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高三数学双基百分百练习17


2011 年高考数学双基达标百分百(十七)
班级 姓名 座号 成绩 一、填空题(每小题 4 分,共 48 分)

x 1、已知集合 A ? ?? 1,0, a?, B ? x 1 ? 2 ? 2 ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是

?

?

2、函数 y ? cos (

x ?

?

?

) ? sin ?( x ? ) 的最小正周期为 ? ?

?

3、在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 ? 4、若 tan ? ? ?2 , ? 是直线 y ? kx ? b 的倾斜角,则 ? = 5、设 (1 ? 2i) z ? 3 ? 4i (i 为虚数单位) ,则 | z |? 6、东经 57 线上,纬度分别为北纬 68 和 38 的两地 A , B 的球面距离是_______(设地球 半径为 R ) 7、已知直线 x ? 2 y ? 2 与 x 轴, y 轴分别交于 A, B 两点,若动点 P ( a, b) 在线段 AB 上, 则 ab 的最大值为________ 8、 如果 ( x +
? ? ?

(用 ? 的反正切表示)

1 n ) 展开式中, 第四项与第六项的系数相等, 则展开式中的常数项的值等于____ x ax 1 3

9、设 a ? 0, a ? 1 ,行列式 D ? 2

0

2

1 中第 3 行第 2 列的代数余子 4 ?3

式记作 y ,函数 y ? f ?x ? 的反函数经过点 ?2,1? ,则 a ? 10、 (理科)在平 面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为 (1, ? 3) .若以 原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是 (文科)如图, 某几何体的正视图是边长为 2 的正方形, 左视图和俯视图都 2 是直角边长为 的等腰直角三角形, 则该几何体的体积等于_________
正视图 左视图

x2 y 2 2 11、已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y ? 8x 有一个公 a b
共的焦点 F ,且两曲线的一个交点为 P ,若 PF ? 5 ,则双曲线的渐 近线方程为 12、已知 {an } 是等差数列,设 Tn ? a1 ? a2 ? ? ? an (n ? N ) .某 学生设计了一个求 Tn 的算法框图(如图) ,图中空白处理框中是用 n 的表达式对 Tn 赋值,则空白处理框中应填入: Tn ←____________
?

俯视图

开始 输入 n n≤5 Y Tn←-n2+9n 输出 Tn 结束 (第 12 题图) N

1

13、不等式 x ?

1 ? a ? 2 ? sin y 对一切非零实数 x, y 均成立,则实数 a x

D N

C M

的范围为 14、如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB=2,M 为 BC 的中点,若 N 为正方形内(含边界)任意一点,则 AM ? AN 的最大值 为 二、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 15、已知 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,以下命题正确的是( (A) 若 l ? ? , l ? m , 则 m

A


B

?;

(B)若 l // ? , m

? , 则 l // m ;

(C)若 l ? ? , m // ? , 则 l ? m ; (D) 若 l ? ? , l ? m , 则 m // ? ; 16、已知射手甲射击一次,命中 9 环以上(含 9 环)的概率为 0.5,命中 8 环的概率为 0.2, 命中 7 环的概率为 0.1,则甲射击一次,命中 6 环以下(含 6 环)的概率为( ) (A)0.8; (B)0.5; ( C)0.2 ; (D)0.1; 17、方程 x3 ? xy 2 ? 2x 所表示的曲线是 (A)一个点; (C)一条直线和一个圆; ( ) (B)一条直线; (D)一个点和一个圆;

18、已知周期为 2 的偶函数 f ( x ) 在区间[0,1]上是增函数,则 f (?6.5) , f (?1) , f (0) 的 大小关系是( ) (B) f (0) < f (?6.5) < f (?1) ; (D) f (?1) < f (0) < f (?6.5) ;

(A) f (?6.5) < f (0) < f (?1) ; (C) f (?1) < f (?6.5) < f (0) ; 三、解答题(13+13++14+16+18,共 74 分) 函数 f ?x? ? a ? b 在 R 上的最大值为 2 . (1)求实数 a 的值; ( 2 )把函数 y ? f ?x ? 的图象向右平移

19、已知向量 a ? ?1 ? coswx,1?, b ? 1, a ? 3 sin wx ( w 为常数且 w ? 0 ) ,

?

?

? 个单位,可得函数 y ? g ?x ? 的图象,若 6w

? ?? y ? g ?x ?在 ?0, ? 上为增函数,求 ? 的最大值. ? 4?

