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江苏省盐城市射阳县盘湾中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省盐城市射阳县盘湾中学高一(上)期中数学 试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填空在答题纸相应位置上. 1. (5 分)10000 =.

2. (5 分)计算 log89×log332=. 3. (5 分)幂函数 f(x)=x 图象过(2, ) ,则 f

(2)=.
2 a

4. (5 分)若用列举法表示集合 A={x|x ﹣1=0},则 A=. 5. (5 分)设 A=(﹣1,3],B=[2,4) ,则 A∩B=. 6. (5 分)已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且 f(x)在(0,+∞)上有一个零点, 那么 f(x)的零点个数是. 7. (5 分)函数 f(x)=x +2 的值域是.
2

8. (5 分)函数

的定义域为.

9. (5 分)已知函数 f(x)=

,那么 f(f(3) )=.

10. (5 分)若函数 f(x)=x ﹣mx+m+2 是偶函数,则 m=. 11. (5 分)若函数 f(x)=x +mx﹣2 在(﹣∞,2]是单调减函数,在[2,+∞)是单调增函数, 则实数 m=. 12. (5 分)满足 2 ≥8 的实数 x 的取值范围是. 13. (5 分)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)﹣f (4)=. 14. (5 分)如果指数函数 f(x)=(a﹣2) 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是.
x x 2

2

二、本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (14 分)画出下列函数的图象: (1)f(x)=x+1; 2 (2)f(x)=(x﹣1) +1,x∈[1,3) . 16. (14 分)求证:函数 f(x)=﹣ ﹣1 在区间(﹣∞,0)上是单调增函数.
x x

17. (14 分)已知函数 f(x)=9 ﹣4?3 +5,x∈[0,2],求函数 f(x)的最大值与最小值. 18. (16 分)建造一个容积为 8m ,深为 2m 的长方形无盖水池,如果池底和池壁的造价分别 2 2 为 120 元/m 和 80 元/m (1)求总造价关于底面一边长的函数解析式,并指出函数的定义域; (2)求总造价的最小值. 19. (16 分) (1)若函数 y=mx ﹣6x+2 的图象与 x 轴只有一个公共点,求 m 的值; 2 (2)若方程 4(x ﹣3x)+k﹣3=0 没有实数根,求 k 的取值范围. 20. (16 分)已知函数 f(x)=|x+2|+x﹣3. (1)用分段函数的形式表示 f(x) ; (2)画出 y=f(x)的图象,并写出函数的值域和单调区间.
2 3

2014-2015 学年江苏省盐城市射阳县盘湾中学高一(上) 期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填空在答题纸相应位置上. 1. (5 分)10000 =10.

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 将 解答: 解: 故答案为:10. 化为 = ,从而求出答案. =10,

点评: 本题考查了指数幂的化简问题,是一道基础题.

2. (5 分)计算 log89×log332=



考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 由对数的换底公式和对数的运算法则直接求解即可. 解答: 解:log8 ×log332= 故答案为: 点评: 本题考查对数的换底公式和对数的运算法则,属基本运算的考查.
a 9

3. (5 分)幂函数 f(x)=x 图象过(2, ) ,则 f(2)= .

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数 f(x)的图象过(2, ) ,得出 x=2 时,f(2)的值. 解答: 解:∵幂函数 f(x)=x 图象过(2, ) , 即 x=2 时,f(2)= . 故答案为: . 点评: 本题考查了函数的图象与性质的应用问题,解题时应利用函数的图象上的点与函数 值的对应关系进行解答,是基础题. 4. (5 分)若用列举法表示集合 A={x|x ﹣1=0},则 A={1,﹣1}. 考点: 集合的表示法. 专题: 计算题;集合. 分析: 求出方程的根为 1,﹣1,然后利用花括号表示即可. 解答: 解:由 x ﹣1=0,得 x=1,或 x=﹣1. 2 所以 A={x|x ﹣1=0}={1,﹣1}. 故答案为:{1,﹣1}. 点评: 本题主要考查集合的表示方法,列举法和描述法是最基本的两种表示集合的方法, 注意它们的区别和联系. 5. (5 分)设 A=(﹣1,3],B=[2,4) ,则 A∩B=[2,3]. 考点: 交集及其运算.
2 2 a

