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等比数列


例 1.已知 a1=27,a9=

1 ,q<0,求这个等比数列前 5 项的和. 243

变式: a1 ? 3 , a5 ? 48 . 求此等比数列的前 5 项和.

例 2. 数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? a ? 1 (a≠0,a≠1) ,试证明数列 {an } 是等比数列.
n

变式:已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ,且 Sn ?1 ? 4an ? 2 , a1 ? 1 ,设 bn ? an ?1 ? 2an ,求证:数列 {bn } 是等比数列.

例 2 等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别是 S n , S 2 n , S3n ,求证: S n , S2 n ? Sn , S3n ? S2n 也成等比.

变式:在等比数列中,已知 Sn ? 48, S2 n ? 60 ,求 S3n .

练习. 等比数列中, a3 ?

3 9 , S3 ? ,求a1及q. 2 2

1.在等比数列中,已知首项为

9 1 2 ,末项为 ,公比为 8 3 3


,则项数 n 为 ( (A) 2 2 ) )

)

A.3

B. 4

C. 5 (D) 8

D. 6

2.已知 2,a,b,c,4 成等比数列,则 b = (

(B) -2 2 (C) ±2 2 (A)27 A.2 . . (B)-27

3.在等比数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=9,那么 a4+a5 等于( 4.在等比数列{an}中 a5-a1=15,a4-a2=6,且 a1>0,则 a3=( 5.若直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值等于 6. 已知数列

(C)81 或-36 C.4

(D)27 或-27

1 B. 2

1 D. 4

?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 log2 Sn ? n ,则其通项 an =

7. 等差数列 {an } 中, a1

? 2 ,公差不为零,且 a1 、 a3 、 a11 恰好成等比数列,那么该等比数列公比的值等于
2?

.

8.已知 sin

cos 3? , sin x ? cos x, 2 3 依次成等比数列,则 x 在区间 ?0 , 2? ? 内的解集 4

. (2)试求出数列

9. 已知数列

?an ? 中,满足 a n?1 ? 2 a n ? 1, 且 a1 ? 1 .(1)证明数列 ?an ? 2?是等比数列;

1

?an ? 的通项公式.

10. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数之和等于 16,第二个数与第三个数之和等于 12,求这四个数;

11. 在△ABC 中,(1)角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a, b ,c 成等差数列,且 A ? C (2)若三个角 A,B,C 成等差数列,三边 a,b,c 成等比数列,求证△ABC 为正三角形.

?

?
3

,求 sin

B;

12. 已知数列 ?an ? 中,满足 (1)若数列

a1 ? 2, an?1 ?

?bn ?的通项 b

an an ? 3 .

n

?

1 ,请你写出 bn ?1 与 bn 之间的递推关系式;(2)从第 11 题,你能领悟到当数列 an

?bn ? k? 是等比数列时,求 k 之值;

(3)写出数列 ?an ? 的通项公式.

1. 在 ?an ? 为等比数列中, an ? 0 , a2 a4 ? 2a3a5 ? a5 ? 16 ,那么 a3 ? a5 ? (
2

). ).

A. ±4 B. 4 C. 2 D. 8 2. 若-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列,则 b2(a2-a1)=( A .8 B.-8 C.±8

9 D. 8
) D.各项的倒数依次成等比数列 . .

3. 若正数 a,b,c 依次成公比大于 1 的等比数列,则当 x>1 时, log a x , log b x , log c x ( A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 4. 在两数 1,16 之间插入三个数,使它们成为等比数列,则中间数等于 6. 在 ?an ? 为等比数列中, a1 a9 ? 64 , a3 ? a7 ? 20 ,求 a11 的值.

5. 在各项都为正数的等比数列 ?an ? 中, a5 a6 ? 9 ,则 log3 a1 + log3 a 2 +…+ log3 a10 ?

7. 已知等差数列 ?an ? 的公差 d≠0,且 a1 , a 3 , a 9 成等比数列,求

a1 ? a3 ? a9 . a2 ? a4 ? a10

1. 数列 1, a , a , a ,…, a

2

3

n ?1

,…的前 n 项和为(

).

1 ? a n ?1 1 ? an? 2 B. C. D. 以上都不对 1? a 1? a 2. 等比数列中,已知 a1 ? a2 ? 20 , a3 ? a4 ? 40 ,则 a5 ? a6 ? ( ). 1? a A. 1? a
n

A. 30 A. 2
10

B. 60 B. 2
20

C. 80 C. 1
n

D. 160
30

3. 设 {an } 是由正数组成的等比数列,公比为 2,且 a1a2 a3 ??? a30 ? 2 ,那么 a3 a6 a9 ??? a30 ? ( D. 2
60

).

4. 等比数列的各项都是正数,若 a1 ? 81, a5 ? 16 ,则它的前 5 项和为 5. 等比数列的前 n 项和 Sn ? 3 ? a ,则 a= 6. 等比数列中,已知 a1 ? ?1, a4 ? 64, 求q及S4 . .

.

7. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a6 ? 33, a2 a5 ? 32 ,求 S 6 .

8. 等比数列 {an } 中, S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,求 S20 . 9. 求数列 1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,…的前 n 项和 Sn.


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