2

20、 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB ? BC ? 1 ?ABC ? 900 , E 、F 分别为 AC 1 1 、B 1C1 的中点, D 为棱 CC1 上中点. AB ? BC ? 1 , CC1 ? 2 (1)求证:直线 EF ∥平面 ABD ; (2)(理)求平面 ABD 与平面 BCC1B1 所成的二面角的大小. (文)求异面 EF 与 BD 所成的角的大小. A B C

D

A1

E F B1
第 20 题

C1

21、一服装厂花费 2 万元购买某品牌运动装的生产权与销售权,根据以往的经验,每生产 1 百套这种品牌运动装的成本为 1 万元,且生产出 运动服能全部售出,已知销售 x (百 套)的销售额 R ? x ? (单位:万元)满足

??0.4 x 2 ? 4.2 x ? 0.8 ? R ? x? ? ? 9 ?14.7 ? x ?3 ?

0? x?5 x?5

(1)写出利润 y 关于 x 的函数关系式,并计算该服装厂生产 750 套这种品牌运动装可 获得利润多少万元? (2)该服装厂生产多少套这种品牌运动装可获得利润最大?此时利润是多少万元?

3

22、存在对称中心的曲线叫做有心曲线.显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线.若有心曲线 上两点的连线段过中心,则该线段叫做有心曲线的直径. (1)已知点 P ?1, ? ,求使 ?PAB 面积为 方程; (2)定理:若过圆 x 2 ? y 2 ? 1的一条直径的两个端点与圆上任意一点(不同于直径两端点) 的连线所在直线的斜率均存在,那么此两斜率之积为定值 ?1 .请对上述定理进行推广. 说明:第(2)题将根据结论的一般性程度给与不同的评分.

? 1? ? 2?

x2 7 ? y 2 ? 1 的直径 AB 所在的直线 时,椭圆 3 2

23、已知在直角坐标系中, An (an ,0), Bn (0, bn ) ( n ? N ) ,其中数列 {an } ,{bn } 都是递增
*

数列. (1)若 an ? 2n ? 1, bn ? 3n ? 1 ,判断直线 A1B1 与 A2 B2 是否平行; (2)若 {an } ,{bn } 都是正项等差数列,设四边形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积为 Sn ( n ? N ) ,求
*

证: {Sn } 也是等差数列;

b , Z? (3) 若 an ? 2n ,bn ? an ? b , (a

) ,b1 ? ?12 , 记直线 An Bn 的斜率为 kn , 数列 {kn }

前 8 项依次递减,求满足条件的数列 {bn } 的个数.

4

2011 年高考数学双基达标百分百(十七)参考答案
一、填空题 1、 (0,1) 提示: B ? ?0,1? 2、 ? 提示:化简成 y ? cos? 2 x ? 3、42 提示:计算公差 d ? 3 , a4 ? 11 , a5 ? 14, a6 ? 17 4、 ? ? ? ? arctan 2 5、 z ? 5 提示: ?1 ? 2i ? ? z ? 1 ? 2i ? z ? 6、

? ?

??

? ? ? sin 2 x 2?

5z ?5

?R 6
? ? ?

?AOB ? 68 ? 38 ? 30 , 提示: 经过 A、B 两地的大圆就是已知经线.
AB ?
7、

30 ? ? ? R ?R ? . 180 6

1 2

1 提示: a ? 2b ? 2 , ab ? ?a ? 2b? ? 2
8、70 提示: n ? 8 9、4 提示: a23 ? 4 的代数余子式为 ?? 1?
i? j

1 ? a ? 2b ? 1 ? ? ? 2? 2 ? 2

2

ax 2

3 ? 6 ? a x , y ? 6 ? a x 点 ?1,2? , 2 ? 6 ? a 1

a?4
10、 (理) (2, 2 k? ? 11、 3x ? y ? 0 提示:根据抛物线的定义得: F ?2,0? , PF ? x P ? 2 ? 5,? x P ? 3 , y P ? 24
2

?
3

) (文)

8 3

5

? 9 24 2 ? 2 ? 2 ?1 ? ?a ? 1 所以渐近线方程为 3x ? y ? 0 ?? 2 b ?a ?a 2 ? b 2 ? 4 ? ?b ? 3 ?
12、 n ? 9n ? 40
2

提示: n ? 5, Tn ? 9n ? n 2 ,? an ? Tn ? Tn?1 ? 10 ? 2n

? n ? 5, S n ? T5 ? a6 ? ? ? an ? 20 ?
13、 ?1,3? 提示 a ? 2 ? x ?