专题: 计算题. 分析: 结合数轴直接求解. 解答: 解:由数轴可得 A∩B=[0,2], 故答案为:[2,3]. 点评: 本题考查集合的运算,基础题.注意数形结合 6. (5 分)已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且 f(x)在(0,+∞)上有一个零点, 那么 f(x)的零点个数是 3 个. 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数的性质和题意即可得到 f(x)的零点个数. 解答: 解:因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0, 因为 f(x)在(0,+∞)上有一个零点, 所以 f(x)在(﹣∞,0)上也有一个零点, 即 f(x)的零点个数是 3 个, 故答案为:3. 点评: 本题考查奇函数的性质的应用,以及函数的零点的概念,属于基础题. 7. (5 分)函数 f(x)=x +2 的值域是[2,+∞) (用集合或区间表示) . 考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题直接根据 x 的取值范围,得到函数 f(x)=x +2 的值域,得到本题结论,注意 结论的形式是集合或区间. . 2 解答: 解:∵x ≥0, 2 ∴x +2≥2, 2 ∴函数 f(x)=x +2 的值域是[2,+∞) . 点评: 本题考查了二次函数的值域,本题难度极小,属于容易题.
2 2 2

8. (5 分)函数

的定义域为(﹣2,1)∪(1,+∞) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 要使函数 有意义,分数分母不等于 0 以及二次根式下大于等于

0,0 次幂的底数不能等于 0,则 x+2>0 且 x﹣1≠0,解不等式即可求出函数的定义域. 解答: 解:要使函数 有意义,x+2>0 且 x﹣1≠0,

故函数的定义域为 (﹣2,1)∪(1,+∞) 故答案为: (﹣2,1)∪(1,+∞) 点评: 本题考查求函数的定义域的方法,分数分母不等于 0 以及二次根式下大于等于 0,0 次幂的底数不能等于 0,是解题的关键.

9. (5 分)已知函数 f(x)=

,那么 f(f(3) )=1.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知得 f(3)=2﹣3=﹣1,从而 f(f(3) )=f(﹣1)=(﹣1) =1. 解答: 解:∵f(x)= ∴f(3)=2﹣3=﹣1, f(f(3) )=f(﹣1)=(﹣1) =1. 故答案为:1. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 10. (5 分)若函数 f(x)=x ﹣mx+m+2 是偶函数,则 m=0. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用二次函数的对称轴与偶函数的关系求解即可. 解答: 解:函数的对称轴是 x= ,又函数是偶函数,所以对称轴是 y 轴,所以 m=0. 故答案为:0. 点评: 本题考查二次函数的对称性,偶函数的性质,是基础题. 11. (5 分)若函数 f(x)=x +mx﹣2 在(﹣∞,2]是单调减函数,在[2,+∞)是单调增函数, 则实数 m=﹣4. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据二次函数的性质,得到 x=﹣ =2,解出即可. 解答: 解:由题意得: 对称轴 x=﹣ =2, 解得:m=﹣4, 故答案为:﹣4. 点评: 本题考查了二次函数的性质,考查了函数的单调性,是一道基础题.
2 2 2 2



