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19[1]. 直线 专项训练(2)


第一章 直线 专项训练(2)
直线方程 【例题精选】 : 例 1:已知下列两点坐标,求过其两点直线的斜率和倾斜角。 ①P 1

?

3,3 ,P2 ?2 3, ? 6

?

?

?

解: k ?

3 ? ? ?6? 3 ? ?2 3

?

?

? 3

? tg ? ? 3 ?0 ? ? ? ? ?? ?

?
3

②P 1 0,1 ,P 2 1,3 解: k ?

?

?

?

?

3?1 ?2 1? 0

? tg ? ? 2 ?0 ? ? ? ? ? ? ? arctg 2
③P 1 0,1 ,P 2 1, ? 3 解: k ?

?

?

?

?

?3 ? 1 ? ?4 1? 0

? tg ? ? ?4 ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? arctg 4
5 ,求直线方程。 13

例 2:已知:直线过点(1,2) ,且倾斜角的正弦为 解:设直线的倾斜角为 ?

? sin ? ?

?0 ? ? ? ?

5 13 12 13

? cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 又 ? tg? ? sin ? cos ? 5 ? tg? ? ? 12

?所求方程为: y ? 2 ?

5 5 ? x ? 1? 或 y ? 2 ? ? ? x ? 1? 12 12

即: 5x ? 12 y ? 19 ? 0 或 5x ? 12 y ? 29 ? 0 注:求直线方程结果应化成一般式。 例 3:如果一条直线经过点(3,-5) ,且它的倾斜角等于直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的倾斜角 的 2 倍,求该直线方程。 解:设直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的倾斜角为 ?

? x ? 2y ? 5 ? 0

?2y ? x ? 5 1 5 ?y ? x? 2 2 1 ? tg? ? 2 1 2tg? 2 ?4 ? tg 2? ? ? 2 1 3 1 ? tg ? 1? 4 2?

?所求直线方程为: y ? ? ?5? ?

4 ? x ? 3? 3 即: 4 x ? 3 y ? 27 ? 0

例 4:已知: A ?8, ? 6 ,B ?3, ? 1 和C 5,7 求证:A,B,C 三点共线。 证明一:由 A,B 两点确定的直线方程为:

?

?

?

?

?

?

x ?8 y?6 ? ?8 ? 3 ?6 ? 1 即: x ? y ? 2 ? 0



把 C(5,7)代入方程①的左边: 左边 ? 5 ? 7 ? 2 ? 0 ? 右边 ∴C 点坐标满足方程①

∴C 在直线 AB 上 ∴A,B,C 三点共线 证明二:∵ AB ?

? ?8 ? 3? 2 ? ? ?6 ? 1? 2

?5 2

BC ? AC ?

?5 ? 3? 2 ? ?7 ? 1? 2 ?5 ? 8? 2 ? ?7 ? 6? 2

?8 2 ? 13 2

∵ AB ? BC ? AC ∴A,B,C 三点共线 例 5:直线 l 过点 P(6,-2) ,且与坐标轴围成 一个直角三角形的面积为 3,求直线 l 的方程。 解:设所求方程为:

x y ? ?1 a b

?6 2 ? ?1 ? ?a b ?? ?1 a b ? 3 ? ?2 ?6b ? 2a ? ab ?? ? ab ? 6
?6b ? 2a ? ab ? ? ? 无实解 ?ab ? ?6 ?6b ? 2a ? ab ?a ? 3 ?a ? ?6 或? ?? 或? ?ab ? 6 ?b ? 2 ?b ? ?1

?所求直线方程为:

x y x y ? ?1或 ? ?1 3 2 ?6 ?1

即: 2 x ? 3y ? 6 ? 0 或 x ? 6 y ? 6 ? 0 例 6:过点 P(1,2)作直线 l 交 x,y 轴的正半轴于 A,B 两点,求使 ?AOB 面积取得 最小值时,直线 l 的方程。 解:设直线 l 方程为:

x y ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? a b ∵P(1,2)在直线 l 上

1 2 ? ?1 a b ? 2a ? b ? ab ? ? a ? 0 ,b ? 0 ? 2a ? b ? 2 2ab ①代入② ? ab ? 2 2ab ? a 2 b 2 ? 8ab ? ab ? 8

① ②



当且仅当 2 a ? b 时,②式中等号成立,即③式中等号成立。 ? 2 a ? b 时,ab 有最小值 8, 此时 ?AOB 的面积有最小值

1 ab ? 4 2

?2a ? b ?a ? 2 ?? ? ?ab ? 8 ?b ? 4

?直线 l 方程为:

x y ? ?1 2 4 即: 2 x ? y ? 4 ? 0

例 7:求过 a,0 , 0,b , 1,2 三点且 a,b 为正整数的直线方程。 解:设所求直线方程为

?

? ?

? ?


?

x y ? ?1 a b ∴

∵(1,2)在直线①上

1 2 ? ?1 a b 1 2 b?2 ∴ ? 1? ? a b b b b?2?2 2 ∴a ? ? ? 1? b?2 b?2 b?2
∵ a,b 是正整数 ∴ b ? 1 时, a ? ?1不符题意, b ? 2 时, a 不存在,

b ? 3时,a ? 3, b ? 4时,a ? 2,
b ? 5 时, a 不是整数。 x y x y ∴所求直线方程为: ? ? 1 或 ? ? 1 3 3 2 4

即: x ? y ? 3 ? 0 或 2 x ? y ? 4 ? 0

【专项训练】 : 1、已知:点 A(1,-1) ,B(3,3) ,C(4,5) 求证:A,B,C 三点共线。

1 的直线方程。 3 1 3、求过(-2,1)点,倾斜角是直线 y ? x 的倾斜角的 2 倍的直线方程。 2 3 4、求过点(2,-7) ,倾斜角的余弦为 的直线方程。 4
2、求过点(-2,1) ,倾斜角为 arctg 5、一直线过点(-3,4) ,且在两轴上的截距之和为 12,求此直线方程。 6、已知:一直线通过(-2,2) ,且与两轴构成的三角形面积为 1,求此直线的方程。 7、求过点 A(1,2)并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。 【答 案】 :

1、 略

2 、x ? 3 y ? 5 ? 0 3、 4 x ? 3 y ? 11 ? 0 4 、 7 x ? 3 y ? 21 ? 2 7 ? 0 5、 4 x ? y ? 16 ? 0 或 x ? 3 y ? 9 ? 0 6、 2 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? 2 y ? 2 ? 0 7 、x ? y ? 3 ? 0 或 2 x ? y ? 0


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