?2 ? 2n ? 10 ??n ? 5? ? n 2 ? 9n ? 40
2

1 ? sin y 对一切非零实数 x, y 均成立, a ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 x

14、6 提示:以 A 为坐标原点,AB 和 AD 所在直线为 x 轴和 y 轴, 建立平面直角坐标系,设 N ?x, y ? , A?0,0?, M ?2,1?

?0 ? x ? 2 , 2 x ? y ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 ,最大值是 6 AN ? AM ? 2x ? y 满足条件 ? ?0 ? y ? 2
二、选择题 15、C 16、C 17、C 18、B 提示: f ?? 6.5? ? f ?6.5? ? f ?0.5? , f ?? 1? ? f ?1? 三、解答题

f ( x) ? 1 ? cos ? x ? a ? 3 sin ? x ? 2sin(? x ? ) ? a ? 1 6 19、解: (1) 3分 f ( x ) 因为函数 在 R 上的最大值为 2 ,所以 3 ? a ? 2 故 a ? ?1 6分 ? ?? ?? ? ? (2) 由 (1) 知: f ?x ? ? 2 sin? wx ? ? , 把函数 f ?x ? ? 2 sin? wx ? ? 的图象向右平移 6w 6? 6? ? ? 个单位,可得函数 y ? g ( x) ? 2sin ? x 10 分

?

? 2? [0, ] T? ?? 4 上为增函数? g ( x) 的周期 ? 又? y ? g ( x) 在 即? ? 2 所以 ? 的最大值为 2 。
20、 (1)证明:因为 E 、 F 分别为 AC 1 1、B 1C1 的中点, 所以 EF / / A 1B 1 / / AB 4分 而 EF ? 面ABD, AB ? 面ABD ,所以直线 EF ∥平面 ABD
6

13 分

7分

(2)(理)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,所以 AB ? BB1 ,又 AB ? BC , 而 BB1 ? 面 BCC1B1 , BC ? 面 BCC1B1 ,且 BB1 ? BC ? B , 所以 AB ? 面 BCC1B1 又 AB ? 面ABD , 所以平面 ABD ⊥平面 BCC1B1 平面 ABD 与平面 BCC1B1 所成的二面角的大小 10 分

(文)由(1)知 ? BDA 就是所求异面 EF 与 BD 所成的角的大小.

? 2

13 分 10 分

6 6 , ? ? arccos 3 3 6 异面 EF 与 BD 所成的角的大小 arccos . 3 21、解(1) R(7.5) ? 1? 7.5 ? 2 ? 3.2 ,
计算可得: cos? ?

10 分

所以,生产 750 套此种品牌运动装可获得利润 3.2 万元 3分 (2)由题意,每生产 x (百件)该品牌运动装的成本函数 G ( x) ? x ? 2 ,所以,

?? 0.4 x 2 ? 3.2 x ? 2.8,    (0 ? x ? 5) ? 利润函数 f ( x) ? R( x) ? G ( x) ? ? 6分 9 ,     ( x ? 5) ?12.7 ? x ? x?3 ? 2 当 0 ? x ? 5 时, f ( x) ? ?0.4( x ? 4) ? 3.6 , 故当 x ? 4 时, f ( x) 的最大值为 3.6 . 10 分 9 ] ? 3.7 , 当 x ? 5 时, f ( x) ? 9.7 ? [( x ? 3) ? 12 分 x?3 故当 x ? 6 时, f ( x) 的最大值为 3 .7 .
所以,生产 600 件该品牌运动装利润最大是 3.7 万元 22、解答: (1)设直线 AB 的方程为 y ? kx ,代入椭圆方程得 x 2 ? 14 分

1 1 k ? 3
2



1分

k?


d?

1 2

1? k 2

, AB ? 2

1? k 2 1 k2 ? 3

3分

k?
解S ?

1 2

1 k2 ? 3

?

k2 ? k ?

1 4 ? 7 得k ? ? 2 1 3 2 k2 ? 3
2 x 3

5分

故直线 AB 的方程为 y ? ?

