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江苏省盐城市射阳县陈洋中学2014-2015学年高一下学期期末数学复习试卷 Word版含解析


江苏省盐城市射阳县陈洋中学 2014-2015 学年高一下学期期末数 学复习试卷
一、填空题 1.化简 sin20°cos40°+cos20°sin40°=. 2.cos840°=.

3.已知向量 =(3,﹣1)向量 =(2,m) ,若 ⊥ ,则 m=.

4.已知圆锥的母线长为 2,高为 . 5.在△ ABC 中,若 a ﹣c

+b + 6.在△ ABC 中,若 S△ ABC=12
2 2 2

,则该圆锥的侧面积是

ab=0,则∠C=. ,ac=48,c﹣a=2,则 b=.

7.已知数列{an} 满足 an+1﹣an=2,且 a3=8,则 a6=. 8.在等比数列{an}中,已知 S6=48,S12=60,则 S24=. 9.已知等差数列{an}中,a4+a8+a10+a14=20,则前 17 项的和为. 10.函数 f(x)=1﹣cosx,x∈R 取最大值时 x 的值是. 11.若点 P(2,﹣1)为圆(x﹣1) +y =25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是. 12.无论 k 为何值,直线(k+2)x+(1﹣k)y﹣4k﹣5=0 都过一个定点,则定点坐标为. 13.已知点 P(x,y)在圆 x +(y﹣1) =1 上运动,则
2 2 2 2

的最大值为最小值为.

14.已知两不同的平面 α,β 和两条不重合的直线 m,n 有下列四个 命题: ①若 m∥n,n⊥α 则 m⊥α. ②若 m⊥α,m⊥β 则 α∥β. ③若 m⊥α,m∥n,n?β,则 α⊥β. ④若 m∥α,α∩β=n 则 m∥n. 其中真命题的有.

二、解答题 15.设函数 f(x)=6cos x﹣2 sinxcosx. (1)求 f(x)的最小正周期和值域; (2)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(B)=0 且 b=2,cosA= , 求 a 和 sinC. 16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA⊥PD,底面 ABCD 是 直角梯形,其中 BC∥AD,∠BAD=90°,AD=3BC,O 是 AD 上一点. (Ⅰ)若 CD∥平面 PBO,试指出点 O 的位置; (Ⅱ)求证:平面 PAB⊥平面 PCD.
2

17.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,E,F 分别是 A1B,A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上,A1D⊥B1C.求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.

18.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13 (Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 Sn.

19.在平面直角坐标系 xOy 中,记二次函数 f(x)=x +2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交 点.经过三个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过定点(其坐标与 b 的无关)?请证明你的结论.

2

20.已知数列{an}中,a1=5,Sn+1=2Sn+n+5(n∈N ) (1)证明:{an+1} 数列是等比数列. (2)求数列 {an}的前 n 项和 Sn.

+

江苏省盐城市射阳县陈洋中学 2014-2015 学年高一下学 期期末数学复习试卷
参考答案与试题解析

一、填空题 1.化简 sin20°cos40°+cos20°sin40°= .

考点: 专题: 分析: 解答: =sin =sin60°=

两角和与差的正弦函数. 三角函数的求值. 逆用两角和的正弦即可求得答案. 解:sin20°cos40°+cos20°sin40° , .

故答案为:

点评: 本题考查两角和的正弦公式的逆用,属于基础题.

2.cos840°=﹣ .

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意利用诱导公式进行化简求得结果. 解答: 解:cos840°=cos(720°+120°)=cos120°=cos(90°+30°)=﹣sin30°=﹣ , 故答案为:﹣ . 点评: 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题.

3.已知向量 =(3,﹣1)向量 =(2,m) ,若 ⊥ ,则 m=6.

考点: 平面向量数量积的运算.

