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2016-2017年《金版学案》数学·必修2(苏教版)练习:第2章2.2-2.2.3圆与圆的位置关系 Word版含解析


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第2章

平面解析几何初步 圆与方程

2.2 2.2.3

圆与圆的位置关系
A级 基础巩固 )

1. 两圆 x2+y2=9 和 x2+y2-8x+6y+9=0 的位置关系是( A.相离 B.相交 C.内切 D.外切

解析:圆 C1:x2+y2=9 的圆心为 C1(0,0),半径长为 r1=3; 圆 C2:x2+y2-8x+6y+9=0 化为(x-4)2+(y+3)2=16, 圆心为 C2(4,-3),半径长为 r2=4, 圆心距|C1C2|= 42+(-3)2=5. 因为|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2=3+4,所以两圆相交. 答案:B 2.已知 0<r< 2+1,则两圆 x2+y2=r2 与(x-1)2+(y+1)2=2 的 位置关系是( A.外切 ) B.相交 C.外离 D.内含

解析:设圆(x-1)2+(y+1)2=2 的圆心为 O′,则 O′(1,-1). 圆 x2+y2=r2 的圆心 O(0,0), 两圆的圆心距离 dOO′= 12+(-1)2= 2.

显然有|r- 2|< 2< 2+r.所以两圆相交. 答案:B 3. 两圆 x2+y2-6x+16y-48=0 与 x2+y2+4x-8y-44=0 的公 切线条数为(
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)

A.4 B.3 C.2 D.1

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解析:⊙O1 为(x-3)2+(y+8)2=121,O1(3,-8),r=11, ⊙O2 为(x+2)2+(y-4)2=64,O2(-2,4),R=8, 所以|O1O2|= (3+2)2+(-8-4)2=13. 所以 r-R<|O1O2|<R+r. 所以两圆相交.所以公切线有 2 条. 答案:C 4.(2014· 湖南卷)若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y +m=0 外切,则 m=( )

A.21 B.19 C.9 D.-11 解析:将圆 C2 的方程化为标准方程,利用圆心距等于两圆半径 之和求解. 圆 C2 的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25-m. 又圆 C1:x2+y2=1,所以|C1C2|=5. 又因为两圆外切,所以 5=1+ 25-m,解得 m=9. 答案:C 5.半径长为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x2+(y-3)2=1 内切, 则此圆的方程为( )

A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x± 4)2+(y-6)2=6 C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x± 4)2+(y-6)2=36 解析:因为半径长为 6 的圆与 x 轴相切,设圆心坐标为(a,b), 则 b=6. 再由 a2+32=5,可以解得 a=± 4, 故所求圆的方程为(x± 4)2+(y-6)2=36.
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答案:D 6. 圆 x2+y2=50 与圆 x2+y2-12x-6y+40=0 公共弦长为( A. 5 B. 6 C.2 5 D.2 6 )

解析:x2+y2=50 与 x2+y2-12x-6y+40=0 作差,得两圆公共 弦所在的直线方程为 2x+y-15=0,圆 x2+y2=50 的圆心(0,0)到 2x+y-15=0 的距离 d=3 5, 因此,公共弦长为 2 (5 2)2-(3 5)2=2 5. 答案:C 7.若圆 C1:x2+y2+m=0 与圆 C2:x2+y2-6x+8y=0 没有公 共点,则实数 m 的取值范围是________. 解析:因为圆 C1 以原点为圆心,而圆 C2 过原点,所以两圆无公 共点必有圆 C2 内含于圆 C1,从而-m>100,即 m<-100. 答案:(-∞,-100) 8. 圆 x2+y2-2x-1=0 关于直线 x-y+3=0 对称的圆的方程是 ________. 解析:已知圆方程为(x-1)2+y2=2, 则该圆圆心关于直线 x-y+3=0 的对称点为(-3,4),半径也 是 2. 答案:(x+3)2+(y-4)2=2 9.过两圆 x2+y2-x-y-2=0 与 x2+y2+4x-4y-8=0 的交点 和点(3,1)的圆的方程是________. 解析:设所求圆方程为(x2+y2-x-y-2)+λ(x2+y2+4x-4y- 8)=0, 2 又过点(3,1)代入求出 λ=- . 5
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答案:x2+y2-

13 x+y+2=0 3

10. 两圆 x2+y2-4x+2y+1=0 与 x2+y2+4x-4y-1=0 的公切 线有________条. 解析:易判知两圆相外切,故有 3 条公切线. 答案:3 11.已知圆 C1:x2+y2+4x-4y-1=0 与圆 C2:x2+y2-2x+2y -7=0 相交于 A,B 两点,求公共弦 AB 的长.
2 2 ? ?x +y +4x-4y-1=0, 解:由方程? 2 2 消去二次项得 6x-6y+6= ?x +y -2x+2y-7=0, ?

