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2013年春学期期末考试(高一数学)


校际联考 2013 年第二学期第四次考试 高一数学试卷
考试时间:120 分钟 分值:150 分
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命题学校:涟水县职教中心

命题人:陈永

一、单项选择题。 (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.已知等差数列 ? a n ? 满足 a1 ? ?3 ,且 d ? 2 ,则 a8 ?
A. 13 B. 11 C. ( ▲ ) D.

9

12

2.若实数 a, b, c 成等比数列,则函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图像与 x 轴的交点个数是 (▲ )
? ? 3.已知 a =(2,3) b ? ? ?4, y ? ,且 a // b ,则 y = ( ,
A.0 B.1 C.2 D.1 或者 2 ▲ )

A、 3

B、 ? 3

C、 6

D、 ? 6

??? 4.已知过点 A ? ? m,3? 、 B?2,? 1? 的直线的倾斜角为 45? ,则 m 的值为( ▲ ) ???

姓名

A、 -2

B、 ? 6

C、 -4 2 ? 2

D、 4 2 ? 2

5.若直线 l 的倾斜角是直线 y ? 3x ? 2 倾斜角的 2 倍,且过点(0,5),则直线 l 的方程是( ▲ )
A. 3 x ? y ? 5 ? 0 B. 3 x ? y ? 5 ? 0 C. 3 x ? 3 y ? 15 ? 0 D. 3 x ? 3 y ? 15 ? 0

6.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为 A. x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1 7.下列判断正确的是
A. a∥ ? ,b ? ? ,则 a∥b C. a ? ?, 则a // ? A. a // b, a ? ? ? b ? ? C. a ? ? , b ? ? ? a ? b

( ▲ ) D. x 2 ? ( y ? 3)2 ? 1

B. x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1 C. ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1

考号

( ▲ ) B. a ? ? ? P, b ? ? 则a与b不平行 D. a∥ ? ,b∥ ? , 则 a∥b ( ▲ ) B. a ? ? , b ? ? ? a // b D. a ? b, a ? ? ? b ? ?

8.a, b 为直线, ? 为平面,下列命题中不成立的是

班级

9. 设 a、b、c 是三条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,下列命题中正确的是

( ▲ ) A.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? || ? C.若 a ? ? , a ? ? ,则 ? || ?
??? A. 恒过定点 ? ?2,3? ;

B.若 a ? ? , ? ? ? ,则 a || ? D.若 a ? c , b ? c ,则 a || b
??? B. 恒过定点 ? 2,3? ;
D. 都是平行直线

10. 方程 (a ?1) x ? y ? 2a ? 1 ? 0( a ? R) 所表示的直线( ▲ )

??? ??? C. 恒过定点 ? ?2,3? , ? 2,3?

1

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题。 (本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) ? ? ? ? 11.设 a ? 2, b ? 1, a ? b ? 1 ,则向量 a与b 的夹角为__

_; ;

12.设 S n 表示等差数列 ? a n ?中前 n 项的和,已知 S 5 ? 30 ,则 a 3 ?

13.过点 (2, 3) 的直线 l 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 交于 A、B 两点,当弦长 AB 取最大值时,
直线 l 的方程为


时,直线 l : x ? y ? 3 ? 0 被圆 C : ( x ? a) ? ( y ? 2) ? 4(a ? 0) 截得的弦长
2 2

14. 当 a ?
为2 3;

15、已知直线 l 和平面 ? , l ? ? , A? l , B ? l ,直线 CD ? ? ,则 AB ? CD =______ 16.把半径分别为 3,4,5 的三个铁球熔铸成一个大球,则大球的半径为 三、解答题。 (本大题共 8 小题,共 86 分) 17. (10 分)已知向量 a 与 b 的夹角为 .

? ,且 a ? 2 , b ? 3 ,求 a ? ( a +2 b ) . 3

18.(本题满分 10 分)已知直线 l 过点 P(1,?1) ,且满足下列条件,求直线 l 的方程: (1)与 2 x ? y ? 1 ? 0 平行; (2)与 x ? y ? 1 ? 0 垂直.

