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山东省济南市2015届高三下学期第二次模拟数学(理)试卷


2015 年山东省济南市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 P={1,m},Q={1,3,5},则“m=5”是“p? Q”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2.复数 z= A. B. ﹣

的虚部是( C.

) D. ﹣

3.某射击手射击一次命中的概率是 0.7,连续两次均射中的概率是 0.4,已知某次射中,则 随后一次射中的概率是( ) A. B. C. D.

4.如图所示,点 P 是函数 y=2sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0)的图象的最高点,M、N 是图象 与 x 轴的交点,若 ,则ω=( )

A. 8 B.

C.

D.

5.已知 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=3 ﹣1,则 f ( A. )=( ) +1 C. ﹣1 D. ﹣ ﹣1

x

+1 B. ﹣

6. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 x 的值为﹣5, 则输出 y 的值为 (



A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 4

7.在不等式组

确定的平面区域中,若 z=x+2y 的最大值为 9,则 a 的值为(



A. 0 B. 3 C. 6 D. 9
a

8.已知正实数 m,n 满足 m+n=1,且使 a 的值为( ) C. 2 D. 3

取得最小值.若曲线 y=x 过点 P( , ) ,则

A. ﹣1 B.

9. 若双曲线

=1 (a>0, b>0) 的左、 右焦点分别为 F1, F2, 线段 F1F2 被抛物线 y =4bx )

2

的焦点分成 5:3 两段,则此双曲线的离心率为( A. B. C. D.

10.函数 f(x)的定义域为 D,对给定的正数 k,若存在闭区间[a,b]? D,使得函数 f(x) 满足:①f(x)在[a,b]内是单调函数;②f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb],则称区间 [a,b]为 y=f(x)的 k 级“理想区间” .下列结论错误的是( ) A. 函数 f(x)=﹣x (x∈R)存在 1 级“理想区间” x B. 函数 f(x)=e (x∈R)不存在 2 级“理想区间” C. 函数 f(x)= (x≥0)存在 3 级“理想区间”
x 2

D. 函数 f(x)=loga(a ﹣ ) (a>0,a≠1)不存在 4 级“理想区间”

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,如图是根 据某地某日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列出的 茎叶图,则甲、乙两地浓度的方差较小的是 .

12.二项式(x+

) 的展开式中常数项为

4



13.已知圆 C 过点(﹣1,0) ,且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l:y=x+1 被该圆所截得的弦 长为 2 ,则圆 C 的标准方程为 .

14.已知正方形 ABCD,M 是 DC 的中点,由 sinxdx= .

=m

+n

确定 m,n 的值,计算定积分

15.如图,三个半径都是 5cm 的小球放在一个半球面的碗中,三个小球的顶端恰好与碗的上 沿处于同一水平面,则这个碗的半径 R 是 cm.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. 已知向量 =(cos (2x﹣ ) ,cosx+sinx) , = (1,cosx﹣sinx) ,函数 f (x)= .

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 f(A)= 求△ABC 的面积 S. 17.已知等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,非常数等比数列{bn}的公比是 q,且满足:a1=2, b1=1,S2=3b2,a2=b3. (Ⅰ)求 an 与 bn; (Ⅱ)设 cn=2bn﹣λ? ,若数列{cn}是递减数列,求实数λ的取值范围. ,a=2,B= ,

18.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠ABC=60°,AB=2CB=2.在 梯形 ACEF 中,EF∥AC,且 AC=2EF,EC⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:BC⊥AF; (Ⅱ)若二面角 D﹣AF﹣C 为 45°,求 CE 的长.

19.已知正三棱锥 S﹣ABC 的侧棱 SA,SB,SC 两两互相垂直,D,E,F 分别是它们的中点, SA=SB=SC=2,现从 A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个点,加上点 S,把这四个点每两个 点相连后得到一个“空间体” ,记这个“空间体”的体积为 X(若点 S 与所取三点在同一平 面内,则规定 X=0) . (Ⅰ)求事件“X=0”的概率; (Ⅱ)求随机变量 X 的分布列及数学期望.

