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直线与直线的位置关系


直线与直线的位置关系
自主梳理 1.两直线的位置关系 平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况. (1)两直线平行 对于直线 l1: y=k1x+b1, l2 : y=k2x+b2, l1∥l2?________________________. 对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0), l1∥l2?________________________. (2)两直线垂直 对于直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1⊥l2?k1· k2=____. 对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, l1⊥l2?A1A2+B1B2=____. 2.两条直线的交点 两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0, 如果两直线相交, 则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____;反 之,如果这个方程组只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是 l1 和 l2 的 ________,因此,l1、l2 是否有交点,就看 l1、l2 构成的方程组是否有________. 3.有关距离 (1)两点间的距离 平 面 上 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 间 的 距 离 |P1P2| = __________________________________. (2)点到直线的距离 平 面 上 一 点 P(x0 , y0) 到 一 条 直 线 l : Ax + By + C = 0 的 距 离 d = ________________________. (3)两平行线间的距离 已知 l1、l2 是平行线,求 l1、l2 间距离的方法: ①求一条直线上一点到另一条直线的距离; ②设 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则 l1 与 l2 之间的距离 d= ________________. 1.在两条直线的位置关系中,讨论最多的还是平行与垂直,它们是两条直 线的特殊位置关系.解题时认真画出图形,有助于快速准确地解决问题.判 断两直线平行与垂直时,不要忘记考虑斜率不存在的情形,利用一般式则可 避免分类讨论. |C1-C2| 2.运用公式 d= 2 求两平行直线间的距离时,一定要把 x、y 项系数化 A +B2 为相等的系数. 3.对称思想是高考热点,主要分为中心对称和轴对称两种,关键要把握对 称问题的本质,必要情况下可与函数的对称轴建立联系.

探究点一 两直线的平行与垂直 例 1 已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0.求满足以下条件的 a、 b 的值:
1

(1)l1⊥l2 且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且原点到这两条直线的距离相等. 例 1 解题导引 运用直线的斜截式 y=kx+b 时,要特别注意直线斜率不存在时的特 殊情况.运用直线的一般式 Ax+By+C=0 时,要特别注意 A、B 为 0 时的情况,求解两直 线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系,联立方程组求解,对斜率不存在的情况, 可考虑用数形结合的方法研究. 解 (1)由已知可得 l2 的斜率必存在,且 k2=1-a. 若 k2=0,则 a=1.由 l1⊥l2,l1 的斜率不存在,∴b=0. 又 l1 过(-3,-1),∴-3a+b+4=0, ∴b=3a-4=-1,矛盾.∴此情况不存在,即 k2≠0. a a 若 k2≠0,即 k1= ,k2=1-a 由 l1⊥l2,得 k1k2= (1-a)=-1. b b 由 l1 过(-3,-1),得-3a+b+4=0,解之得 a=2,b=2. (2)∵l2 的斜率存在,l1∥l2,∴l1 的斜率存在, a ∴k1=k2,即 =1-a.又原点到两直线的距离相等,且 l1∥l2, b 4 ∴l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 =b. b 2 ? ?a=2, ?a=3, ? 2 解之得? 或? ∴a、b 的值为 2 和-2 或 和 2. 3 ? ?b=-2 ? ?b=2. 变式迁移 1 已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0, (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值. 变式迁移 1 解 (1)方法一 当 a=1 时, l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1 与 l2 不平行; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 与 l2 不平行; a 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为 l1:y=- x-3, 2 1 l2:y= x-(a+1), 1-a a 1 ? ?-2=1-a, l1∥l2?? ? ?-3≠-?a+1?, 解得 a=-1,

综上可知,a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. 方法二 由 A1B2-A2B1=0,得 a(a-1)-1×2=0. 由 A1C2-A2C1≠0,得 a(a2-1)-1×6≠0, 2 ? ? ?a?a-1?-1×2=0 ?a -a-2=0, ∴l1∥l2?? 2 ?? 2 ?a?a -1?-1×6≠0 ?a?a -1?≠6. ? ? ∴a=-1,故当 a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. (2)方法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 与 l2 不垂直; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 与 l2 不垂直; a 1 当 a≠1 且 a≠0 时,l1:y=- x-3, l2:y= x-(a+1), 2 1-a a 1 2 - ?· =-1?a= .方法二 由 A1A2+B1B2=0, 由? 2 ? ? 1-a 3 2 得 a+2(a-1)=0?a= . 3

