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四川省雅安中学高二数学下学期期中试题 文-课件


雅安中学 2015--2016 学年高二下期半期考试 数学试题(文科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题:60 分) 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 1、设集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 0} , B ? {x | ? 2 ? x ? 2}

,则 A ? B ? (

)

A.?x | 2 ? x ? 3?

B.?x | ?2 ? x ? 0?

C.?x | 0 ? x ? 2?
) B.任意 x∈R,sinx≥1

D.?x | ?2 ? x ? 3?

2、已知命题 p:? x∈R,sinx≤1,则它的否定是( A.存在 x∈R,sinx≥1 C.任意 x∈R,sinx>1 3、已知

D.存在 x∈R,sinx>1 )

a ? 2i ? b ? i (a, b ? R) ,其中 i 为虚数单位,则 a2 + b2 =( i
D.7

A.4 B.5 C. 6 4、已知集合 A={﹣1,0,1},则( ) 2 3 A.1+i∈A B.1+i ∈A C.1+i ∈A 2 5、已知函数 y=x cosx,则 y′=( ) 2 2 A.2xcosx -x sinx B.2xcosx+x sinx C.2xsinx 6、将圆 x +y =1 变换为椭圆的伸
2 2

D.1+i ∈A D.-2xsinx )

4

x?2 y ?2 ? ? 1 缩变换公式为( 4 9

? ? 1 x ? x ? ? 2 A. ? ? y? ? 1 y ? 3 ?
3

? x? ? 3 x B. ? ? y? ? 2 y

? x? ? 2 x C. . ? ? y? ? 3 y

? ? 1 x ? x ? ? 3 D. ? ? y? ? 1 y ? ? 2

7、曲线 y=x ﹣2x+1 在点 (1, 0) 处的切线方程为(



A.y=x﹣1 B.y=x+1 C.y=﹣3x+1 D.y=3x﹣1 8、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如 图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,按此规律,第 7 幅图的蜂巢总数为( )

A.61 9 、 函 数 f ( x) ?

B.90

C.91

D.127

1 3 1 2 ax ? bx ? cx ? d 的 图 像 如 图 所 示 , 设 3 2
1

? ( x) ? ax2 ? bx ? c ? d ,则下列结论成立的是(
A. ? (1) ? 0 C. ? (1) ? 0 B. ? (1) ? 0 D. ? (1) ? 0

)

10、若函数f ( x) ? x3 +ax ? 2在区间?1 , +?? 上是增函数,则参数a的取值范围为
( )

A.[3, ??)

B.(??, 3)

C.[?3, ??)

D.(??, ?3)

11、已知函数 f(x)、g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且 f ′(x)<g ′ (x), 则 f(x)-g(x)的最大值为( A.f(a)-g(a) ) C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)

B.f(b)-g(b)

12、已知函数f ( x)是定义在R上的奇函数, 当x ? 0时. f ( x) ? ex ( x ?1),给出下列命题
① 当x ? 0时, f ( x) ? e x (1 ? x) ; ② f ( x) ? 0的解集是(?1,0) ? (1, ??) ③函数 f(x)有两个零点; ④ ?x1 , x2 ? R, 都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 其中真命题的序号是( A.①③ ) C .③④ D.②④

B.①②

第Ⅱ卷(非选择题:90 分) 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13、已知虚数 z 满足 2 z ? z ? 1 ? 9i ,则 z = .

14、圆( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4

的圆心的极坐标是_______ .

15、 已知命题 p : ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 , 命题 q : ?3 ? x ? a ? 4 , 且 p 是 q 的充分而不必要条件, 则 a 的取值范围是 .

16、定义在 R 上的函数 f ( x ) 的图像过点 (0,5) ,其导函数是 f ?( x ) ,且满足

f ?( x) ? 1 ? f ( x) ,则不等式 ex f ( x) ? e x ? 4 ( e 为自然对数的底数)的解集为________.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17、(本小题满分 10 分) 2 (1)已知关于 x 的方程:x ﹣(8+i)x+16+ai=0(a∈R)有实数根 b, 求实数 a,b 的值。
2

(2)若复数 z ?

5 1? i ( i 为虚数单位)为实数,则实数 m 的值。 ? m? 1 ? 2i 1? i

18、 (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐 标系,已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3cos ? (?为参数) ,直线 l 的参数方程为 ? y ? 4sin ?