0,即 x-y+1=0 为所求的公共弦 AB 所在的直线的方程. 圆 C1 即:(x+2)2+(y-2)2=9, 所以 C1(-2,2)到直线 AB 的距离 d= 又圆 C1 半径 r=3,故弦长|AB|=2 B级 |-2-2+1| 3 = 2 2 32 3 - =3 2. 2
2

.

能力提升

12.点 P 在圆 C1:x2+y2-8x-4y+11=0 上,点 Q 在圆 C2:x2 +y2+4x+2y+1=0 上,则|PQ|的最小值是( A.5 C.3 5-5 B.1 D.3 5+5 )

解析:圆 C1:x2+y2-8x-4y+11=0,即(x-4)2+(y-2)2=9, 圆心为 C1(4,2);圆 C2:x2+y2+4x+2y+1=0,即(x+2)2+(y+1)2 =4,圆心为 C2(-2,-1),两圆相离,|PQ|的最小值为|C1C2|-(r1+ r2)=3 5-5. 答案:C 13.若直线 mx+2ny-4=0 始终平分圆 x2+y2-4x-2y+4=0
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的周长,则 mn 的最大值是________. 解析: 由直线 mx+2ny-4=0 始终平分圆 x2+y2-4x-2y+4=0 的周长,知直线过圆的圆心(2,1),所以 2m+2n-4=0,m+n=2. 所以 mn=m(2-m)=-(m-1)2+1≤1. 答案:1 14.一束光线从点 A(-1,1)出发经 x 轴反射,到达圆 C:(x- 2)2+(y-3)2=1 上一点的最短路程是________. 解析:圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1. 关于 x 轴的对称圆 C′:(x-2)2+(y+3)2=1. 所以 A(-1,1)到 C′的圆心 C′(2,-3)的距离|AC′|=5. 所以从 A 发出的光线经 x 轴反射到圆 C 上一点的最短距离等于 A 到圆 C′的圆心 C′的距离减去半径长 1.即 dmin=5-1=4. 答案:4 15.求圆 C1:x2+y2+2kx+k2-1=0 与圆 C2:x2+y2+2(k+1)y +k2+2k=0 的圆心距的最小值及相应的 k 值,并指出此时两圆的位 置关系. 解:两圆的圆心 C1(-k,0),C2(0,-k-1), 所以圆心距|C1C2|= k2+(k+1)2= 2k2+2k+1, 1 2 当 k=- 时,C1C2 有最小值 . 2 2
? 1? 此时,两圆的方程为 C1:?x-2? +y2=1, ? ? ? 1? C2:x +?y+2? =1,由|r1-r2|<d<r1+r2,可知两圆相交. ? ?
2 2 2

16.已知两定圆 O1:(x-1)2+(y-1)2=1,圆 O2:(x+5)2+(y+ 3)2=4, 动圆 P 恒将两定圆的周长平分. 试求动圆圆心 P 的轨迹方程.
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解: 设动圆 P 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 即 x2+y2-2ax-2by +a2+b2-r2=0. 将此方程分别与圆 O1,圆 O2 的方程相减得公共弦所在的直线方 程为:(2-2a)x+(2-2b)y+a2+b2-r2-1=0.(10+2a)x+(6+2b)y+ 30-a2-b2+r2=0.由于圆 P 平分两定圆的周长,所以公共弦分别过 两圆圆心,从而有:
?-2a-2b+3+a2+b2=r2, ? ? 2 2 2 ? ?10a+6b+a +b +38=r .

消去 r2 得:12a+8b+35=0. 用(x,y)替换(a,b),得点 P 的轨迹方程为:12x+8y+35=0.

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