20.已知椭圆
2 2 2

=1(a>b>0)的离心率为 e,半焦距为 c,B(0,1)为其上顶点,且

a ,c ,b ,依次成等差数列. (Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率 e; (Ⅱ)P,Q 为椭圆上的两个不同的动点,且.kBP? kBQ=e (i)试证直线 PQ 过定点 M,并求出 M 点坐标; (ii)△PBQ 是否可以为直角三角形?若是,请求出直线 PQ 的斜率;否则请说明理由. 21.已知函数 f(x)=a ﹣2x(a>0,且 a≠1) . (Ⅰ)当 a=2 时,求曲线 f(x)在点 P(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)若 f(x)的值恒非负,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f(x)存在极小值 g(a) ,求 g(a)的最大值.
x 2

2015 年山东省济南市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 P={1,m},Q={1,3,5},则“m=5”是“p? Q”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用充要条件判断即可. 解答: 解:集合 P={1,m},Q={1,3,5},则“m=5”一定有“p? Q” ,都是 p? Q,可得 m=3 或 5, 所以后者推不出前者,所以集合 P={1,m},Q={1,3,5},则“m=5”是“p? Q”的充分不 必要条件. 故选:A. 点评: 本题考查充要条件的判断与应用,集合的包含关系的应用,基本知识的考查.

2.复数 z= A. B. ﹣

的虚部是( C.

) D. ﹣

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的除法运算法则化简,然后求出复数的虚部. 解答: 解:复数 z= 复数的虚部是 . = = =﹣ .

故选:B. 点评: 本题考查复数的基本运算,复数的基本概念,考查计算能力. 3.某射击手射击一次命中的概率是 0.7,连续两次均射中的概率是 0.4,已知某次射中,则 随后一次射中的概率是( ) A. B. C. D.

考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 计算题;概率与统计.

分析: 设“某次射中”为事件 A, “随后一次的射中”为事件 B,则 P(AB)=0.4,P(A) =0.7,利用 P(B|A)= 可得结论.

解答: 解:设“某次射中”为事件 A, “随后一次的射中”为事件 B, 则 P(AB)=0.4,P(A)=0.7, 所以 P(B|A)= = .

故选:C. 点评: 本题考查条件概率,考查学生的计算能力,比较基础. 4.如图所示,点 P 是函数 y=2sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0)的图象的最高点,M、N 是图象 与 x 轴的交点,若 ,则ω=( )

A. 8 B.

C.

D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 分析: 首先判定△MPN 为等腰直角三角形,然后通过它的性质求出 MN 的长度,再求出周期 T,进而求得ω. 解答: 解:因为 =0,所以 ,

则△MPN 是等腰直角三角形, 又点 P 到 MN 的距离为 2,所以 MN=2×2=4, 则周期 T=2×4=8,所以ω= = .

故选 C. 点评: 本题主要考查正弦型函数的轴对称性及直角三角形的性质. 5.已知 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=3 ﹣1,则 f ( A. )=( ) +1 C. ﹣1 D. ﹣ ﹣1
x

+1 B. ﹣

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的周期以及函数的奇偶性,通过函数的解析式求解即可. 解答: 解:f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=3 ﹣1, 则 f( )=f( )=f(﹣ )=﹣f( )=﹣( )=1 .
x

故选:B. 点评: 本题考查函数的周期性以及函数的奇偶性,函数值的求法,考查计算能力. 6. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 x 的值为﹣5, 则输出 y 的值为 ( )

A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 4 考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 x 的值,当 x=2 时不满足条件|x|>3, 计算并输出 y 的值为 4. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 x=﹣5 满足条件|x|>3,x=8, 满足条件|x|>3,x=5, 满足条件|x|>3,x=2, 不满足条件|x|>3,y=4, 输出 y 的值为 4. 故选:D. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属 于基础题.

