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数列求和


数列求和
一、 公式法 1. 等差数列前 n 项和公式:已知 a1 , n, an 时,利用公式 S n ? 已知 a1 , d , n 时,利用公式 S n ? na1 ?
n?n ? 1? d 求和. 2

n?a1 ? a n ? 求和; 2

2.等比数列前 n 项和公式:已知 a1 , n, q 时,利用公式 S n ? 求和;

a1 1 ? q n (q ? 1) 1? q

?

?

1. 【2015 高考北京,文 16】 (本小题满分 13 分)已知等差数列 ?an ? 满 足 a1 ? a2 ? 10 , a4 ? a3 ? 2 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几 项相等?

2.[2014·福建卷] 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求 an; (2)设 bn=log3an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

3.(2013 重庆,16,13 分)设数列{a n}满足:a1=1,an+1=3 an,n∈N+. (1)求{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)已知{bn}是等差数列,Tn 为其前 n 项和,且 b1=a2,b3=a1+a2+a3,求 T20.

4. 【2015 高考重庆 16】 已知等差数列 ?an ? 满足 a3 =2, 前 3 项和 S3 = . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式, (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b1 = a1 , b4 = a15 ,求 ?bn ? 前 n 项和 Tn .

9 2

5.【2015 高考四川,文 16】设数列{an}(n=1,2,3?)的前 n 项 和 Sn 满足 Sn=2an-a1,且 a1,a2+1,a3 成等差数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 { } 的前 n 项和为 Tn,求 Tn.
1 an

二、分组求和法 若数列的通项是若干项的代数和,可将其分成几部分来求.
4 , 6 , ?, 2n ? 1、求数列 2 , 1 4 1 8 1 16 1 , ? 的前 n 项和 Sn . 2n ?1

2、 【2015 高考福建,文 17】等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2a ?2 ? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.
n

3.[2014·北京卷] 已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列 {bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和.

三、裂项相消求和法 将数列的每一项分裂成两项之差,如果求数列的前 n 项和时,除 首尾若干项外,其余各项可以交叉相消. 常见的拆项公式有:
1 1 1 1 1 ) , ? ( ? ? n( n ? k ) k n n ? k n?k ? n

1 1 1 1 1 ( n ? k ? n) , ? ) ,等. ? ( k (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1.求 Sn ?

1 1 1 1 ? ? ? ?????? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

2.(2010·山东高考理科·T18)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 ,
a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn .

(1)求 an 及 Sn ; (2)令 bn ?
1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

3. 【2015 高考安徽,文 18】已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且
a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8.

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ? 和 Tn .
an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项 Sn Sn ?1

三、错项相减法 如果数列 ?a n ? bn ?中的 ?an ? 和 ?bn ? 分别是等差数列和等比数列且等 比数列公比为 q(q ? 1) ,那么 S n ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn 与 qSn ?
a1b2 ? a2b3 ? ? ? an bn?1 两式“错项相减”可以求出 S n .

1. [2014·安徽卷] 数列{an}满足 a1=1, nan+1=(n+1)an+n(n+1), n∈N*.
?an? (1)证明:数列? ?是等差数列; ?n?

(2)设 bn=3n· an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

2.(2013 湖南,19,13 分)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N*. (1)求 a1,a2,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和.

3. 【2015 高考湖北,文 19】设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为
Sn ,等比数列 {bn } 的公比为

q.已知 b1 ? a1 , b2 ? 2 , q ? d , S10 ? 100 .

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)当 d ? 1 时,记 cn ? an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .
bn

4. 【2015 高考天津,文 18】 (本小题满分 13 分)已知 {an } 是各项均 为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,且 a1 = b1 = 1, b2 +b3 = 2a3 , a5 - 3b2 = 7 . (Ⅰ)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn = anbn , n ? N* ,求数列 {cn } 的前 n 项和.

5.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方 程 x2-5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式;
?an? (2)求数列? n?的前 n 项和. ?2 ?

6.【2015 高考山东,文 19】已知数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列, 数列 ?
? 1 ? n . ? 的前 n 项和为 2n ? 1 ? an ? an ?1 ?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? ? an ?1? ? 2a ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
n

7.【2015 高考浙江,文 17】 (本题满分 15 分)已知数列 {an } 和 {bn } 满 足, a1 ? 2, b1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N* ),
1 1 1 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N* ) . 2 3 n

(1)求 an 与 bn ; (2)记数列 {anbn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .


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