12. (5 分)满足 2 ≥8 的实数 x 的取值范围是 x≥3. 考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 直接由指数函数的单调性得答案. x x 3 解答: 解:由 2 ≥8,得 2 ≥2 ,即 x≥3. x ∴满足 2 ≥8 的实数 x 的取值范围是 x≥3. 故答案为:x≥3. 点评: 本题考查了指数不等式的解法,考查了指数函数的单调性,是基础题. 13. (5 分)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)﹣f (4)=﹣1. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数奇偶性的性质;函数的周期性. 专题: 计算题. 分析: 利用函数奇偶性以及周期性,将 3 或 4 的函数值问题转化为 1 或 2 的函数值问题求 解即可. 解答: 解:∵若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数 ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x+5)=f(x) , ∴f(3)=f(﹣2)=﹣f(2)=﹣2, f(4)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣1, ∴f(3)﹣f(4)=﹣2﹣(﹣1)=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查函数奇偶性的应用,奇(偶)函数的定义:一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x,都有 f(﹣x)=﹣f(x) ) (或 f(﹣x)=f(x) ) ,那么函数 f(x)是奇 (偶)函数. 14. (5 分)如果指数函数 f(x)=(a﹣2) 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是(2,3) . 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用底数大于 0 小于 1 时指数函数为减函数,直接求 a 的取值范围. x 解答: 解:∵指数函数 y=(a﹣2) 在 x∈R 上是减函数 ∴0<a﹣2<1?2<a<3 故答案为: (2,3) . 点评: 本题考查指数函数的单调性.指数函数的单调性与底数的取值有关,当底数大于 1 时指数函数为增函数,当底数大于 0 小于 1 时指数函数为减函数 二、本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (14 分)画出下列函数的图象: (1)f(x)=x+1; 2 (2)f(x)=(x﹣1) +1,x∈[1,3) . 考点: 函数的图象.
x

x

专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)图象为直线,且过点(﹣1,0) ,和(0,1) ,画图即可 (2)f(x)=(x﹣1) +1 的图象是由 y=x 的图象先向右平移一个单位,再向上平移 1 个单位 得到,值域为[1,5) ,画图即可 解答: 解: (1)f(x)=x+1 的图象为直线,且过点(﹣1,0) ,和(0,1) , 图象如图所示:
2 2

(2)f(x)=(x﹣1) +1 的图象是由 y=x 的图象先向右平移一个单位,再向上平移 1 个单位 得到,∵x∈[1,3) ,∴f(x)值域为[1,5) , 图象如图所示:

2

2

点评: 本题考查了一次函数和二次函数的图象的画法,属于基础题

16. (14 分)求证:函数 f(x)=﹣ ﹣1 在区间(﹣∞,0)上是单调增函数.

考点: 专题: 分析: 解答:

函数单调性的判断与证明. 函数的性质及应用. 利用定义证明函数 f(x)在区间(﹣∞,0)上是增函数即可. 证明:在(﹣∞,0)上任取 x1<x2<0, ﹣1)﹣(﹣ ﹣1)= ﹣ = ,

则 f(x1)﹣f(x2)=(﹣ ∵x1<x2<0, ∴x1x2>0,x1﹣x2<0,



<0,即 f(x1)﹣f(x2)<0,

∴f(x1)<f(x2) ; ∴函数 f(x)=﹣ ﹣1 在区间(﹣∞,0)上是增函数. 点评: 本题考查了函数在某一区间上的单调性判定问题,是基础题 17. (14 分)已知函数 f(x)=9 ﹣4?3 +5,x∈[0,2],求函数 f(x)的最大值与最小值. 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 令 3 =t, 则 t∈[1,9], 所以 f(x)=9 ﹣4?3 +5 可化为 g(t)=t ﹣4t+5= (t﹣2) +1.利 用配方法求最值. x 解答: 解:令 3 =t,则 t∈[1,9], x x 所以 f(x)=9 ﹣4?3 +5 可化为 2 2 g(t)=t ﹣4t+5=(t﹣2) +1. 故当 t=2 时,f(x)有最小值 g(2)=1; 当 t=9 时,f(x)有最大值 g(9)=50. 点评: 本题考查了换元法及配方法在求最值时的应用,属于中档题. 18. (16 分)建造一个容积为 8m ,深为 2m 的长方形无盖水池,如果池底和池壁的造价分别 2 2 为 120 元/m 和 80 元/m (1)求总造价关于底面一边长的函数解析式,并指出函数的定义域; (2)求总造价的最小值. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 2 分析: (1)先设底边一边长为 xm,总造价为 y 元,由题意,知底面面积为 4m ,则底面另 一边长为 m,从而即可求得总造价关于底面一边长的函数解析式. (2)利用函数的单调性求函数 f(x)的最小值,分类讨论:当 0<x<2 时,利用单调性的定 义证明它是单调递减的函数,再证明当 x>2 时,是单调递增的函数,从而得出函数 f(x)在 (0,+∞)上的最小值即可. 解答: 解: (1)设底边一边长为 xm,总造价为 y 元,则 由题意,知底面面积为 4m ,则底面另一边长为 m, ∴ (2)当 0<x<2 时, 设 0<x1<x2<2,则 ,x∈(0,+∞) 是单调递减的函数,证明如下:
2 3 x x x 2 2 x x