7.在不等式组

确定的平面区域中,若 z=x+2y 的最大值为 9,则 a 的值为(



A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 考点: 专题: 分析: 解答: 简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的最大值是 7,利用数形结合即可得到结论. 解:作出不等式组对应的平面区域如图;

由 z=x+2y 得 y=﹣

,则截距最大,z 也最大,

∵z 的最大值为 9, ∴阴影部分对应的图象在直线 x+2y=9 的下方, 由图象可知当直线经过点 B 时,直线的截距最大. 由 ,解得 ,即 B(3,3)

∵B 也在直线 y=a 上, ∴a=3, 故选:B

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合确定 z 取得最大值对应的最优解是解 决本题的关键.
a

8.已知正实数 m,n 满足 m+n=1,且使 a 的值为( ) C. 2 D. 3

取得最小值.若曲线 y=x 过点 P( , ) ,则

A. ﹣1 B.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式. 分析: 先根据基本不等式等号成立的条件求出 m,n 的值,得到点 P 的坐标,再代入到函数 的解析式中,求得答案. 解答: 解: =(m+n) ( + )=1+16+ + ≥17+2 =25,当且仅当 n=4m,即

m= ,n= 时取等号, ∴点 P( ∴ = , ) , ,

∴α= . 故选:B 点评: 本题考查了基本不等式的应用以及函数的解析式,属于基础题.

9. 若双曲线

=1 (a>0, b>0) 的左、 右焦点分别为 F1, F2, 线段 F1F2 被抛物线 y =4bx )

2

的焦点分成 5:3 两段,则此双曲线的离心率为( A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 依题意,抛物线 y =2bx 的焦点 F(b,0) ,由 ( b+c) : (c﹣b)=5:3 可求得 b,c 关系,结合双曲线的性质即可求得此双曲线的离心率. 解答: 解:∵抛物线 y =4bx 的焦点 F(b,0) ,线段 F1F2 被抛物线 y =4bx 的焦点分成 5:3 的两段, ∴(b+c) : (c﹣b)=5:3,∴c=4b, ∴c =a +b =a +
2 2 2 2 2 2 2







∴此双曲线的离心率 e=



故选:A. 点评: 本题考查双曲线的简单性质与抛物线的简单性质,求得 c=4b 是关键,考查分析与运 算能力,属于中档题. 10.函数 f(x)的定义域为 D,对给定的正数 k,若存在闭区间[a,b]? D,使得函数 f(x) 满足:①f(x)在[a,b]内是单调函数;② f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb],则称区 间[a,b]为 y=f(x)的 k 级“理想区间” .下列结论错误的是( ) A. 函数 f(x)=﹣x (x∈R)存在 1 级“理想区间” x B. 函数 f(x)=e (x∈R)不存在 2 级“理想区间” C. 函数 f(x)= (x≥0)存在 3 级“理想区间”
x 2

D. 函数 f(x)=loga(a ﹣ ) (a>0,a≠1)不存在 4 级“理想区间”

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 新定义. 分析: A、B、C 中,可以找出定义域中的“理想区间” ,从而作出正确的选择.D 中,假设 存在“理想区间”[a,b],会得出错误的结论.

解答: 解:A 中,当 x≥0 时,f(x)=x 在[0,2]上是单调增函数,且 f(x)在[0,2]上 的值域是[0,4],∴存在 1 级“理想区间” ,原命题正确; B 中,当 x∈R 时,f(x)=e 在[a,b]上是单调增函数,且 f(x)在[a,b]上的值域是[e , b e ,],∴不存在 2 级“理想区间” ,原命题正确; C 中,因为 f(x)= = 在(0,1)上为增函数.假设存在[a,b]? (0,1) ,使得 f
x a

2

(x)∈[3a,3b]则有

,所以命题正确;

D 中,若函数(a>0,a≠1) .不妨设 a>1,则函数在定义域内为单调增函数, 若存在“4 级理想区间”[m,n], 则由,得即 m,n 是方程 loga(a ﹣ )=4x 的两个根, 即 m,n 是方程 a ﹣a
4x x x

=0 的两个根,

由于该方程有两个不等的正根,故存在“4 级理想区间”[m,n],∴D 结论错误 故选:D. 点评: 本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题,解题时应理解新定义中的题意与要 求,转化为解题的条件与结论,是易错题. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,如图是根 据某地某日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列出的 茎叶图,则甲、乙两地浓度的方差较小的是 甲 .