专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的垂直得出: 解即可 解答: 解:∵ ⊥ , ∴ =0 =0,利用向量数量积的坐标运算得出关于 m 的方程求

∵向量 =(3, ﹣1)向量 =(2,m) , ∴3×2﹣1×m=0, m=6 故答案为:6 点评: 本题考查了向量数量积的坐标运算,是基础题,准确计算即可. 4.已知圆锥的母线长为 2,高为 2π. ,则该圆锥的侧面积是

考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 通过题意,求出圆锥的底面半径,求出底面周长,然后求出圆锥的侧面积. 解答: 解:已知圆锥的母线长为 2,高为 ,则该圆锥的底面半径为:1 圆锥的底面周长为:2π, 所以圆锥的侧面积为: ×2π×2=2π 故答案为:2π 点评: 本题考查圆锥的侧面积, 考查计算能力, 圆锥的高, 底面半径, 母线构成勾股定理, 是解决圆锥问题的常用方法,是基础题. 5.在△ ABC 中,若 a ﹣c +b +
2 2 2

ab=0,则∠C=



考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由已知的式子和余弦定理的推论可求出 cosC,再由内角的范围求出角 C. 解答: 解:由题意得,a ﹣c +b + 由余弦定理得,cosC= 又 0<C<π,所以∠C= 故答案为: . , =
2 2 2

ab=0,则 a ﹣c +b =﹣ ,

2

2

2

ab,

点评: 本题考查了余弦定理推论的应用,注意三角形内角的范围,属于基础题.

6.在△ ABC 中,若 S△ ABC=12

,ac=48,c﹣a=2,则 b=





考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据题意和三角形的面积公式分别求出角 B、a、c 的值,再分别由余弦定理求出 边 b 的值. 解答: 解:因为 S△ ABC=12 所以 由 0<B<π 得,B= 由 ①当 B= ,ac=48, ,

,解得 sinB= 或 ,

得,c=8、a=6, 时,由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB =52,则 b= ;
2 2 2 2 2 2

=36+64﹣2× ②当 B= =36+64﹣2×

时,由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB =148,则 b= ,

综上可得,b 的值是 或 , 故答案为: 或 . 点评: 本题考查了余弦定理,以及三角形的面积公式,注意三角形内角的范围,属于中档 题. 7.已知数列{an} 满足 an+1﹣an=2,且 a3=8,则 a6=14. 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意和等差数列的定义判断出数列{an}是以 2 为公差的等差数列, 再由等差数列 的通项公式求出 a6 的值. 解答: 解:由题意知,an+1﹣an=2, 所以数列{an}是以 2 为公差的等差数列, 又 a3=8,所以 a6=a3+3d=8+6=14, 故答案为:14. 点评: 本题考查了等差数列的定义、通项公式,属于基础题.

8.在等比数列{an}中,已知 S6=48,S12=60,则 S24=



考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 根据等比数列的性质:当 Sn≠0 时,Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n 也成等比数列,计算即 可得到结论. 解答: 解:∵S6=48≠0, ∴S6,S12﹣S6,S18﹣S12,S24﹣S18 也成等比数列, 即 48,12,S18﹣60,S24﹣S18 也成等比数列, 则 S18﹣60= =3, = ,

即 S18=63,即有 S24﹣63= 即 S24= . .

故答案为:

点评: 本题主要考查等比数列的性质,在等比数列中,当 Sn≠0 时,Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n 也成等比数列. 9.已知等差数列{an}中,a4+a8+a10+a14=20,则前 17 项的和为 85. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知结合等差数列的性质求得 a1+a17,然后代入等差数列的前 n 项和得答案. 解答: 解:在等差数列{an}中,由 a4+a8+a10+a14=20,得 2(a1+a17)=20, ∴a1+a17=10, 则 .

