? 从而 ?CPE ? ?FPC ,∴ ∴ PC 2 ? PE ? PF 第 20 题图 FP PC 又 PC ? PB , ∴ PB 2 ? PE ? PF ,命题得证. E 21.(本小题满分 12 分) A 如图, A 是以 BC 为直径的 ? O 上一点, AD ? BC 于点 D , F 过点 B 作 ? O 的切线,与 CA 的延长线相交于点 E,G 是 AD G 的中点,连结 CG 并延长与 BE 相交于点 F , C 延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P . P B D O BF ? EF ; (1)求证: (2)求证: PA 是 ? O 的切线; (3)若 FG ? BF ,且 ? O 的半径长为 3 2 ,求 BD 和 FG 的长度. 第 21 题图 【解析】(1)证明:∵ BC 是 ? O 的直径, BE 是 ? O 的切线, E ∴ EB ? BC .又∵ AD ? BC ,∴ AD ∥ BE . A 易证 △BFC ∽△DGC , △FEC ∽△GAC . F BF CF EF CF BF EF H ∴ ? , ? ? .∴ . G DG CG AG CG DG AG ∵ G 是 AD 的中点,∴ DG ? AG .∴ BF ? EF . P C B D O (2)证明:连结 AO,AB .∵ BC 是 ? O 的直径,∴ ?BAC ? 90° . 在 Rt△BAE 中,由(1) ,知 F 是斜边 BE 的中点, ∴ AF ? FB ? EF .∴ ?FBA ? ?FAB .又∵ OA ? OB ,∴ ?ABO ? ?BAO . ∵ BE 是 ? O 的切线,∴ ?EBO ? 90° . ∵ ?EBO ? ?FBA ? ?ABO ? ?FAB ? ?BAO ? ?FAO ? 90° ,∴ PA 是 ? O 的切线. (3)解:过点 F 作 FH ? AD 于点 H .∵ BD ? AD,FH ? AD ,∴ FH ∥ BC . 由(1),知 ?FBA ? ?BAF ,∴ BF ? AF . 由已知,有 BF ? FG ,∴ AF ? FG ,即 △ AFG 是等腰三角形. HG 1 ∵ FH ? AD ,∴ AH ? GH .∵ DG ? AG ,∴ DG ? 2 HG ,即 ? . DG 2 ∵ FH ∥ BD,BF ∥ AD,?FBD ? 90° ,∴ 四边形 BDHF 是矩形, BD ? FH . FH FG HG BD FG HG 1 ∵ FH ∥ BC ,易证 △HFG ∽△DCG .∴ ? ? ? ? ? . ,即 CD CG DG CD CG DG 2 BD BD BD 1 ∵ ? O 的半径长为 3 2 ,∴ BC ? 6 2 .∴ ? ? ? . CD BC ? BD 6 2 ? BD 2 FG HG 1 1 ? ? ,∴ FG ? CG .∴CF ? 3FG . 解得 BD ? 2 2 .∴ BD ? FH ? 2 2 .∵ CG DG 2 2
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在 Rt△FBC 中,∵CF ? 3FG , BF ? FG ,由勾股定理,得 CF 2 ? BF 2 ? BC 2 . . ∴(3FG)2 ? FG2 ? (6 2)2 .解得 FG ? 3 (负值舍去) ∴ FG ? 3 . [或取 CG 的中点 H ,连结 DH ,则 CG ? 2HG .易证 △ AFC ≌△DHC ,∴ FG ? HG , CD CG 2 FG 2 CF B ∴ ? ? ? . 故 CG ? 2 FG , ? 3FG . G ∥ , 由 D F 易知 △CDG ∽△CBF , CB CF 3FG 3 6 2 ? BD 2 由 ? ,解得 BD ? 2 2 .又在 Rt△CFB 中,由勾股定理,得 3 6 2 2 2 . (3FG) ? FG ? (6 2)2 ,∴ FG ? 3 (舍去负值)] 22.(本小题满分 14 分) AC BC ? 如图 1,点 C 将线段 AB 分成两部分,如果 ,那么称点 C 为线段 AB 的黄金分 . AB AC 割点.某研究小组在进行课题学习时, 由黄金分割点联想到 “黄金分割线” 类似地给出 , “黄 金分割线” 的定义:直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为 S1 , S2 , S S 如果 1 ? 2 ,那么称直线 l 为该图形的黄金分割线. S S1 (1)研究小组猜想:在 △ ABC 中,若点 D 为 AB 边上的黄金分割点(如图 2),则直线 CD 是 △ ABC 的黄金分割线.你认为对吗?为什么? (2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线? (3)研究小组在进一步探究中发现:过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E ,再过点 D 作直 线 DF ∥ CE ,交 AC 于点 F ,连接 EF (如图 3),则直线 EF 也是 △ ABC 的黄金分割线.请你 说明理由. (4)如图 4, E 是 ? ABCD 的边 AB 的黄金分割点, 点 过点 E 作 EF ∥ AD , DC 于点 F , 交 显然直线 EF 是 ? ABCD 的黄金分割线.请你画一条 ? ABCD 的黄金分割线,使它不经过 ? ABCD 各边黄金分割点.

第 22 题图 【解析】(1)直线 CD 是 △ ABC 的黄金分割线.理由如下:设 △ ABC 的边 AB 上的高为 h . 1 1 1 S AD S△BDC BD S△ ADC ? AD?h , S△ BDC ? BD?h , S△ ABC ? AB ?h ,所以 △ ADC ? , ? 2 2 2 S△ ABC AB S△ ADC AD AD BD S S ? 又因为点 D 为边 AB 的黄金分割点,所以有 .因此 △ ADC ? △ BDC . AB AD S△ ABC S△ ADC 所以,直线 CD 是 △ ABC 的黄金分割线. 1 s s (2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时 s1 ? s2 ? s ,即 1 ? 2 , 所 2 s s1 以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线. (3)因为 DF ∥ CE ,∴ △DEC 和 △FCE 的公共边 CE 上的高也相等,所以有 S△DEC ? S△FCE 设直线 EF 与 CD 交于点 G .所以 S△DGE ? S△FGC .所以 S△ADC ? S四边形AFGD ? S△FGC

? S四边形AFGD ? S△DGE ? S△AEF , S△BDC ? S四边形BEFC .
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5

C C S S S S 又因为 △ ADC ? △ BDC ,所以 △ AEF ? 四边形BEFC . G S△ ABC S△ ADC S△ ABC S△ AEF A E M B A E M B 因此,直线 EF 也是 △ ABC 的黄金分割线. (第 22 题答图 1) (第 22 题答图 2) (4)画法不惟一,现提供两种画法; 画法一: 如答图 1, EF 的中点 G , 取 再过点 G 作一条直线分别交 AB , DC 于 M , N 点, 则直线 MN 就是 ? ABCD 的黄金分割线. 画法二:如答图 2,在 DF 上取一点 N ,连接 EN ,再过点 F 作 FM ∥ NE 交 AB 于点 M , 连接 MN ,则直线 MN 就是 ? ABCD 的黄金分割线.

DN F

DN F



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