考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 根据茎叶图中的数据分布,即可得到甲乙两地浓度的方差的大小关系 解答: 解:根据茎叶图中的数据可知,甲地的数据都集中在 0.06 和 0.07 之间,数据分别 比较稳定, 而乙地的数据分布比较分散,不如甲地数据集中, ∴甲地的方差较小. 故答案为:甲 点评: 本题考查茎叶图的识别和判断,根据茎叶图中数据分布情况,即可确定方差的大小, 比较基础.

12.二项式(x+

) 的展开式中常数项为 4 .

4

考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理. 分析: 直接利用二项式定理展开式的通项公式,x 的指数为 0,求解即可. 解答: 解:二项式(x+ ) 的展开式的通项公式为:
4

=



令 12﹣4r=0 可得 r=3,二项式(x+

) 的展开式中常数项为:

4



故答案为:4. 点评: 本题考查二项式定理的应用,特殊项的求法,考查计算能力. 13.已知圆 C 过点(﹣1,0) ,且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l:y=x+1 被该圆所截得的弦 长为 2 ,则圆 C 的标准方程为 (x+3) +y =4 .
2 2

考点: 圆的标准方程. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: 根据题意设圆心 C 坐标为(x,0) ,根据圆 C 过(﹣1,0) ,利用两点间的距离公式 表示出圆的半径, 利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线 l 的距离 d, 根据已知的弦长, 利用垂径定理及勾股定理列出关于 x 的方程,求出方程的解得到圆心坐标及半径,写出圆 C 的标准方程即可. 解答: 解:设圆心 C(x,0) ,则圆的半径 r=|BC|=|x+1|, ∴圆心 C 到直线 l 的距离|CD|= ,弦长|AB|=2 ,

则 r=

=|x+1|,

整理得:x=2(不合题意,舍去)或 x=﹣3, ∴圆心 C(﹣3,0) ,半径为 2, 则圆 C 方程为(x+3) +y =4. 2 2 故答案为: (x+3) +y =4.
2 2

点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间的距离公式,垂径定理, 勾股定理, 点到直线的距离公式, 以及圆的标准方程, 熟练掌握公式及定理是解本题的关键.

14.已知正方形 ABCD,M 是 DC 的中点,由 sinxdx= 1 .

=m

+n

确定 m,n 的值,计算定积分

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先根据向量的意义求出 m,n 的值,再根据定积分的计算法计算即可. 解答: 解:∵ ∴m=﹣ ,n=1, ∴ sinxdx= sinxdx=﹣cosx| =1, = + = + = + = ﹣ + =﹣ + =m +n ,

故答案为:1. 点评: 本题考查了向量的几意义以及定积分的计算,属于基础题. 15.如图,三个半径都是 5cm 的小球放在一个半球面的碗中,三个小球的顶端恰好与碗的上 沿处于同一水平面,则这个碗的半径 R 是 5 cm.

考点: 球内接多面体. 分析: 根据三个小球和碗的相切关系,作出对应的正视图和俯视图,建立球心和半径之间 的关系即可得到碗的半径. 解答: 解:解:分别作出空间几何体的正视图和俯视图如图: 则俯视图中,球心 O(也是圆心 O)是三个小球与半圆面的三个切点的中心, ∵小球的半径为 5cm, ∴三个球心之间的长度为 10cm, 即 OA= × ×10= cm. ,

在正视图中,球心 B,球心 O(同时也是圆心 O) , 和切点 A 构成直角三角形, 则 OA +AB =OB , 其中 OB=R﹣5,AB=5, ∴( 即 ) +5 =(R﹣5) =(R﹣5)
2 2 2 2 2 2 2

∴R﹣5= R=5+

, cm. .