故答案为:85. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础的计算题. 10.函数 f(x)=1﹣cosx,x∈R 取最大值时 x 的值是 π+2kπ(k∈Z) . 考点: 余弦函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 根据余弦函数的图象,可得当且仅当 x=π+2kπ(k∈Z)时 cosx 达到最小值﹣1,由 此可得函数 f(x)=1﹣cosx 取最大值时 x 的值. 解答: 解:∵当且仅当 x=π+2kπ(k∈Z)时,cosx=﹣1 达到最小值 ∴当 x=π+2kπ(k∈Z)时,函数 f(x)=1﹣cosx 取最大值 2 故答案为:π+2kπ(k∈Z) 点评: 本题给出三角函数式, 求它取最大值时相应的 x 值. 着重考查了三角函数的图象与 性质等知识,属于基础题. 11.若点 P(2,﹣1)为圆(x﹣1) +y =25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是 x﹣y﹣ 3=0.
2 2

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题. 分析: 求出圆心 C 的坐标,得到 PC 的斜率,利用中垂线的性质求得直线 AB 的斜率,点 斜式写出 AB 的方程,并化为一般式. 2 2 解答: 解:圆(x﹣1) +y =25 的圆心 C(1,0) ,点 P(2,﹣1)为 弦 AB 的中点,PC 的斜率为 =﹣1,

∴直线 AB 的斜率为 1,点斜式写出直线 AB 的方程 y+1=1×(x﹣2) ,即 x﹣y﹣3=0, 故答案为 x﹣y﹣3=0. 点评: 本题考查直线和圆相交的性质, 线段的中垂线的性质, 用点斜式求直线的方程的方 法. 12.无论 k 为何值,直线(k+2)x+(1﹣k)y﹣4k﹣5=0 都过一个定点,则定点坐标为(3, ﹣1) . 考点: 恒过定点的直线. 专题: 直线与圆. 分析: 直线即即 k(x﹣y﹣4)+(2x+y﹣5)=0,令参数 k 的系数等于零,求得 x 和 y 的 值,即可得到定点的坐标. 解答: 解:直线(k+2)x+(1﹣k)y﹣4k﹣5=0,即 k(x﹣y﹣4)+(2x+y﹣5)=0, 它一定经过直线 x﹣y﹣4=0 和直线 2x+y﹣5=0 的交点 M. 由 求得 ,故点 M 为(3,﹣1) ,

故答案为: (3,﹣1) . 点评: 本题主要考查直线过定点问题,令参数 k 的系数等于零,求得 x 和 y 的值,即可得 到定点的坐标,属于基础题.
2 2

13.已知点 P(x,y)在圆 x +(y﹣1) =1 上运动,则

的最大值为

最小值为﹣



考点: 圆的标准方程;直线的斜率. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设 为 k,即 kx﹣y﹣2k+1=0 根据圆心(0,1)到直线 kx﹣y﹣2k+1=0 的距离

等于 1,写出距离公式求出 k 的最大值与最小值. 解答: 解:设 为 k,即 kx﹣y﹣2k+1=0

根据圆心(0,1)到直线 kx﹣y﹣2k+1=0 的距离等于 1, 可得 =1,

∴k=





的最大值为 ,﹣

,最小值为﹣ .



故答案为:

点评: 本题考查直线与圆的位置关系 ,本题解题的关键是利用数形结合的思想来解出斜 率的值,本题是一个中档题目. 14.已知两不同的平面 α,β 和两条不重合的直线 m,n 有下列四个命题: ①若 m∥n,n⊥α 则 m⊥α. ②若 m⊥α,m⊥β 则 α∥β. ③若 m⊥α,m∥n,n?β,则 α⊥β. ④若 m∥α,α∩β=n 则 m∥n. 其中真命题的有①②③. 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据空间直线, 平面间的位置关系的判定定理和性质定理, 结合选项进行逐个判断 即可.同时利用反例的应用 解答: 解:对于①:若 m∥n,n⊥α,根据线面垂直的性质得到 m⊥α;故①为真命题; 对于②:若 m⊥α,m⊥β,根据线面垂直的性质以及面 面垂直的判定,得到 α∥β;故②为 真命题; 对于③:若 m⊥α,m∥n,∴n⊥α,∵n?β,根据面面垂直的判定定理得到 α⊥β,故③为 真命题; 对于④:如图,若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n 不成立,故④为假命题; 故答案为:①②③.