19. (本题满分 10 分)求经过三点 A(6,0) ,B(0,2),C(0,-3)的圆的方程.

2

20. (满分 12 分)已知 {a n } 是各项为正数的等比数列,若 a 2 ? a3 ? 8a1
(1)求 a 4 (2)设 bn ? log 2 a n ,①求证: {bn } 是等差数列;② 设 b1 ? 9 ,求数列 {b n } 的前 n 项和 S n

21. (本题满分 12 分)正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,求
(1)AC1 与平面 ABCD 所成角的正切值; (2)A1B1 与平面 A B C1D1 的距离; (3)二面角 D1—AB—C 的大小.

3

22. (满分 10 分) 如图, △ABC 为正三角形, CE⊥平面 ABC, BD⊥平面 ABC, CE=CA=2BD=2, 且 M 是 EA 的中点.求:DM 的长.
E M C A D B

23.(本题满分 12 分)如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB ,过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点。 求证: (1)平面 EFG // 平面 ABC ; (2) BC ? SA . S

E

G

F
A B
C

24. (10 分)已知:以点 C (t, 其中 O 为原点.

2 )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A,与 y 轴交于点 O, B, t

(1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y = –2x+4 与圆 C 交于点 M, N,若 OM = ON,求圆 C 的方程.

4

参考答案
题号 答案
11. 45? ; 17. 10; 18. (1) 2 x ? y ? 1 ? 0 ; (2) x ? y ? 2 ? 0 ; 19. x ? y ? 5 x ? y ? 6 ? 0
2 2

1 B
12. 6;

2 A

3 D

4 B

5 B
14.

6 A

7 B
2 ?1 ;

8 D
15. 0;

9 C

10 A
16. 6;

13. 3x ? 4 y ? 6 ? 0 ;

20.解(1)由题意得 a2 ? a3 ? 8a1 ? a1 ? a4 , a1 ? 0, (2)设数列 {a n } 的公比为 q ? 0 ,则

a4 ? 8

bn ?1 ? bn ? log 2 an ?1 ? log 2 an ? log 2

an ?1 ? log 2 q 是一个常数,所以数列 {bn } 是等差数列 an
d ? ?2

因为 b4 ? log 2 a4 ? log 2 8 ? 3 ,又 b 1 ? 9, 设数列 {bn } 的公差为 d , 则 b4 ? b1 ? 3d ,

S n ? 9n ?
21. (1)

n(n ? 1) ? (?2) ? ?n2 ? 10n 2
(2)

2 ; 2

2 ; 2

(3) 45? ;

22.

3

23. 证: (1)因为 SA=AB 且 AF⊥SB,所以 F 为 SB 的中点. 又 E,G 分别为 SA,SC 的中点,所以,EF∥AB,EG∥AC. 又 AB∩AC=A,AB ? 面 SBC,AC ? 面 ABC, 所以,平面 EFG // 平面 ABC . (2)因为平面 SAB⊥平面 SBC,平面 SAB∩平面 SBC=BC,AF ? 平面 ASB,AF⊥SB. 所以,AF⊥平面 SBC.又 BC ? 平面 SBC,所以,AF⊥BC.又 AB⊥BC,AF∩AB=A, 所以,BC⊥平面 SAB.又 SA ? 平面 SAB,所以, BC ? SA . 24.解: (1)?圆C过原点O ,? OC ? t ?
2 2

4 . t2 2 2 4 2 2 设圆 C 的方程是 ( x ? t ) ? ( y ? ) ? t ? 2 t t 4 令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ? ;令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x 2 ? 2t t 1 1 4 ? S ?OAB ? OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 ,即: ?OAB 的面积为定值. 2 2 t
5

(2)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN .

? k MN ? ?2,? k oc ? ?

1 1 ,?直线 OC 的方程是 y ? x . 2 2

2 1 ? t ,解得: t ? 2或t ? ?2 t 2
5,

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 ( 2,1) , OC ? 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点. 当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) , OC ? 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交,

9 5

? 5,

5,

9 5

? 5

?t ? ?2 不符合题意舍去.

?圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 .

6


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