(t 为参数) ,直线 l 与曲线 C 交于 M,N 两点。

(1)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的普通方程; (2)求曲线 C 上任意一点 P(x,y)到直线 l 距离的最大值。

19、(本小题满分 12 分)设 x,y 都是正数,且 x+y>2,试用反证法证明: 和 中至少有一个成立。

20、(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ln x 。
3

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;

3

(Ⅱ)设 g ( x) ? x 3 ? x ? t ,若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 [ , e] 上( e 为自然对数的底数,

1 e

e ? 2.718 )恰有两个不同的 零点,求实数 t 的取值范围。

21、(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3 +ax2 +bx+c在x=-1和x=1时取得极值, 且f(-2)=4
(1)求函数 f(x)的表达式; (2)求函数 f(x)在区间[-3,3]上的极值; (3)若关于 x 的方程 f(x)-a=0 在实数集 R 上只有一个解,求 a 的取值范围。

22、(本小题满分12分)若函数f ( x) ? ax 2 ? 6 x ? 4 ln x在点M (1, f (1))处的切线方程为y ? b。 (1)求a、b的值; (2)求f ( x)的单调区间; e2 (3)若对于任意的x ? [1,5], 恒有f ( x) ? 3ln( ) ? ln(e 2 m)成立,求m的取值范围. m

4

雅安中学高 2015—2016 学年高二年级下期中期考试 数 一、选择题: 1 C 2 D 3 B 1-3i 4 B 14 5 A 6 C 7 A 15 8 D 9 B 10 C 11 A 12 D 学 试 题 答 案 (文科)

二、填空题 13 三.解答题

( 2,

3? ) 4

??1,1?

16 (??, 0)

17、 (1)∵b 是方程 x ﹣(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根, ∴(b ﹣8b+16)+(a﹣b)i=0, ∴解之得 a=b=4. (2)m=2 18、解: (1)曲线 C 的普通方程为
2

2

x2 y 2 ? ? 1. 9 16



,∴x+2=y+4,即 x﹣y﹣2=0.∴直线 l 的普通方程是 x﹣y﹣2=0.

(2)

7 2 2
和 都不成立,即 ≥2 且 ≥2,…(2 分)

19、证明:假设

∵x,y 都是正数,∴1+x≥2y,1+y≥2x,…(5 分) ∴1+x+1+y≥2x+2y,…(8 分) ∴x+y≤2…(10 分) 这与已知 x+y>2 矛盾…(12 分) ∴假设不成立,即 和 中至少有一个成立…(12 分)

20.解: (Ⅰ)函数定义域为 (0, ??) ……………1 分

2 ,? f ?(1) ? 1 ……………3 分 x 又 f (1) ? 1 ,? 所求切线方程为 y ? 1 ? 1( x ? 1) ,即 x ? y ? 0 ……………5 分 1 (Ⅱ)函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ?2 ln x ? x ? t 在 [ , e] 上恰有两个不同的零点, e 1 等价于 ?2 ln x ? x ? t ? 0 在 [ , e] 上恰有两个不同的实根, e 1 等价于 t ? x ? 2 ln x 在 [ , e] 上恰有两个不同的实根,……………7 分 e 2 x?2 令 k ( x) ? x ? 2 ln x, 则 k '( x) ? 1 ? ? x x f ?( x) ? 3 x 2 ?
5

1 1 ? 当 x ? ( , 2) 时, k '( x) ? 0 ,? k ( x) 在 ( , 2) 递减; e e
当 x ? (2, e] 时 , k '( x) ? 0 ,? k ( x) 在 (2, e] 递增. 故 kmin ( x) ? k (2) ? 2 ? 2 ln 2 ,……………9 分 又 k( ) ?

1 e

1 1 1 1 ? 1, k (e) ? e ? 1, ? k ( ) ? k (e) ? 2 ? e ? ? 0 ,? k ( ) ? k (e) ………11 分 e e e e

1 1 ? k (1) ? t ? k ( ) ,即 t ? (2 ? 2 ln 2,1 ? ] ……………12 分 e e
21(1) f ( x) ? x3 ? 3x ? 6 (2)极大值 f(-1)=8 极小值 f(1)=4 (3)a<4 或 a>8 22(1)a= —1,b=5(2)(1,2)增,减(0,1)和(2,正无穷)(3)0<m<=4

6


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