点评: 本题重点考查了空间中直线与直线平行、直线与平面平行、平面和平面平行、线面 垂直、面面垂直的判定与性质等知识,属于中档题 二、解答题 2 15.设函数 f(x)=6cos x﹣2 sinxcosx. (1)求 f(x)的最小正周期和值域; (2)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的 对边分别为 a,b,c,若 f(B)=0 且 b=2,cosA= , 求 a 和 sinC. 考点: 正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 综合题;三角函数的求值.

分析: (1)利用二倍角公式、辅助角公式化简函数,即可求 f(x)的最小正周期和值域; (2) 由f (B) =0, 得 B= , 由 cosA= , 可求 sinA= , 利用正弦定理, 求出 a, 利用 sinC=sin

(π﹣A﹣B) ,可得 sinC. 2 解答: 解: (1)f(x)=6cos x﹣2 =6× =3cos2x﹣ =2 ﹣ sin2x

sinxcosx

sin2x+3 )+3. =π,…(4 分) …(6 分) )=﹣ , …(9 分) …(10 分) = ﹣A)= . . …(12 分) …(14 分) . …(3 分)

cos(2x+

∴f(x)的最小正周期为 T= 值域为.

(2)由 f(B)=0,得 cos(2B+ ∵B 为锐角,∴ ∴2B+ = <2B+ . <

,∴B=

∵cosA= ,A∈(0,π) ,∴sinA= . 在△ ABC 中,由正弦定理得 a= ∴sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(

点评: 本题考查正弦定理,考查三角函数中的恒等变换,考查学生的计算能力,属于中档 题. 16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA⊥PD,底面 ABCD 是 直角梯形,其中 BC∥AD,∠BAD=90°,AD=3BC,O 是 AD 上一点. (Ⅰ)若 CD∥平面 PBO,试指出点 O 的位置; (Ⅱ)求证:平面 PAB⊥平面 PCD.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的性质. 专题: 证明题;综合题. 分析: (Ⅰ)CD∥平面 PBO,推出 BO∥CD 得到 AD=3BC,点 O 的位置满足 AO=2OD.

(Ⅱ)要证平面 AB⊥平面 PCD,只需证明平面 PCD 内的直线 PD,垂直平面 PABPD 内的 两条相交直线 AB、PA 即可. 解答: (Ⅰ) 解: 因为 CD∥平面 PBO, CD?平面 ABCD, 且平面 ABCD∩平面 PBO=BO, 所以 BO∥CD 又 BC∥AD, 所以四边形 BCDO 为平行四边形,则 BC=DO, 而 AD=3BC, 故点 O 的位置满足 AO=2OD. (Ⅱ)证:因为侧面 PAD⊥底面 ABCD,AB?底面 ABCD,且 AB⊥交线 AD, 所以 AB⊥平面 PAD,则 AB⊥PD 又 PA⊥PD, 且 PA?平面 PAB,AB?平面 PAB,AB∩PA=A, 所以 PD⊥平面 PAB,PD?平面 PCD, 所以:平面 PAB⊥平面 PCD.

点评: 本题考查平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的性质,考查逻辑思维能力,是 中档题. 17.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,E,F 分别是 A1B,A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上,A1D⊥B1C.求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.

考点: 直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 立体几何. 分析: (1)要证明 EF∥平面 ABC,证明 EF∥BC 即可; (2)要证明平面 A1FD⊥平面 BB1C1C,通过证明 A1D⊥面 BB1C1C 即可,利用平面与平面 垂直的判定定理证明即可. 解答: 证明: (1)因为 E,F 分别是 A1B,A1C 的中点, 所以 EF∥BC,又 EF?面 ABC,BC?面 ABC,所以 EF∥平面 ABC;

(2)因为直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,所以 BB1⊥面 A1B1C1,BB1⊥A1D, 又 A1D⊥B1C, BB1∩B1C=B1, 所以 A1D⊥面 BB1C1C, 又 A1D?面 A1FD, 所以平面 A1FD⊥ 平面 BB1C1C. 点评: 本题考查直线与平面平行和垂直的判断,考查学生空间想象能力,逻辑思维能力, 是中档题. 18.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13 (Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 Sn.