6分

(2)根据结论的一般性程度给与不同的评分. (问题 1-4 层,4 分,相应证明 4 分) 过圆 x ? y ? r
2 2 2

? r ? 0? 的一条直径的两个端点与圆上任意一点(不同于直径两端点)的连
7

线所在直线的斜率均存在,那么此两斜率之积为定值 ?1 .
2 2

8分

2 ②若过圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ? r ? 0 ? 的一条直径的两个端点与圆上任意一点 (不同于直

径两端点)的连线所在直线的斜率均存在,那么此两斜率之积为定值 ?1 . ③过椭圆或圆

9分

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条直径的两个端点与圆上任意一点(不同于直 a 2 b2

径两端点)的连线所在直线的斜率均存在,那么此两斜率之积为定值 ?

b2 . a2

10 分

④过有心圆锥曲线 Ax2 ? By 2 ? 1( AB ? 0 , A, B 不同时限于 0)的一条直径的两个端点与 圆上任意一点(不同于直径两端点)的连线所在直线的斜率均存在,那么此两斜率之积为定 值?

A . B

12 分

证明:设曲线上任一直径 AB, P 为异于 A, B 的曲线上任一点。 设 A ? x1 , y1 ? , B ? ? x1 , ? y1 ? , P ? x, y ? , k AP ?

y ? y1 y ? y1 ,因为 A, P 在曲线上,所以 , k BP ? x ? x1 x ? x1

? x2 ? ? x2 ? y12 ? b2 ?1 ? 12 ? , y 2 ? b 2 ?1 ? 2 ? , k AP ? k BP ? a ? ? a ?
? b2 a2
16 分

x12 ? x2 2? b 1 ? ? 1 ? ? ? 2 a2 ? y2 ? y2 ? a ? 2 1 ? ? x ? x12 x 2 ? x12

23、解:⑴由题意 A 2 (5,0) 、 B2 (0,7) . 1 (3,0) 、 B 1 (0, 4) 、 A ∴ k A1B1 ?

? kA1B1

⑵? ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,设它们的公差分别为 d1 和 d2 ,则

4?0 4 7?0 7 ? ? , k A2 B2 ? ?? . 0?3 3 0?5 5 ? kA2B2 ,∴ A1B1 与 A2 B2 不平行.

3分

an ? a1 ? (n ?1)d1 , bn ? b1 ? (n ?1)d2,an?1 ? a1 ? nd1 , bn ? b1 ? nd2 , 5 分 1 由题意 S n ? S ?OAn?1Bn?1 ? S ?OAn Bn ? (an ?1bn ?1 ? an bn ) . 2 1 ∴ S n ? ? (a1 ? nd1 )(b1 ? nd 2 ) ? (a1 ? (n ? 1)d1 ) (b1 ? (n ? 1)d 2 ) ? 2 1 ? (2 d1 d 2 n? a ? d d2 , 7分 1 d 2? b 1 d 1 1) 2

8

∴ S n ?1 ?

∴数列 ?Sn ? 是等差数列.

1 (2d1d 2 n ? a1d 2 ? b1d1 ? d1d 2 ) ,∴ Sn?1 ? Sn ? d1d2 是与 n 无关的常数, 2
9分

⑶? An ?an ,0? 、 Bn (0, bn ) ∴ kn ? 又数列 ?kn ? 前 8 项依次递减, ∴ kn?1 ? kn ? ?

bn ? 0 b an ? b ?? n ?? n . 0 ? an an 2

a(n ? 1) ? b an ? b an ? a ? b ? 0对 ? ? 2n ?1 2n 2n ?1 1 ? n ? 7(n ? Z ) 成立, 即 an ? a ? b ? 0 对 1 ? n ? 7(n ? Z ) 成立. 12 分
又数列 ?bn ? 是递增数列,∴ a ? 0 ,只要 n ? 7 时,即

7a ? a ? b ? 6a ? b ? 0 即可.

? 6a ? b ? 0 ? a ? b ? ?12 ? 又 b1 ? a ? b ? ?12 , 联立不等式 ? , 作出可行域 (如 a ? 0 ? ? ? a, b ? Z 右图所示) ,易得 a ? 1 或 2 . 14 分 当 a ? 1 时, ?13 ? b ? ?6 ,即 b ? ?13, ?12, ?11, ?10, ?9, ?8, ?7 ,有 7 解; 16 分 当 a ? 2 时, ?14 ? b ? ?12 ,即 b ? ?14, ?13 ,有 2 解.∴数列 ?bn ? 共有 9 个. 18 分

9


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