2

探究点二

直线的交点坐标

变式迁移 2 △ABC 的两条高所在直线的方程分别为 2x-3y+1=0 和 x+y=0,顶点 A 的坐标为(1,2),求 BC 边所在直线的方程. 变式迁移 2 解 可以判断 A 不在所给的两条高所在的直线上,则可设 AB,AC 边上 的高所在直线的方程分别为 2x-3y+1=0,x+y=0, 则可求得 AB,AC 边所在直线的方程分别为 3 y-2=- (x-1),y-2=x-1,即 3x+2y-7=0,x-y+1=0. 2 ?3x+2y-7=0 ?x-y+1=0 ? ? 由? ,得 B(7,-7),由? ,得 C(-2,-1), ?x+y=0 ?2x-3y+1=0 ? ? 所以 BC 边所在直线的方程为 2x+3y+7=0.

转化与化归思想的应用
例 (12 分)已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程; (3)直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程 解 (1)设 A′(x,y),再由已知

33 4 ? ∴A′? ?-13,13?.[4 分] (2)在直线 m 上取一点, 如 M(2,0), 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上. 设

对称点 M′(a,b),则

6 30? 得 M′? ?13,13?.[6 分]

设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则由 得 N(4,3). 又∵m′经过点 N(4,3),∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0.[8 分] (3)方法一 在 l:2x-3y+1=0 上任取两点, 如 M(1,1),N(4,3),则 M,N 关于点 A(-1,-2)的对称点 M′,N′均在直线 l′上, 易得 M′(-3,-5),N′(-6,-7),[10 分] 再由两点式可得 l′的方程为 2x-3y-9=0.[12 分] 方法二 ∵l∥l′,∴设 l′的方程为 2x-3y+C=0 (C≠1), ∵点 A(-1,-2)到两直线 l,l′的距离相等,∴由点到直线的距离公式得 |-2+6+C| |-2+6+1| = ,解得 C=-9,[10 分] 22+32 22+32 ∴l′的方程为 2x-3y-9=0.[12 分] 方法三 设 P(x,y)为 l′上任意一点, 则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4-y),[10 分] ∵点 P′在直线 l 上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即 2x-3y-9=0.[12 分] 2.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 恒过定点( B ) A.(0,4) B.(0,2)
3

C.(-2,4) D.(4,-2) 4.(2009· 上海)已知直线 l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l2:2(k-3)x-2y+3=0 平行, 则 k 的值是( C ) A.1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 1.直线 3x+2y+4=0 与 2x-3y+4=0( B ) A.平行 B.垂直 C.重合 D.关于直线 y=-x 对称 C2.(2011· 六安月考)若直线 x+ay-a=0 与直线 ax-(2a-3)y-1=0 互相垂直,则 a 的值是( C ) A.2 B.-3 或 1 C.2 或 0 D.1 或 0 3π 3.已知直线 l 的倾斜角为 ,直线 l1 经过点 A(3,2)、B(a,-1),且 l1 与 l 垂直,直线 4 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b 等于( B ) A.-4 B.-2 C.0 D.2 11.(14 分)(2011· 杭州调研)过点 P(3,0)作一直线,使它夹在两直线 l1:2x-y-2=0 与 l2:x+y+3=0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分,求此直线的方程. 11.解 设点 A(x,y)在 l1 上, x =3, ?x+ 2 由题意知? y+y ? 2 =0,
B B

∴点 B(6-x,-y),(6 分)

?2x-y-2=0, ? 解方程组? ??6-x?+?-y?+3=0, ?

?x= 3 , 得? 16 ?y= 3 ,

11

16 -0 3 ∴k= =8.(12 分) 11 -3 3

∴所求的直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0. (14 分)

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