初高中数学衔接知识(因式分解)

2013年7月8日星期一

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它 与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方 程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要 的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的 提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公 式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相 乘法、分组分解法、配方法、拆(添)项法等等．

2013年7月8日星期一

一、公式法(立方和、立方差公式)

a 3 ? b3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) a 3 ? b3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )

两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘 以它们的平方和与它们积的差(和)．
【例1】因式分解：
(1) 8 ? x 3 (2) 0.125 ? 27b 3 解 : (1) 8 ? x 3 ? 23 ? x 3 ? ( 2 ? x )( 4 ? 2 x ? x 2 ).

( 2) 0.125 ? 27b3 ? 0.53 ? (3b)3 ? (0.5 ? 3b)[0.52 ? 0.5 ? 3b ? (3b)2 ] ? (0.5 ? 3b)(0.25 ? 1.5b ? 9b 2 ).

2013年7月8日星期一

一、公式法(立方和、立方差公式)

【例2】因式分解：
(1) 3a 3b ? 81b4 (2) a 7 ? ab6

解 : (1) 3a 3b ? 81b4 ? 3b(a 3 ? 27b 3 ) ? 3b(a ? 3b)(a 2 ? 3ab ? 9b 2 ).

(2) a 7 ? ab6 ? a(a 6 ? b6 ) ? a(a 3 ? b 3 )(a 3 ? b 3 ) ? a(a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )(a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a(a ? b)(a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )(a 2 ? ab ? b 2 ). 或a 7 ? ab6 ? a(a 6 ? b6 ) ? a(a 2 ? b 2 )(a 4 ? a 2b 2 ? b 4 ) ? a(a 2 ? b 2 )[(a 2 ? b 2 )2 ? a 2b 2 ] ? a(a ? b)(a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )(a 2 ? ab ? b 2 ).

2013年7月8日星期一

二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的 多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上 的多项式，如 ma ? mb ? na ? nb 既没有公式可用，也 没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组 处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分 解法．分组分解法的关键在于如何分组．
2 【例3】因式分解： ax ?10ay ? 5by ? bx 说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续 完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也 可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不 妨一试．

解 : 2ax ?10ay ? 5by ? bx ? 2a( x ? 5 y ) ? b( x ? 5 y ) ? ( x ? 5 y )(2a ? b).
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二、分组分解法

2 【例4】因式分解： ax ?10ay ? 5by ? bx
解 : ab(c 2 ? d 2 ) ? (a 2 ? b 2 )cd ? abc 2 ? abd 2 ? a 2cd ? b 2cd ? (abc 2 ? a 2cd ) ? (b 2cd ? abd 2 ) ? ac(bc ? ad ) ? bd (bc ? ad ) ? (bc ? ad )(ac ? bd ).

2 【例5】因式分解： ax ?10ay ? 5by ? bx
解 : 2 x 2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 8z 2 ? 2( x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 4 z 2 ) ? 2[( x ? y )2 ? ( 2 z )2 ] ? 2( x ? y ? 2 z )( x ? y ? 2 z ).

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三、十字相乘法
1． x2 ? ( p ? q) x ? pq 型的因式分解
x 2 ? ( p ? q ) x ? pq ? x 2 ? px ? qx ? pq ? x( x ? p) ? q( x ? p) ? ( x ? p)( x ? q )
x 2 ? ( p ? q ) x ? pq ? ( x ? p )( x ? q )

【例6】因式分解：(1)x 2 ? 7 x ? 6
(2)x 2 ? 13 x ? 36 ? ( x ? 4)( x ? 9).

(2)x 2 ? 13 x ? 36

解 : (1)x 2 ? 7 x ? 6 ? [ x ? ( ?1)][ x ? ( ?6)] ? ( x ? 1)( x ? 6).

(1) 【例7】因式分解： x 2 ? xy ? 6 y 2 (2)( x 2 ? x )2 ? 8( x 2 ? x ) ? 12 解 : (1)x 2 ? xy ? 6 y 2 ? x 2 ? yx ? 62 ? ( x ? 3 y )( x ? 2 y ). (2)( x 2 ? x )2 ? 8( x 2 ? x ) ? 12 ? ( x 2 ? x ? 6)( x 2 ? x ? 2) ? ( x ? 3)( x ? 2)( x ? 2)( x ? 1).
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三、十字相乘法
2．一般二次三项式 ax 2 ? bx ? c 型的因式分解
大家知道， (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ? a1a2 x 2 ? (a1c2 ? a2 c1 ) x ? c1c2 ． 反过来，就得到： a1a2 x 2 ? (a1c2 ? a2 c1 ) x ? c1c2 ? (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) 我们发现，二次项系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解成 c1c2 ，把 a1 , a2 , c1 , c2 写成 a1 a2
c ?c12 ，这里按

2 斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2 ? a2 c1 ，那么 ax ? bx ? c 就可以分解成 (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

【例8】因式分解：(1)12 x 2 ? 5 x ? 2
解 : (1)12 x ? 5 x ? 2 ? (3 x ? 2)( 4 x ? 1).
2

(2)5x 2 ? 6 xy ? 8 y 2
3 4 1 5

? ?

?2 1 2 ?4
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( 2)5 x 2 ? 6 xy ? 8 y 2 ? ( x ? 2 y )(5 x ? 4 y ).

三、十字相乘法 【例9】因式分解：
(1)( x 2 ? 2 x ) ? 7( x 2 ? 2 x ) ? 8 (2)x 2 ? 2 x ? 15 ? ax ? 5a

分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有 时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的 多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项 可以三、二组合.
解 : (1)原式 ? ( x 2 ? 2 x ? 1)( x 2 ? 2 x ? 8).

(2)原式 ? ( x 2 ? 2 x ? 15) ? ( ax ? 5a ) ? ( x ? 3)( x ? 5) ? a( x ? 5) ? ( x ? 5)( x ? 3 ? a ).
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四、配方法
( 【例10】因式分解：1)x 2 ? 6 x ? 16 (2)x 2 ? 4 xy ? 4 y 2

解 : (1)x 2 ? 6 x ? 16 ? ( x ? 3)2 ? 52 ? ( x ? 8)( x ? 2). (2)x 2 ? 4 xy ? 4 y 2 ? ( x 2 ? 4 xy ? 4 y 2 ) ? 8 y 2

? ( x ? 2 y )2 ? 8 y 2 ? ( x ? 2 y ? 2 2 y )( x ? 2 y ? 2 2 y ).

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法， 配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差 公式分解．
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五、拆(添)项法 【例11】因式分解： x3 ? 3 x 2 ? 4
解 : x 3 ? 3 x 2 ? 4 ? ( x 3 ? 1) ? (3 x 2 ?3) ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) ? 3( x ?1)( x ?1) ? ( x ? 1)[( x 2 ? x ?1) ?3( x ?1)]

? ( x ? 1)( x 2 ? 4 x ? 4) ? ( x ? 1)( x ? 2)2 .

说明：一般地，因式分解，可按下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组 分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解； (3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分 解为止．
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