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高二计数原理


计 数 原 理
知识点金
1.分类计数原理 完成一件事, n 类办法。 有 在第 l 类办法中有 m1 同方法, 在第 2 类办法中有 m2 不同的方法, ??, 在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+?+mn 种不同的方法. 2.分步计数原理 完成一件事, 需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同方法, 做第

2 步有 m2 种不同的方法, ??, 做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×?×mn 种不同的方法. 3.排列 从 n 个不同的元素中,任取 m(m≤n)个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列. 4.排列数公式

5. 组合 从 n 个不同的元素中,任取 m(m≤n)个不同的元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 6.组合数公式

7.组合数的两个性质

8.从 n 个不同元素中有重复地取 k 个元素的排列数是 n .

k

11.n 个不同元素取 k 个的圆排列数为

Ank 特别地 n 个不同元素作成的圆排列数为(n-1)! k

12.处理常见的计数问题的思维方式与策略: (1)特殊元素优先安排; (2)合理分类与准确分步;
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(3)先选后排; (4)正难则反,等价转化; (5)相邻问题捆绑处理; (6)不相邻问题插空处理; (7)顺序一定除法解决; (8)分排问题直排处理; (9)先整体后局部; (10)构造模型化抽象为具体

例题精析
例 l 有 8 个人排成一排,其中甲、乙、丙 3 人中,有两个相邻,但这 3 个人不同时相邻,求满足 条件的所有不同排法的种数.

例 2 6 本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分为三份,每份两本; (3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本; (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本.

例 3 如果把一个圆分成 n 个不同的扇形,用 m 种不同的颜色进行染色,且要求相邻的扇形染不同 的颜色,试问共有多少种不同的染色方法?

例 4 有 5 对夫妻围圆桌入座,任何一对夫妻都必须相邻,问有多少种不同的入座方法?

2

例 5 某学校招收的 12 名体育特长生中有 3 名篮球特长生,现要将这 12 名学生平均分配到 3 个班 中去, (1) 每班都分到 1 名篮球特长坐的分配方法有多少种? (2) 3 名篮球特长生分配到同一个班级的分配方法共有 多少种?

例 6 如图,从第一格跳到第八格,规定每跳只能跨 1 格或 2 格,求不同的跳格方法数.

例 7 星期天,有 3 家人约好外出自驾游.每家都有 r 二口人(两个大人和一个小孩),现在他们准 备开“宝马”“奔驰”和“帕沙特”三辆车,他们规定: 、 (1)每辆车限坐 4 人; (2)每辆必须有一个大人开车; (3)三个小孩不能乘坐同一辆车.问满足上述三个条件的乘车方法有多少种?

同步检测
一、选择题 1.过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条.其中异面直线有( A.18 对 B.24 对 C.30 对 ) D.36 对

2.从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览。 每人只游览一个城市.且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有( A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 )

3.四棱锥的 8 条棱代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是 危险的,没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、 ②、③、④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( A.96 B.48 C.24 D.O )

4.4 位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,
3

选甲题答对得 100 分,答错得一 100 分;选乙题答对得 90 分,答错得一 90 分.若 4 位同学的 总分为 0,则这 4 位同学不同得分情况的种数是( A.48 B.36 C. 24 ) D.18 )

5.有 10 台配置相同的电脑,分给 5 个不同的教研组,每组至少 1 台,则不同的分法数是( A.126 二、填空题 6.设含有 8 个元素的集合的全部子集数为 S, 其中由 3 个元素组成的子集数为 T, 的值为 B.125 C.75 D.65

7.从编号为 l,2,3,4,5 的五个球中任取 4 个,放在标号为 A、B、C、D 的四个金子里,每盒一 球,且 2 号球不能放在 B 盒中,则不同的放法种数为 (用数字作答).

S T

.

8.半圆的圆周上有不同于直径两端点的 5 个点,在直径上有不同于两端点的 4 个点,则由这 11 个 点可以构成非直角三角形的最多个数为 . . .

9.有 15 个相同的小球分别放到 1.2,3 号盒子中,要求球数不少于号数的放法数是 10.有 N 个不同的球放入 N 个不同的盒子中,其中恰有一个盒子未放球的放法有 三、解答题

11.九张卡片分别写着数字 O,l,2,?,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果 6 可 以当作 9 使用。问可以组成多少个三位数?

12.将 5 个不同的奇数和 18 个偶数标在同一圆周的 23 个点上,要求任何两个奇数之间至少标两个 偶数,问共有多少种不同的排列方法?

13.构造事件模型证明

14. “渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数(如 34689), (1)求五位“渐升数”的个数; (2)若把这些数按从小到大的顺序排列,求第 100 个数.

4

15.设集合 M={1,2,3,?,n }的全部元素的一种排列是 a1,a2,?,an,若任何一个 ai≠i(i=1, 2,?,n),这样的排列 a1,a2:an,叫错位排列.用 Cn 表示 n 个元素的错位排列数,则

16.用 4 种不同的颜色给右图的 5 个区域染色,相邻的区域不染同色,且 4 种颜色都要染上,求不 同的染色方法数。

17.将三种农作物种植到如图的 5 块实验田里,每块田只种一种农作物, 且同一种农作物必须种 在相邻的实验田中,求不同的种植方法数.

18.某学校招收的 12 名体育特长生中有 3 名篮球特长生,现要将这 12 名学生平均分配到 3 个班中 去,(1)每班都分到 1 名篮球特长生的分配方法有多少种? (2)3 名篮球特长生分配到同一个班级的分配方法共有多少种?

19.已知正四面体 ABCD 的棱长为 1 米,有一只蚂蚁从顶点 A 出发,沿着各棱爬行,并遵循下列规 则:①在每条棱的中途不改变爬行方向;②到达顶点处时,继续爬行可从三条棱中任选一条. (1)求爬行 2 米后回到 A 点的不同爬法数; (2)求爬行 7 米后回到 A 点的不同方法;(3)你能归纳出一般的结论吗?

20.如果把一个圆分成 n 个不同的扇形,用 3 种不同的颜色进行染色,且要求相邻的扇形染不同的 颜色,试问共有多少种不同的染色方法?

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