故答案为:5

点评: 本题主要考查了球的相切问题 的计算,根据条件作出正视图和俯视图,确定球半径 之间的关系是解决本题的关键,综合性较强,难度较大 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. 已知向量 =(cos (2x﹣ ) ,cosx+sinx) , = (1,cosx﹣sinx) ,函数 f (x)= .

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 f(A)= 求△ABC 的面积 S. 考点: 正弦定理;平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则列出 f(x)解析式,利用 两角和与差的余弦函数公式化简, 整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正 弦函数,根据正弦函数的单调性即可确定出函数 f(x)的单调递增区间; ,a=2,B= ,

(Ⅱ)由第一问确定出的 f(x)解析式,根据 f(A)=

确定出 A 的度数,再由 a,sinB

的值, 利用正弦定理求出 b 的值, 同时利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式求出 sinC 的值,利用三角形面积公式即可求出 S. 解答: 解: (Ⅰ)∵向量 ∴函数 f(x)= ? +cos2x= cos2x+ 令﹣ +2kπ≤2x+ =(cos(2x﹣
2

) ,cosx+sinx) ,
2

=(1,cosx﹣sinx) , ) ) , +kπ(k∈Z) ,

=cos(2x﹣

)+cos x﹣sin x=cos(2x﹣ sin2x= sin(2x+

sin2x+cos2x= cos2x+ ≤

+2kπ(k∈Z) ,得﹣ +kπ,

+kπ≤x≤

则函数 f(x)的单调递增区间为[﹣ (Ⅱ)由 f(A)= sin(2A+ )=

+kπ](k∈Z) ; )= ,

,得 sin(2A+ ,

∵A 为△ABC 的内角,由题意知 0<A< ∴ <2A+ = < , , , = , ,得 b= = ,

∴2A+

解得:A= 又 a=2,B=

∴由正弦定理 ∵A= ,B=



∴sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B)=snAcosB+cosAsinB= 则△ABC 的面积 S= absinC= ×2× × = .

× +

×

=



点评: 此题考查了正弦定理,平面向量的数量积运算,正弦函数的单调性,以及三角形的 面积公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 17.已知等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,非常数等比数列{bn}的公比是 q,且满足:a1=2, b1=1,S2=3b2,a2=b3. (Ⅰ)求 an 与 bn; (Ⅱ)设 cn=2bn﹣λ? ,若数列{cn}是递减数列,求实数λ的取值范围.

考点: 等差数列与等比数列的综合;数列的求和.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,运用等差数列和等比数列的通项公式,计算即可 得到; (Ⅱ)化简 cn=2bn﹣λ? =2 ﹣3 λ,由题意可得 cn+1<cn 对 n∈N 恒成立,运用参数分离
n n *

和数列的单调性,求得最大值,即可得到所求范围. 解答: 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d, 2 则 2+a2=3q,且 a2=q , 2 即有 q ﹣3q+2=0, 解得 q=2 或 1(舍去) , 即有 a2=4,d=2, n﹣1 则 an=2n,bn=2 ; (Ⅱ)cn=2bn﹣λ? =2 ﹣3 λ,
* n n

由题意可得 cn+1<cn 对 n∈N 恒成立, n+1 n+1 n n 即有 2 ﹣3 λ<2 ﹣3 λ, 即 2λ3 >2 ,即 2λ>( ) 对 n∈N 恒成立. 由 f(n)=( ) 为递减数列,即有 f(n)的最大值为 f(1)= , 则有 2λ> ,解得 .
n n n n *

故实数λ的取值范围为( ,+∞) . 点评: 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用,同时考查数列的单调性,注意转 化为不等式的恒成立问题,考查运算能力,属于中档题. 18.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠ABC=60°,AB=2CB=2.在 梯形 ACEF 中,EF∥AC,且 AC=2EF,EC⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:BC⊥AF; (Ⅱ)若二面角 D﹣AF﹣C 为 45°,求 CE 的长.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)证明 BC⊥AC,BC⊥EC,AC∩EC=C,可得 BC⊥平面 ACEF,从而 BC⊥AF; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面 DAF 的法向量,平面 AFC 的法向量,根据二面角 D﹣ AF﹣C 为 45°,利用向量的夹角公式,即可求 CE 的长.