= ∵0<x1<x2<2∴x1﹣x2<0,x1x2>0,x1x2﹣4<0,即 f(x1)﹣f(x2)>0 故当 0<x<2 时, 同理可证明当 x>2 时, ∴当 x=2 时, 最小值为 是单调递减的函数 是单调递增的函数 在(0,+∞)上取到最小值, 元 ,此时此函数

答: (1)总造价 y 元关于底面一边长 xm 的函数解析式为

的定义域为(0,+∞) (2)总造价的最小值为 1760 元. 点评: 本小题主要考查函数模型的选择与应用、函数单调性的应用、导数的应用、不等式 的解法等基础知识,考查运算求解能力,转化思想.属于基础题. 19. (16 分) (1)若函数 y=mx ﹣6x+2 的图象与 x 轴只有一个公共点,求 m 的值; 2 (2)若方程 4(x ﹣3x)+k﹣3=0 没有实数根,求 k 的取值范围. 考点: 函数的零点;二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)讨论函数是否是二次函数,从而求 m 的值; (2)原方程可化为 4x ﹣12x+k﹣3=0,从而可得△ =144﹣4?4?(k﹣3)=192﹣16k<0,从而 解得. 解答: 解: (1)若 m=0 时 y=﹣6x+2 符合题意, 若 m≠0,则△ =36﹣8m=0,得 m= ; 所以 m=0 或 m= 时,y=mx ﹣6x+2 的图象与 x 轴只有一个公共点. (2)原方程可化为 4x ﹣12x+k﹣3=0, 当方程判别式满足△ <0 时原方程无实数根, 又△ =144﹣4?4?(k﹣3)=192﹣16k, 解得 k>12, 所以当 k>12 时,原方程无实数根. 点评: 本题考查了二次函数的性质应用及函数的零点与方程的根的关系应用,属于基础题. 20. (16 分)已知函数 f(x)=|x+2|+x﹣3. (1)用分段函数的形式表示 f(x) ; (2)画出 y=f(x)的图象,并写出函数的值域和单调区间. 考点: 分段函数的应用;绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;函数的性质及应用.
2 2 2 2

分析: (1)根据绝对值的意义,结合分类讨论去掉函数式中的绝对值,即可化简出分段函 数的形式表示 f(x)的式子; (2)根据函数式的在不同两段的解析式,结合一次函数图象的作法,即可作出函数如图所示 的图象,再根据图象不难写出函数的单调区间与值域. 解答: 解: (1)∵当 x≥﹣2 时,|x+2|=x+2,f(x)=x+2+x﹣3=2x﹣1; 当 x<﹣2 时,|x+2|=﹣x﹣2,f(x)=﹣x﹣2+x﹣2=﹣5 因此,用分段函数的形式表示函数,可得 f(x)= (2)画出函数的图象,如图所示: ;

根据图象,可得: 函数的单调增区间为[﹣2,+∞) . 值域为[﹣5,+∞) . 点评: 本题给出带绝对值的函数,求函数的分段形式的表达式并求单调区间与值域.着重 考查了绝对值的意义、函数图象的作法和函数的单调性等知识,属于中档题.


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