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一轮复习等差等比数列证明练习题


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1.已知数列?an ? 是首项为 a1 ? ,公比 q ?

1 4

1 的等比数列, bn ? 2 ? 3log 1 an 4 4

(n ? N *) ,数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn .
(1)求证: ?bn ? 是等差数列; 2.数列 设

?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an2 ? 6an ? 6(n ? N ? ) , ?cn ? 是等比数列;
*

cn ? log5 (an ? 3) .

(Ⅰ)求证:

3. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan ? (n ?1)Sn ? 2n (n ? N ) . (2)求证:数列 ?Sn ? 2? 是等比数列; 4.数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ?

2 n?1 an (n ? N ? ) a n ?2 n

2n (1)证明:数列 { } 是等差数列; an
5.数列 ?an ? 首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 与 an 之间满足 an ?

2Sn 2 (n ? 2) 2Sn ? 1

(1)求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列 ? Sn ?
2 , an ? 1

6.数列{ an }满足 a1 ? 3 , an ?1 ?

(1)求证: {

an ? 1 } 成等比数列; an ? 2

* 7.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 4 , (n ? N ) 且 a1 ? 1 ,

(Ⅰ)求证:数列 ?an ? 2? 是等比数列;

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8. 数列 {an } 满足: a1 ? 1, n ? an?1 ? (n ? 1) ? an ? n ? (n ? 1), n ? N * (1)证明:数列 {

an } 是等差数列; n

9.已知数列{an}的首项 a1=

2 2an , an ?1 ? ,n=1,2,… 3 an ? 1

(1)证明:数列 ?

?1 ? ? 1? 是等比数列; a ? n ?
1 , S n ? n 2 an ? n(n ? 1), n ? 1, 2, L . 2

10.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? (1)证明:数列 ?

? n ?1 ? Sn ? 是等差数列,并求 Sn ; ? n ?

11. (16 分)已知数列 {an } 的前 n 项和是 S n ,且 Sn ? 2an ? n (1)证明: ?an ? 1? 为等比数列; 12.数列 {a n } 满足: a1 ? 2, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N ?) (1)记 d n ? a n?1 ? a n ,求证:数列 {d n } 是等比数列; 13.已知数列 {an } 的相邻两项 a n , an ?1 是关于 x 方程 x2 ? 2n x ? bn ? 0 的两根,且 a1 ? 1 . (1)求证:数列 {an ? ? 2n } 是等比数列; 14. (本题满分 12 分)已知数列 {an } 中, a1 ? 5 且 an ? 2an ?1 ? 2n ? 1 ( n ? 2 且 n ? N * ) .

1 3

? a ? 1? (Ⅰ)证明:数列 ? n n ? 为等差数列; ? 2 ?
15.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ?

an (n ? N * ) an ? 3

(1)求证: ?

? 1 1? ? ? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式 an ; ? an 2 ?
3 5 , a3 ? ,且当 n ? 2 时, 2 4

? 16.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , n ? ? .已知 a1 ? 1 , a2 ?

4Sn?2 ? 5Sn ? 8Sn?1 ? Sn?1 .
(1)求 a4 的值;

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(2)证明: ?an ?1 ?

? ?

1 ? an ? 为等比数列; 2 ?

17.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且首项 a1 ? 3, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) .
n (Ⅰ)求证: S n ? 3 是等比数列;

?

?

18. (本小题满分 10 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 , an?1 ?
?a ? 2? (1)求证:数列 ? n ? 是等比数列; ? n ?

(3n ? 3)an ? 4n ? 6 , n ? N* . n

参考答案 1. (1)见解析; (2) S n ?

2 (3n ? 2) 1 n ? ?( ) ; (3) m ? 1 或 m ? ?5 3 3 4
2n?1

2. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 3. (1)

an ? 5

1 1 Tn ? ? ? 2n . ? 3. ; 4 5 ?9 (Ⅲ)

a2 ? 4, a3 ? 8 ; (2)见解析; (3)5
2n n?1 ; (3) ? 2n ? 3? 2 ? 6 n ?1

4. (1)详见解析; (2) an ?

(n ? 1) ?1 2 ? 3. 5. (1)详见解析; (2)? an ? ? ; (3) 2 ? ( n ? 2) 3 ? (2n ? 1)(2n ? 3) ?
6. (1)证明 {

an ? 1 } 成等比数列的过程详见试题解析; an ? 2
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(2)实数 t 的取值范围为 7.详见解析

1? 3 3 ?1 . ?t ? 2 2

8. (1)见解析; (2) Sn ?

? 2n ? 1? ? 3n?1 ? 3
4

9. (1)详见解析(2) Sn ? 2 ?

1 n n ? n ? 1? ? n? n ?1 2 2 2

2 10 . ( 1 ) 由 Sn ? n2an ? n(n ?1) 知 , 当 n ? 2 时 , Sn ? n ,即 ( Sn ? S ( n ?1) ? n1 ) ? n

(n2 ?1)Sn ? n2 Sn?1 ? n(n ?1) ,所以
所以 ?

n ?1 n 1?1 Sn ? Sn ?1 ? 1 ,对 n ? 2 成立.又 S1 ? 1 , n n ?1 1

n ?1 ? n ?1 ? S n ? 1 ? (n ? 1)? 1,即 Sn ? 是首项为 1 ,公差为 1 的等差数列.所以 n ? n ?

Sn ?

n2 . n ?1
2 ) 因 为



bn ?

Sn 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2 n ? 3n (n ? 1)(n ? 3) 2 n ? 1 n ? 3
3







b1 ? b2 ? L ? bn ?


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 5 ( ? ? ? ?L ? ? ? ? )? ( ? ? )? 2 2 4 3 5 n n ? 2 n ? 1 n ? 3 2 6 n ? 2 n ? 3 12

11. (1)见解析; (2)解析; (3)存在, ? 12. (1) dn ? 1? 2n?1 (2) an ? 2n?1 ? 1

?k ? 18 ?k ? 6 ? k ? 4 或? 或? . ?m ? 18 ?m ? 5 ? m ? 2

? 2 n ?1 2 ? n为偶数 ? ? 3 3 13. (1)见解析; (2) S n ? ? , (3) (??,1) n ?1 ? 2 ? 1 n为奇数 ? 3 ? 3
14. (Ⅰ)详见解析(Ⅱ) Sn ? n ? 2n?1 15. (1)证明详见解析; (2) ?2 ? ? ? 3 .

7 ?1? 16. (1) ; (2)证明见解析; (3) an ? ? 2n ? 1? ? ? ? 8 ?2?
17.(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) (?9,3) ? (3, ??)

n ?1



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18. (1)详见解析(2)详见解析

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