解答: (Ⅰ)证明:在△ABC 中,AC =AB +BC ﹣2AB? BCcos60°=3 2 2 2 所以 AB =AC +BC , 由勾股定理知∠ACB=90°所以 BC⊥AC. …(2 分) 又因为 EC⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD 所以 BC⊥EC. …(4 分) 又因为 AC∩EC=C, 所以 BC⊥平面 ACEF, 又 AF? 平面 ACEF 所以 BC⊥AF. …(6 分) (Ⅱ)解:因为 EC⊥平面 ABCD,又由(Ⅰ)知 BC⊥AC,以 C 为原点,建立如图所示的空间 直角坐标系 C﹣xyz. 设 CE=h,则 C(0,0,0) , 所以 , , , .…(8 分) ,

2

2

2

设平面 DAF 的法向量为

=(x,y,z) ,则



.所以

=(

,﹣3,

) .…(9 分)

又平面 AFC 的法向量

=(0,1,0)…(10 分)

所以 cos45°=

=

,解得

. …(11 分)

所以 CE 的长为



…(12 分)

点评: 本题考查线面垂直的判定与性质,考查面面角,考查向量知识的运用,正确求出平 面的法向量是关键. 19.已知正三棱锥 S﹣ABC 的侧棱 SA,SB,SC 两两互相垂直,D,E,F 分别是它们的中点, SA=SB=SC=2,现从 A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个点,加上点 S,把这四个点每两个 点相连后得到一个“空间体” ,记这个“空间体”的体积为 X(若点 S 与所取三点在同一平 面内,则规定 X=0) . (Ⅰ)求事件“X=0”的概率;

(Ⅱ)求随机变量 X 的分布列及数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;排列、组合的实际应用. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)求出从 A、B、C、D、E、F 六个点中任取三个点的所有不同的取法,再求出其 中所选取的 3 个点与点 S 在同一平面内的取法, 然后利用古典概型概率计算公式求得所求事 件“X=0”的概率; (Ⅱ)由题意可得 X 的所有可能取值为 0, .然后利用古典概型概率计算公

式分别求出概率,列出频率分布表,再由期望公式求期望. 解答: 解: (Ⅰ)从 A、B、C、D、E、F 六个点中任取三个点共有 其中所选取的 3 个点与点 S 在同一平面内的取法有 ∴所求事件“X=0”的概率 P(X=0)= (Ⅱ)由题意可得 X 的所有可能取值为 0, 由(Ⅰ)得:P(X=0)= , ; . 不同取法, 种不同的取法,

P(X= )=



P(X= )=



P(X= )=



P(X= )=



∴随机变量 X 的分布列为: X P ∴E(x)= . 0

点评: 本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识,考查推理论证能力、数据处理能力、 运算求解能力及应用意识,属中档题.

20.已知椭圆
2 2 2

=1(a>b>0)的离心率为 e,半焦距为 c,B(0,1)为其上顶点,且

a ,c ,b ,依次成等差数列. (Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率 e; (Ⅱ)P,Q 为椭圆上的两个不同的动点,且.kBP? kBQ=e (i)试证直线 PQ 过定点 M,并求出 M 点坐标; (ii)△PBQ 是否可以为直角三角形?若是,请求出直线 PQ 的斜率;否则请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由题意,b=1,a +b =2c ,结合 c +b =a ,可求椭圆的标准方程和离心率 e; 2 (Ⅱ) (i)设直线 PQ 的方程为 x=my+n,代入椭圆方程,利用韦达定理,结合 kBP? kBQ=e , 求出 m,n 的关系,即可得出直线 PQ 过定点 M,并求出 M 点坐标; (ii)确定 P 或 Q 在以 BM 为直径的圆 T,与椭圆方程联立,即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)由题意,b=1,a +b =2c , 2 2 2 ∵c +b =a , 2 2 ∴a =3,c =2, ∴ ,e= = ;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(Ⅱ) (i)设直线 PQ 的方程为 x=my+n,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 2 2 2 直线方程代入椭圆方程可得(3+m )y +2mny+n ﹣3=0, ∴y1+y2=﹣ ,y1y2= ,