考点: 等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,根据等比数列和等差数列的通项公式, 联立方程求得 d 和 q,进而可得{an}、{bn}的通项公式. (Ⅱ)数列 Sn . 解答: 解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0 且 解得 d=2,q=2. 所以 an=1+(n﹣1)d=2n﹣1,bn=q
n﹣1

的通项公式由等差和等比数列构成,进而可用错位相减法求得前 n 项和

=2

n﹣1



(Ⅱ)



,①

Sn=

,②

①﹣②得 Sn=1+2( +

+…+

)﹣



则 = =

=



点评: 本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和. 19.在平面直角坐标系 xOy 中,记二次函数 f(x)=x +2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交 点.经过三个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过定点(其坐标与 b 的无关)?请证明你的结论. 考点: 二次函数的图象;圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意知,由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即 b 不等于 0, 然后抛物线与 x 轴有两个交点即令 f(x)=0 的根的判别式大于 0 即可求出 b 的范围; (2)设出圆的一般式方程,根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知:令 y=0 得到与 f(x)=0 一样的方程;令 x=0 得到方程有一个根是 b 即可求出圆的方程; (3)设圆的方程过定点(x0,y0) ,将其代入圆的方程得 x0 +y0 +2x0﹣y0+b(1﹣y0)=0, 2 2 因为 x0,y0 不依赖于 b 得取值,所以得到 1﹣y0=0 即 y0=1,代入 x0 +y0 +2x0﹣y0=0 中即可 求出定点的坐标. 解答: 解: . (1)令 x=0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ; 2 令 f(x)=x +2x+b=0,由题意 b≠0 且△ >0,解得 b<1 且 b≠0. 2 2 (2)设所求圆的一般方程为 x +y +Dx+Ey+F=0 2 2 令 y=0 得 x +Dx+F=0 这与 x +2x+b=0 是同一个方程,故 D=2,F=b. 2 令 x=0 得 y +Ey+F=0,方程有一个根为 b,代入得出 E=﹣b﹣1. 2 2 所以圆 C 的方程为 x +y +2x﹣(b+1)y+b=0. (3)圆 C 必过定点,证明如下: 假设圆 C 过定点(x0,y0) (x0,y0 不依赖于 b) ,将该点的坐标代入圆 C 的方程, 2 2 并变形为 x0 +y0 +2x0﹣y0+b(1﹣y0)=0(*) 2 2 为使(*) 式对所有满足 b<1 (b≠0) 的 b 都成立, 必须有 1﹣y0=0, 结合 (*) 式得 x0 +y0 +2x0 ﹣y0=0,解得 经检验知, (﹣2,1)和(0,1)均在圆 C 上,因此圆 C 过定点(﹣2,1)和(0,1) . 点评: 本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.是一道综合题. 20.已知数列{an}中,a1=5,Sn+1=2Sn+n+5(n∈N ) (1)证明:{an+1} 数列是等比数列. (2)求数列 {an}的前 n 项和 Sn.
+ 2 2 2

考点: 数列的求和;等比关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)通过 an+2=Sn+2﹣Sn+1,可得 an+2+1=2(an+1+1) ,验证 a2+1=2(a1+1) ,进而 可得结论; (2)通过(1) ,利用 Sn=(a1+1)+(a2+1)+…+(an+1)﹣n 计算即可. + 解答: (1)证明:∵Sn+1=2Sn+n+5(n∈N ) , + ∴Sn+2=2Sn+1+n+1+5(n∈N ) , 两式相减得:an+2=2an+1+1, 即 an+2+1=2(an+1+1) , + 又∵a1=5,Sn+1=2Sn+n+5(n∈N ) , ∴a2=11,且 a2+1=12=2×6=2(a1+1) , ∴数列{an+1}是以 6 为首项、2 为公比的等比数列; n﹣1 n (2)解:由(1)知 an+1=6×2 =3×2 , ∴Sn=(a1+1)+(a2+1)+…+(an+1)﹣n =3×
n

﹣n

=6×2 ﹣(n+6) . 点评: 本题考查判断等比数列,求数列的和,注意解题方法的积累,属于中档题.


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