∴kBP? kBQ=
2

?
2

=e = ,

2

整理可得 n ﹣2mn﹣3m =0 ∴n=﹣m 或 n=3m, ∴直线 PQ 的方程为 x=my﹣m=m(y﹣1) (舍去)或 x=my+3m=m(y+3) , ∴直线 PQ 过定点(0,﹣3) ; (ii)由题意,∠PBQ≠90°,若∠BPM=90°或∠BQM=90°,则 P 或 Q 在以 BM 为直径的圆 T 上,即在圆 x +(y+1) =4 上,与椭圆方程联立得 y=0 或 1(舍去) , ∴P 或 Q 只可以的椭圆的左右顶点, ∴直线 PQ 的斜率为± . 点评: 本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查直线过定点,考查学生分 析解决问题的能力,属于中档题. 21.已知函数 f(x)=a ﹣2x(a>0,且 a≠1) . (Ⅰ)当 a=2 时,求曲线 f(x)在点 P(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)若 f(x)的值恒非负,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f(x)存在极小值 g(a) ,求 g(a)的最大值.
x 2 2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题: 分类讨论;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出当 a=2 时的 f(x)解析式和导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方 程即可得到切线方程; (Ⅱ)当 x≤0 时,由指数函数的值域和不等式的性质,f(x)的值恒非负;当 x>0 时,运 用对数的运算性质和参数分离,令 g(x)= ,x>0,求得导数,判断单调性,求

出最大值即可得到 a 的范围; (Ⅲ)讨论①0<a<1 时,由单调性可得 f(x)无极值;②a>1 时,设 f′(x)=0 的根为 t,通过单调性,求得极小值,令 x= 即可得到最大值. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=2 时,f(x)=2 ﹣2x,f′(x)=2 ln2﹣2, 曲线 f(x)在点 P(2,f(2) )处的切线斜率为 k=f′(2)=4ln2﹣2, 切点为(2,0) , 则有曲线 f(x)在点 P(2,f(2) )处的切线方程为 y﹣0=(4ln2﹣2) (x﹣2) , 即为 y=(4ln2﹣2)x﹣8ln2+4; (Ⅱ)当 x≤0 时,a >0,a ﹣2x≥0 恒成立. x x>0 时,f(x)≥0 即为 a ≥2x,xlna≥ln(2x) , 即有 lna≥ ,令 g(x)= ,x>0,
x x x x

,则 h(x)=x﹣xlnx,x>0,通过导数判断单调性,

g′(x)=

,令 g′(x)=0,则 x= ,

当 0<x< 时,g′(x)>0,g(x)递增, x> 时,g′(x)<0.g(x)递减. g(x)max=g( )= = ,

即 lna

,解得 a≥



则 a 的取值范围是[
x

,+∞) ;

(Ⅲ)f′(x)=a lna﹣2, x ①0<a<1 时,a >0,lna<0,f′(x)<0,f(x)在 R 上递减,f(x)无极值; ②a>1 时,设 f′(x)=0 的根为 t,a =
t

,t=



f(x)在(﹣∞,t)递减,在(t,+∞)递增,

f(x)的极小值为 f(t)=a ﹣2t=

t

2?



即 g(a)= 则 a>1, 令 x=

2? >0,



,则 h(x)=x﹣xlnx,x>0,h′(x)=1﹣lnx﹣1=﹣lnx,

h′(x)=0,解得 x=1,h(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减, 即有 h(x)的最大值为 h(1)=1, 即 g(a)的最大值为 1,此时 a=e . 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值和最值,同时考查不等式恒成 立问题转化为求函数的最值,注意运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键.
2


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